CC BY
36
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №4_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.538.5
С.Д.Темурбекова
НЕРАВЕНСТВО ТИПА ДЖЕКСОНА-СТЕЧКИНА ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ПОПЕРЕЧНИКИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Ь2
Институт математики им. АДжураева АН Республики Таджикистан
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 17.09.2012 г.)
В работе получены неравенства типа Джексона-Стечкина для специальных модулей ^го порядка, где вместо разности ^го порядка используются ^кратные итерации оператора Стеклова заданной функции. Для классов функций, определенных указанными модулями непрерывности, вычислены точные значения п-поперечников.
Ключевые слова: неравенство Джексона-Стечкина - наилучшее приближение - функция Стеклова -обобщённый модуль непрерывности - п-поперечники.
1. При решении экстремальных задач теории приближения периодических действительных функций в пространстве := [0,2ж] с конечной нормой
^[0,2л]
Г ^ 2л У7 2
< да
2л
- 11 f (x) \2dx \л 0 У
наряду с классическим модулям непрерывности часто используют различные обобщённые модули непрерывности (см., например, [1-3]).
Так, в [1] предложена следующая конструкция. Для произвольного элемента / е Ь2 запишем функцию Стеклова
^ х+Ъ
^(/, х) =™ I /С>*, й
, ...... > 0
2h
x-h
и при помощи рекуррентной формулы (/) = (;(/)), I е N определим оператор усреднения. Если I - единичный оператор в , то определим конечные разности первого и высших порядков равенствами
ДЙ(/, х) := ^ (/, х) - /(х) = - 1)(/, х),
Дй(/, х) := Дй (Дк (/, •), х) = (Бн -1)к (/, х) =
Адрес для корреспонденции: Темурбекова София Давронбековна. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]
k
= j (k)fx), k = 2,3,-.
i=0
Следуя работе [1 ], для произвольной f е L2 равенством
Qk(f, t) := sup Цдk(f, 0||: 0 < h < t} (1)
определим обобщённый модуль непрерывности k -го порядка.
Через 32и_! обозначим подпространство тригонометрических полиномов порядка n — 1. Хорошо известно, что для произвольной функции f е L2 с формальным рядом Фурье
f (x) - af + jj a (f) cos kx + bk (f) sin kx)
2 k=1
величина её наилучшего приближения элементами подпространства 32и ч равна
Г 1 У 2
En—i(f) = inf j||f — Г_: Tn—i еЗп—i } = \\f — S^f = jjjpf ,
где Sn_j(f) - частичная сумма порядка n — 1 ряда Фурье функции f; pp(f) = f)+b^(f) , k > п. Через L2 (r е Z+, L^0) = L2) обозначим множество функций f е L2, у которых производные r — 1 -го порядка абсолютно непрерывны, а производные r -го порядка f(r) е L2. Для произвольной функции f е ¿Г) справедливо равенство [1]
(f ,0|f = jj k2 * p52Cf)[ 1—)2k,
откуда
^r), t) := sup jjj k2рГ 1—^ j": 0 < h < t ¡
Всюду далее под неравенствами типа Джексона-Стечкина в рассматриваемом нормированном пространстве X понимаем неравенства, в которых величина наилучшего приближения En (f )х
функции f е X конечномерным подпространством Nn с X оценивается через модуль непрерывности самой функции f или некоторой его производной f(r) е X :
En (f )x := E(f; N )x < Xnr Q^(fr), t / n), t > 0.
С целью уточнения константы % в случае % = L2, Nn = 32и_! в [4] введена следующая экстремальная характеристика
Xn,m,r, Р (o;h) = sup i
E^(f )
J hi (f(r), t О )dt
у p
: f e L(,r); f ^ const
где ш,п е М, г е , 0 < й < я, ) > 0 - суммируемая на отрезке [0, й] функция. В [4], с целью обобщения известного результата А.А.Лигуна [5], доказано неравенство
{An,m,r,p (o; h)}1 <Zn,m,r,p (o; h) <{rnf A,m,r,p (o h)} ,
(2)
где
Ak ,m,r, p O; h) :=| k"p JI 1 -
sin kt kt
11/p
(p(t)dt [ , 0 < p < 2, 0 < h <ж/n.
В связи с неравенством (2) возникает естественный вопрос: какими дифференциально-разностными свойствами должна обладать весовая функция ((/), чтобы выполнялись равенства
inf Akmr,p (o h) = An,m,r, p (o; h)
n <k <w
n,m,r, p
или, что то же,
*m,»,r,p (O h) = { Ak,m,r,p (o; h)} 1
(3)
(4)
Теорема 1. Пусть весовая функция (, заданная на отрезке [0, й], является неотрицательной и непрерывно-дифференцируемой на нем. Если при некоторых г е М; 1 / г < р < 2 и любых / е [0, Й] выполнено неравенство
(гр -1)() - () > 0,
(5)
то справедливо равенство (3) и имеет место равенство (4).
Доказательство. Докажем, что при выполнении неравенства (5) функция
У( x) = xrp J f
1 -
Sin xt xt
\ mp
O(t )dt
в области Q = {x : x > n} является монотонно возрастающей и
Y
min {y(x) : x > n} = y(n) = nrp Jf 1
о v
h / • ,\mp
Sinnt
nt
(p(t )dt
(6)
о
В самом деле, дифференцируя функцию y(x) и используя элементарное тождество d ( sin xt Jmp d ( sin xt Jmp
—I 1--I = t—I 1--I , после выполнения интегрирования по частям получим
dx ^ xt J dx ^ xt J
hí ' -f\mp h Л f ■ -f\mp
y'(x) = rpx'P-1J(1 -^J p(t)dt + xrPJd-^J (p(t)dt =
■ ,\mF h f , \mP
= xrp-1 —[1-=^ ♦J^^J [(rp-1)p(t) - tp'(t)]dt[> 0,
откуда следует равенство (6), чем и завершаем доказательство теоремы 1.
Следствие 1. Пусть r е N; 1 / r < p < 2; p (t) = tM, (0 < t < h; 0 < h <rn / n) 0 rp-1.
Тогда для любых n, m е N справедливы равенства
h, . \ mp Т-1/ Р
Xn,m,r, p (p., h) = ] nrp J(1 - t»dt\ . (7)
Через (Ф) (т, г е 1 / г < р < 2, 0 < ц < гр -1) обозначим класс функций / е ¿(^, для которых при любых ^ е Д выполнено неравенство
h
JqmС/"('),Т)-r"dr <Фp(t),
где Ф(t), t > 0 - произвольная непрерывная возрастающая функция такая, что Ф(0) = 0.
Следуя работе [6], через t„ обозначим величину аргумента x е М+ функции sin x / x, при которой она достигает своего наименьшего значения. Очевидно, что t„ есть наименьший из положительных корней уравнения x = x (4,49 < t„ < 5,51). При этом
Л sin x J I sin x Л 1 sin t„ I 1--:= —--, если 0 < x < t„ 1--, если x > t„\.
v x J* \ x l. \
2. Обозначим через dn (M, L), dn (M, L2 ), bn (M, L ), (M, L ) и Пи (M, L ) соответственно колмогоровский, гельфандовский, бернштейновский, линейный, проекционный n -поперечники некоторого выпуклого центрально-симметричного компакта [7]. Указанные n -поперечники монотонно убывают по n и связаны соотношениями:
bn (M; L) < dn (M; L) < d (M; L) = (M; 4) = Ц, (M; L),
также полагаем
0
Еп ¿Ш) := 8ыр{Еп ,(/): / е Ш}.
Теорема 2. Пусть п, т е М; 1 / г < р < 2, 0 гр -1. Если для любых ^ е мажоранта Ф удовлетворяет условию
><¡111 .^аЛ -J(i-— ] T^dr, (8)
Фp(t) J f(i sinTI „м^А Гh sinT
Ф(л/И) (0
то справедливы равенства
7гп wz (Ф), L2)=(ф) L)=£n-i(w;;; (ф))= =n~rsint
ib - ^ ]«^
где У2п(•) и у2п_;(•) - любой из перечисленных выше поперечников. При этом множество мажорант, удовлетворяющих условию (8), не пусто.
Следствие 2. В условиях теоремы 2 при /л = 0 и [Л = 1 соответственно имеют место равенства
У2п I Wmm0 (Ф), L ] = /2„-1 I Wmm0 (Ф), L I = E ( К^О (Ф), L I =
/ .
= п
r+m -(f- Si(f))-m -Ф
f
V
п
. ov N f sin X ,
где Si(t) = I -dx - интегральный синус,
Jo x
/2" V»1/rm (Ф), ¿2 ]] = У2п-1 (Kirmmi (Ф), ¿2 J =
= En [wz-m L2 J • И )
где ук - любой из перечисленных выше к -поперечников.
Следствие 3. Если выполнены условия теоремы 2, то справедливы равенства
-1/p
sup{\ an(f) \,\ bn(f) \: f (x) e (Ф)} = np J J^ 1 -^J t"dt j где an (f) и bn (f) суть косинус и синус-коэффициенты Фурье функции f (x).
Поступило 17.09.2012г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Абилов В.А., Абилова Ф.В. - Матем. заметки, 2004, т.76, №6, с.803-811.
2. Вакарчук С.Б. - Матем. заметки, 2005, т.78, №5, с.792-796.
3. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. - Сиб. матем. журнал, 2011, т.52, №6, с.1014-1027.
4. Шабозов М.Ш. - Изв. АН-РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и тех. наук. 2010, №4(141), с.7-24.
5. Лигун А.А. - Матем. заметки, 1988, т.4, №6, с.757-769.
6. Вакарчук С.Б., Забутная В.И. - Матем. заметки, 2009, т.86, №5, с.328-336.
7. Pinkus A. - и-Widths in Approximation Theory - Berlin: Springer-Verlag, 1985, 291 p.
С.Д.Темурбекова
НОБАРОБАРИИ НАМУДИ ЧЕКСОН-СТЕЧКИН БАРОИ МОДУЛИ БЕФОСИЛАГИИ УМУМИКАРДАШУДА ВА ЦУТРИ^ОИ БАЪЗЕ ФУНКСИЯ^ОИ СИНФ^ОИ ФУНКСИОНАЛИ ДАР ФАЗОИ Ь2
Институтиматематикаи ба номи А.Цураеви Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Дар макола нобаробарии намуди Ч,ексон-Стечкин барои модулх,ои умумикардашудаи тартиби к -ум ёфта шудааст, ки дар он барои функсияи додашуда ба ои фаркияти тартиби к -ум, оператори к -каратаи Стеклов истифода бурда шудааст. Барои синфи функсиях,ое, ки ба воситаи модули бефосилагй дода шудаанд, кимати аники п -кутрх,о х,исоб карда шудааст. Калима^ои калиди: нобаробари Цексон-Стечкин - наздиккунии беутарин - функсияи Стеклов -модули бефосилагии умумикардашуда - п -цутр^о.
S.D.Temurbekova
INEQUALITY OF JACKSON-STECHKIN TYPE FOR GENERALIZED MODULUS CONTINUITY AND THE WIDTHS OF SOME FUNCTIONAL CLASSES
FUNCTIONS IN L2
A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan In this paper the Jackson-Stechkin type of inequality for special modules of k -order, where instead the difference of order k is used k -fold iteration of Steklov operator of given function are obtained. For the classes of functions defined by given modulus continuity the exact values are calculated. Key words: Jackson-Stechkin inequality - the best of approximation - Steklov's function - generalized modulus continuity - n-widths.
