К кинематике твердого тела с неподвижной точкой Текст научной статьи по специальности «Математика»

Г.Д. Севостьянов

УДК 531.38

К КИНЕМАТИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ

В статье найдены новые решения уравнений кинематики твердого тела с неподвижной точкой, записаны уравнения для угла нутации в случае вращения самолета, искусственного спутника Земли (ИСЗ), качки корабля; рассмотрена теорема Гамильтона — Ишлинского о телесном угле в неоднородном случае.

В кинематической задаче Дарбу [1] для твердого тела с неподвижной точкой требуется аналитически определить изменение трех углов Эйлера тела, если известно изменение мгновенной угловой скорости в связанной с телом системе координат. Три нелинейных кинематических уравнения Эйлера [1] и три линейных уравнения Пуассона (полученных впервые также Л. Эйлером [2, с. 62]) приведены к уравнению второго порядка для угла нутации [3, 4]:

>2 + + = 1.М< 1, (!)

£

где в(т) = сое 0 - угол нутации; т = / - интегральное безразмер-

0

ное время; "2 = р2 + д2; ш(р, д, г)- мгновенная известная угловая скорость тела в связанной с телом системе координат хуг\ а(т) - известная функция:

^(т) = " + Х',Х = аг^ р. (2)

Три угла Эйлера ^,ф,0 - угол собственного вращения, ф - угол прецессии) определяют ориентацию тела в основной системе координат^,

пХ-

Если в(т) найдена из (1), то два других угла Эйлера (^,ф) найдем из равенств [4]:

с°8 + Х) = 0/(т);

,, , + 5 (3)

' М(1 - *2).

Если заданы р(£),д(£) и 0(£), то можно найти в(т), тогда из (1) определим а(т), из (2) - г из (3) _ углы ^ и ф, а из динамических уравнений Эйлера — момент внешних сил относительно неподвижной точки [3]. Приведем некоторые частные решения.

Если в(т) = Ш(т + с), то из (2) имеем а(т) = еЬ(т + с) — сЬ(Т+с) ? при этом скорость вращения тела возрастает , ось тела г приближается к неподвижной оси ( основной системы £пС-Если выбрать

в(т) = и 1 2е-а(т+с); с, а > 0,

VTT" а2

то

I, / 1 + а2 1 =

_1 g2a(r+c) '

ось z тела заваливается относительно оси (. Углы ф и ф можно найти из (3).

Введенные Эйлером углы ф,ф,в используются в небесной механике и удовлетворяют кинематическим уравнениям Эйлера:

p = фф sin в sin ф + в cos ф,

q = фф sin в cos ф — в? sin ф, (4)

r = ф cos в + ф.

Для самолета кинематические уравнения [5] можно формально получить, если за основную систему координат выбрать нормальную ОХдУдZg (местную географическую) и сделать в (4) замены:

р ^ —шг, д ^ Шу,г ^ их,

п

Ф ^ 7, ф ^ Ф,0 ^--(5)

2

х ^ —Z, у ^ У, г ^ X,

где 7,ф,$ - углы крена, рыскания и тангажа соответственно связанной системы ОХУ^ Ш(шх,шу,шг). Тогда в уравнении (1) для самолета в(т) = = Бт

^ = Шу2 +

, лШх Шу (6)

^(т) = 77 + X , X = аге^ —. а Шг

Совпадают по виду с самолетными уравнениями кинематические уравнения Эйлера для искусственного спутника (ИС) и космического аппарата (КА) [6] относительно орбитальной базовой системы координат (относительно абсолютной геоцентрической системы в координаты угловой скорости вносятся поправки на движение ИС и КА по траектории).

Для описания качки корабля используется левая система координат ось О( направлена вертикально вниз; связанная ось OZk идет вниз в

плоскости симметрии, OYk направлена к левому борту). Для углов Эйлера, введенных А.Н. Крыловым ($k,фк~ углы крена, дифферента и рыскания корабля соответственно), кинематические уравнения получаются из (4), если сделать замены:

p ^ -шх, q ^ Uy, r ^ -7, ф ^-^k,Ф ^ Фк,0 ^ 2 - вк, (7)

x ^ -Xk,y ^ Yk,z ^ -Zk.

Тогда в (1) для корабля s(t) = sin 0k.¡ = uX +

а(т) = -7Т + Х,Х = - arctg —. (8)

Если r(t) = фz - известная функция, теорему Гамильтона — Ишлин-ского рассмотрим в неоднородном случае.

z

движной сфере радиуса R две близкие точки B и C и полюс сферы A внутри траетории, через который проходит неподвижная ось Строим узкий сферический треугольник ABC. Площадь его |dF| = R2 • (B + C+ + A -п), где A = |d^|, B и C - его углы. Прилегающие к углу A стороны равны: b = вис = в + d0.

Из сферической геометрии [7, с. 53] имеем аналогию Непера:

B + C cos ^ 2

tg — 2 ~

2 cos tg A cos Г Тогда

B + C n cos Й

|dF| = R2(1 - cos0)|d#

2 2 2

Но из (4): dip = dpz — cos вdф = dpz + — dф.

На замкнутой траектории Дф = 2nsigm^.l тогда

Др = (R — вгдиф; р = p — pz.

Угол поворота тела около оси z при обходе замкнутой траектории:

Др = Дpz + ^ R — вгдиф.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лурье А.И. Аналитическая механика, М,: Гос. изд-во физ-мат, лит., 1961,

2. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твердого тела, Киев: Наук, думка, 1978,

3. Севастьянов Г.Д. О линейности кинематической задачи Дарбу для тела с неподвижной точкой // Математика, Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та,

2005. Вып. 7. С. 195-198.

4. Севостьянов Г.Д. Уравнение для угла нутации в кинематике тела с неподвижной точкой // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та,

2006. Вып. 8. С. 223-225.

5. Аэромеханика самолета: Динамика полета / Под ред. А.Ф. Бочкарева и В.В. Андреевского. 2-е изд., перераб. и доп. М,: Машиностроение, 1985.

6. Основы испытаний летательного аппарата / Под общ. ред. Е.И. Кринецкого, М,: Машиностроение, 1989.

7. Корн Г., Корн Т. Определения, теоремы, формулы: Справочник по математике для научных работников и инженеров. М,: Наука, 1973.

УДК 532.5:533.6.011.5

И.А. Чернов

ГОМЭНТРОПИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИЛЬНОГО ТОЧЕЧНОГО ВЗРЫВА

Обсуждается частный случай движения сильной ударной волны по покоящемуся газу с нулевым давлением, но с переменной плотностью. Плотность описывается степенной зависимостью от расстояния до центра взрыва. Предлагается такой выбор показателя степени в этой зависимости, чтобы энтропия во всей области течения после прохождения ударной волны была постоянной. При этом получается качественно другое по сравнению с классическим случаем поведение температуры.

Введение. Задача о сильном точечном взрыве в автомодельной постановке была решена Л.И. Седовым [1] и Тейлором (см. [1, 2]). Ударная волна (УВ) возникает в результате выделения конечной энергии в точке пространства. Эта энергия передается движущемуся газу и является характерной и постоянной величиной данного физического процесса, что позволило найти [1] интеграл сложной системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений (ОДУ). Соответствующее решение содержит два параметра: 7 = ср/су - отношение удельных теплоемко-

Ш

р = р0£^где £ - время, £ = г/ (К£п) - независимая автомодельная переменная (г - пространственная координата, К - масштабная константа) . Сильный взрыв в покоящемся газе предполагает нулевое давление до УВ, что обеспечивает автомодельность задачи.