Теорема Гамильтона - Ишлинского о телесном угле и ее обращение на неголономное пространственное движение твердого тела Текст научной статьи по специальности «Физика»

Уравнение (7) приводит к линейному однородному уравнению 2-го порядка для s и уравнению (10) (g = а'/а, h = -1 - er -(ст'/ст) ), если а(т) удовлетворяет уравнению (интегрируемому с помощью замены w= lrv ст! )

(ст'/о)" + 2а& + ст'/ст = 0.

При постоянной ст = стс из (7) имеем cos8 = s = s, + asin(^t + a), к2 = 1 + ст2, a2 = к"1 - s» /(i2 •- l), тогда из (4) г(т) выражается через />(т), д(т); в случае а = 0 - регулярная прецессия ( 9 = 80 ).

Если из (7) найти для заданной ст(т) решение s(t), то получим б(т); из 2-го уравнения (3) - ф(т), а из 3-го уравнения интегрированием по х -Ч/(т). С помощью (2) найдем углы 0, ф, ц/ как функции времени /, т. е. движение тела относительно неподвижного пространства.

Кинематические уравнения Эйлера для корабельных, самолетных и других углов Эйлера можно привести к виду ( 1 ).

Если заданы р, q, 9, то с учетом (2) из (6) можно найти ст, а из (4) -г ; тогда из динамических уравнений Эйлера находится момент внешних сил относительно неподвижной точки.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Darboux G. Leçons sur la théorie générale des surfaces. Paris: Bibl. Gauthier-Villars, ¡887. T. 1, chap. II.

2. Лурье A.lï. Аналитическая механика. M.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961.

3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961.

УДК 531^629

Ю. Н. Челноков

ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА - ИШЛИНСКОГО О ТЕЛЕСНОМ УГЛЕ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЕ НА НЕГОЛОНОМНОЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА*

Одной из замечательных теорем кинематики твердого тела, имеющей важные приложения в инерциальной навигации и гироскопической технике, является теорема о телесном угле. В геометрической постановке эта теорема впервые была сформулирована У. Р. Гамильтоном изначально как теорема о сложении любого числа конечных конических поворотов, а затем как теорема о сложении бесконечного числа конических инфинитези-

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 05-01-00347).

198

мальных поворотов. В кинематической постановке, отражающей важные геометрические свойства углового движения твердого тела при наличии неголономной связи, эта теорема была впервые сформулирована и строго доказана А. Ю. Ишлинским. Рассмотрим теорему о телесном угле в кинематической постановке А. Ю. Ишлинского и ее обобщение на общий случай неголономного пространственного движения твердого тела.

Пусть с твердым телом жестко связана система координат хуг. И пусть тело движется так, что проекция со, вектора угловой скорости тела на связанную с ним ось 2 во все время движения остается равной нулю:

<о,(0 = 0. ' (1)

Это равенство может рассматриваться как уравнение неголономной связи, наложенной на твердое тело, так как проекция со, угловой скорости твердого тела может быть выражена через углы Эйлера - Крылова, характеризующие угловое положение тела, и их первые производные по времени. Наличие этой связи обусловливает важные геометрические свойства соответствующего движения твердого тела, составляющие содержание теоремы о телесном угле.

Пусть ось г твердого тела совершает коническое движение, при котором одна из точек оси неподвижна, а какая-либо другая ее точка описывает на некоторой невращающейся сфере Б с центром в первой точке какую-либо замкнутую сферическую кривую. Обозначим через Р площадь области на сфере, ограниченную этой кривой. А. Ю. Ишлинским было доказано, что при возвращении оси г в исходное положение г0 твердое тело вместе со связанной с ним системой координат xyz в исходное положение ХцУо^о не возвращается, а приходит в некоторое новое положение л^у^, повернутое относительно системы координат хцу&о вокруг оси 2о (г) на угол х, связанный с точностью до знака с величиной площади ^ простым соотношением х = Р/ЕГ, в котором Я - радиус сферы 5.

Отношение, стоящее в правой части последнего равенства, является мерой телесного угла £2, под которым видна упомянутая сферическая область из центра сферы 5 или, что то же самое, мерой телесного угла конуса, описываемого осью х тела в своем движении. Отсюда следует, что имеет место формула

х-а (2)

определяющая поворот твердого тела вокруг его оси 2 в результате замкнутого углового движения этой оси. Эта формула является математической записью теоремы о телесном угле.

Теорема Гамильтона - Ишлинского о телесном угле и ее доказательство, предложенное А. Ю. Ишлинским, могут быть обобщены с помощью принципа перенесения Котельникова - Штуди на общий случай неголономного пространственного движения твердого тела.

Пусть твердое тело совершает такое пространственное движение относительно опорной системы координат С,, принимаемой за неподвижную, при котором дуальная ортогональная проекция С/г кинематического

винта и твердого тела на ось г связанной системы координат хуг во все время движения остается равной нулю:

Щг) = шг(Г) + = 0, = 0. (3)

Здесь со, и V. - проекции векторов угловой и и линейной V скоростей твердого тела на связанную с ним ось г.

Аналогично равенству (1) равенство (3) может рассматриваться как уравнение неголономной связи, наложенной на твердое тело, так как проекция иг кинематического винта твердого тела может быть выражена через дуальные утлы Эйлера - Крылова, характеризующие ориентацию и местоположение тела в системе координат ст]^, и их первые производные по времени. Наличие этой связи обусловливает важные геометрические свойства соответствующего пространственного движения твердого тела, аналогичные рассмотренным свойствам углового движения тела и составляющие содержание теоремы о дуальном телесном угле.

Пусть ось г твердого тела при его движении, удовлетворяющем условию (3), описывает в пространстве линейчатую замкнутую поверхность. Тогда при совмещении оси г с прямой, на которой лежала эта ось в ее исходном положении, твердое тело вместе со связанной с ним системой координат хуг в исходное положение хоДОо не возвращается, а приходит в некоторое новое положение Х\у\2ь повернутое относительно системы координат Хцуого вокруг оси г0 (г, г{) на дуальный угол X, определяемый соотношением

Х = Х + лх° = 7,= П + 5П0, *2 = 0, (4)

являющимся дуальным аналогом соотношения (2).

В этом равенстве х - обычный, ранее введенный угол поворота тела вокруг связанной оси г, а х° - алгебраическая величина поступательного перемещения тела вдоль этой оси; Т— дуальный телесный угол «раздвинутого» конуса, описываемого осью г тела в своем движении (дуальный телесный угол линейчатой замкнутой поверхности, описываемой осью г тела); О как и прежде - обычный телесный угол.

Таким образом, отсутствие проекции кинематического винта твердого тела на какую-либо связанную с ним ось еще не гарантирует отсутствия конечного перемещения тела относительно этой оси после ее совмещения с прямой, на которой лежала эта ось.

Формула (4) является математической записью теоремы о дуальном телесном угле. Доказательство равенства (4) полностью аналогично доказательству А. Ю. Ишлинского равенства (2). Запишем основные уравнения, описывающие геометрические свойства пространственного движения твердого тела при наличии неголономной связи (3).

Обозначим через Ч' = \(/ + .уу0 и Ф = ср + зер0 дуальные углы, характеризующие местоположение оси г твердого тела в системе координат дг|£. Эти углы являются дуальными аналогами обычных углов у, <р, характеризующих ориентацию оси г в системе координат £;г|ц. Введем далее вспомогательную подвижную систему координат епг, местоположение которой в

системе координат çt]Ç характеризуется дуальными углами 'F и Ф. Введем также дуальный угол 0=9+ .?9° между осями е и х или равный ему дуальный угол между осями п и у (т.е. дуальный угол собственного вращения твердого тела вокруг оси z). Этот угол является дуальным аналогом угла 9, характеризующего поворот тела вокруг оси г относительно системы координат enz.

Кинематический винт U описывает мгновенное винтовое движение твердого тела по отношению к неподвижной системе координат Дуальная ортогональная проекция Uz кинематического винта U на ось z связанной системы координат xyz представляется выражением U2 = d&ldt + + sin® cFVIdt. В рассматриваемом случае движения твердого тела, когда выполняется условие (3), из последнего выражения следует равенство dfèidt + sini> d^V/dt = 0, являющееся аналитическим представлением (уравнением) неголономной связи, наложенной на пространственное движение твердого тела. Из этого равенства, в свою очередь, следует дуальное дифференциальное соотношение: d®= - sin<l> cW.

Дуальный угол, на который повернется относительно вспомог ательной подвижной системы координат enz система координат xyz, связанная с твердым телом, при перемещении оси z из одного положения в другое, определяется в соответст вии с последним соотношением формулой

©,-00= [ sinO<W, (5)

Ч-о.Фо

где ©о и 0| - начальное и конечное значения дуального угла 0 между осями eux; 4Jo, Ф0 и 4V Ф] — соответственно начальные и конечные значения дуальных углов 4P и Ф (дуальных полярных координат совместного начала систем xyz и enz).

Правая часть формулы (5) представляет собой криволинейный интеграл в плоскости ('-F, Ф) дуальных переменных ¥иФ.

Пусть ось z твердого тела при его движении, удовлетворяющему условию (3), описывает в пространстве линейчатую замкнутую поверхность (совмещается в своем конечном положении с прямой, на которой лежала эта ось в своем начальном положении). Тогда, вводя для этого случая обозначение X = 0] — ©о, получим, используя принцип перенесения Котелыш-кова - Штуди, дуальные аналоги формул А. Ю. Ишлинского: X = -çf эшФ dV = ij cos® = 1

Выделяя в этих формулах главные и моментные части, получаем формулы А. Ю. Ишлинского (6) для угла характеризующего изменение ориентации твердого тела в результате движения его оси z по линейчатой замкнутой поверхности, и формулы (7), (8) для величины х° поступательного перемещения твердого тела вдоль его оси г:

X — - j sincp cN? = Я coscp dip d\\t = Q, (6)

=—j cp° cos<p d\|/ + sincp dv/\ (7)

= - Я Ф° sin(p d\\i скр + cosip (сЛ|/ + dtp ей/1) = £2". (8)

Таким образом, нахождение поступательного перемещения твердого тела вдоль связанной оси г в результате ее движения по линейчатой замкнутой поверхности сводится к вычислению криволинейного интеграла второго рода (7) или поверхностного интеграла (8). Отметим, что формула (8) может быть также получена из формулы (7) с помощью формул Стокса и Грина.

Среди важных приложений теоремы о дуальном телесном угле и полученных формул отметим задачи пространственной инерциальной навигации, а также задачи механики пространственных механизмов и роботов-манипуляторов, в особенности механизмов с винтовыми кинематическими парами, в которых непосредственно реализуются повороты на дуальные углы. В этих задачах полученные формулы могут быть использованы для оценки поступательных перемещений движущихся объектов и выходных звеньев механизмов и манипуляторов в случаях, когда они совершают описанные неголономные пространственные движения.

Другим важным примером являются задачи навигации и управления движением, в которых информация о кажущемся ускорении и кажущейся скорости движущегося объекта используется как для целей навигации, так и управления движением.

УДК 593.3

В. П. Черненко, Н. С. Анофрикова

УРАВНЕНИЕ НОГРАНСЛОЯ ДЛЯ ВЯЗКОУ1ТРУ1 ОГО СТЕРЖНЯ В ОКРЕСТНОСТИ ФРОНТА ВОЛНЫ С ДЛИТЕЛЬНОЙ СКОРОСТЬЮ

Рассмотрим тонкий вязкоупругий полубесконечный стержень цилиндрической формы. Пусть стержень подвергается ударному торцевому воздействию. Краевая задача, описывающая данный тип воздействия, имеет вид [1]

да(х,е) д2и(х,1) _

ох

du(x,t) _ 1 дх Е

с граничным условием

и начальными условиями

дг

^О,

а(.т,г) + \K(t- t. )a(.v,f„) dl,

о

a(0,f ) = /#(/)

(1)

(2)