Моделирование линейчатого 33 пространства соответствием метрических структур Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

К. Л. ПАНЧУК В. Я. ВОЛКОВ

Омский государственный технический университет Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия, г. Омск

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙЧАТОГО ПРОСТРАНСТВА СООТВЕТСТВИЕМ МЕТРИЧЕСКИХ СТРУКТУР

Рассмотрены эллиптические плоскостные модели линейчатого метрического пространства. Построение моделей выполнено на основе отображения Котельникова-Штуди и установления соответствия метрических структур линейчатого пространства и его моделей. Полученные плоскостные модели обладают новизной и позволяют свести геометрическое оперирование объектами линейчатого пространства к оперированию их образами на плоскости.

Ключевые слова: линейчатое метрическое пространство, геометрическая модель, эллиптическая плоскость.

Под линейчатым пространством в работе понимается четырехпараметрическое многообразие прямых линий точечно-векторного евклидова пространства Я3. В высшей геометрии известно отображение Котельникова-Штуди, которое позволяет переносить геометрию связки прямых и плоскостей пространства Я3 на линейчатое пространство (принцип перенесения Котельникова [1, 2)) и выполнять изоморфное моделирование линейчатого пространства дуальной единичной сферой (сфера Штуди [3,4,15]). В направлении развития этого отображения в работе предложено конструктивно-аналитическое моделирование линейчатого пространства на основе установления соответствия метрических структур пространства и его моделей. Рассмотрим эти модели.

Модель М,. Пусть М, — множество точек эллиптической плоскости, М2 — множество троек веще-

ственных чисел х,, х2, х3, удовлетворяющих уравнению 1х,2 = г2. Тройка чисел представляет собой однородные проективные координаты точки в плоскости М, и декартовы координаты соответствующей точки на сфере с отождествленными диаметрально противоположными точками, представляющей собой модель М3 эллиптической плоскости. Плоскость М, и сфера М3, касающаяся М,, имеют один и тот же радиус кривизны г, который может быть равен 1. Между рассматриваемыми множествами существует гомеоморфное соответствие М,<->М2<-»М3. Каждая из моделей М, и М3 может быть интерпретирована как метризованная проективная плоскость [5], то есть метрическая структура - закон, определяющий расстояние между двумя точками пространства, имеет для этих моделей взаимно соответственные координатное и проективное представления. В этой связи,

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ «ЕСТНИК №2 (»0). 200» ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

ИНЖЕНЕРНАЯ геОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК N>2 (80). 2009

если М — метрическая структура пространства, определяемая его абсолютом, то М(М,) - метрическая структура эллиптической плоскости с абсолютом ~к2 = ~Кг п М,, где ‘К2 - изотропный конус сферической модели М3; М(М3) — метрическая структура сферической модели М3 с абсолютом ~к2 = ~К2 п М3. Очевидно изоморфное соответствие метрических структур М(М,)<->М(М3). Пусть М4 — множество троек дуальных чисел X,, Х2, Х3, где X, = хш + \^хп, ы2 = 0, удовлетворяющих уравнению ЕХ2 = 1. Тройка вещественных чисел х01, х02, х03, Ех02 = 1, представляющих собой главные части тройки дуальных чисел, есть координаты точки сферической модели М3. Пусть также М5 — множество линейчатых интерпретаций - прообразов в линейчатом пространстве, гомеоморфных дуальным образам на сфере Штуди. В таком случае имеет место последовательность соответствий

М| М2<-> М3

I I

М4 <-> М5,

приводящая к гомоморфному соответствию М,<-»МУ Если М(М5) — метрическая структура линейчатого пространства с абсолютом ~К2М, представляющим собой специальный квадратичный комплекс изотропных прямых с несобственной мнимой направляющей коникой '/с2 - абсолютом расширенного пространства [6], то имеет место изоморфное соответствие

метрических структур:

М(М,)<->М(М3)

\ /

М(М5),

в котором абсолюты ~к2, ~к2 , 'К2, соответствуют друг другу конструктивно по абсолюту " к 2. Гомоморфное соответствие эллиптической плоскости М, и линейчатого пространства М5 представляет собой кон-структивно-геометрическую составляющую общего соответствия множеств М, и М5. Другая его составляющая — метрическая, определена изоморфным соответствием метрических структур М(М,)<-»М(М5) этих множеств. Наличие указанных составляющих приводит к следующим основным свойствам общего соответствия множеств М, и М5 (6,7, 8, 9]:

1. Точке, прямой линии, конике в эллиптической плоскости отвечают в линейчатом пространстве соответственно прямая, алгебраический коноид третьего порядка (АК) и щетка, линейчатая квадрика и конгруэнция Кг(2,2).

2. Проективному соответствию множества точек прямой линии эллиптической плоскости отвечает проективное соответствие множества прямых линий коноида АК и щетки в линейчатом пространстве. Принципу двойственности в эллиптической плоскости соответствует принцип двойственности в линейчатом пространстве. Прямая линия и щетка, также как прямая линия и АК - двойственные объекты этого пространства.

3. Расстоянию 5 двух точек Х(х|,х7,х3) и У(у|,у2,у3) эллиптической плоскости, определяемому формулой сое(8 / г) = |Ех,у,| / г2, где Ех,2 = Еу2 = г2 есть условие нормировки координат, соответствует в линейчатом пространстве комплексный (дуальный) угол Я = фц + окр,, со2 = 0, двух прямых х(Х|,Х2,Х3) и у(У|,У.2,У3), определяемый формулой собР = ЕХ/У/, где собЯ = соэф,, -(0(р,зшф0, со2=0; ф0 и ф, — угол и кратчайшее расстояние двух прямых; Е(Х|')2 = Е(У,')2 = 1 — условие

нормировки дуальных координат прямых.

Уравнению прямой Еа^ = 0 в эллиптической плоскости соответствует в линейчатом пространстве уравнение алгебраического коноида ЕА;Х((ф0) = 0 и уравнение щетки ЕА,Х,(Р) = 0.

4. Автоморфизмам эллиптической плоскости

рх/ = Ха,кхк- |а1к| * 0; р * 0; к = 1,2,3 к

относительно ее абсолюта ~к2, которые образуют дополнительными условиями = 1; £а(ка)к = 0; і, І = 1,2,3; і^трехпараметрическую группу движений, отвечает в линейчатом пространстве шестипараметрическая группа винтовых движений — автоморфизмов относигельно абсолюта ~К2М этого пространства:

Х/=ЕА,кХк; |А1к|*0; і,к =1,2,3; к

ХА?к= ч; ЕЛА.= °;і = 1.2,3,-і к к

где Хк и А|к - дуальные координаты и коэффициенты соответственно.

5. Дифференциальной геометрии кривой линии в эллиптической плоскости соответствует дифференциальная геометрия линейчатой поверхности и конгруэнции. При этом формуле кривизны и формулам Френе эллиптической кривой

-1=(х X)-—• І =

2 “* * I л * I .1 I

-■ дз р г Ис г*

(1$

гдеХ(х||хг,х]);Т(1|Д2Л3), Х(г,,г2,х3) — координаты вершин автополярного относительно абсолюта 'к2 треугольника эллиптической кривой с вершиной X на ней, в - длина дуги этой кривой, - этим формулам соответствуют в линейчатом пространстве формулы кривизны и Френе линейчатой поверхности [10], представляющие собой дуальные интерпретации вышеприведенных формул для кривой линии эллиптической плоскости при радиусе кривизны последней г = 1. При этом вершине X соответствует образующая х линейчатой поверхности (х), вершине г соответствует образующая линейчатой поверхности центральных нормалей поверхности (х) и вершине Т соответствует образующая линейчатой поверхности главных нормалей поверхности (х).

Свойство 5 рассматриваемого соответствия множеств М, и М5 служит основанием для решения прикладной задачи геометрического моделирования линейчатых зубчатых зацеплений в эллиптической плоскости [11].

Модель М,(са). Пусть М0 — множество пропорциональных шестерок чисел р1(; 1,] = 1,2,3,4; 1*], представляющих собой плюккеровы координаты прямой линии пространства /?3*, удовлетворяющие уравнению р41р23+р42р31+р43р12=0. Пусть также М7 - множество троек дуальных чисел — координат точки сферы Штуди, главные и моментные составляющие которых выражены плюккеровыми координатами, при этом М8оМ7. Введем обозначения: М3(со) - сферическая модель дуальной эллиптической плоскости, представляющая собой сферу Штуди с отождествленными диаметрально противоположными точками в евклидовом векторном дуальном пространстве ^(со); М,((о) — плоскостная модель дуальной эллиптической плоскости, полученная сферическим отображением модели М3(со) на касательную к ней дуальную плоскость, при этом декартовы дуальные координаты точки (Х,,Х2,Х3) модели М3(со) — они же однородные проективные дуальные координаты соответствующей в сферическом отображении точки (Х,:Х2:Х3)

модели М,(со). Имеет место последовательность взаимно однозначных соответствий множеств М5«М(«М,«М3((1))вМ|((1)), из которой следует соответствие М5«->М,(со), то есть линейчатое метрическое пространство М5 и дуальная эллиптическая плоскость М,(со) гомеоморфно соответственны.

Пусть М(М3(ю)) — метрическая структура модели М3(со), определяемая ее абсолютом “/с2 (со) = = ~К2 (со) пМ3 (со), где ‘К2(со) - дуальный изотропный конус сферической модели М3(й>), представляющий собой, в соответствии с отображением Котельникова-Штуди, дуальный образ изотропного конуса "К2 связки прямых и плоскостей пространства Я3. Пусть М(М,(со)) — метрическая структура плоскости М,(со), определяемая ее абсолютом '/с2(со)= ~К2(со)г\М|(со). Имеет место изоморфное соответствие метрических структур М(М5)<->М(М.,(со))<^М(М|(со)), из которого следует М(М5)<->М(М,(со)).

Как и в случае модели М,, общее соответствие дуальной эллиптической плоскости М, (со) и линейчатого пространства М5характеризуется наличием двух составляющих. Первая, конструктивно-геометрическая, представляет собой гомеоморфное соответствие М^оМДсо). Вторая составляющая — метрическая, отражает изоморфизм метрических структур М(М5)оМ(М,(со)). Исследование обеих составляющих общего соответствия позволило выявить его кон-структивно-геометрические и метрические свойства. Приведем основные из них.

1. Прямой линии пространства М5 соответствует дуальная точка в плоскости М, (со); комплексному углу (кратчайшее расстояние и угол) двух прямых соответствует дуальное расстояние двух точек в плоскости М, (со); коноиду АК соответствует прямая нить, то есть дуальное уравнение 2А(Х,(<р0) =0,1 = 1,2,3, в котором А, представляют собой одновременно дуальные координаты фиксированной прямой в М5 и точки в М,(со), а ф0есть вещественный параметр, - это уравнение одновременно описывает коноид АК и прямую нить; щетке в М5 соответствует прямая линия в М, (со), то есть дуальное уравнение 1А,Х,(Р) =0 с дуальным параметром И = <р0 + соср,, со2 = 0, одновременно описывает щетку и дуальную прямую линию. Существуют соответствия более сложных геометрических форм линейчатого пространства М5 и плоскости М,(со) [12].

2. Известное в неевклидовой геометрии представление эллиптической плоскости М, как метризованной проективной [5], конструктивно-метрическое соответствие этой плоскости и линейчатого пространства (модель М,) и представление плоскости М,(со) как дуальной метризованной проективной плоскости [12], — эти обстоятельства позволяют на основе отображения Котельникова-Штуди перенести в «дуальной» интерпретации систему аксиом плоскости М,, состоящей из групп аксиом связи, порядка, непрерывности и конгруэнтности, на плоскость М,(со), а затем в «линейчатой» интерпретации — на пространство М5 [12]. На основе моделирования в плоскости М, (со) введены следующие операции и понятия в линейчатом пространстве [13]: проецирование, сечение, разделенность двух пар прямых линий в щетке и класс ее прямых, линейчатые отрезок и угол, конгруэнтность линейчатых отрезков и конгруэнтность линейчатых углов, упорядоченность и непрерывность расположения прямых линий щетки. Это позволяет построить проективную геометрию линейчатого метрического пространства. В нем имеет место теорема Дезарга [13]: если три щетки, содержащие соответственные «вершины»- прямые ли-

нии двух линеичатых треугольников, проходят через одну прямую, то три прямые линии пересечения соответственных «сторон» — щеток этих линейчатых треугольников, принадлежат одной и той же щетке. Если прямую линию и щетку принять в качестве основных объектов многообразия прямых М5 с его метрической структурой и аксиомами связи, порядка, непрерывности и конгруэнтности, то это многообразие может быть рассмотрено как метризованное проективное линейчатое пространство, гомеоморфной моделью которого служит дуальная метризованная проективная плоскость.

Определение проективного соответствия двух дуальных прямых линий в плоскости М, (со) приводит к проективному соответствию двух щеток первого порядка в линейчатом пространстве, которое выражается дуальной дробно-линейной функцией

МХ + N

X =-------, где X и X — дуальные декартовы коор-

КХ 4- ь

динаты соответственных прямых проективных щеток; М,Ы,К,Ь — дуальные коэффициенты, определяемые заданием тройки пар соответственных прямых этих щеток. На основании выполнения в линейчатом пространстве операций проецирования, сечения и теоремы о перспективности двух щеток первого порядка, в нем разработан алгоритм конструктивного определения соответственных прямых двух проективных щеток [13]. Установление в плоскости М,(со) проективного соответствия двух линейных пучков первого порядка прямых линий приводит к проективному соответствию в линейчатом пространстве двух щеток второго порядка и, как следствие, к проективному образованию конгруэнции второго порядка прямых линий, которой в плоскости М, (со) соответствует дуальная линейная коника. Исследование конструктивных свойств этой коники позволяет выявить соответствующие свойства у названной конгруэнции, а именно: произвольная щетка первого порядка не может иметь с конгруэнцией второго порядка более двух общих прямых; такая конгруэнция полностью определяется любыми своими пятью прямыми; через каждую прямую линию в конгруэнции проходит единственная щетка второго порядка, касательная к конгруэнции. Если в дуальном усло-

,, АЯ+В

вии проективного соответствия Х = р Двух линейных пучков первого порядка прямых линий ф' + А.ц/' = 0 и г)1 + Х'т1 = 0 в плоскости М,(со) принять вещественность чисел АД',А,В,С,0, то получим проективное образование нити второго порядка в составе дуальной линейной коники. Нити соответствует в пространстве М5 линейчатая поверхность шестого порядка в составе конгруэнции прямых линий второго порядка.

3. Автоморфизмам сферы Штуди (модели М3(со)

дуальной эллиптической плоскости) Х|'=ХА,кХк; |А|к| * 0; 1,к = 1,2,3 относительно ее абсолюта "/с*(со)),

Образующим УСЛОВИЯМИ ХА?к= ^ =

к к

] = 1,2,3; 19^ шестипараметрическую группу дуальных вращений, взаимно однозначно соответствуют автоморфизмы на модели М,(со) дуальной эллиптической плоскости относительно ее абсолюта "к,2 (со) образующие при тех же условиях группу метрических коллинеаций — проективных вращений этой

плоскости, а именно: РХ|'=ХА|кХк, Р*0, Р = р0 + сор,,

со2 = 0. Действительно, из инвариантности Е(Х')2 = = ЕХ 2 = 0 абсолюта "А3 (со) модели М.,(со) относитель-

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК »1 («О). 2009 ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

но группы ее дуальных вращений и представления декартовых дуальных координат образа (X,') и прообраза (Хк) на модели М3(а>) в виде дуальных однородных проективных координат образа (Х,':Х2':Х3') и прообраза (Х,:Х2:Х3) на модели М,(<о) следует инвариантность ее абсолюта '/с,2 (со) относительно группы метрических коллинеаций.

Из вышеизложенного следует, что автоморфизмам, образующим группы движений дуальной эллиптической плоскости на ее моделях М3(о>) и М, (со) взаимно однозначно соответствуют автоморфизмы относительно абсолюта "/С2,, образующим шестипараметрическую группу винтовых движений линейчатого пространства М5.

Соотношение моделей М, и М,(со). Рассмотрим квадратное уравнение

Р4.Р23+Р42РЗ|+Р«Р.2 = 0' (Ч

которому удовлетворяют пропорциональные шестерки чисел р(); 1,] = 1,2,3,4; представляющих собой од-

нородные плюккеровы координаты ри = х,у( — х,у, прямой линии пространства . Координаты рч в свою очередь определяются однородными проективными координатами двух ее точек Х(х1,х2,х3,хч= 1) и Х»(У|'У2'Уз'У4= 0)- где X — точка с декартовыми координатами (х,, х2, х3), и — несобственная точка, определяемая единичным вектором г0 {у,,у,,у,) рассматриваемой прямой. Из определения плюккеровых координат следует: р4| = у,; р42 = у2; р43 = у3; р23 = х2у3-хэУг; Рз1=хзУгх.Уз: Р|2= х 1У2—Х^УI■ Тройка плюккеро-вых координат р23, р3|, р12 задает вектор-момент г, =ОХхг0, г, {р23,р3|.р,2} определяющий положение прямой г0 с направляющим вектором г() при ее параллельном перенесении в пространство из связки прямых и плоскостей (0) с центром 0 в начале декартова базиса. Пара векторо£ г0 и г, образуют единичный дуальный вектор Я = г0 + <аг,, ю2 = 0 в евклидовом дуальном пространстве Я3(со).

Если фиксировать тройку чисел р41, р42, р^тотем самым в связке (0) будет фиксирован вектор г0 и, как следует из уравнения (1), будет фиксировано, без учета однородности р23:р31:р12, двухпараметрическое множество векторов-моментов (г,), каждый из которых ортогонально пересекает единственный вектор г0 из двухпараметрического множества направляющих векторов (г0) на прямых, образующих в пространстве Яз* множество — связку прямых (г0) с несобственным центром. Поскольку выбор точки X на любой прямой г0 множества (г0) не влияет на вектор-моменту ^той прямой в неизменном декартовом базисе (0,е,,е2,е3 ), то множество прямых г,, на которых расположены векторы-моменты г, множества (г,), образуют плоское поле прямых Р(|. Таким образом, одному свободному единичному вектору г0 {р4|,рч2,р43}, то есть преобразующемуся в двухпараметрическое множество направляющих векторов параллельным переносом из связки (0), соответствует поле РМ1 г0 прямых, на которых расположены векторы-моменты множества (г, (^каждый из которых однозначно определяет вектор г0 множества (г0). Поскольку прямые с направляющим единичным вектором г0 образуют связку (0), то всевозможные поля прямых Рм также образуют связку (0) плоскостей.

Если в уравнении (1) фиксировать тройку чисел р23, р^,, р|2, то есть фиксировать вектор-момент Г1 >Р23'Р31'Р|2^ ™ ЭТИМ будет определен пучок единичных векторов г0, то есть пучок (0)к, прямых г0 в плоскости Рю± г,, проходящей через начало 0 декартова базиса. Примем вектор г, в качестве свободного, то есть

преобразующегося параллельным переносом в пространстве я; во множество векторов г, на прямых, образующих связку прямых с несобственным центром. Тогда уравнением (1), без учета однородности р4|:р42:р43, определится двухпараметрическое множество пучков прямых г0, полученных параллельным переносом вплос-кости Рю пучка прямых (0)л в точки «X» пересечения прямых этой связки с плоскостью Р^. Для каждого пучка (0)л прямых вектор г, {р23,р3|,р|2} является вектор-моментом прямых этого пучка. Очевидно, координаты (р23: р3|: р,2) могут быть приняты в качестве однородных декартовых координат этого пучка, при этом координатами (0:0:0) определен пучок прямых (0)ю в связке прямых и плоскостей (0). Вращение вектора г, в плоскости Дг|± ОХ относительно точки множества «X» приводит к образованию в ней пучка векторов РГ| и, как следствие, — к связке прямых г0 с центром в точке X. Принятие векторов пучка РГ| свободными приводит, на основании вышеизложенного, к образованию двухпараметрического множества связок с центрами в точках множества «X».

Если нормальная 2-цепь есть некоторый образ в дуальной эллиптической плоскости, то соответствующий ему прообраз в линейчатом пространстве представляет собой связку [ 14]. Поскольку связка прямых, ее сфера с отождествленными диаметрально противоположными точками и плоскость, касательная к этой сфере — это гомеоморфные модели эллиптической плоскости в пространстве Л3* [6], то двухпараметрическое множество нормальных 2-цепей можно рассматривать как двухпараметрическое множество образов этой плоскости в подмножестве чисто вещественных точек дуальной эллиптической плоскости. Антинормальная 2-цепь - это некоторый образ в дуальной эллиптической плоскости, которому соответствует в линейчатом пространстве прообраз - плоское поле Рм прямых [14]. Следовательно, двухпараметрическое множество антинормальных 2-цепей есть двухпараметрическое множество образов полей Рг1 прямых в подмножестве чисто дуальных точек дуальной эллиптической плоскости.

Выводы

1. Отображение Котельникова-Штуди представляет собой базовую составляющую в цепи конструктивно-аналитических исследований, приводящих к получению эллиптических плоскостных моделей линейчатого метрического пространства.

2. Эллиптическая плоскость может быть рассмотрена как вещественное подмножество дуальной эллиптической плоскости из двухпараметрического множества таких ее подмножеств.

3. Полученные эллиптические плоскостные модели линейчатого метрического пространства позволяют свести оперирование линейчатыми объектами в пространстве к оперированию их образами на плоскости, что открывает перспективные возможности для теоретического исследования линейчатого пространства и для решения различных прикладных задач, имеющих в нем место.

Библиографический список

1. Диментберг, Ф.М. Теория винтов и её приложения / Ф.М. Диментберг. — М. : Наука, 1978. — 328 с.

2. Цыпкин, М.Е. О применении принципа перенесения Котельникова к теории линейчатых поверхностей / М.Е. Цыпкин // Математика: ученые записки Казанского гос. ун-та. — Казань, 1952. — Т. 112, кн. 10. — С. 101-107.

3. Клейн, Ф. Высшая геометрия / Ф. Клейн. — М.; Л. : ОНТИ, 1939. - 400 с.

4. Талапин, B.C. Об одном применении принципа перенесения Котельникова-Штуди / B.C. Талапин // Пространства над алгебрами и некоторые вопросы теории сетей : межвуз. сб. науч. работ. — Уфа, 1985. - С. 53-77.

5. Розенфельд, Б.А. Неевклидовы геометрии / Б.А. Ро-зенфельд — М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1955. - 744 с.

6. Панчук, К.Л. Конструктивно-метрическое моделирование линейчатого пространства / К.Л. Панчук, В.Я. Волков // Вестник КузГТУ. — 2007. — № 6. — С. 55-58.

7. Панчук, К.А. Линейчатые модели эллиптической прямой / К.Л. Панчук, В.Я. Волков // Вестник КузГТУ. — 2007. - № 6. - С. 52-54.

8. Панчук, К.Л. Проективитет щётки / К.Л. Панчук // Омский научный вестник. — 1999. — Вып. 8. — С. 78-80.

9. Панчук, К.Л. Сложное отношение четырёх лучей щётки / К.Л. Панчук // Современные проблемы геометрического моделирования : сб. тр. Междун. науч,-практ. конф. — Харьков, 1998. — 4.1. — С. 122-126.

10. Зейлигер, Д.Н. Комплексная линейчатая геометрия / Д.Н. Зейлигер. — М.; Л. : Гос. техн.-теорет. изд-во, 1934. - 196с.

11. Панчук, К.Л. Уравнение Эйлера-Савари для эллиптической плоскости и его интерпретация в линейчатом пространстве / К.Л. Панчук // Омский научный вестник. - 2008. — №1(64). — С. 31-34.

12. Панчук, К.Л. Моделирование линейчатого про-

УДК 514.764.274:515.162.4

Основная часть. Для определения модели или аппроксимирующего или интерполирующего уравнения технической формы или многофакторного процесса многокомпонентной системы необходимо разработать алгоритм конструктивно — аналитического представления модели с целью получения ее уравнения. В этой связи в статье решение выше сформулированной проблемы рассмотрено на примере разработки конструктивно-аналитического представления линейчатых гиперповерхностей чегырех-мерного пространства.

странства дуальной эллиптической плоскостью / К.Л. Панчук, В.Я. Волков // Вестник СибГАУ им акад. М.Ф. Решетнева. — Красноярск, 2007. — Вып. 4(17). — С. 54-56.

13. Панчук, К.Л. Дуальная модель и проективная геометрия линейчатого пространства / К.Л. Панчук. -Омск: ОмГТУ, 2007. - 113с. - Деп. в ВИНИТИ 12 12.07, №1161-В2007.

14. Панчук, К.Л. О метрической структуре линейчатого пространства / К.Л. Панчук // Омский научный вестник. - 2008. - № 2(68). - С. 37-39.

15. Pottmann, Н. Computational Line Geometry / Н. Pottmann, J. Wallner. — Berlin: Springer Verlag, Heidelberg, 2001. - 565 p.

ПАНЧУК Константин Леонидович, кандидат технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики Омского государственного технического университета.

644050, г. Омск, пр. Мира, 11 ВОЛКОВ Владимир Яковлевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой начертательной геометрии, инженерной и машинной графики Сибирской государственной автомобильно-до-рожной академии.

644080, г. Омск, пр. Мира, 5

Дата поступления статьи в редакцию: 20.05.2009 г.

© Панчук К.Л., Волков В.Я.

О. Б. ИЛЬЯСОВА В. Я. ВОЛКОВ

Сибирская автомобильнодорожная академия, г. Омск

Гиперповерхности. Однопараметрическое многообразие 2-плоскостей образуют гиперповерхность.

Формула расчета размерности Грассманова многообразия представима в виде [ 1 ]:

£>™ =(т + 1)-(п-Л1),

гдет - размерность линейчатого объекта; п - размерность пространства.

Отсюда можно определить, что в шестимерном пространстве Е4 вложено шестипараметрическое многообразие плоскостей.

КОНСТРУКТИВНО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙЧАТЫХ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ ЧЕТЫРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА

Предложен новый алгоритм формализованного графоаналитического представления гиперповерхностей пространства Е4 с помощью методов теории параметризации и исчислительной геометрии, что позволяет установить вид интерполирующего или аппроксимирующего уравнения и определить число экспериментальных значений для его вывода.

Ключевые слова: линейчатые гиперповерхности, конструктивно-аналитическое представление.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК » 2 «0>. 200? ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА