CC BY
8
МАТЕМАТИКА MATHEMATICS
УДК 517.55
DOI 10.24147/1812-3996.2022.27(2).4-8
ИССЛЕДОВАНИЕ ОГРАНИЧЕННОСТИ ТЕПЛИЦЕВЫХ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВАХ ХАРДИ-СОБОЛЕВА В ЕДИНИЧНОМ ШАРЕ ИЗ Сп
О. Е. Антоненкова, Н. А. Часова
Брянский государственный инженерно-технологический университет, г. Брянск, Россия
Информация о статье
Дата поступления 18.05.2022
Дата принятия в печать 04.07.2022
Аннотация. Описываются те символы на единичной сфере, при которых соответствующий кратный оператор Теплица ограниченно действует в пространстве Харди-Собо-лева в единичном шаре комплексного пространства.
Дата онлайн-размещения 08.09.2022
Ключевые слова
Голоморфная функция, единичный шар, оператор Теплица, оператор дробного дифференцирования, пространство Харди, пространство Харди-Соболева
INVESTIGATION OF THE BOUNDEDNESS OF TOEPLITZ OPERATORS IN HARDY-SOBOLEV SPACES IN A UNIT BALL OF Cn
O. E. Antonenkova, N. A. Chasova
Bryansk State Technological University of Engineering, Bryansk, Russia
Article info Abstract. In this paper, we describe those symbols on a unit sphere, for which the corre-
Received sponding multiple Toeplitz operator is bounded in the Hardy-Sobolev space in a unit ball of
18.05.2022 a complex space.
Accepted 08.09.2022
Available online 08.09.2022
Keywords
Holomorphic function, unit ball, Toeplitz operator, fractional differentiation operator, Hardy space, Hardy-Sobolev space
1. Введение
Обозначим Bn = jz = (zn)eCn :l¿|z,\
<
< 1} - открытый единичный шар в п-мерном комплексном пространстве С", Бп =|г = )е
6с" \Elzjf = !f - сФеРа, граница шара Bn, H(Bn)
1=1
- множество голоморфных в Бп функций. При 0<р<+» будем обозначать Нр(Бп) класс Харди в шаре, т. е.
Нр (Б" ) =
f еH B) :\\f\l = sup J| f (ri)IWi)
где ^ст(С) - нормированная мера Лебега на сфере. Пусть / еН (Б ), введем в рассмотрение следующие операторы:
*о/(*) = £*,/(г), /г) = /(*) + /) , ГеБ".
,=1
Пусть далее / (г ) = ^ / (г) - однородное раз-
к=0
ложение функции /еН(Бп) . Для любого положительного действительного числа а определим -оператор дробного дифференцирования порядка а - следующим образом:
/(г) = £(* + 1)а /к (г).
к=0
В том случае, когда а = 1, ЭТ1 /(г) = ЭТ/(г) . Более подробно с указанными операторами можно ознакомиться в работе А. Б. Александрова 1985 г. [1].
Через НР (Б), 0 < р <+», 0 <а<+да, обозначим пространство Харди-Соболева в Бп, т. е.
НР, (Вп) = {/ еН(Вп) :|/||Нр <+»}.
При 1 < р <+■» пространство НР (Б„) является
банаховым относительно указанной нормы. Следующий интегральный оператор:
..г /(Ф(С)
.( f )( z ) = J
(1-< Z' 0У
где
(Z4=1Z!I, '
C = (Ci.....d )e S„,
,=i
z = (z z )б Bn, будем называть оператором Теплица с символом h6i.1 (Sn).
Даже в одномерном случае теория операторов Теплица имеет многочисленные приложения во многих областях теории функций и функционального анализа, теории операторов, теории вероятностей. Теплицевы операторы играют существенную роль не только при изучении вопросов факторизации, но и при исследованиях идеалов в алгебрах аналитических функций, при изучении метрических проекций и др. (см.: [2-4]).
Исследования ограниченности теплицевых операторов в пространствах голоморфных в круге функций и гладких вплоть до единичной окружности, связанные с делением внутренних функций, впервые независимо были проведены В. П. Хавиным и Ф. А. Шамояном в 1971 г. В дальнейшем эти исследования были продолжены и в одномерном случае (см.: [5-7]), и в многомерном случае - в классах голоморфных в шаре функций (см.: [1; 4]).
Для того чтобы охарактеризовать те функции h, при которых кратный теплицев оператор с соответствующим символом h ограниченно действует в пространствах Харди-Соболева в единичном шаре, нам понадобятся следующие вспомогательные утверждения.
Лемма 1 (см.: [8]). Пусть 1 < p <+», f 6Hp (B„), 1 1
g6Hp (B ), —+— = 1, ß>0, тогда имеет место ра-
p' Р
венство:
J f (c)g (e>fo(e)=
= C
(P)J
1
id2
^f(d)g(C)dv(C),
где С(р) - некоторая константа, зависящая только от р .
Лемма 2 (см.: [9]). Пусть 1 < р <+», / еН (Бп), Р > 0, тогда имеет место оценка
sup
J|SR> f ( rC)| Pda(C)
S
B
S
f)Гw -pf-p)-1 ИWdp *>(c)
г
< С2 sup
J К f ('C)I "da(C)
где 5 >р.
2. Формулировка и доказательство основного результата
Опишем те символы Ь, при которых операторы Т- (/)(г) действуют в пространствах Харди-Со-
болева нр(В„) при 1 <р<+», 0<а<+да. Имеет место следующее утверждение.
Теорема. Пусть Ь еН1 (бп), 1 < р <+», тогда равносильны следующие утверждения:
1) Т действует в пространстве нр(В„);
2) ЬеН"(Бп).
Доказательство. 1. Пусть Т- (/)еНр (Вп) при / еНр (В„). Докажем, что ЬеН"(бп).
С (г )
Рассмотрим функцию / (г) =-——. Оче-
г (1 -М)"
п
видно, что при С(г) = (1 - г)ап-р, г е(0,1), Ц/г11Нр(в„) ~ со"$*. Вычислим
Т (/г)(г ) = С (г )|
h(C)^(C)
(1 -<С,г))" (1-< z ,?})"
= С (г )J
h(C)d^(C)
=с (г )-
h( г)
(1 -<г,С»"(1ЧС,V 7(1 -{г,г)) " С (г )тГТГ^Г " fr (г ЖТ).
(1-< z )"
Таким образом, мы получили, что T (f)(z) = f (z)h(r) . Следовательно,
IT(f I«)=lf (z)^)h(r)| = const\h(r)| . Отсюда и из ограниченности T- (f) следует, что |h(r)|<const. Положив теперь вместо функции f (z) функцию f (-qz), , получаем, что
|h(z)|< const, z ебп. Следовательно, heH"(Sn). Таким образом, мы доказали, что из утверждения 1 следует утверждение 2.
2. Докажем обратное. Пусть теперь ЬеН™(Вп). Положим F(z) = T(/)(z) . Чтобы доказать принадлежность F(z) классу нр (B„), достаточно установить, что е Hp (Bn), а>0 . Для этого используем двойственность между пространствами Hp (ßn) и
H"'(Bn), 1 + ^ = 1 (см.: [7]). р р
Пусть gеНр(Bn) - фиксированная функция, р' = Р . Поскольку
Р -1
ЭТ" F (z )"J f (C)h(CK
(1Ч z, C»"
da(C),
отсюда получаем
JWF (pz )g (pz )fe( z ) =
= J f (C)h(C)J g (pz К
(1 -К z, 0)"
da( z )da(C). (1)
/
Преобразуем внутренний интеграл
( \
1
J g (pz
(1 -к z, 0)"
da(z ) =
Jg(pz
(1 -p<c, z) )"
da(z ) =
S, (1 -p(C,z)) Следовательно, из (1) получаем
jVF(pz)g(pz)da(z) = jf (C)h(C)Tg(p2C)da(C).
sn s„
Применим лемму 1, будем иметь:
J«"F (pz )g (pz )fo( z )"
"J
i 1 lüg-:
g C
Bn V m /
И""1 f (C)h(C)W" g (p2 c)dv(c). Отсюда следует
J^F (pz >g<pz>d ct( z )<
J(1 -ICl2 »"7(C)|| h(C)||*"g (p2c)| dv(C).
<JI1 -
B,
1
<
1
S
S
S
S
S
S
S
Переходя к полярным координатам, будем
иметь
Jh"F (pz )g (pz )da( z)
1
<Л(1-г )а|9Г+7 (гС)|| Ь(гС)||этад (р2гС)| Г 2"-1с^ст(С).
0
Применяя во внутреннем интеграле неравенство Шварца, получим
JlJ(1 -r)2-1 |*ag(p4)|2dr 2 da(C)
Далее, применяя лемму 2, окончательно полу-
чаем
Jh"F (pz )g (pz )da( z)
Jh"F (pz )g (pz )dc( z)
Sn
< C1 («)|| Hl jfJ (1 - r Kf (rC)| 2dr
< C (a
J| g (p2d)| ^(c)
JH f (0| Pda(C)
=C2 Hl H f|L J| g||
\h'(B„ )ИИ «H'(Bn)'
J(1 -r)2a-1 Hag(p2rd)|2dr\2 da(C)
Применим теперь неравенство Гельдера с по-
Р
казателем p =■
Р -1
JHaF (pz )g (pz )da( z )<
Sn
JlJ (1 - r )K+f (rC)| 2dr 1 'da(C)
Теперь, используя двойственность пространств Нр(Б) и Нр (Б), из полученной оценки имеем
1м1нр(б„ )< С3 Н1 Л/Цр (б") .
Таким образом, мы показали, что оператор Г- (/) действует в пространстве нр (Б„). То есть из
утверждения 2 следует утверждение 1. Теорема доказана полностью.
Отметим, что аналогичные результаты в весовых пространствах со смешанной нормой аналитических в поликруге и шаре функций установлены нами ранее (см.: [10-14]).
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Александров А. Б. Теория функций в шаре // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. 1985. Т. 8. С. 115-186.
2. Kahane J. P. Best approximation in ¡}{T) // Bulletin of American Mathematical Society. 1974. Vol. 80, iss. 5. P. 788-804.
3. Пеллер В. В., Хрущев С. В. Операторы Ганкеля. Наилучшие приближения и стационарные Гауссовские процессы // Успехи математических наук. 1982. Т. 38, № 1. С. 53-124.
4. Ahem P. R., Sehneider R. Holomorphic Lipshitz functions in pseudoconvex domains // American Journal of Mathematics. 1979. Vol. 101. P. 543-565.
5. Шамоян Ф. А. Об ограниченности одного класса операторов, связанных с делимостью аналитических функций // Известия АН Армянской ССР. Серия Математика. 1986. Т. 8, № 6. С. 474-494.
6. Shamoyan F. A. Teoplitz operators and division by inner function in some spaces of analytic functions // American Mathematical Society Translations. 1986. Vol. 133. P. 4-9.
7. Виноградов С. А. Свойства мультипликаторов интеграла типа Коши-Стилтьеса и некоторые задачи факторизации аналитических функций // Теория функций и функциональный анализ. М. : ЦЭМИ АН СССР, 1976. С. 5-39.
8. Aleksandrov A. B. On the boundary decay in the mean of harmonic functions // Алгебра и анализ. 1995. Т. 7. Вып. 4. С. 507-541.
1
х
S
S
1
1
S V о
х
<
Вестник Омского университета 2022. Т. 27, № 2. С. 4-8
-ISSN 1812-3996
9. Ahern P., Bruna J. Maximal and area Integral characterizations of Hardy-Sobolev spaces in unit ball of Cn // Revista Matemática Iberoamericana. 1988. Vol. 4. P. 123-153. DOI: 10.4171/RMI/66.
10. Часова Н. А. О теплицевых операторах в пространствах аналитических в поликруге функций со смешанной нормой // Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского. Казань, 2002. Т. 14. С. 302-315.
11. Часова Н. А., Шамоян Ф. А. О теплицевых операторах в пространствах Харди-Соболева // Интегральные преобразования и специальные функции. 2003. Т. 4, № 1. С. 46-54.
12. Антоненкова О. Е. Теплицевы операторы в пространствах А™(бп) // Вестник Брянского государственного университета. 2010. № 4. С. 9-13.
13. Антоненкова О. Е., Часова Н. А. Теплицевы операторы и вопросы деления в некоторых классах голоморфных в поликруге функций со смешанной нормой // Вестник Брянского государственного университета. 2015. № 3. С. 341-345.
14. Антоненкова О. Е., Часова Н. А. Ограниченность теплицевых операторов и теоремы деления в некоторых классах голоморфных в поликруге функций со смешанной нормой // Комплексный анализ и его приложения : материалы междунар. науч.-практ. конф. Брянск : Брян. гос. ун-т им. акад. И.Г. Петровского, 2015. С. 4-6.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Антоненкова Ольга Евгеньевна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, Брянский государственный инженерно-технологический университет, 241037, Россия, г. Брянск, пр. Станке Димитрова, 3; e-mail: anto-olga@ yandex.ru.
Часова Наталья Александровна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, Брянский государственный инженерно-технологический университет, 241037, Россия, г. Брянск, пр. Станке Димитрова, 3; e-mail: chasnat@ bk.ru.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Антоненкова О. Е., Часова Н. А. Исследование ограниченности теплицевых операторов в пространствах Харди-Соболева в единичном шаре из Сп // Вестн. Ом. ун-та. 2022. Т. 27, № 2. С. 4-8. DOI: 10.24147/1812-3996.2022.27(2).4-8.
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Antonenkova Olga Evgenevna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Docent of the Department of Mathematics, Bryansk State Technological University of Engineering, 3, pr. Stanke Dimitrova, Bryansk, 241037, Russia; e-mail: [email protected].
Chasova Nataliya Aleksandrovna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Docent of the Department of Mathematics, Bryansk State Technological University of Engineering, 3, pr. Stanke Dimitrova, Bryansk, 241037, Russia; e-mail: [email protected].
FOR QTATIONS
Antonenkova O. E., Chasova N. A. Investigation of the boundedness of Toeplitz operators in Hardy-Sobolev spaces in a unit ball of C. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2022, vol. 27, no. 2, pp. 48. DOI: 10.24147/1812-3996.2021.27(2).4-8. (In Russ.).
