Линейчатые модели эллиптической прямой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.185:519

К.Л. Панчук, В.Я. Волков ЛИНЕЙЧАТЫЕ МОДЕЛИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ПРЯМОЙ

В теории неевклидовой геометрии известны модели эллиптической прямой: пучок прямых; окружность с центром в центре пучка и отождествленными диаметрально противоположными точками; прямая, касательная к окружности [1,2]. Известен также принцип перенесения Котельникова

- Штуди, определяющий конструктивно-

метрическое соответствие геометрии связки прямых и плоскостей расширенного евклидова пространства Я3 и геометрии линейчатого пространства Я3(1) с основным элементом - прямой линией I [3,4]. В этой связи, если рассматривать указанный пучок как элемент связки, можно поставить задачу об определении линейчатых моделей эллиптической прямой. Ее решение, во-первых, позволит расширить класс моделей эллиптической прямой, во-вторых, может послужить вспомогательным инструментом для моделирования линейчатого пространства эллиптической плоскостью. Решению указанной задачи посвящена настоящая работа.

Известно, что абсолют пучка прямых, представляющий собой пару изотропных прямых, индуцирует на окружности S1 с центром в центре пучка и отождествленными диаметрально противоположными точками и на прямой Я], касательной к этой окружности, эллиптическую метрику расстояний [2]. При этом абсолютами на моделях S1 и Я] являются соответственные пары

мнимо-сопряженных точек пересечения изотропных прямых пучка с этими моделями. Метрика каждой из трех моделей эллиптической прямой имеет два представления.

1. Координатное. Например, расстояние ё между точками X(x1,x2) и Y(y1,y2) прямой Я] опре-

ё V xiyi

деляется формулой cos— = ---, 1=1,2, где г

г г2

- радиус кривизны этой прямой.

2. Проективное. Например, для той же прямой

5 г

Я, можно записать: ё = — ¡п^У,^,^ ), где 11 и

1 21

12 - пара мнимо-сопряженных точек прямой.

Из сложного отношения четырех прямых пучка х, у, г, г:

51пех2 51пех1

Л = (х,у,г,г) =

51П£у2 51П£у1

(1)

ё Й ■ „ ёхг

81П —

г . г

ёуг ■ ёуг

81П

г г

следует сложное отношение четырех точек X, Y, Х, Т эллиптической прямой

Л = (ХХ1,Т) =

Отметим общие характерные особенности моделей указанного класса.

1. В силу непрерывности пучка прямых между любыми двумя моделями существует гомеоморф-ное соответствие.

2. Изоморфное соответствие абсолютов на моделях, гомеоморфное соответствие самих моделей и возможность проективного представления эллиптической метрики угла в пучке (формула Ла-герра) позволяют каждую из моделей рассматривать в то же время как метризованную проективную модель эллиптической прямой.

3. Группа движений - вращений пучка с неподвижным его центром индуцирует на гомео-морфных ему и между собой моделях соответствующую группу движений, состоящую из двух связных компонент: движений первого и движений второго рода. При этом, в случае рассмотрения проективной интерпретации модели, группа движений представляет собой группу метрических коллинеаций, не изменяющих абсолют на модели.

Центр О связки прямых и плоскостей пространства Я3 примем за центр сферы. Большая окружность сферы с отождествленными диаметрально противоположными точками представляет собой эллиптическую прямую S1 [1,2]. Точке XeS1 соответствует вектор ОХ = х и вектор — х ,

при этом х2 = г2 . Линейной комбинации точек Х(х) и Y(yI) прямой X + ХУ = шХ , соответствует линейная комбинация векторов х + Ху = шй,

,7 0-2—2-2 2

где Х еЪ1, х = у = й = г , ш - нормирующий множитель. По принципу перенесения геометрии связки на линейчатое пространство Я3(1), линейной комбинации векторов будет соответствовать линейная комбинация двух винтов X + ХУ = Х , где Х может быть как вещественным, так и дуальным числом Х = Хд + тХ] ,

ю2 = 0 . Дуальные модули винтов X и У произвольны, в отличие от векторов х иу . Если X -

вещественное число, то множество винтов Х линейной комбинации представляет собой двучленную двухосную группу винтов, оси которых описывают алгебраический коноид (АК) третьего порядка [4]. Дуальное уравнение АК, отнесенное к

Технология машиностроения

53

базисным винтам X и У , имеет вид:

tgр = ет(1>2 — Р])гкФо , (2)

где X = Е]етР] ; У = Е2еюР2 ; Р2 , Р1- параметры (вещественные числа) базисных винтов X и У соответственно; Р = Р0 + 0)Р1 ,®2=0; (р0 и р?-вещественный угол и минимальное вещественное расстояние между образующей АК и осью базисного винта X.

В декартовой системе координат ХУ2, оси X и У которой совпадают с осями базисных винтов

X и У , АК имеет уравнение

г(х2 + у2) — (Р2 — Р])ху = 0,

полученное на основе уравнения (2). Разделение главной и моментной частей уравнения (2) приводит к уравнению

Р2 — Р1 . 2 Р1 = —2—5т2Ро

(3)

описывающему геометрическое устройство поверхности АК. При Р2 > 0; Р2 > Р1 образующая (1,2) описывает замыкающее перемещение по поверхности АК. При этом ее угловому положению р0=п/4 соответствует точка пересечения Л1=(1,2)П2; при ро=п/2 образующая занимает положение (1,2)=У; при р=3л/4 она занимает положение Л2=(1,2)П2 и при р=п образующая возвращается в исходное положение (1,2)=Х (рисунок). Для двух образующих поверхности АК:

x(Xl,X2) и у(У],У2), VX2 = = 1, 1 =1,2

имеет место формула дуального угла между ними: со,5р = со,5Р0 — трр51пр0 = VX^У^ ,а>2=0. (4)

, п

Из (3), так же как из (4), при Р0 =Р0 + у

следует р>1 = —р1. Имеет место предложение: если две образующие АК перпендикулярны, то их

точки пересечения с осью АК симметричны относительно центра О поверхности. Подобное предложение имеет место и для эллиптической прямой

о ~ X п

Ь], когда центр отрезка длиной ёху = гмежду

ортогональными точками X и У является одновременно центром дополнительного отрезка гп — ёху. Из уравнений (3) и (4) следует, что дуальный угол ф между двумя прямыми АК является однозначной функцией вещественного угла фо. Поэтому положению прямой линии пучка (О) в плоскости ХУ, определяемому углом 0 < Р0 < п , взаимно однозначно соответствует положение образующей на поверхности АК. Если при этом учитывать непрерывность функций (3) и (4), то пучок прямых и соответствующий ему АК являются гомеоморфно соответственными множествами. На основании соотношений (3-4) следует, что метрика АК определяется метрикой пучка прямых. В этой связи можно считать, что абсолют пучка прямых (О) в плоскости ХУ - пара его изотропных прямых, является в тоже время абсолютом АК. На этом основании угловое положение произвольной образующей г рассматриваемого АК относительно оси Х определяется углом

Р0 = —ln(X,t,il,І2). Исходя из доказанного авторами предложения о том, что линейной комбинацией двух образующих АК является образующая, можно получить выражение сложного отношения четырех его образующих x(Xi), у(У), г(Х1) и г(Т1):

^ = (х,у,2Л) = 5,п(рг -рх)0 -рх)0 , (5)

Х2 *,п(Р2 —Ру)о ™пР —Ру)0

где Х , = XI + Х1УI ; Т = XI + Х2У,; Я1,Я2 - значения вещественного параметра Л?0. Автоморфизмы пучка (О) прямых, представляющих собой ортогональные проекции образующих АК на плоскость пучка, описываются уравнениями:

2

Xi = V aijXj ; 1 = 1,2, (6)

]=1

где

V аЦ ~У а12 = ; V а11а12 = 0 ;

Xi - координаты ортогональной проекции х0 образующей х поверхности АК такие, что V X,2 = 1.

Представив уравнение (3) АК в виде Р1 = 2aX 1X2 и добиваясь инвариантности этого уравнения относительно преобразований (6), получим группу движений АК, состоящую из двух связных компонент: движения первого рода, описывающие лентообразное синусоидальное движение образующей по поверхности АК и движения второго рода, описывающие отражения АК относительно его осевой плоскости. На основании рас-

смотренного конструктивно-метрического соответствия АК пучку прямых, представляющему собой одну из гомеоморфно соответственных моделей эллиптической прямой, можно утверждать, что АК есть линейчатая модель эллиптической прямой.

Если в (3) коэффициент (Р2гР1)/2=а принять в качестве параметра, изменяющегося в пределах 0 < а < да , то получим пучок соосных неконгруэнтных АК, включая плоскость ХУ, принадлежащих щетке с осью 2. Каждый из коноидов пучка, на основании вышеизложенного, может быть рассмотрен как линейчатая модель эллиптической прямой.

Пучку прямых в связке прямых и плоскостей пространства Я3 соответствует по принципу перенесения Котельникова - Штуди щетка (®2 прямых, ортогонально пересекающих фиксированную прямую) в линейчатом пространстве [4].

При этом геометрия пучка прямых в дуальном варианте переносится на щетку. Углу з

сор0 =

между единичными векторами

,=1

х{х1,х2,х3} и у{у1,у2,уз} двух прямых пучка в связке соответствует дуальный угол между единичными винтами X{X 1X2X3} и У{У1,У2Уз}, оси которых принадлежат щетке линейчатого про-

3

странства: созр = VXІУІ, где р = Р0 + о>Р1,

1=1

со2=0.

Сложному отношению (1) четырех прямых пучка соответствует сложное отношение четырех прямых а, в, у, ё щетки:

Я = (а,вл,ё)= ^'^01 (7)

.ыпщу) 8т[р,д)

где Ц = Ц0 + ЮМ1, <я2=0. В правой части (7) содержатся дуальные тригонометрические функции и дуальные углы между прямыми щетки.

Проективному преобразованию прямых пучка соответствует проективное преобразование прямых линий щетки, выражаемое дуальной дробно-

рациональной функцией:

X ' =

ЫЬ — КЫ Ф 0

(8)

где X =

ЫX + N ^ + Ь

1 ;X = ; X}, X2 и X1, X 2 - ду-

X

2

X2

альные декартовы однородные координаты проективно соответственных прямых; Ы, N К, Ь - дуальные коэффициенты, определяемые положением исходных трех пар прямых в щетке, задающих проективное соответствие. Формула (8) позволяет по условию X=X’ исследовать виды проективных соответствий щетки по их двойным прямым линиям. Введение в формулу (8) условия Ь = -М позволяет исследовать инволюционные проективные соответствия по двойным прямым X=X’, а также позиционные и метрические свойства центральной прямой инволюции. На основании вышеизложенного следует, что щетка представляет собой дуальный образ пучка прямых связки пространства Я3 в отображении, основанном на принципе перенесения Котельникова - Штуди. Поскольку пучок прямых есть одна из гомеоморфно соответственных моделей эллиптической прямой, то щетка есть дуальный образ этой прямой в указанном отображении.

Результаты исследований настоящей работы позволяют сделать следующие выводы.

1. Расширен класс гомеоморфно соответственных моделей эллиптической прямой причислением к этому классу линейчатой поверхности -алгебраического коноида третьего порядка.

2. Показано, что щетка представляет собой дуальную модель эллиптической прямой в отображении, основанном на принципе перенесения Котельникова - Штуди.

В заключение, отметим, что расширение класса моделей эллиптической прямой за счет линейчатых образов определяет новое направление в моделировании и исследовании линейчатого пространства.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Клейн Ф. Неевклидова геометрия. - М.- Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935. - 355 с.

2. Розенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии. - М.: Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1955. - 744 с.

3. Клейн Ф. Высшая геометрия. - М.- Л.: ОНТИ, 1939. - 400с.

4. Диментберг Ф.М. Теория винтов и её приложения. - М.: Наука, 1978. - 328 с.

□ Авторы статьи:

Панчук

Константин Леонидович

- канд.техн.наук., доц. каф. начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики Омского государственного технического университета

Волков Владимир Яковлевич

- докт.техн.наук., проф., зав. каф. начертательной геометрии и машинной графики Сибирской автомобильнодорожной академии