Евклидовы интерпретации решений элементарных метрических задач в эллиптической плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК 1* 3 <Ы> 200»

И наконец, третья задача, решенная в трехмерном пространстве. Пусть имеется четыре общие 2-плоскости, четыре общие прямые и четыре общие точки, не лежащие в плоскостях и этих прямых. Требуется найти число комплексов — замкнутых двумерных многообразий \ЛД, 0, плоскости которых проходят через данные точки, прямые пересекают данные прямые, а точки лежат в данных гиперплоскостях. Задачу можно сформулировать так: сколько существует тетраэдров общего вида, грани которых проходят по одной через четыре заданные точки, ребра пересекают по одной че тыре заданные прямые, а вершины лежат по одной в четырех заданных плоскостях?

Не вдаваясь в подробные объяснения, запишем соответствующие условия:

<( 2, 1, 0 1, 0 (Л

!ДС3, 2, 0е3, \в2)1

*( 0 1, 0 2, 1, 0 •П е +е +е

0 2, 0 2, 1, 0

-ей* :нк: а

Из вышеизложенного понятно, что первое и последнее слагаемое дае т по одному решению, а второе слагаемое предполагает два решения. Общий ответ: существует четыре таких комплекса.

Библиографический список

1. Волков В.Я., Юрков В.Ю. Многомерная исчислительная геометрия: монография. — Омск: Изд-во ОмГПУ, 2008. — 244 с.

ЮРКОВ Виктор Юрьевич, доктор технических наук, профессор кафедры геометрии.

Адрес для переписки: 644043, г. Омск, Наб. Тухачевского, 14.

Статья поступила в редакцию 27.05.2009 г.

© В. Ю. Юрков

УДК 514.185:519 К. Л. ПАНЧУК

Омский государственный технический университет

ЕВКЛИДОВЫ ИНТЕРПРЕТАЦИИ РЕШЕНИЙ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ

Рассмотрены решения элементарных метрических задач в эллиптической плоскости. В качестве ее модели в трехмерном евклидовом пространстве принята плоскость, касательная к сфере с отождествленными диаметрально противоположными точками. Предлагаемые решения основаны на применении конструктивных и метрических свойств окружности эллиптической плоскости.

Ключевые слова: эллиптическая плоскость, метрические задачи, окружность, абсолют.

Необходимость выполнения и исследования решений различных геометрических задач в эллиптической плоскости, точнее на ее моделях, имеет следующее обоснование. Во-первых, в высшей геометрии модели различных неевклидовых плоскостей в большей степени исследованы глобально, то есть с общих позиций для геометрий всех неевклидовых плоскостей, например, в известных проективных интерпретациях Келли-Клейна [1,2, 3] и в меньшей степени эти модели исследованы де тально, с учетом особенностей, определяемых метрической структурой отдельной неевклидовой плоскости. Сказанное относится и к эллиптической плоскости. Во-вторых, если учесть, что между эллиптической плоскостью и линейчатым пространством, представляющим собой многообразие прямых расширенного до проективного пространства 11;,, существует конструктивно-метрическое соответствие |4|, то появляется возможность исследования линейчатого пространства и его подмножеств на основе выполнении и исследования различ-

ных геометрических построений в эллиптической плоскости. Кроме того, на основе геометрического моделирования в эллиптической плоскости, появляется также возможность решения прикладных задач, имеющих место в линейчатом пространстве [5].

В работе рассматриваются решения элементарных метрических задач в эллиптической плоскости Б.,, аналоги которых известны в евклидовой плоскости 1*,. В качестве модели плоскости в пространстве принята плоскость , касательная к сфере С?! с отождествленными диаметрально противоположными точками. Сфера С* и плоскость Я* —гомеоморфно соответственные модели плоскости 52, метрическая структура которой определена на ее моделях абсолютами — линиями пересечений изотропного конуса с вершиной в центре сферы С^ и самих моделей С? и *2 [4].

Решения метрических задач на модели К 2 основаны на возможности представления плоскости Я? как метризованной проективной плоскости и на

применении конструктивно-метрических свойств окружности эллиптической плоскости, доказательства которых приведены в работе |6). Свойства получены из совместного рассмотрения уравнения окруж носій к2 радиуса 8 < тп/2 с центром (а,,а.2,а.,) в плоскости [<2 радиуса кривизны г, представленного

■> 6

в виде =±г‘ соб- с условиями =Хх>2 = 1"2'

і = 1,2,3, и уравнения ^Гх,2=0 абсолюта ~к* этой плоскости. К этим свойствам относятся:

1) центр окружности и ее ось полярно соответственны одновременно относительно окружности и абсолюта;

2) концентрические окружности имеютодну и ту же ось — поляру их общего центра;

3) диаметральная прямая окружности перпендикулярна касательной к окружности в точке пересечения этой прямой с окружностью;

4) диаметральная прямая окружности, перпендикулярная ее хордам, делит эти хорды пополам;

5) центр окружности, полюс диаметральной прямой в поляритете относительно окружности и абсолюта и точка пересечения диаметральной прямой и оси окружности образуют треугольник, автополяр-ный относительно окружности и абсолюта; любая прямая, проходящая через вершину автополярного треугольника, перпендикулярна его стороне, противоположной вершине.

Из совместного рассмотрения уравнений двух окружностей в плоскости Я| следуют свойства [6]:

6) две окружности в общем случае пересекаются в четырех действительных точках;

7) точка пересечения диагоналей четырехугольника, образуемого точками пересечения двух окружностей, и два центра пересекающихся окружностей определяют треугольник, автополярный относительно этих окружностей и абсолюта к^; диагонали четырехугольника суть радикальные прямые пересекающихся окружностей, которые но свойству автополярного треугольника перпендикулярны линии центров этих окружностей.

Рассмо трим решения ме трических задач на модели

Задача 1. Построение оси окружности с заданным центром.

На основании свойства 1) центр Рокружности к2 и её ось р — поляра центра, являются соответственными в поляритете относительно абсолюта к£ и в поляритете относительно к2 (рис. 1). Поэтому пара диаметров 1 —2 и 3 — 4 окружности определяют две пары касательных, точки пересечения которых в парах определяют поляру — ось р.

Задача 2. Построение полюса прямой линии р.

Предположим, что задана прямая р и требуется построить её полюс в абсолютной полярности (рис. 2). Пусть А(а,:а2:а.,) и В(Ь,:Ь.2:Ь:1) две точки прямой р такие, что5Л11< га/2. Уравнение прямой линии р, проходящей через точки А и В, имеет вид (а,Ь, -а,Ь,)х, + + (а,Ь,-^Ь,)х, + (цЬг-ЭзЬ^Хз = 0. Поскольку полюс Р и прямая р соответственны в абсолютной полярности, то I5 имеет однородные проективные координаты (а,Ь, - а,Ь2): (а.Ь, - а,Ь,): (^Ьг - а,Ь,) и, следовательно, определяется однозначно. Опишем окружность к2 с центром А и радиусом 8ЛВ. Полюс Р может быть получен, на основании свойства 1), при помощи диаметральной прямой р окружности к2 в полярном

соответствии относительно к2. Таким образом, окружность к2 с центром А, радиусом 8ЛН и диаметральной прямой р однозначно определяют полюс Р.

Любая другая окружность с центром А и радиусом 8 < хп/2 определяет тот же полюс Р. Действительно. Изменение положения точки В на прямой р при неизменной точке А не влияет на однородные прямолинейные координаты поляры р[(а,Ь, - а,Ь,):

(а,Ь, -а,Ь,):(^Ь2 — а,Ь,)], которые являются однородными точечными координатами ее полюса Р в абсолютной полярности.

Выбор других окружностей к" с центром Л' = = А + ц,В, где ц, — вещественный параметр, и радиусом 8 ,< гя/2 , также не изменяет положение точки Р как полюса прямой р в поляритете относительно каждой к,2. Действительно. Поляра а центра (а,:а2:а3) окружности в поляритете относительно самой окружности описывается уравнением =0 [2|. Вотом

случае поляра некоторого центра Л'(э(: а',: а(;) с координата ми ра( =а, +|і,Ь,; рэС, =а, + ц,Ь2; рг(1 = а) + р|Ь„ имеет уравнение Ц + Ц|Ь,)х, + (а, + ц,Ь2)х, +(а, + ц,Ь3)х3 = 0. Подставив координаты (а,Ь3 -а,Ь2): (а,Ь, - г^Ь,): (^Ь, - а,Ь,) точки Рв последнее уравнение, получим тождество относительно нуля. Поэтому поляра центра Л'(а([: ^ : а(,) пройдет через точку Р и поляра любого другого центра А| также пройдет через эту точку.

Задача 3. Деление отрезка на две равные части.

Предположим, требуется разделить отрезок АВ, 8 „< гл/2, пополам (рис.З). Проведём две окружности к, и к2 с центрами А и В соответственно и равными

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСГНИК №3 (83) 200?

Рис. 4

радиусами 8Л„ = 8НЛ. Их точки пересечения Е и Р определяют радикальную прямую, которая на осно-вании свойства 7) ортогональна линии АВ центров окружностей. Построим окружность к, с центром Е и радиусом 8ел=8В1, Получаем диаметральную прямую ЕР окружности к;, перпендикулярную её хорде ЛВ. Па основании свойства 4) следует, что ЕР делит отрезок АВ пополам.

Задача 4. Определение центра окружности.

Предположим задана окружность к* и требуется определить её центр Р (рис. 4|. Искомая точка определится как точка пересечения двух диаметральных прямых. Поэтому, пазначивдве любые хорды данной окружное™, на основании решения задачи 3. строим для каждой из них диаметральную прямую. Точка Р пересечения двух диаметральных прямых является искомой

Задача 5. Построение перпендикуляра к прямой.

Пусть заданы прямая р и точка Е на или вне этой прямой (рис. 5). Требуется провесги перпендикуляр-пую к р прямую, проходящую через точку Е. На основании решения задачи 2 определяем полюс Р прямой в абсолютной полярности. Прямая РЕ является искомой.

Задача 6. Деление угла на две равные части.

Даны две прямые а и Ь (рис. 6). Требуется разделить угол /.аЬ пополам. Для решения задачи проведём окружность к радиуса 8 < гп/2 с центром в точке Р пересечения прямых. Окружность отсекает на пря-

мых а и Ь точки Е, Р. Строим ось р окружности как прямую, полярно соответственную её цен тру Р в полярности относительно к2, равно как и относительно "к*. Продолжаем хорду ЕР окружности до пересечения с осыо р в некоторой точке N. Строим поляру пточки N. Треугольник NPTявляется автополярным относительно к2 и к*. Поэтому ЕР1п но свойству 5) автонолярноготреугольника. Диаметральная прямая п делит хорду ЕР пополам, поэтому ЕМ = МР. Треугольники РМЕ и РМР конгруэнтны по двум сторонам и углу между ними [2|. Поэтому ZEPM = /РРМ и п есть биссектриса угла Za Ь. Очевидно, прямая Ц.П представляет собой биссектрису угла я — ^аЬ

Задача 7. Удвоение угла.

Дан угол ^аЬ, требуется его удвоить (рис 7). Строим окружность к" радиуса 8< гл/2 с центром Р в точке пересечения прямых а и Ь Строим ось р окружности. По стороне а строим автополярный треугольник РТН окружности к*. Затем строим прямую НР1а, где Р = к:,оЬ. Точка пересечения Е = ^ок2 определяет прямую с, которая, на основании решения задачи 6, является стороной удвоенного угла /Ьс = 2<£Ьа.

В связи с решением задачи 6 можно предложить другое решение задачи 3. Проведём через концы отрезка ЕР любую окружность кг из пучка таковых (рис 8) Построим ось р окружности. За тем на основе прямой ЕР построим автополярный треугольник РТ^ Сторона его РТ делит отрезок ЕР пополам

Рассмотренные выше алгоритмы решений элементарных метрических задач в эллиптической плос-

50

Риг. 7

Рис. 8

кости могут быть положены в основу решений других геометрических задач в этой плоскости. Эти алгоритмы, на основании существующего конструктивно-метрического соответствия между эллиптической плоскостью и линейчатым пространством [4|, могут быть перенесены на линейчатое пространство и применены в «линейчатой интерпретации» для решения соответствующих метрических задач в этом пространстве.

Библиографический список

1. Буземан. Г. Проективная геометрия и проективные метрики / Г. Буземан. П. Келли: полрел И М. Яглома. — М.: Изд-во иностр. лит . 1957. — 410 с.

2 Клейн. Ф. Неевклидова геометрия / Ф. Клейп. — М.; Л.: ОНТИ НКТП СССР. 1935. - 355с.

3 Розенфельд. Б.А Неевклидовы геометрии / Б А Розен-фельд — М : Гос изд во техн.-теор. лит.. 1955. — 744 с.

4 Панчук, К.Л. Конструктивно-метрическое моделирование линейчатогопространства /К.Л. Панчук. В Я Волков// Весгник КузГТУ. - 2007. - №6. - С. 55-58

5 Панчук. К Л. Уравнение Эйлера-Саваридля эллиптической плоскости и его интерпретация в линейчатом пространстве / К.Л. Панчук // Омский научный вестник — 2008 — № I (64). — С. 31-34

6. Панчук. К.Л. Кривые второго порядка эллиптической плоскости / КЛ Панчук. — Омск: ОмГТУ, 2007. — 83 с. — Деп. в ВИНИТИ 12.12.07, №1160-В2007

ПАНЧУК Константин Леонидович, кандидат технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии.

Адрес для переписки: 644050, г. Омск, пр. Мира, 11.

Статья поступила в редакцию 05.10.2009 г.

© К. Л. Панчук

Книжная полка

Волков, В. Я. Многомерная исчислительная геометрия [Текст!: монография / В. Я. Волков, В. Ю. Юрков; Ом. гос. пед. ун-т. — Омск, 2008. — 242, [ 1 ] с.: табл. — Библиогр.: с. 222-228. — ISBN 978-5-8268-1255-6.

Монография посвящена изложению основ теории исчислительной геометрии многомерных пространств. Подробно рассматриваются проблемы конструирования и исследования ссютветствий между подпространствами многомерного проективного пространства, а также созданию алгоритмов син теза виртуальных условий существования соответствий.

Волков, Ю. Г. Диссертация: подготовка, защита, оформление [Текст!: практ. пособие / Ю. Г. Волков. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Альфа-М : ИНФРА-М, 2009. — 170, [ 1 ] с. — Библиогр.: с. 169-170. — 978-5-98281 -179-0. - ISBN 978-5-16-003652-6.

Автор пособия имеет многолетний опыт научного руководства соискателями и аспирантами, а также членства в ВАК России В книге рассмотрены все стадии процесса — от получения первоначальных сведений о том. что представляет собой диссертация, как сориентироваться в многообразии задач подготови тельного периода, как выбрать тему, руководителя, кафедру, до процедур обсуждения, защиты и подготовки документов после защиты В приложениях приводя тся перечень необходимых докумет-ов, положения о порядке присуждения ученых степеней, о диссертационном совете с образцами документов, а также некоторые другие сведения.

Резник, С. Д. Преподаватель вуза: технологии и организация деятельности (Текст!: учеб. пособие для системы доп. образования — повышения квалификации преподавателей вузов / С. Д. Резник,

О. А. Вдовина; под ред. С. Д. Резника. — М.: ИНФРА-М, 2009. — 388, [11с.: табл., формы. — (Менеджмент в высшей школе). — Библиогр.: с. 287-295. — I.SBN 978-5-16-003687-8.

Рассмотрены технологии и организация деятельности преподавателя высшего учебного заведения.

Особое внимание уделено подготовке и проведению учебного занятия, организации научно-исследовательской и воспитательной работы среди студенчества, самооценке личной деятельности преподавателя.

Книга задумана как составная часть серии учебников «Менеджмент в высшей школе», комплексно охватывающих объекты и субъекты управления в вузе: «Студент вуза», «Преподаватель вуза», «Управление д

кафедрой», «Управление факультетом», «Управление вузом». £

Для преподавателей вузов, а также для студентов, получающих дополнительную квалификацию «Преподаватель вуза», для заведующих кафедрами, деканов и ректоров вузов.

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК N* 3 <Ы> 2009