Некоммутативные кинематические эффекты вращения твердого тела вокруг точки и их проявления в особенностях построения бесплатформенных систем ориентации на лазерных и волоконно-оптических гироскопах Текст научной статьи по специальности «Физика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 181-183

181

УДК 531.1

НЕКОММУТАТИВНЫЕ КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ТОЧКИ И ИХ ПРОЯВЛЕНИЯ В ОСОБЕННОСТЯХ ПОСТРОЕНИЯ БЕСПЛАТФ ОРМЕННЫХ СИСТЕМ ОРИЕНТАЦИИ НА ЛАЗЕРНЫХ И ВОЛОКОННО-ОПТИЧЕСКИХ ГИРОСКОПАХ

© 2011 г. Н.И. Кробка

НИИ прикладной механики им. В.И. Кузнецова - филиал Центра эксплуатации объектов космической инфраструктуры, Москва

KrobkaNick@msn.com

Поступила в редакцию 16.05.2011

Представлены некоммутативные кинематические эффекты вращения твердого тела вокруг точки, замеченные автором (за период 1980-2010 годов) в процессе исследований и разработок бесплатфор-менных инерциальных систем ориентации и бесплатформенных инерциальных навигационных систем на лазерных гироскопах и волоконно-оптических гироскопах, а также при выяснении физического эффекта, препятствующего интегрируемости в квадратурах кинематических уравнений.

Ключевые слова: твердое тело, вращение, некоммутативность, кинематические уравнения, интегрируемость, бесплатформенная инерциальная система, лазерный гироскоп, волоконно-оптический гироскоп.

Модель твердого тела (ТТ), вращающегося вокруг точки, — одна из центральных в теории бесплатформенных инерциальных систем ориентации (БИСО) и бесплатформенных инерциальных навигационных систем (БИНС). В кинематике вращений ТТ вокруг точки [1, 2] некоммутативность проявляется во многих наблюдаемых эффектах. Известна некоммутативность ко -нечных поворотов [3], ТТ может поворачиваться вокруг оси в случае, если проекция вектора угловой скорости (ВУС) на эту ось строго равна нулю (теорема А.Ю. Ишлинского «О телесном угле» [4, 5] и ее обобщения [6]). В процессе исследований и разработок БИСО и БИНС на лазерных гироскопах (ЛГ) и волоконно-оптических гироскопах (ВОГ) автором были замечены (за период 1980—2010 годов) некоммутативные кинематические эффекты (НКЭ), не сводящиеся к ранее известным эффектам [7—19]. Множество этих НКЭ представлено в систематизированном виде.

Классификация некоммутативных кинематических эффектов

Решения кинематических уравнений (КУ) представляются сходящимися рядами последовательных приближений (РПП). НКЭ называется НКЭ Ы-го порядка, если для его обнаружения необходимо N приближений РПП, т.е. учет членов РПП п є [1, N — 1] не обнаруживает

НКЭ Ы-го порядка [14, 18]. НКЭ Ы-го порядка не сводятся к НКЭ более низких порядков. Не-голономные ошибки [4, 5] (топологические фазы [20]) — это НКЭ второго порядка (Ы = 2). Пример НКЭ произвольного Ы-го порядка: проекции ВУС — производные (Ы — 1)-го порядка от белых шумов (и иных стационарных процессов), при этом угол эйлерова поворота (УЭП) возрастает во времени, но учесть рост УЭП можно только в Ы-м приближении РПП решений КУ [18].

Проблема интегрируемости кинематических уравнений в квадратурах

На основании симметрии КУ Эйлера — Пуассона [16]: «неподвижный/вращающийся наблюдатель — вращение вправо/влево» угловая ориентация ТТ в общем случае произвольно изменяющегося во времени и в пространстве ВУ С выражена в конечном виде в терминах проекций ВУС и вектора углового ускорения на оси связанной и неподвижной систем координат (СК) [15, 16]. Если заданы проекции ВУС только в связанной или в неподвижной СК, решения КУ в общем случае в квадратурах не известны. Препятствием интегрируемости КУ является НКЭ 3-го порядка — асимметрия вращения вправо и влево. Вращения, отличающиеся знаком («+» и «—») проекций ВУС, асимметричны (в случае и только в случае некомпланарного ВУ С

182

Н.И. Кробка

в связанной либо в неподвижной СК) — УЭП вращений вправо и влево (s+ и s—) не совпадают при вращения вокруг точки (s+ ^ s—) в отличие от вращения вокруг оси. Этот НКЭ препятствует интегрируемости КУ в прямом смысле: если бы не было асимметрии вращений вправо и влево, то КУ интегрировались бы в квадратурах. Асимметрия вращений ТТ вправо и влево демонстрируется парами последовательностей конечных поворотов, моделирующих вращения с некомпланарным ВУС [18]:

e1(±n /2) — e 2(±п/2) — e 3(±п /2) —

— e2(±n/2) — e3( ±п) ^ s+ Ф s_, (1) i1 (±п /2) —— i 2 (±п/2) —— i 3(±п /2) ——

— i 2(±п/2)—i 3( ±п) ^ s +Ф s_. (2)

ek(9) — поворот на угол ф вокруг оси ek связанной СК, іп(ф) — вокруг оси in (k, n = 1, 2, 3) неподвижной СК.

Прикладные аспекты

Обсуждаются строгие КУ ошибок БИСО и теория возмущений их решений. Комментируются НКЭ первого и второго порядка, проявляющиеся в закономерностях накопления во времени ошибок БИСО [8—12], в процессе калибровки трехосных ЛГ с одним общим вибратором и на реверсивно вращающемся основании [11—

14, 19], а также особенности БИСО на основе многоосных ВОГ с одним общим источником излучения [17] и особенности калибровки БИСО при вибрационных испытаниях.

Список литературы

1. Euler L. Decouverte d'un nouveau principe de me'canique //Mem. Acad. Sc. Berlin. 1752. V. б. P. 185—217.

2. Poisson S. D. Traite de me'canique. V 2. Paris: Bachelier, Imprimeur-Librairepour les math, 1833. 782 p.

3. Rodrigues O. Des lois ge'ometriques qui regissent les deplacements d'un systeme solide dans l'espace, et de la variation des coordonnees provenant de ses deplacements consideres independamment des causes qui peuvent les produire // J. Math. Pures. Appl. 1840. Vol. 5. P. 380—440.

4. Ишлинский А.Ю. Механика специальных гироскопических систем. Киев: АН УССР, 1952. 432 с.

5. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М.: Наука, 197б. б70 с.

6. Жбанов Ю.К., Журавлев В.Ф. О некоторых свойствах конечных поворотов твердого тела при наличии неголономной связи // Изв. АН СССР. МТТ. 1978. № 1. С. 9—14.

7. Кробка Н. И. Лазерные гироскопы и их применение в БИНС. Ч. I. М.: НИИ ПФ, 1981. 58 с.

8. Кробка Н.И., Свиридов М.В. О влиянии случайных возмущений угловой скорости на решение ки-

нематической задачи // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. №1. С. 145—150.

9. Кробка Н.И., Свиридов М.В. Влияние случайной частотной подставки в кольцевом лазере на точность измерения вращения // Квантовая электроника. 1985. Т. 12. №2. С. 3б3—3б7.

10. Krobka N.I. Accurate error equations of the strapdown inertial navigation systems // The Second Soviet-Chinese Symposium on Inertial Technology, Saint Petersburg, 9—15 October, 1991.- SPb.: Central Scientific and Research Institute «Electropribor». 1992. P. 43—50.

11. Krobka N.I. Application features of three-axis laser gyros in strapdown inertial navigation systems / The IV Russian-Chinese Symposium on Inertial Technology, Saint Petersburg, 1993, September 27 October 1. SPb. 1993. P. 54—б3.

12. Кробка Н.И. О некоммутативных кинематических эффектах и их проявлениях в трехосных лазерных гироскопах // Гироскопия и навигация. 1994. № 2. С. 88.

13. Кробка Н. И., Сапожников И. Н. Работы по лазерной гироскопии в научно-исследовательском институте прикладной механики имени акад. В. И. Кузнецова // I Санкт-Петербургская международная конференция по гироскопической технике, Санкт-Петербург, 25—2б мая 1994 г СПб. 1994. С. 3—13.

14. Кробка Н.И. Некоммутативные кинематические эффекты и их особенности в лазерной гироскопии и бесплатформенной инерциальной навигации // II Санкт-Петербургская международная конференция по гироскопической технике и навигации, Санкт- Петербург, 24—25 мая 1995 г. Ч. I. СПб. 1995. С. 151.

15. Кробка Н.И. Об условиях интегрируемости кинематических уравнений Эйлера — Пуассона в квадратурах // V Санкт-Петербургская Междунар. конф. по интегрированным навигационным системам, 25—27 мая 1998 г. СПб. 1998.С. 43—50.

16. Кробка Н.И. Решение кинематической задачи Эйлера // Гироскопия и навигация. 2005. №3. С. 105—122.

17. Кробка Н. И. Новый некоммутативный кинематический эффект и его проявления в бесплатформен-ных инерциальных системах ориентации на основе волоконно-оптических гироскопов // Гироскопия и навигация. 2009. №1. С. 3б—51.

18. Кробка Н.И. Некоммутативные кинематические эффекты и закономерности накопления шумов во -локонно-оптических гироскопов в бесплатформенных инерциальных системах ориентации // XVI Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам. Сб. материалов. Санкт-Петербург, 25—27 мая 2009 г. СПб.

2009. С. б9—72.

19. Кробка Н.И. Особенности калибровки трехосных лазерных гироскопов на одном общем вибраторе и на реверсивно вращающемся основании (30 и 20 лет спустя) // XVII Санкт-Петербургская Междунар. конф. по интегрированным навигационным системам, Санкт-Петербург, 31 мая — 02 июня 2010 г.: Сб. матер. СПб.

2010. С. б0—б3.

20. Малыкин Г. Б., Харламов С. А. Топологическая фаза в классической механике // УФН. 2003. Т. 173, №9. С. 985—994.

AN EXPERIMENTAL-COMPUTATIONAL TECHNIQUE TO DETERMINE NATURAL FREQUENCIES OF A STRUCTURE

N.I. Krobka

Non-commutative kinematic effects of solid body rotation around a point, observed by the author (during the period from 1980 to 2010) in the process of research and development of strapdown inertial orientation systems and a strapdown inertial navigation system based on a laser gyro and fiber-optic gyros, as well as clarifying the physical effect of preventing the integrability in quadratures of the kinematic equations are presented.

Keywords: solid body, rotation, noncommutativity, the kinematic equations, integrability, strapdown inertial system, a laser gyroscope, fiber-optic gyroscope.