CC BY
35
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №11_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
К.Тухлиев
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА-СТЕЧКИНА ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Худжандский государственный университет им. Б.Г.Гафурова
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым)
В гильбертовом пространстве Ь2 [—1,1] с весом Чебышёва ц(х) := 1 / V1 — х2 получены неравенства типа Джексона-Стечкина, связывающие величину Еп_/- наилучшее приближение функции /(х) алгебраическими многочленами степени не более п — 1, с усредненным положительным весом, обобщенным модулем непрерывности т-го порядка 0.ш(С /;/), где Т> - некоторый дифференциальный оператор второго порядка. Для классов функций г)(Оот;Ф) (т, г е М, 0 < р < 2), определяемых указанным модулем непрерывности и заданной мажорантой Ф(^> 0), удовлетворяющей определенным ограничениям, вычислены значения различных п -поперечников в пространстве Ь2 [—1,1].
Ключевые слова: наилучшие приближения - полиномы Чебышёва - обобщенный модуль непрерывности т-го порядка - коэффициенты Фурье-Чебышёва - п-поперечники.
1. К настоящему времени известен целый ряд содержательных результатов, связанных с отысканием точных констант в неравенстве типа Джексона-Стечкина и вычислением точных значений различных п -поперечников функциональных классов, принадлежащих пространству измеримых 2ж -периодических функций := [0,2ж] с нормой (см., например, [1-4])
¿2
Г 1 2 я" У/2
<
2л
- f\f (x)\2 dx
УЛ о J
В последнее время появился ряд работ, в которых аналогичные задачи рассматриваются на конечном отрезке. Так, например, А.Г.Бабенко [5] получил точное неравенство типа Джексона-Стечкина в случае приближения на отрезке [0, ж] действительных измеримых 2ж -периодических функций вида / (х) = ^(е0Б х) подпространством косинус-полиномов
Тп_х := : Р{х) = созЬс, ак е м|
Адрес для корреспонденции: Тухлиев Камаридин. 735700, Республика Таджикистан, г.Худжанд, мкр., 20, Худжандский государственный университет. E-mail: [email protected]
в пространстве Ьа Д0,^] (а > — 1, Р > —1) с нормой
,2а+1/ \2Р+1
X 1 [ X Л
, 1/2
-2
| /^(вт -| [СОБ -| ¿X
< да.
С.Б.Вакарчук [6] доказал точное неравенство типа Джексона-Стечкина для приближения действительных измеримых на отрезке [—1,1] функций / подпространством , - алгебраических
многочленов степени < и — 1 в пространстве [—1,1] с обычной нормой
М—1,1]
^ 1 1 11/2 - Г /2(х^
тг •>
< да.
В данной работе мы продолжим исследования в этом направлении и докажем точные неравенства типа Джексона-Стечкина для наилучшего приближения действительных измеримых на отрезке [—1,1] функций / с весом /л( х) := 1 /V1 — х2 элементами подпространства Рп , в гильбертовом пространстве
4 Г—1,1] := X7)—1;[—1,1])
с конечной нормой
,1/2
2,и [ — 1,1]
1
|и( х)/2( х)¿Х
Введём обозначения: N - множество натуральных чисел, = Ки{0}, Ж := (0,да) - множество всех положительных чисел, М := (—да,+да). Следуя работе А.В.Абилова и Ф.В.Абиловой [7], в пространстве [—1,1] рассмотрим оператор
К/(X) = 1
/1X СОБ н + >/ 1 — X 2 Н | + /1X СОБ н — V 1 — X2 н|
(1)
который будем называть оператором обобщенного сдвига, и введем конечные разности первого и высших порядков равенствами
С т^
к =0
V к у
где Р^/{х) = /{х), р*/(х) = рк(ру/(х)\ к = 1,2,...,от; от е N и Е - единичный оператор в
пространстве . Определим обобщенный модуль непрерывности т -го порядка равенством
т
Ц-СЛО^НД] = ^{¡Ш'41 м1_щ :| Л О- (2)
Пусть далее
1 ¡2
Т0(х) = ^=, Тк(х) = ./— соб(£агееоБх), £ = 1,2,... (3)
У ж
- ортонормированная система многочленов Чебышёва первого рода в пространстве £2 [—1,1]. Хорошо известно [8], что
/ (х) = Е ск (/)Т (х) (4)
к=0
есть ряд Фурье-Чебышёва функции / е ц [—1,1], а
1
с, (/) = \м(х)/( х) Тк ( х)& (5)
—1
- коэффициенты Фурье-Чебышёва. Равенство в (4) понимается в смысле сходимости в пространстве
М—1,1] •
2ч <Л2 й
ох ох
Пусть Т> = ( 1-х1)—т~х— ~ дифференциальный оператор второго порядка. Операторы
высших порядков определим последовательно, полагая Т)г/ = Т){Т>Г (г = 2,3,...). Известно [8], что многочлены (3) удовлетворяют дифференциальному уравнению
(1 — х2)т "к (х) — хт 'к (х) + к 2Тк (х) = 0, (6)
а потому из (6) следуют равенства
тк(х) = -к2Тк(х),...^Тк(х) = (-\ук2%(х). (7)
В [7] доказано, что для произвольной функции / е £2 [—1,1], имеющей обобщенные производные в смысле Леви [9], коэффициенты Фурье-Чебышёва (5) ряда (4) удовлетворяют соотношениям
ск(Л = (-\ук-2гск(^Л,к = \,2,..., (8)
сД^/) = • ек(/),k = 1,2,..., (9)
где функция ^/ - определена равенством (1).
Обозначим через 1,1] (г е Z+, 1,1] = £2/Д—1,1]) - множество функций
е ¿2 [—1,1], у которых производная Т>г/ принадлежит пространству Ь2/л\—1,1]. Всюду далее,
вместо Ь2,[—1,1], НЕ,—1,1], ||/||^ { п], ради сокращения записи, будем писать Ь2и, , ^ соответственно.
Пользуясь соотношениями (7) - (9) и равенством Парсеваля, из (4) для произвольной функции / е Ёр легко получить равенство [7]
2
К Ф7)||2 = 2(1 -С08М)2^Ч2(/)- (10)
"" ¿=1
Учитывая соотношение (10), модуль непрерывности (2) запишем в виде
= 8ир{|>4^(/)(1-с<»*й)2" (11)
Пусть
^(/^ (12)
- наилучшее приближение функции f е Х2/г элементами подпространства '.Р ,. В [8] доказано, что среди всех элементов рп е , частичная сумма ,(/;л') ряда (4) доставляет минимум величине (12). При этом
/ ОЭ Л1'2
= ||/"^СЯЦ^ = (2^2(/)] • (13)
Из (13), учитывая равенство (8), для произвольной / е получаем
гал^п^еарг)^. (14)
Неравенство (14) обращается в равенство для функции /0 ( х) = Тп ( х), принадлежащей множеству поскольку ^(/о)^ =1, £„-1(Е>гЛ)2,м =п2г-
Введём в рассмотрение следующую экстремальную характеристику
•Н,»,г,ДЛ)= 8иР
\т,г,р\'>; /А
где и,даеМ, 0<к<ж.
Теорема 1. Пусть 0< р<2, 0 <И<ж. Тогда справедливы неравенства
К^Ю}-1 < Мп^р{К) < 1,
где
а
k ,m,r, p
(h) = | k2rp J (1 - coskt)mpdt
N1/p
При этом, если inf актг (h) = аптг (h), то имеет место равенство
п<к<ю ' ' 'p ' ' 'p
( л V1^
М (h) =
n2rp J (1 - cos nt)mpdt
V о
Из теоремы 1 вытекает
Следствие 1. Пусть \/(2г)<р<2; 0< к < Ъп/(4и). Тогда выполнено сле-
дующее равенство
4w(h) = К»™ wr1 := \ n2rph - cosnhypdt \
2. Через Ъп(М,ёп(М,8п(М ¿п(М, ¿2Д Жп(М, обозначим соответственно бернштейновский, колмогоровский, линейный, гельфандовский и проекционный п -поперечники выпуклого центрально-симметричного компакта М в пространстве м. Между перечисленными выше п -поперечниками выполняются соотношения(см., например, [10,11]):
Ъп [М;< йп [М;< йя [М; = Зя (М= жп [М; ¿Ц.
Пусть ), 0 < t < да - произвольная непрерывная неубывающая функция, такая, что ХР(0) = 0. Символом И^г)(С1т,Ч/), 1 /(2г) < р < 2, геМ обозначим класс функций / для
которых при любом I е выполняется условие
1 г
-Jom(Drf dz p(t).
10
Полагаем также
(1 - cos t)m = {(1 - cos t)m, если 0 < t <л 2m, если t >л}.
Теорема 2. Пусть m,n,r & N, l/(2r)</?<2 и функция при любых значениях tG удовлетворяет условию
(л V1
Г (1 - cos z)mpdт| f (1 - cos T)mpdz nti
W(t) > л
W (л/n)
Тогда выполняются равенства
+
= |-1 (1 - cos r)mpdrj n 2 Т(л/ n), где Лп (•) - любой из перечисленных выше n -поперечников, а
Множество мажорант Т, удовлетворяющих условию (15), не пусто.
Примером мажорантной функции, удовлетворяющей условию (15), например, является функция Т. (t) := tа/р, где
def Л
а =-;--1 (0 < а < 2mp).
л / \2mp v * s
sin — I dr
2 J
Следствие 2. Для любых m,n,r gN, 1 / (2 r) < p <2 справедливы равенства
uw^in^^) = saK^^^K = 2"(«+1)-1" *a/p n(2r+a,p)-
Теорема 3. Пусть m,n,r G N, 1 / (2 r) < p <2. Если функция при любом t g К.+ удовлетворяет условию (15) теоремы 2, то для всех s = 0,1,..., r справедливы равенства
sup {Sn_l{Dsf)2y.fGWípr\CLm^)} =
í 1 Л v1/p
= n~2( r-s)
M (1 - cos T)mpdT Y(f/ n).
ТГ j
vf 0
Поступило 12.11.2013 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тайков Л.В. Структурные и конструктивные характеристики функций из L2 - Матем. заметки, 1979, т. 25, №2, с. 217-223.
2. Лигун А.А. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве L2. - Матем. заметки, 1978, т. 24, №6, с. 785-792.
3. Вакарчук С.Б. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников функциональных классов из L2. - Матем. заметки, 2005, т. 78, №5, с. 792-796.
4. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов периодических дифференцируемых функций в пространстве L2[0,2^]. - Матем. заметки, 2010, т. 87, №4, с. 616-623.
5. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2-приближений на отрезке с весом Якоби и проективных пространствах. - Известия РАН. Серия матем, 1998, т. 62, №6, с. 27-52.
6. Вакарчук С.Б. О неравенствах типа Джексона в L2 и точных значениях n-поперечников функциональных классов. - Укр. матем. вюник, 2006, т. 3, №1, с. 116-133.
7. Абилов В.А., Абилова Ф.В. Об одной квадратурной формуле - Журнал выч. мат. и мат. физ., 2002, т. 42, №4, с. 451-458.
8. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. - М.: Наука, 1979, 416 с.
9. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. - М.: Наука, 1969, 480 с.
10. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - М.: МГУ, 1976, 325 с.
11. Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory. - Berlin: Springer-Verlag, 1985, 252 p.
К.Тухлиев
НОБАРОБАРИ^ОИ НАМУДИ ^ЕКСОН - СТЕЧКИН БАРОИ МОДУЛ^ОИ БЕФОСИЛАГИИ УМУМИКАРДАШУДА ВА БАЪЗЕ ТАТБИЦ^ОИ ОЩО
Донишго^и давлатии Хуцанд ба номи Б.Р.Рафуров
Дар фазой гилбертии Z2 Д-1,1] бо вазни Чебышёв /л(х) := 1 / V1 - х2 нобаробарих,ои намуди Ч,ексон - Стечкин ёфта шудаанд, ки наздиккунии бех,тарини функсиях,ои f (x) аз руи бисёраъзогих,ои алгебравии тартибашон < n -1 ва модули бефосилагии миёнакардашудаи тар-тиби т -ум бо вазни мусбат Qm (T)' f\t /), к и D ихтиёри оператори дифференсиалии тартиби
дуюм мебошад, вобаста мекунанд. Барои синфи функсиях,ои (m,r gN,0 < р< 2),
ки ба воситаи модули бефосилагии додашуда ва мажорантаи Ф(t)(t > 0) муайян карда меша-ванд ва шартх,ои гузошташударо каноат мекунанд, кимати аники n -кутрх,ои гуногун дар фазои L/¿[-1'1] ^исоб карда шудааст.
Калима^ои калиди: наздиккунии беутарин - бисёраъзогиуои Чебышёв - модули бефосилагии уму-микардашудаи тартиби m -ум - коэффисиентуои Фурйе-Чебышёв - n -цутр^о.
K.Tukhliev
THE JACKSON - STECHKIN TYPE INEQUALITIES FOR GENERALIZED MODULUS OF CONTINUITY AND ITS APPLICATIONS
B.G.Gafurov KhugandState University In the Hilbert space Z2 [-1,1] with the Chebyshev weight ju(x) := 1 / V1 - x2 the inequalities of Jackson - Stechkin was obtained where the linking value En_ f is the best approximation of the function f (x) by algebraic polynomials of degree at most n -1, with the average positive weight generalized modulus of continuity m th order flm (T>r f\ (), where D is some second order differential operator. For classes functions W{pr)(Qw;Ф) (m, r e N,0 < p < 2), defined by the specified module and continuity given
by majorant 0(t)(t > 0), satisfying certain constraints, calculate the values of different n -widths in the space L 1,11-
Key words: best approximation - Chebyshev polynomials - generalized modulus of continuity of mth order -Chebyshev-Fourier coefficients - n-widths.
