CC BY
30
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2007, том 50, №11-12________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Г.А.Юсупов МИНИМИЗАЦИЯ ТОЧНЫХ КОНСТАНТ В НЕРАВЕНСТВАХ ТИПА ДЖЕКСОНА И ЗНАЧЕНИЕ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ХАРДИ
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 18.12.2007 г.) Пусть Н , 1< р < оо - пространство Харди аналитических в единичном круге функций
/(г) = '£скгк,г = ре*,0<р<1 (1)
к=О
с конечной нормой [ 1 ]
11/11, := Ия, = ¿“{¿г ] I/О" »Г“*} < °°- (2)
Известно [2], что норма (2) реализуется на угловых граничных значениях /(г), которые обозначим /(/):=/(У*).
Пусть С - множество комплексных чисел. Множество алгебраических комплексных полиномов степени не выше п обозначим
Ях = \рп-1 0) ■ Рп-1 О) = Е'акг* >'ак е С'! ■■
Величину
Еп(Лнр = -Рп-Анр :Рп-1 ^Яг]
назовем наилучшим приближением функции /(г) е Н , 1 < р<со множеством Рп_х.
Пусть 5”- единичный шар в Н , Ш - выпуклое центрально-симметричное подмножество в Н : £п аНр - //-мерное подпространство; /Г - подпространство коразмерности п; л: Нр —» £п - непрерывный линейный оператор, переводящий элементы пространства Нр в £п; л1: Н —> £ - непрерывный оператор линейного проектирования Нр на подпространство £п
Величины
\(№,Нр) = т£ ]іігГ вир (/-л/! :/єШІ \ лНр ^£п\: £п^Н
К(Ж,нР) = ыр\ыр ^>0;^п4, <=Ш1 :4,сЯ;),
^(^я^) = іпґ іпґ вир (/-л1/! \/&Ш :л±Нр^£п\:£п^Нр\,
£/'’ (Ш1, НР) = ШҐ18ир | ЦД : / € ая п Г11: Г с Нр
называют колмогоровским, линейным, бернштейновским, проекционным и гельфандовским и-поперечниками множества Ш в пространстве Н . Между указанными поперечниками
имеет место соотношение [3]
лтнр)
'пК~'”"р'~сіп(т,нр)
кт,нр)<
<ХП(Ш,НР)<7ТП(Ш,Н\
Структурные свойства функции /{¿)^Нр, 1< р< оо характеризуем скоростью стремления к нулю модуля непрерывности пг -го порядка граничной функции / (7), определяемого равенством
ч,(/;0Р = §ир<
Е(-»‘
£=0
ук //
Де,('+1и))
I и |< і
(3)
Через
&Л/’И)-=&т(/'ЛР,У,Ч)р =
\!д
обозначим среднее значение модуля непрерывности (3) с весом эт г(/?/У/г), где у> 0, 0 <(3<п, 0<к<л/п, гп,п<еН.
Далее, для любого действительного а> 0, через Н\[а), 1 < р<<х> обозначим множество
функций /(г)еНр,1< р< оо, у которых существует дробная производная /‘" '(г) в смысле Римана-Лиувилля [4]
2"/'">М = ± т£г\М-
к=[а] Т(к-а + \)
где [а] - целая часть числа а,Г(и) - гамма-функция Эйлера.
Всюду далее положим
К,н? = /« £ н';' ■ ± 1, 1 </<<».
При решении экстремальных задач теории приближения в пространстве Харди Н ,\<р<со, связанных с нахождением точных констант в неравенстве типа Джексона [5]
Е„(ЛР^Х-^„,а-Шт га^а\~ , І > 0,\< р <СО,
І
п
где /(г) єН(“},цпа = Т{п-а + \)ГГ{п +1), рассматривались различные экстремальные характеристики, которые приводят к уточнению констант х :
х-.= х[н?,Нр,„_)■.= X Н*\Нр,^КР,у =
: Бир
(4)
С целью минимизации константы (4) для произвольного п -мерного подпространства
Ь <^Н положим
Х\Н?\Н\ = 1г£ЫН?>,Нр,1н):1нсНр
(5)
' р ’** р ) -[Л V** р р1~п/ ■ ~п--р )
и, следуя схеме рассуждения работы [6, стр. 385], докажем, что величина (5) равна значению колмогоровского поперечника класса №тН<ра).
Теорема 1. При всех а, Д у > 0,0 < к < тгіп имеет место соотношение
(6)
Доказательство. Пусть /^єН^ и 0.т(га/(а);к) =т>0. Если /х(г) = т 1 /(г), то
/(а)'^)р ~ 1’ т0 есть, ./, (г) є 1¥шНі'/>. Учитывая положительную однородность функ-
Т(а)
ционалов Е(/;Ьп) и 0.т{2.а/(а)\К) при фиксированном к, имеем
Бир
¿„(УЛ),
:/єЯ<">|<8ир!£(/,І„) :/є^Я
(«) 1
т р
Отсюда, переходя к нижней грани по всему подпространству Ьп<^Н , получаем не-
равенство
Х[Н‘:\Н\<с1п(1ГтН1-’,НЛ
V 5 V
(СО
п\т р
С другой стороны, для любой функции /(г) е №тН(а) в силу определения ЖтН^ имеем
т р
Д/Л), *
_ 5.СЛ4),
' Пя(2*Ґа\К)
р
Так как это верно для любого подпространства Ьп а Н р, то отсюда получаем
с1п(]¥тН^,Нр)<Х[Н^,Нр). (8)
Равенство (6) теперь следует из сопоставления неравенств (7) и (8).
Теорема 1 доказана.
В случае р — 2, используя специфику гильбертова пространства, докажем следующее утверждение
Теорема 2. При всех у> 0, т> 0, а> 1, 0 < /3 <ж, 0 < /г < л1п справедливы равенства
Х[Ща\Н2) = сгп(^тН\а\Н2) = Еп(ЖтН^)2 =
Г віп7 (Рї)/ИЛ Т(п-а + \) ■*
Г(и + 1)
(9)
\(2ът(Ш/2))т йпГ(РИИ)Л
0
где сг(-) - любой из поперечников (3)-(7), а
ЕЛКН'Л :=М(£„(/,е.)г-/^тНГ
- наилучшее приближение класса Ц7пЦ(£) подпространством Рп_г в метрике пространства
п-1
Н2. Все поперечники реализуются частичными суммами ряда Тейлора Тп_х(г,/) = скгк
к=0
разложении функции /(г) ряда (1).
Доказательство. Как и в работе [7], легко доказать, что функция натурального аргумента
п
ір(к) - ¡лка | 2^\х\(кіІ2) ’"ч зіп (ріІИ)сІІ
при всех да, и е ТУ, у> 0, а> 1, 0 < ¡5 <7Г, 0<к< 7^п для к>п является возрастающей, причем
Ш1П
ср(к):к>п - ср(п) - цпа | 2$>т(МІ2) т ът7 {¡ЗіІК)(М. (10)
о
Положим
0
Н
С(т,п,к,Г,Р,д) =
п
|зіп 7 ((Зі/И)с1і
](2$т(пі/2))т віп7 {¡ЗЩсІі
І/д
(11)
Используя известное неравенство Минковского [8, с.32]
р/2
\1/р
Ціл«!2 <* г Е ]\ш
п \к=п ) к-п V п
'А \2/Л
1/2
Ж
, 0<р<2,
определение модуля непрерывности (3) и соотношение (10), будем иметь
хі/д
>
( н 00 д/ 2 Л
> І 22”2ХКІ20-со8 кіу §т7 {РіІК)(М
V0 . к=Г} - У
Уд
п
і
5Х|с,|г 2"¿т"(МП) Аъ'(РЩ
к=п
д!2 \у4
ж
>
>
" ? ? "г і ч
2>Мс,М І 2-8Іп"(*//2)-8Іп*(^/А) л
к~п V 0
Л2/Л1/2
СО / «
Х/&-КІ2] І 2%\п(кІІ2) ",ч ■$\п7(/л/к)сіі
к~п І о
^2/Л1/2
>
\1/д
11/2
[к-п
■ цп\ І 2$>т(піІ2) ^\п( рі/И)сіІ
КІЛг =
\\!д
Ипа\ І 2$>\х\( п!! 2) "щ ■ып (ріік)ск -\ї•
Таким образом, с учетом (11) запишем
о
о
2
0
к
2
0
0
н
о
<
Мп
Л\/д
|^(г“/(а);028 т7(рщж
_0____________________________
к
I (2 8Іп(«ґ/2))т£г МП 7(рЩЖ
V о
-Пт{1а/(а\И)-С(т,п,Ку,Р,Ч\
(12)
причем простое вычисление показывает, что в неравенстве (12) знак равенства достигается для функции /0{г) = г”. С учетом того, что Тп_х(рп_х(г)) = рп_х(г) для любого р„_}(г) е Рп_х и
(/, 2) є Рп-\ > оценим проекционный поперечник класса УУтН “ сверху. Из неравенства (12) получим
яп(№тН<‘\Нг)<
* зир |||/ - Г„., (/)||„ : / е “ | < — С(т, и, А, Г, /», г).
(13)
С целью получения оценки снизу для бернштейновского поперечника рассмотрим шар
^„+1 ={л(*):л(*)е^» 1Ы1я2 ^—С{т,пЛг,Р,ЧУг
I №па J
п
и докажем, что е. В самом деле, если рп(г) = ^акгк еБп+1, то для
к=0
Ш Ш 7Т
0 < — < — < — имеем 2 2 2
_0___________________________________
к
|зіп 7 (Рі/И)с1і
1/д
п
І
X »іа I ак Г 0 )
0<и<і ¿=[„]
д/2
\1/д
$т7 (Рі/И)сІі
вігі (рі/И)сІІ
<
1
я
2
1
О
п
2т
0
о
J(2sin — )mq smr(fit/h)dt
0________2___________________[k=i
h
Jsin r(pt/h)dt
,ql2\llci
a,r
= Vna • C"1 (m, n, h, /, p, q) • Ipn ||H < 1,
откуда следует включение Бп+1 є УУтН“]. Но тогда по теореме В.М.Тихомирова о поперечнике шара [6, стр.342] для бернштейновского поперечника имеем
№па
(14)
Утверждение теоремы 2 следует из сопоставления неравенств (13) и (14).
Замечание. Результаты, полученные в данной статье, являются распространением основных теорем работы [7] для случая аналитических функций, принадлежавших пространству Харди Н2. Из доказанной теоремы вытекает
Следствие. При к = 7ї/п,Р = п из (9) имеем
Х{н?\Н2) = Рп(№Ж',Н2) = Еп(ЖтН[°>)2 =
[2"Т((> + 1)/2)Г(=- + г + 1)|1'* г(и-а+1)
Г(у + 1)Г ((mq + 7 + 1)/2)
Г(и + 1)
h
2
О
Таджикский государственный Поступило 18.12.2007 г.
национальный университет
ЛИТЕРАТУРА
1. Кусис П. - Теория пространств Н , М.: Мир, 1984, 256 с.
2. Привалов И.И. - Граничные свойства аналитических функций. М.: 1950, с.382
3. Вакарчук С.Б. - Украинский мат. журнал, 1990, т.42, 7, с.873-881.
4. Двейрин М.З. - Теория приближения функций. М.: Наука, 1977, с.129-132.
5. Шабозов М.Ш., Пиров Х.Х. - ДАН России, 2003, т.394, 4, с.19-24.
6. Корнейчук Н.П. - Точные константы в теории приближения. М.:Наука, 1987, с.424.
7. Есмаганбетов М.Г. - Математические заметки, 1999, т.65, 6, с.816-820.
8. Hardy G.G.,Littlewood G. and Polya G. - Inequality. Cambridge University Press. 2nd ed. 1952, 346 p.
Г.А.Юсупов
МИНИМИЗАТСИЯИ ДОИМИ^ОИ АНИЦ ДАР НОБАРОБАРИ^ОИ НАМУДИ Ч,ЕКСОН ВА ЦИМАТИ ЦУТР^ОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^О ДАР ФАЗОИ ХАРДЙ
Дар макола наздиккунии бех,тарини функсиях,ои дар давраи вох,иди аналитикй ба воситаи бисёрузх,о омухта шуда, нобаробарии намуди Ч,ексон барои х,осилаи касрии функсия х,осил карда шудааст. Дар асоси натичаи х,осилшуда, кимати аники кутрх,о х,исоб карда шудааст.
G.A.Yusupov
MINIMIZATION EXACT CONSTANT IN THE JECKSON TYPE OF INEQUALITIES AND VALUES n-WIDTH OF SOME CLASSES OF FUNCTION IN THE HARDY SPACE
The best approximation of analytical functions in unite circle polynomially was learnt and the inequalities type of Jeckson for fractional derivative function was found. According to the results, the exact value of widths was calculated.
