Об определении ориентации твердого тела по его угловой скорости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.3

А.В. Молоденков

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ОРИЕНТАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПО ЕГО УГЛОВОЙ СКОРОСТИ

Рассматривается задача определения углового положения твердого тела в пространстве по его известной угловой скорости и начальному положению (задача Дарбу) в кватернионной постановке. Приводится решение задачи для произвольного вектора угловой скорости твердого тела, построенное на основе рекуррентных соотношений И.А. Лаппо-Данилевского [1].

A.V. Molodenkov

RIGID BODY ORIENTATION DETERMINATION BY ITS ANGULAR VELOCITY

The problem of determination of a rigid body spatial angular position by its angular velocity and initial state (the Darboux’s problem) is considered in quaternion formulation. The solution of this problem for an arbitrary vector of a rigid body angular velocity which constructed on the base of I.A. Lappo-Danilevski’s recurrent expressions [1] is adduced.

1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу Коши для кватернионного кинематического уравнения [2,3] с произвольной заданной дифференцируемой вектор-функцией угловой скорости ra(t), записанную в следующей форме:

2 Л‘=Л о 0(t) , (1.1)

A(t0) = Л0. (1.2)

Здесь Л = ^0 +^1i1 + Л,2i2 +^3i3, где ik (k=1,2,3) - орты гиперкомплексного пространства, - кватернион, описывающий положение твердого тела в инерциальном пространстве;

o(t) = ra1(t)i1 +Q2(t)i2 +Q3(t)i3 - вектор угловой скорости твердого тела, заданный своими проекциями на оси системы координат, связанной с твердым телом; символ «о» означает кватернионное произведение; Л0 - начальное значение кватерниона A(t) при t=t0, te[t0,ro) (для простоты положим Л0=1, t0=0). Требуется определить кватернион Л(^.

Кватернионной записи задачи эквивалентна запись в матричной форме с использованием, например, кватернионных матриц n-типа [4]:

п(Л) =

X0 - X1 -X2 - X3

Xl X0 X3 -X 2

X 2 -X3 X0 Xl ’

_X 3 X2 - X1 X 0 _

, п(ш) =

0 - ш1 Ш 2 -ш

ш1 0 ш3 -ш

ш2 - ш3 0 ш

ш3 ш2 - ш1 0

(1.3)

2п(Л)' = n (ш^)) п(Л),

(14)

чмо;»=п(л o).

(1.5)

Задача (1.1), (1.2) ((1.4), (1.5)) и есть задача Дарбу в кватернионной постановке.

Известно несколько подходов к решению данной задачи: сведение с помощью замен переменных исходных уравнений к нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка типа Риккати (подход Дарбу [2]) или к линейному дифференциальному уравнению второго порядка [5] с переменными коэффициентами относительно комплексной неизвестной; отождествление задачи Дарбу с задачей определения вектор-функции по известным модулям ее производных [6], когда задача Дарбу сводится к решению линейного дифференциального уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами относительно действительной неизвестной. При этом аналитическое решение задачи Дарбу в замкнутой форме для произвольного вектора угловой скорости твердого тела при всех подходах не найдено. Найдено лишь несколько частных случаев, допускающих построение точного решения этой задачи [3, 7-12].

Вместе с тем, как показано в [13], система линейных дифференциальных уравнений первого порядка с кососимметрической матрицей коэффициентов является приводимой по Ляпунову, т.е. существует замена переменных (преобразование Ляпунова), приводящая данную систему к системе с постоянными коэффициентами. Система уравнений (1.4) задачи Дарбу имеет кососимметрическую матрицу коэффициентов и, таким образом, задача Дарбу является приводимой по Ляпунову. Следовательно, поиск решения задачи Дарбу в замкнутой форме для общего случая заданной угловой скорости твердого тела не является безнадежным.

2. Приведение задачи Дарбу к удобной для изучения форме. Осуществим в задаче

(1.1), (1.2) ряд замен переменных, упрощающих задачу. Замена зависимой переменной в уравнении типа (1.1) будет иметь вид:

где и=и(і) - новая искомая кватернионная переменная; V=V(і) - задаваемый оператор (кватернион) перехода к новому уравнению вида (2.2); и=В(і) - кватернионный коэффициент уравнения (2.2), имеющий смысл угловой скорости некоторой новой системы координат.

Для большей наглядности проводимых ниже замен переменных типа (2.1), (2.2) орто-

Л = U о V,

2U * = U о B(t) ,

B = V ош(0 о V-1 - 2V* о V-1,

(2.1)

(2.2)

(2.3)

тональное преобразование V ° ш(і) ° V 1, входящее в (2.3), приведем в координатной форме:

г = V о ш(і) о V^ = г1 і1 + г2 і2 + г3 і3 ,

rl = (Ш1(^0 + vl2 - v22 - v32) + 2ш 2 (vl v2 - v0v3) + 2^(vlv3 + v0v2))/in , r2 = (2ші (viv2 + v0v3) + Ш2(^0 + v22 - vf - v32) + 2ш 3 (v2v3 - vovl))/\V\ , r3 = (2Ш1(V1V3 - v0v2) + 2ш 2 (v2v3 + v0vl) + Ш3(V02 + v32 - v1 - v22))/И .

Рассмотрим замену зависимой переменной

Л = U1 о V,

(2.4)

где

а «exp (.)» обозначает кватернионную экспоненту [4]

exp(Z) = exp(zo)(cos( zv\) + sin(\zvРzj\ zvI) ,

где z0, zv = zJiJ + z2i2 + z3i3 - скалярная и векторная части кватерниона Z соответственно,

| zv| = (zj/j + z2i2 + z3i3 )2 (векторная часть кватерниона Z(t) при этом должна иметь постоянное направление).

В результате задача Дарбу (1.1), (1.2) перейдет в задачу

2UJ = U1 о ^.(t )^- i1 sin у(т)ёт | + i2 cos у(т)ёт| | , (2.7)

^.(t) = cosш1 (т)ёт|ш2 - sinш1(т) Jt^|q3, (2.8)

Uj(0) = 1, (2.9)

где v(t) определяется формулой (2.6).

Осуществим теперь замену независимой переменной t:

t

t ^ ф, ф = |у(т)ёт = Ф(:), t = Ф-1 (ф), (2.10)

0

ёф = v(t)dt, ёф/dt = v(t), (211)

получим:

2dU2/ёф = U2 о •та(ф), (2.12)

то(ф) = f (ф)(- sin ф + i2 cos ф), (2.13)

U2 (0) = 1, (2.14)

где U2 (ф) = UJ(K-J(ф)), f (ф) = д(ф-1 (ф))/г (ф-1(ф)).

Следует отметить, что замена переменной (2.10), (2.11) носит локальный характер, так как должна существовать однозначная обратная функция Ф-1(ф); однако она не является обязательной с точки зрения дальнейшего рассмотрения задачи Дарбу и проведена для придания большей наглядности задаче (2.7), (2.9).

Векторный коэффициент в уравнении (2.12) по-прежнему имеет смысл вектора угловой скорости некоторой системы координат, но в отличие от произвольного переменного вектора o(t) в уравнении (1.1), в (2.9) вектор угловой скорости то (2.13), оставаясь, в общем случае, переменным по модулю, совершает вполне определенное движение - вращается в плоскости (i1,i2) вокруг оси i3 (данное движение является частным случаем конической прецессии).

3. Решение задачи Дарбу на основе рекуррентных соотношений. Как было показано в п.2, задача Дарбу (1.1), (1.2) с произвольным заданным вектором угловой скорости

твердого тела сводится к задаче (2.7), (2.9), решение которой в замкнутой форме найти по-

прежнему затруднительно. Однако можно получить решение задачи (2.7), (2.9) на основе рекуррентных соотношений И. А. Лаппо-Данилевского [1], которые справедливы для линейных дифференциальных систем второго порядка. Матрицы коэффициентов этих систем должны быть разложимы на сумму двух произвольных постоянных матриц, умноженных на две произвольные аналитические функции соответственно.

Для этого перепишем задачу (2.7), (2.9) в матричном виде с использованием комплексных параметров Кейли-Клейна [3]:

Y *= Y [Njg (t) + N2 g2 (t)], (3.1)

Y (0) = E, (3.2)

где

a P

Y =

у 5

a = u0 + iu3, P = u2 + iuJ, y = u2 + iuJ, 5 = u0 -iu3 , (3.3)

Uj, j = 0,3 - компоненты кватерниона U1,

N =

0 1' 1 0

N2 =

0 -1'

10

(3.4)

gl(t) = -І |д(і )віп (С у(т) От), g2 (і) = |д(і )со8 ((0 у(т) °х)

Е обозначает единичную матрицу.

Следует отметить, что так как сведение исходной задачи Дарбу (1.1), (1.2) к задаче вида (3.1)-(3.4) носит не единственный характер, то в выражениях (3.1), (3.4) матрицы N1, N и функции g1(і), g2(і) могут иметь и другой вид.

Выполним процедуру, указанную в [1], для задачи (3.1), (3.2). Обозначим через $(1), $(2) и $(21), $(22) характеристические числа матриц N1 и N (3.4) и положим N1 -$(1)Е = Щ, N2 -$(21)Е = N2. Получим:

$« = 1, $(2>=-1; $21) = І, $<2>=-/

N1 =

-1 1

1 -1

N2 =

- і -1

1 - І

(3.5)

(3.6)

Характеристические числа двух новых матриц равны:

0, =-2; 0, =-2/. (3.7)

Положим еще

°(^2 )=Р = 2/ , (38)

где «о(.)» обозначает след матрицы.

В соответствии с [1], интегральная матрица системы (3.1), обращающаяся в единичную матрицу Е в точке *=0, может быть представлена в виде:

^) = ехр^1^! (т) + ^(2^2 (Т)]] [Е + ^ф„(р|^2І і) + NlN2Ф12 (РІ^1^2І 0-

+ N2 “^іФ21 (Р|^1^2І і ) + N2Ф 22 (р|^1^2 I і )],

где коэффициенты фи(р|^2|*) (к, I = 1,2) суть целые функции параметра р:

ад

Фи (Р^2I* Ыр'фи )(Ш * ),

г=0

причем функции фк)1 ^{;Д2| *) определяются рекуррентными соотношениями:

(3.9)

(3.10)

ф1?)(Щ і ) =

еХР[$1 (g1(т)dт] -1

/ $1,

ф!2)(^У і )= еХР[$2 ( g 2 (т)От] ( g 2 (т)еХР[1[ (У)-$2 g 2 (т,)]°Х,] / $1 -

0

ЄХР[$2 ( g2 (Т)0Т] - 1

0

/ $1$2,

Ф(2°1)($1$2| І)= ЄХР[$1 ( ^(т)От] ( gl (т)еХР[Я$2g2 (т')-$1&(т')]]'] От / $2 -

0 0 0

ЄХР[$1 ( gl(т)dт] - 1 / $1$ 2 ,

і 0 -

ЄХР[$2 }g2 (Т)0Т] - 1 / $2 ,

0

(3.11)

Ф22 ($1$2 I І) =

ф(1 )($1$21і)=еХР [$1 (gl(т)От] (gl(т) ф(;2-1)($і$2і т) еХР [-$1 (gl (т')От'] :

гг т

ф|2 ^ ) = еХР[^2 | £2 (т)т] | £2 (Т)ФП Т)еХр[-^2 { g2 (т')т'] дх ,

0 0 0

гг т

Ф21 )(^1^21г) = ехР[^11£1(т) Л] |^ООф^ЖУт)ехР[-^1£1 (т')т']дх,

0 0 0

г г т

Ф(2^)(^1^2 I г) = еХР[^2 | £2 (т)т] | £2 СОФ^^У т)еХр[-^2 | £2 (т')й?Т'] Vг £ [°, »)

0 0 0

или же, для большей наглядности,

У(г) = ехр[ } [^1)£1(т) + ^21)£2 (т)]][Е + 1ру (^ + жДф^ + N2 ^ + #2Ф22)], (3.12)

0 у=0

где степенной ряд от параметра рр , как показано в [1], сходится равномерно.

Переходя от комплексных параметров Кейли-Клейна а, Р, у, 5 обратно к компонентам кватерниона и0, щ, и2, и3 по формулам (3.3) и учитывая замену переменных (2.4)-(2.6), получим решение задачи Дарбу (1.1), (1.2), построенное на основе равномерно сходящегося ряда (3.12) ((3.9),(3.10)), коэффициенты которого связаны рекуррентными соотношениями (3.11).

Следует отметить, что на основе выражений типа (3.9) могут быть получены новые частные случаи интегрируемости задачи Дарбу в замкнутой форме (при р=0). В [1] указаны условия на матрицы Ы\, N линейной дифференциальной системы вида (3.1), при которых р=0: если матрицы Ы\, N удовлетворяют одному из условий

2а(ЛГ,А)- о(ЛТ, )о(Л ) + ел/кл'1 )2 -4ёе!N)]• [ст(#2)2 -4ёе! (Ы2)] = 0, (3.13)

где 8=1 или 8= -1, то интегральная матрица системы (3.1), обращающаяся в Е в точке г=0, может быть представлена в виде

Y(г) = еХР[ } (т) + ^£2 (т)]] [Е + [П } + ^ДФп + ^2« + ^Ф^ ] .

0

Накладывая определенные условия на вектор угловой скорости о (г) в исходной задаче

(1.1), (1.2) и используя соответствующие замены переменных вида (2.1)-(2.3) можно получить достаточно широкий класс систем типа (3.1), удовлетворяющих условию (3.13). Тем самым, будет получен целый ряд частных случаев интегрируемости задачи Дарбу (1.1), (1.2) с помощью квадратур.

Заключение. В статье предложены преобразования, приводящие кватернионное кинематическое уравнение вращательного движения твердого тела при произвольной заданной вектор-функции угловой скорости (задачу Дарбу) к линейной дифференциальной системе, матрица коэффициентов которой отвечает некоторому новому переменному вектору угловой скорости, прецессирующему вокруг одной из осей декартовой системы координат.

Для этой новой формы кинематических уравнений получено решение задачи Дарбу, построенное на основе рекуррентных соотношений И. А. Лаппо-Данилевского.

Оговорено получение новых частных случаев разрешимости задачи Дарбу в замкнутой форме.

Следует отметить, что все представленные в статье результаты (вектор угловой скорости твердого тела задается своими компонентами в связанной с твердым телом системе координат) могут быть получены и для случая, когда вектор угловой скорости твердого тела задается своими проекциями в инерциальной системе координат.

Автор благодарит профессора Ю.Н. Челнокова за обсуждение работы и полезные замечания.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 05-01-00347).

ЛИТЕРАТУРА

1. Лаппо-Данилевский И. А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / И. А. Лаппо-Данилевский. М.: Гостехиз-дат, 1957. 456 с.

2. Лурье А.И. Аналитическая механика / А.И. Лурье. М.: Физматгиз, 1961. 824 с.

3. Бранец В.Н. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела /

В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский. М.: Наука, 1973. 320 с.

4. Плотников П.К. Применение кватернионных матриц в теории конечного поворота твердого тела / П.К. Плотников, Ю.Н. Челноков // Сб. научно-методических статей по теоретической механике. М.: Высшая школа, 1981. Вып. 11. С. 122-129.

5. Челноков Ю.Н. Кватернионы и связанные с ними преобразования в динамике симметричного твердого тела. Ч. 2 / Ю.Н. Челноков // Известия РАН. МТТ. 1998. № 5. С. 3-18.

6. Иванова Е.А. Об одном подходе к решению задачи Дарбу / Е. А. Иванова // Известия РАН. МТТ. 2000. № 1. С. 45-52.

7. Зубов В.И. Аналитическая динамика гироскопических систем / В.И. Зубов. Л.: Судостроение, 1970. 317 с.

8. Каленова В.И. О применении методов теории приводимости к некоторым задачам динамики гироскопических систем / В.И. Каленова, В.М. Морозов // Известия АН СССР. МТТ. 1987. № 1. С. 8-14.

9. Морозов В. М. Оценивание и управление в нестационарных линейных системах /

B.М. Морозов, В.И. Каленова. М.: Изд-во МГУ, 1988. 143 с.

10. Сачков Г.П. Об интегрируемости кинематических уравнений вращения / Г.П. Сачков, Ю.М. Харламов // Известия АН СССР. МТТ. 1991. № 6. С. 11-15.

11. Челноков Ю.Н. Об определении ориентации объекта в параметрах Родрига-Гамильтона по его угловой скорости / Ю.Н. Челноков // Известия АН СССР. МТТ. 1977. № 3.

C. 11-20.

12. Плотников П.К. Измерительные гироскопические системы / П.К. Плотников. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. 167 с.

13. Еругин Н.П. Приводимые системы / Н.П. Еругин // Тр. МИАН им. В.А. Стеклова. 1947. Т. 13. С. 1-95.

Молоденков Алексей Владимирович -

кандидат технических наук,

старший научный сотрудник лаборатории «Механика, навигация и управление движением» Института проблем точной механики и управления РАН, г. Саратов

Статья поступила в редакцию 22.03.06, принята к опубликованию 10.10.06