CC BY
33
В таблице представлены координаты радиуса вектора положения и вектора скорости управляемого КА в начальный момент времени (первая строка), неуправляемого КА в начальный момент времени (вторая строка), те же величины в момент мягкой встречи в центральном поле Земли [1] (третья строка) и в нецентральном поле (четвертая строка).
-□ .75-
Рис. 1. Траектории полета КА Рис. 2. Управления рь р^, рз
Г XI *2 1 VI V.,
0.0 1,1025 0.0 0.0 0.0 0.9524 0.0
0.0 2.3100" 0.7500 0.1750 -0.1006 0.6037 0.1409
20.6105 2.1811 -0.4534 -0.1058 0.2472 0.6226 0.1453
20.6237 2.1865 -0.4378 -0.1012 0.2424 0.6238 0.1457
Для перехода к размерным переменным необходимо использовать масштабы длины /?э= 6378.245 км, времени Т= 806.83 с = 0.2241 ч, скорости У= 7.9053 км/с.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Сапунков Я Г. Оптимальные траектории и управления в задаче о встрече космических аппаратов // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 5. С. 171-174.
УДК 531
Г. Д. Севос гьянов
О ЛИНЕЙНОСТИ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ДАРБУ ДЛЯ ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ
Задача Дарбу (О. ОагЬоих) [1,2]- аналитически определить движение тела с неподвижной точкой по заданной его мгновенной угловой скорости ю(г). Для этого необходимо аналитически проинтегрировать нели-
195
нейную систему 3-го порядка (кинематические уравнения Эйлера, разрешенные относительно производных по времени t) [2]:
Ф — (р sin ер -ь ^ eos ф) / sin 0,
8 = рсовф - ¿/зтф,
Ф = Г — (рвтф 4- (?СО5ф)с1£0 , (1)
где ф, ф, 0 - утлы Эйлера (углы собственного вращения, прецессии, нутации тела соответственно); p(t), q(t),r[t) - заданные координаты со в связанной с телом системе координат xyz .
Ж.Г. Дарбу (1848 - 1917) привел систему (1) к комплексному уравнению Риккати (первого порядка) (или двум линейным уравнениям 2-го порядка для вещественных функций) [1, 2]. С помощью четырех параметров Родрига - Гамильтона из (1) получена линейная система четырех уравнений первого порядка [2].
Введение четырех параметров Кейли - Клейна (комплексных комбинаций параметров Родрига — Гамильтона) приводит к 4 уравнениям 1 -го порядка. Уравнения Пуассона - линейная система 3 цикличных уравнений для трех зависимых координат Yi»У2' Уз °Рта неподвижной оси в связанной системе xyz, определяющихся углами ф, 8 [2].
В данной статье из (1) получено одно линейное однородное уравнение 3-го порядка для eos 8 (содержащее одну заданную временную функцию), нелинейное уравнение 2-го порядка для cos6 .
В связанной с телом плоскости ху введем вектор П(р, q) и у - угол между Q и осью .г (р = Qcosy. q = Qsinу). Обозначим знаком «'» производную по интегральному безразмерному времени т:
т =¡n(t)dt. (2)
о
Тогда система (1) примет вид
\y'sine = sin^ + %), 0' = соб(ф + х),
Vcos9 = ~-V. (3)
Перемножим 1-е, 2-е уравнения и cosG; тогда, учитывая 3-е уравнение, получим:
^ -фЧзтбсов^ + х)= вт(ф + x)cos9• 8'.
Прибавив к обеим частям ^' + x')sin8cos^ + x) и используя 2-е уравнение, имеем:
[sin 0зт(ф + х)Г = cf(t)sin 9 • 8', 196
где введена известная функция о, зависящая от р, q, г (линейно зависящая от г):
о(т)«£ + х', = П2=р2+Ч2. (4)
Учитывая равенство
sin2 9sin2((p + х) = 1 - cos2 0 - [(cos9)']2 и вводя вместо 6 функцию s = cos9, получим для нее нелинейное уравнение 2-го порядка:
1-í2-i'2) =-ол-г, |s|<l, (5)
иди после дифференцирования и возведения в квадрат другое уравнение
,2+y2+^£±£j2=1> (6)
Дифференцируя его по т, придем к линейному однородному уравнению 3-го порядка для функции д- = cos 6:
í"--í" + (1 + ct2)í'- — s = 0, (7)
a a
которое можно записать в компактной форме:
S + S
1 -= —гт«'
= -си'. (8)
о ]
Уравнение (8) приводится к линейной системе где
5]=л\ л'2 = .V , Л'з --, с кососимметричнои вырожденной
а
' О 10^ матрицей С = -1 0 ст О -а О,
С помощью замены = № из (7) получим уравнение 2-го порядка (разрешенное относительно старшей производной без радикалов):
и" + Р^{и)и' + Ръ{и) = 0, (9)
где Р1(и) = 3и Р3(и) = и3-~и2+(1 + а2)и-—, и = ^9-9'. о а о
Уравнение (9) приводится к уравнению Риккати [3]:
u' = -ll2+gu + h, (10)
если его коэффициенты ,§-(т) и Л(т) удовлетворяют системе:
ё' + 82 -~Я + И + 1 + о2 =0. (11)
а
Уравнение (7) приводит к линейному однородному уравнению 2-го порядка для s и уравнению (10) (g = а'/а, h = -1 - er -(ст'/ст) ), если а(т) удовлетворяет уравнению (интегрируемому с помощью замены w= 1п: ст )
(ст'/о)" + 2стст' + ст'/ст = 0.
При постоянной ст = стс из (7) имеем cos8 = s = s, + asin(^t + а), к2 = 1 + а2, а2 = к"1 - si /{к2 - l), тогда из (4) г(т) выражается через р(т), q(т); в случае а = 0 - регулярная прецессия ( 9 = 80 ).
Если из (7) найти для заданной ст(т) решение i(t), то получим б(х); из 2-го уравнения (3) - ф(т), а из 3-го уравнения интегрированием по х -ф(т). С помощью (2) найдем углы 0, ф, ц/ как функции времени t, т. е. движение тела относительно неподвижного пространства.
Кинематические уравнения Эйлера для корабельных, самолетных и других углов Эйлера можно привести к виду ( 1 ).
Если заданы р, q, 9, то с учетом (2) из (6) можно найти ст, а из (4) -г ; тогда из динамических уравнений Эйлера находится момент внешних сил относительно неподвижной точки.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Darboux G. Leçons sur la théorie générale des surfaces. Paris: Bibl. Gauthier-Villars, ¡887. T. 1, chap. II.
2. Лурье A.lï. Аналитическая механика. M.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961.
3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961.
УДК 531^629
Ю. Н. Челноков
ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА - ИШЛИНСКОГО О ТЕЛЕСНОМ УГЛЕ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЕ НА НЕГОЛОНОМНОЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА*
Одной из замечательных теорем кинематики твердого тела, имеющей важные приложения в инерциальной навигации и гироскопической технике, является теорема о телесном угле. В геометрической постановке эта теорема впервые была сформулирована У. Р. Гамильтоном изначально как теорема о сложении любого числа конечных конических поворотов, а затем как теорема о сложении бесконечного числа конических инфинитези-
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 05-01-00347).
198
