О метрической геометрии эллиптической плоскости и линейчатого пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.185:519

О МЕТРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ И ЛИНЕЙЧАТОГО ПРОСТРАНСТВА

К. Л. Панчук, В. Я. Волков

Аннотация. Представлены и обоснованы результаты исследования по установлению соответствия между метрической геометрией эллиптической плоскости и линейчатого пространства. Рассмотрены примеры проявления этого соответствия. Отмечены его теоретическая и практическая полезность.

Ключевые слова: эллиптическая плоскость, линейчатое пространство, метрика.

Введение. В работе рассматривается соответствие метрической геометрии эллиптической плоскости и линейчатого пространства R3(l), представляемого как многообразие прямых расширенного трехмерного евклидова пространства R3+. В высшей геометрии исследования пространства R3(l) выполняются на принципах перенесения [1], основанных на отображениях пространства R3(l) на квадрику

Плюккера 04 ^ р или на единичную сферу

§2(ш) в дуальном трехмерном евклидовом пространстве Р3(Ш). Последний случай соответствует принципу перенесения Котельникова-Штуди [2, 3, 4, 5]. Этот принцип допускает развитие, в результате которого появляется возможность конструктивно-метрического моделирования пространства Р3(1) на эллиптических плоскостях - комплексной и дуальной [6]. В настоящей работе в направлении дальнейшего исследования указанных плоскостных моделей рассматривается метрический аспект моделирования - соответствие метрических геометрий комплексной эллиптической плоскости и пространства R3(l).

Соответствие метрических геометрий

В высшей геометрии известно, что связка прямых и плоскостей Т2, концентричная с ней сфера 32 с отождествленными диаметрально

п 3

противоположными точками, плоскость R2 , касательная к сфере - это гомеоморфно соответственные модели комплексной эллиптической плоскости в пространстве R3+, допускающей интерпретацию метризованной проективной плоскости [3,7]. Последнее означает, что как расстояние между двумя точками, так и угол между двумя прямыми этой плоскости могут быть формульно выражены в евклидовой координатной и в проективной форме [3,7]. Изотропный конус К2 связки индуцирует на плоскости R2S эллиптическую метрику,

2 2

определяемую абсолютом kR = К пЩ> ,

представляющим собой нераспадающуюся

22

мнимую конику. Линия kcc = К пДю, где До -несобственная плоскость пространства R3+, является, как известно, абсолютом этого пространства. Все множество изотропных прямых пространства R3+, проходящих через точки

абсолюта ко2, образует специальный квадратичный комплекс Км , конусом которого является изотропный конус К2. Поскольку абсолют

ко2 представляет собой образ абсолюта кр2 и

22 комплекса Км на плоскости До, то Км естественно принять в качестве абсолюта пространства R3(l). Соответствие абсолютов кр2 и

Км2 по абсолюту кх2 приводит к соответствию метрических структур плоскости Р2 и пространства Р3(1): М(Я%) -о-М(Я3(1)). Между пространством Р3(1) и дуальной плоскостью

с

р2(®) касательной к единичной дуальной

сфере 32(Ш), существует гомеоморфное соответствие, которое позволяет продолжить указанное соответствие метрических структур до

е

плоскости р2(®)

М(4) о М(Я3(1)) о М(я2(а)), (1)

абсолютом которой является дуальный образ

2 2 kR(ф) абсолюта Км [8]. В этом соответствии

расстоянию Ь<(ж/2)г между двумя точками У(ук) и Z(zk) эллиптической плоскости р/, выраженному взаимосвязанными формулами:

^ Еу^\. 5 1, т,

соэ— =]-----2—’ _ = — 1п(1^1112),

г г 2 г И

3

где г - радиус кривизны плоскости Р2 ; 11, 12 -точки пересечения прямой УZ с абсолютом

кР2, - этому расстоянию соответствует дуаль- где Ф = ^0 + т^х; к = 1,2,3; ш2=0, а(Ак), Ь(Вк),

ное расстояние А = 5«+ю5л двух точек у(Ук) ■ ■

к 0 1 у к 1, 12 - соответственно пара дуальных веще-

ственных и пара дуальных изотропных прямых, которым в пространстве Р3(1) соответствуют пара вещественных и пара изотропных щеток первого порядка в составе щетки вто-

и z(Zk) в дуальной плоскости р>(®), определяемое соответствующими взаимосвязанными дуальными формулами:

’А = Е YkZk;А = -11пЛ = -

2/ 2/

cos A

где cos A = cos 50 - со51 sin 50 ;

ln Я= ln Яд +ю(Яі/Яд) ; к -множитель Клиффорда;

1,2,3; ш -0, ш -

Yk = yok+mk;

Zk = 20к +а21к;'ч, 2 - дуальные изотропные

точки пересечения линий у2 о кщт). Вещественной интерпретацией дуальных точек у и z и их дуального расстояния в плоскости

С

^2(®) является в пространстве Р3(1) пара

скрещивающихся направленных прямых с

комплексным углом А = ^о +ю51, где 50 и 5ч

- кратчайшее расстояние и угол между ними. Из соответствия метрических структур (1) следует, что полярности точки А(ак) в плоскости Р/ относительно абсолюта кР , приводящей к уравнению прямой £акхк=0 - поляры этой точки, соответствует в плоскости

2(т)

сительно абсолюта к^(т), приводящей к

уравнению дуальной прямой £АкХк=0, вещественной интерпретацией которой в пространстве Р3(1) является щетка - линейчатая “поляра” прямой, представляющей собой вещественный образ точки а(Ак), относительно абсолюта Км2. Из полярности относительно абсолюта кР2 плоскости Р/, приводящей к евклидовым координатным и проективным формульным выражениям угла между двумя прямыми а(ак) и Ь(Ьк):

О

рого порядка. Последней в плоскости р2(®)

соответствует дуальный образ - пучок дуальных прямых, которому принадлежат прямые а(Ак), Ь(Вк), 1Ь '2. Группа преобразований метрической геометрии плоскости Р/ представляет собой группу автоморфизмов относительно ее абсолюта кР2, которые определяются преобразованиями сферы 52 с неподвижным центром О, касательной к Р/. Такими преобразованиями сферы являются вращения ее относительно центра О и отражения ее относительно диаметральной плоскости. Преобразования сферы индуцируют соответствующие преобразования плоскости Р/, формульное представление которых имеет вид:

рх = Е а/кхк; Ы * 0; Еа2 =1; к /

Е akiakj =0,

(2)

k

где /', ],к=1,2,3; Щ; р- 0 . Поскольку координаты вещественных точек плоскости Р/ удовле-

^2(т)полярность дуальной точки а(Ак) отно- творяют условию Е х2 = г2 , где г - радиус

2

кривизны сферы S2 и плоскости R2S, то из это-

го

следует тождество Е x =Е

следствие -

2

инвариантность

S

xi и как

абсолюта

cosp =

|Е akbk| ;

1

; p = — ln(abiii2),

где 1, 12 - изотропные прямые, проходящие через точку аПЬ, - из этой полярности, на основании соответствия (1), следует полярность

относительно абсолюта к

R(m)

плоскости

с

R2(№), приводящей к соответствующим формулам дуального угла двух дуальных прямых YAkXk-0 и Y.BXk-0, а именно:

cos ф = Е AkBk;ф = 2 in(abiii2),

Ех2 = 0 плоскости Р/ относительно преобразований (2). Простое вращение сферы 52 относительно ее центра О есть вращение относительно прямой, проходящей через центр. Пусть этой прямой соответствует точка 0Р(0,0,г) в плоскости Р/. Из неподвижности центра 0Р и инвариантности (неподвижности) абсолюта кР2 относительно преобразований (2) следует неподвижность поляры х3=0 центра 0Р в полярности относительно кР . Учитывая это, а также ограничения для коэффициентов в уравнениях (2), можно получить в матричном виде уравнения преобразований движения и отражения относительно прямой в плоскости Р2г'

рХ = I\а1к\Х; |а/к| = 1; РХ = \Ь1к\Х; |Ь/к| = -1.

При этом отражение относительно прямой рассматривается как полученное в результате непрерывного движения - вращения относительно центра - полюса этой прямой [7]. Из

2

r

уравнений (2) преобразований и ограничений на их коэффициенты следует, что автоморфизмы плоскости Р/ относительно ее абсолюта образуют трехпараметрическую группу. Из соответствия метрических структур (1) следует соответствие между группой автоморфизмов (2) плоскости Р2 и группой автоморфизмов дуальной эллиптической плоско-

с 2

сти Я'2(ф) относительно ее абсолюта кща)

с вещественной интерпретацией последней в линейчатом пространстве Р3(1). Группа дуальных вращений единичной дуальной сферы Э2(Ш) относительно ее центра описывается уравнениями:

X =Е А1кхк; Ы * 0; Е (X)2 = ЕX/ - (3)

к

где ', к =1,2,3 и девять дуальных коэффициентов удовлетворяют шести дуальным уравнениям

Е АкАу = (1 при к=], 0 при к^). (4)

Преобразования (3) сферы Э2(Ш) приводят к соответствующим преобразованиям плоско-

с

сти ^2(«) :

РХ =Е А/кХк , (5)

к

где р^0 - дуальный коэффициент. Эти преобразования образуют группу автоморфизмов

относительно абсолюта кща). Автоморфизмам (5), а следовательно и (3), в пространстве Р3(1) соответствует шестипараметрическая группа винтовых движений, оставляющих неизменным абсолют Км2 этого пространства. Действительно. Неподвижной оси V винтового движения соответствует ее точка на несобственной плоскости Ада пространства Р3+. Поляра vx точки Ух относительно абсолюта кда2 есть множество несобственных точек прямых щетки с осью V. В винтовом движении с осью V прямые линии щетки перемещаются внутри щетки, что приводит к перемещению поляр этих точек в пучке (Уда). Угловому перемещению поляр пучка, пересекающих абсолют кда , соответствует внутреннее перемещение точек абсолюта. Следовательно, винтовому движению с осью V соответствует вращение в плоскости Ах, инвариантными фигурами которого являются: абсолют кда2, центр вращения Ух и поляра vx> центра. Инвариантности абсолюта кх относительно вращения в плоскости Ах

взаимно однозначно соответствует инвариантность абсолюта KM2 пространства R3(l) относительно винтового движения, поскольку коника kj, будучи направляющей линией специального квадратичного комплекса изотропных прямых KM2, полностью его определяет. Дуальная эллиптическая плоскость

S s

R20) 1 как и плоскость R2 , допускает интерпретацию дуальной проективной плоскости [8]. В этой связи гомеоморфизм

S

Яз(!) о R20) и соответствия метрических

структур (1) позволяют утверждать о существовании конструктивно-метрического соответствия (КМС) между плоскостью R2s, пространством R3(l) и плоскостью R20) ■ КМС

позволяет рассматривать каждую из этих плоскостей как определенную модель пространства R3(l). Рассмотрим проявления КМС моделей на полярном соответствии относительно мнимого абсолюта kR2 в плоскости R2S. На рисунке 1 треугольник M0 N0 E0 является автополярным, при этом расстояние между любой вершиной и любой точкой противоположной стороны равно (ж/2)г и сами точки называются ортогональными. Такими являются точки М0 и N0. Для ортогональных точек характерно (M0 N0 I1 I2)= -1. На рисунке 2 приведено изображение соответствующего полярного соответствия в плоскости R20) относительно ее мнимого дуального абсолюта kR(o) - При этом то(Ш), п0(и», е0(и»,

i1(w), i2(u>) - дуальные точки, являющиеся образами прямых пространства R3(l), причем т0(Ш), п0(Ш), е0(Ш) -образы осей соответствующих щеток. Образами этих прямых на плоскости R2S 111 являются точки. m (Ш), n (Ш), e (Ш) - дуальные

прямые, каждая из которых является образом множества да2 прямых линий щетки первого порядка в R3(l) и каждой из которых в плоскости R2s соответствует прямая. Из КМС моделей следует, что образом щетки без ее оси, как множества да2 прямых, ортогонально пересекающих ось щетки, на каждой из плоско-

SS

стей R2 и R20) является прямая. Образом щетки с включенной в нее осью на каждой из

SS

плоскостей R2 и R20) является пара полярно

соответственных элементов: точка - полюс и прямая - поляра в абсолютной полярности.

Рис.1 Полярное соответствие

S

в плоскости R2

Рис. 3 Линейчатый автополярный треугольник

m0n0l0 в R3(l)

т0(т )

Рис. 5. Ортогональная проекция n прямой n на щетке me(m1)

На рисунке 3 представлена конструктивная интерпретация автополярного линейчатого треугольника, образами которого на плоскости R2s является треугольник M0 N0 E0, на плоско-

С

сти R20) - дуальный треугольник т0(Ш) п0(Ш)

О

е0(Ш). При этом соответствие образов на R20)

и прообразов в R3(l) имеет следующий вид:

1 11 том о т0(т ), п0{Ш) о n0(n ); е0М о e0(e );

т^о т\ п1(Ш)0 n1, е1(Ш)0 е1, где т0(т1),

n0(n1), e0(e1) - оси соответствующих щеток m1,

п1, е1 первого порядка. Тонированная точка на

изображении линейчатой интерпретации

означает ортогональность пересекающихся в

ней прямых. Рассмотрим КМС ортогональных

Рис. 2. Полярное соответствие

uS

в плоскости R2(®)

Рис. 4 Ортогональная проекция N точки N на прямой m

проекций на моделях пространства R3(l). Пусть на рисунке 4 заданы в плоскости R2S точка N и прямая m. Требуется определить основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Для этого вначале определим полюс М0 заданной прямой m, затем проведем прямую e(N,M0) и определим точку rf-eHm, которая и будет решением. Действительно. Прямая e по построению ортогональна прямой m, значит точка Nee ортогональна точке N/-eHm. Mинуя образное представление

С

в плоскости R^(m) полученной конструкции в

плоскости R2 , выполним, как показано на рисунке б, ее линейчатую интерпретацию в пространстве R3(l). Полученная линейчатая конструкция и ее прообраз в плоскости R2S имеют следующее соответствие элементов: Non, mom1, M0om0, eoe1, E0oe0, N/on/. При этом Пі e0(ei), rfl m0(mi). Рассмотрим свойство срединных перпендикуляров треугольника в плоскости R2S и определим аналог этого свойства в пространстве R3(l) посредством плоско-

SS

сти R-2(a). На рисунке 6 в плоскости R2

определены три различные точки X,Y,Z такие, что ни одна из них не ортогональна двум другим. ^к известно, три точки эллиптической

Рис. 6. Треугольник ХУ2 в плоскости И2Б

плоскости определяют четыре треугольника с вершинами в этих точках [7]. Введя дополнительное условие, например, длина каждой стороны меньше (ж/2)г, получаем один треугольник ХУ2. В треугольнике эллиптической плоскости срединные перпендикуляры, проходящие через стороны треугольника, пересекаются в одной точке [7]. На рисунке 7 изоб-

о

ражен выполненный в плоскости R^(ф■) дуальный образ рассматриваемой конструкции в плоскости я/ на основании КМС рассматри-

о С

ваемых моделей Я2 и R^(m) пространства

Я3(1). Следующим шагом выполним линейчатую интерпретацию в пространстве Я3(1), представленную на рисунке 8, полученной

о

дуальной конструкции в плоскости R^(m).

Рис. 7. Треугольник x^y^jz^) dS

в плоскости Л20)

На изображении линейчатой интерпретации тонированная точка означает попарную ортогональность пересекающихся в ней прямых пространства. Для пространства R3(l) имеет место следующее предложение: срединные щетки n01(n11), п02(п21), n03(n31), проходящие через срединные прямые m1, m2, m3 щеток - сторон 111 a0(axz), b0(bxy), c0(cyz) дуального треугольника

xyz, имеют общую прямую n. Установленное

о

для эллиптической плоскости R2 понятие конгруэнтности [9], может быть на основе КМС перенесено в дуальную эллиптическую плоскость

Рис. 8. Линейчатый треугольник xyz в пространстве Из(1)

О

R20) с последующей интерпретацией в

линейчатом пространстве R3(l). Отрезку прямой и углу двух прямых в плоскости R2 соответствуют в пространстве R3(l) понятия линейчатого отрезка и линейчатого угла [10]. Под линейчатым отрезком понимается отсек щетки первого порядка, ограниченный пучками ее прямых, с выделенными двумя прямыми по одной в каждом граничном пучке. Следовательно, линейчатый отрезок определяется двумя прямыми линиями щетки и ее осью. Под линейчатым углом понимается пространственная фигура, образованная полуотсеками двух щеток с обшей прямой, принадлежащей граничным пучкам полуотсеков. Таким образом, линейчатый угол определяется осями двух щеток и их общей прямой. Очевидно, он является двойственной фигурой по отношению к линейчатому отрезку, что следует из двойственности прямой линии и щетки в пространстве R3(l), которой соответствует двойственность точки и прямой в эллиптической плоскости [6,7] - двойственность как в отношении конструктивной принадлежности, так и в отношении эллиптического мероопределения, когда из формулы расстояния следует формула угла. КМС позволяет ввести понятие конгруэнтности для линейчатых отрезков и линейчатых углов во множестве собственных прямых пространства R3(l). Так, два линейчатых отрезка считаются конгруэнтными, если существует движение в пространстве R3(l), в результате которого происходит наложение этих отрезков, при этом выделенные граничные прямые линии одного линейчатого отрезка налагаются соответственно на выделенные граничные прямые другого [10]. Аналогичным образом определяется конгруэнтность линейчатых углов.

Заключение. На основании вышеизложенного можно сделать вывод о том, что конструктивно-метрическое соответствие линейчатого пространства и его моделей - комплексной и дуальной эллиптических плоскостей, приводит к соответствию метрических геометрий пространства и его моделей. Это позволяет выполнять решения различных теоретических и прикладных задач метрической геометрии линейчатого пространства на его эллиптических плоскостных моделях [6, 8,11,12]. В соответствии метрических геометрий трехпараметрической группе движений комплексной эллиптической плоскости соответствует трех дуальнопараметрическая группа движений дуальной эллиптической плоскости и шестипараметрическая группа движений линейчатого пространства. Поскольку связная группа движений первого рода евклидова трехмерного пространства шестипараметрич-на, то можно сделать вывод о существовании изоморфизма между группами движений линейчатого пространства, дуальной эллиптической плоскости и евклидова пространства.

Библиографический список

1. Клейн, Ф. Высшая геометрия / Ф. Клейн. - М.; Л.: ОНТИ, 1939. - 400с.

2. Диментберг, Ф. М. Теория винтов и её приложения / Ф. М. Диментберг. - М.: Наука, 1978. - 328 с.

3. Розенфельд, Б. А. Неевклидовы геометрии / Б. А. Розенфельд. - М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1955. - 744 с.

4. Норден, А. П. О некоторых возможных направлениях развития линейчатой геометрии / А. П. Норден // Ученые записки Казанского ун-та, 1963. - Вып. 123, кн. 1. - С. 145-151.

5. Pottmann, H. Computational Line Geometry / H. Pottmann, J. Wallner. - Berlin: Springer Verlag, Heidelberg, 2001. -565p.

6. Панчук, К. Л. Конструктивно-метрическое моделирование линейчатого пространства / К. Л. Пан-чук, В. Я. Волков // Вестник КузГТУ. - 2007. - №6. -С. 55-58.

7. Клейн, Ф. Неевклидова геометрия / Ф. Клейн. - М.; Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. - 355 с.

8. Панчук, К. Л. Моделирование линейчатого пространства дуальной эллиптической плоскостью / К. Л. Панчук, В. Я. Волков // Вестник СибГАУ им

акад. М.Ф. Решетнева. - Красноярск, 2007. - Вып. 4(17). - С. 54-56.

9. Ефимов, Н. В. Высшая геометрия / Н. В. Ефимов. - М.: Наука, 1971. - 576 с.

10. Панчук, К. Л. Геометрическое моделирование линейчатого метрического пространства в инженерной геометрии и ее приложениях: автореф. дис. ... д-ра техн. наук: 05.01.01/ К. Л. Панчук. -Омск: ОмГТУ, 2009. - 40с. - Библиогр.: с. 39-40.

11. Панчук, К. Л. Линейчатые модели эллиптической прямой / К. Л. Панчук, В. Я. Волков // Вестник КузГТУ. -2007. - №6. - С. 52-54.

12. Панчук, К.Л. Уравнение Эйлера-Савари для эллиптической плоскости и его интерпретация в линейчатом пространстве / К. Л. Панчук // Омский научный вестник. - 2008. - №1(64). - С. 31-34.

ABOUT METRIC GEOMETRY OF AN ELLIPTIC PLANE AND LINE SPACE

K. L. Panchuk, V.Y. Volkov

Results of research on a conformity establishment between metric geometry of an elliptic plane and line spaces are presented and proved. Examples of display of this conformity are considered.

Are noted its theoretical and practical utility.

Панчук Константин Леонидович, доктор технических наук, доцент, профессор кафедры ”Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика” Омского государственного технического университета. Основное направление научных исследований: геометрическое моделирование линейчатого метрического пространства и его технические приложения. Имеет около 100 опубликованных научных статей, учебных пособий, авторских свидетельств.

E-mail: [email protected].

Волков Владимир Яковлевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой "Начертательная геометрия, инженерная и машинная графика" Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. Основное направление научных исследований: многомерная исчислительная геометрия. Имеет более 200 опубликованных монографий, учебников, учебных пособий, научных статей, патентов, авторских свидетельств. E-mail: [email protected].