CC BY
44
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2012, том 55, №6_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
К.Ш.Тухлиев
ТЕОРЕМЫ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ Ьр[0,1], (0<р<1) ДЛЯ СИСТЕМ ТИПА ХААРА
Худжандский государственный университет им. Б.Гафурова
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 16.04.2012 г.)
В данной работе доказывается теорема Джексона в пространстве Ьр[0,1], (0<р<1) для систем типа Хаара.
Ключевые слова: система типа Хаара - модуль непрерывности - теорема Джексона - наилучшие приближения - неравенство Харди-Литтлвуда.
Пусть функция f (x) е L [0,1](0 < p <ю), то есть
г 1 У Р
J| f)(x) Ip dx\ <ю.
p
I 0
Если 1 < р < да , то Ьр[0,1] - банахово пространство относительно этой нормы; если же 0 < р < 1, то величина ||/|| не является нормой, но Ьр[0,1] является метрическим пространством.
Пусть Е(р)(/; х) обозначает наилучшее приближение функции /(х) е Ь [0,1] полиномами
по системе типа Хаара (определение см.напр.[1]) порядка не выше п. Существование такого полинома при 0 < р < 1 доказано в [2], при р > 1 он хорошо известен (см.[4]).
Модуль непрерывности функций из пространства Ьр [0,1] определим равенством
/1-а y/p
®Р (f,S = sup f| f (x + h) - f (x) Ip dx
0<h<Sl 0
(0 < S < 1).
Впервые Джексоном [3] было установлено, что для тригонометрической системы функций имеет место неравенство
Еп (/;Т) < Сю Г/; (п > 1, п е N),
Адрес для корреспонденции: Тухлиев Камаридин Шерматович. 735700, Республика Таджикистан, г.Худжанд, мкр. 20, Худжандский государственный университет. E-mail: [email protected]
где С - абсолютная константа, /(х) - произвольная непрерывная на отрезке [0,2ж] функция. Такие же результаты получены в пространствах Ьр [0,2ж] (1 < р <да). Обратная теорема для пространств Ьр [0,2ж] (1 < р < да) установлена в [4] , где доказано неравенство
f/^ЕР)(/Т) (п ^ 1,п е Ж)•
" \ п +1) п + 1 к=0
Для систем Хаара обратная теорема в ¿1[0,1] установлена в [5]; прямые и обратные теоремы для Ьр [0,1] (1 < р <<х>) доказаны в [6]. Аналогичные утверждения по системам Хаара для Ь [0,1], когда 0 < р < 1, установлены в [7].
Мы докажем прямую и обратную теорему Джексона для систем типа Хаара, когда 0 < р < 1. Справедливо следующее утверждение
Теорема 1. Пусть /(х) <е Ь [0,1] (0 <р < 1) и х{Рп) (2 < Рп < С, п = 1,2,_) - система типа Хаара. Тогда
E(p)(/; X) < CPop [/, 1 ] (n = 1,2,...).
V=1
1 mk
Прежде чем перейти к доказательству теоремы, докажем следующую лемму. Лемма 1. Пусть
mn
НПп (x) = £ cvXv(x) (n = 0,1,2,...) - полином по системе типа Хаара. Тогда
[Elp\Hmn (x))]Р < c • mk j o>p(Hmn,h)dh (1)
0
(0 < p <да, k = 0,1,...; | h |<З, 0 <З< 1). Доказательство леммы 1. При k > n доказательство леммы очевидно, так как Ei[)(Hmn) = 0 и поэтому считаем k < n . Пусть (x) = as при x G 3s) = ,^
s = 1,2,...,mn,(mn = PjP2...p„). Пусть также 0 (x) - произвольный полином Виленкина, причём
emk (x) = ßv при x GÖkf) v = 1,2,..., mk, (mk = P1P2 ...Pk ). Так как k < n, в каждом
V mk mk )
интервале
V-1 V
' щ
содержатся интервалы
s -1 5
. т ' щ.
и количество их равно
т
т,г
рк+1 ' рк+2 ■"•■ рп ■
Следовательно,
т,п 5
т тк
(х) в (х)|[ =2: 2: ||Ятп (х)
у 'тк тп
■■'к тк
в(х)гл=—: : \а*-Руг•
т.. у=1 1\тп,1
у=1 5=(у-1)тп+1
т„
т„
Так как при любых У = 1,2,^„,тк и г = (у-1)—- + !,•••,V—- имеем
т
т
„Ив.
тк
: \«.р< : к -«г)*,
5=(у-1) ^+1
^ >тк
5=(у-1)Ив.+1
^ >тк
то числа Ру можно выбрать так, что
К. (х) в (х)\\ <
1 тк тк тк
<тк—2: : : «
тп у=1 5=(у-1)т^+1 г=(у-1)тп-+1
4 ' тк
(2)
Отметим теперь, что
V
I I \Итп(х)-Итп(у)\рёхёу-
¿к(V) ¿к (V)
тк
л : :
о /,, 1\шп ,1 /,,
1« -«г
(3)
п 5=(у-1)та+1 г=(у-1)тп-+1 шк тк
Учитывая (2), (3) и используя утверждение леммы 1 из работы [8], получим
<
<
Итп (х) -вп (х) р Стк {] ||Ит (х + к) - / (х)| рёх\ ёк,
Итк П-К
откуда и следует утверждение леммы 1.
Для доказательства теоремы 1 используем утверждения лемм 1.2, 1.3, 1.4 из [7] и теорему 4.1 из [9]. Используя неравенство (2) при тк < п < тк+1 (к = 0,1,2,...), получим
<
[Е(р\/; х)]Р <[Е(кЧ/; х)]Р < Стк 1 орр(/,И)йИ < Сор Г/;
и теорема 1 доказана.
Для установления обратных теорем, модуль непрерывности введём по другому, то есть о'р (/, 3) = 8иР|/(х + И) - /(х)|| р (0 < 3 < 1)
И\<3 р
Это так называемый периодический модуль непрерывности.
Известно, что (см.[6]) о (/;3) < о, (/;3), поэтому в обратных теоремах оценки будут лучше, если в них использован модуль непрерывности о (/ ;3).
Теорема 2. Пусть функция / е Ь [0,1], 0 <р < 1 и х{Рп} (2 < Рп < С, п = 1,2,...) - система типа Хаара. Тогда имеет место неравство
1
-,1/р
«¡Г /; - ]< СУр • п11р [Е^(/; х)]р[ , п е N.
(4)
Для доказательства этой теоремы докажем лемму, аналогичную лемме 2.2 из [7].
Лемма 2. Если (х) - полином по системе типа Хаара порядка тп (п = 0,1,2,...), то при
0 < И < -1 справедливо равенство т„
о', (Нтп; И) = (И • тп )1/ро,
(
1
Л
Нт ;-
т" т
v тп )
Доказательство леммы 2. Пусть Н^ (х) = а, если х е( -—1 | = 3п(-), (5 = 1,2,...,тп)
если
0 < И
т„
, то
тп тп
Нт, (х + И) =
а:!, хе( — И
5 v т т
v п п )
--- - И . т ' т 1
Следовательно,
а-+1, х
1
|| И^ (х + к) -Итп (х) |р ёх
"•п
55 I |Итп (х + к) - ИПп (х)| рёх =
Ж=Ч (.)
тп 'п
5: I
«=1 . 1
|«.+1| рёх=щ «.+1-| р=
X=1
1 Г лЛ
х + —
v тп .
= к ■ Шп I И
п I т„ 0
- Я (х)| рёх,
чем и завершаем доказательство леммы 2.
Доказательство теоремы 2. Пусть тк < п < тк+1 (п = 1,2,^„; к = 0,1,^„) и Иот - полином
наилучшего приближения функции / порядка m¡ (I = 0,1,^„). Учитывая, что при / е Ьр[0,1] (0 < р < 1) верно (см.[7])
юр / < 2
то в силу леммы 2 и с использованием лемм 1.2, 1.3 и 1.4 из [7] получим:
v/; п.
<
< / - Ит„;-
п
+
ю.
п.
<
< 21 / - и-
+ ж
О
р р
'и +:(Ит+1 - Ит ); ^
V г=0
п
<
<
2[Е^^)]' + ^2тг[Ет(/)]' <
п
г=0
Следовательно,
С
^ к т
\_е(р)(л]р+с 2 2 [Етр)^./)]р
ч1/р\
г=0 т=тм
ю.
ИтпiI^
, 1/р
и теорема доказана.
Применив теоремы 1 и 2, можем получить следующие утверждения, которые доказываются точно так же, как в работе [7].
0
т
п
р
р
р
к
Теорема 3. Если функция f G Lp, 0 < p < 1, то:
а) при 0 <а< 1 / p условия f G Lip* (a, p)(f G Lip(a, p)) и E(np)(f;%) = O(na) эквивалентны;
б) при a = 1 / p из условия E(p)(f = O(nvp) следует, что ( (f ;5) = O(5X7p | ln5|x/p), но не обязательно rn (f ;5) = O(Sl 1 p | lnS |x/p);
в) при a > 1 / p из условия E(p) (f; = O(na ) следует, что f G Lip* (1 / p; p), но не обязательно f g Lip(1 / p; p).
В этой теореме функция f G Lp принадлежит классу Lip" (a, p), если (( = O(5) при
5^ 0 .
В [7] доказано, что если 0 < p < q < да и функция f g , то
g < CP.9
£
n=1
. f
WP
v Vn - У
(5)
Используя неравенства Харди-Литтлвуда [10]:
i \ V
ад n r ад
^ па £ a, < Ca.p£ na(nan )p. «n > 0. a> 1. p> 1
n=1 V ,=1 у
n=1
и применяя теорему 2, докажем следующую теорему.
Теорема 4. Пусть 0 < р < q < да м / б £р. Тогда
(6)
9 < Cp|f
£ n9 _2(Enp)(f ;x))9
(7)
E9)(f ;x) < С.9 E{nP)(f ;x)n
1 _ X P 9
£ k"-\EiP\f; x))9
k=n+1
(n > 1).
(8)
Доказательство теоремы 4. В силу неравенств (4) и (5)имеем :
" C
ад 9 о
llfll „+ £ np
n=1
n
£ (Ekp)(f ))9
k=1
а так как q/р > 1, то можно применить неравенство Харди-Литтлвуда (6), которое приведёт к неравенству (7). Соотношение (8) получается из (7) аналогично тому, как это сделано в работе [7]. Отметим, что аналог теоремы Джексона и обратных теорем типа С.Н. Бернштейна в самом общем случае
при приближении многочленами по периодическим мультипликативным системам в метрике L (G) получил А.В.Ефимов [11]:
Eff) <^(/) < 2Ep)cf), 1 < p n=0,1,...
Поступило 16.04.2012 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. - М.: ГИФМЛ, 1958.
2. Гаркави А.Л. - Матем. заметки, 1970, т.8, вып.5, 583-584 с.
3. Jackson D. Über Genauigkeiz der Annäherung stetiger Funktionen,Diss., Göttingen, 1991.
4. Тиман А.Ф., Тиман М.Ф. - ДАН СССР, 1950, т.71, №1, 17-20с.
5. Тиман М.Ф., Гаймназаров Г. - ДАН СССР, 1971, т.198, №6, с. 1280-1282.
6. Голубов Б.И. - Матем. сб., 1972, т.87, №2, с.254-274.
7. Стороженко Э.А., Кротов В.Г., Освальд П. - Матем. сб. 1975, т.98 (140), №3 (11), 395-415 с.
8. Ульянов П.Л. - Успехи математических наук., 1972, т. XXVII, №2 (164), с. 3-52.
9. Ульянов П.Л. - Матем. сб., 1970, т.81 (123), №1, с.104-131.
10. Харди Г., Литтльвуд Д., Полиа Г. Неравенства. - М.: ИЛ, 1948 г.
11. Ефимов А.В. - Матем. сб., 1966, т.69, №3, с. 354-370.
К.Ш.Тухлиев
ТЕОРЕМА^ОИ Ч,ЕКСОН ДАР ФАЗОИ ^[0,1], (0<p<1) БАРОИ СИСТЕМАИ НАМУДИ ХААРА
Донишго^и давлатии Хуцанд ба номи Б.Рафуров
Дар маколаи додашуда, теоремахои Ч,ексон дар фазой Lp[0,1], (0 < р < 1) барои систе-маи намуди Хаара исбот карда шудааст.
Калима^ои калиди: системаи намуди Хаара - модули функсияи бефосила - теоремаи Цексон -беутарин наздикшаванда - нобаробарии Харди-Литтлвуд.
K.Sh.Tukhliev
JACKSON THEOREMS IN Lp[0,1], (0<p<1) FOR SYSTEMS OF HAAR
B.Gafurov State University of Khujand
In this paper we prove theorems of Jackson in the space LP[0,1], (0<P<1) for Haar type systems. Key words: Haar-type system - modules of continuity - Jackson's theorem - the best approximation -inequalities Hardy-Littlwood.
