ТЕОРЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОГО ВЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ВЕСОМОГО КЛАССА СОБОЛЕВА С.Л. Wlpσ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Проверить, удовлетворяют или нет векторы V, и 1¥/- условию (а).

позволяют следующие леммы из [2], ко торые приводятся в новой формулировке, учитывающей введенные обозначения.

ЛЕММА 1. Для фиксированного / (1 < ]<п) х.м. М(К ) содержится

в выпуклой оболочке х.м. Мл и всех тех точек ^ , для которых множество содержит число у.

ЛЕММА 2. Для фиксированного / (1 < _/'<и) х.м. М(И/'!) содержится в выпуклой оболочке х.м. Мд и всех тех точек Х/к < Для которых множество .!к не содержит число /.

Имеются примеры простых пучков Да), которые не являются нормальными по терминологии [2] (то есть георема об л-кратной полноте системы их с.п.ф. в пространстве £2[0,1] из [2] здесь не имеет места), но, тем не менее, из сформулированных теорем вытекает и-кратная полнота в ¿.т [0,1] системы их с.п.ф. Из-за офаниченности объема статьи эти примеры здесь не приводятся.

1. Шкаликов А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. М.. 1983. Т. 9. С. 190-229.

2. Рыхлое В. С. On completeness of eigenfunctions for pencils of differential operator // Spectral and Evolutional problems: Proceedings of the Seventh Crimean Autumn mathematical School-Symposium. Simferopol, 1997. Vol. 7. P. 70-73.

Л. В. Сахно

ТЕОРЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОГО ВЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ВЕСОВОГО КЛАССА С. Л. СОБОЛЕВА

В статье дана в терминах -нормы характеристика весовых классов С. Л. Соболева IV'р а.

Пусть I = (/],...,/„) - вектор с натуральными координатами, а Ст - область в К" вида б = : х'= (х1,...,х„„,)е ф(х') < д;,, < х}, где функция ф удовлетворяет уравнению Гельдера

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

УДК 517.51

<=1

(очевидно, что при lj >ln функция ф не зависит от Xj).

Для вещественных р > 1

(0)44,(0)'

где вес р определен равенст вом

р(х) = тш[1,*„-<р(*')]-

Нетрудно проверить, что функция р в приграничной полосе эквивалентна обобщенному расстоянию

п А

p(x,8G) = inf XI xi - У-, I'" •

ytcC •

1=1

Положим

\fh (G) = IN'/!L

»¿».„(О

(=1

где О/ /, 1 = 1,...,п, - обобщенные в смысле С. Л. Соболева производные порядка /,- но г -й переменной.

Г 1 1 Л « 1

Пусть 1<р<(/<со, к =---Е-<1. Известна [1] оценка

\р ч)ми

где у = а - /„(1 - к) и константа С не зависит от /. Другими словами, имеет место вложение

Определим так называемые (р^) -модули.

Пусть V е Ъ", г е N, е,- - орт г -й координатной оси, /? > 0. Положим

f iMS

Л'(/г;<7)/| x + vhl

'¿»[А' ]

где v/г

П(°>А ) i>

Arj(h;G)f - разность порядка г по ;-й переменной на множестве G. Определим слои R'k' (Я > 2) при натуральных к :

R? = {*: jceG, Я"* <х„ -ф(х,)<2Я"4+1}.

Заметим, что равномерно относительно & р(х)~Н~к при х е /?/'' . Обозначим

''/».о 'р

ТЕОРЕМА. Пусть \<p<q <00, к = | - —- ¿-<1, у = ст-/„(1-к).

Тогда эквивалентны

У sup h~l'+l'K

/=10<Л<Ло

Р ч)ы\1i

причем из конечности второй полунормы следует существование указанных производных.

Замечание. Вторые полунормы в теореме при различных II >2 эквивалентны.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кочарли А. Ф. Некоторые весовые теоремы вложения в область с негладкой границей //'Гр. МИАН СССР. 1974. Т. 131. С. 128 - 146.

УДК 517.51: 518

С. Ю. Советникова

О СКОРОСТИ АППРОКСИМАЦИИ РЕШЕНИЯ ОДНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА*

Рассмотрим интегральное уравнение первого рода:

*fv_ л"1-1

Au = р—-u(t)dí = f(x).

о (т-1)!

Пусть ueMœ C[a,b\, где M = {и(х) е С[0,1] : и - .4*v,|!v||, <1}.

'-2

Для решения этого уравнения рассмотрим метод регуляризации нулевого порядка. В этом методе приближение к решению находится из уравнения

аиа + А* Аиа = A f. Известно, что иа(х)-^>и при а—»0 в метрике пространства L2[a,b) [1J, а если и е R(A*), то и в метрике пространства С[а,Ь] [2]. Обозначим через Ra следующий оператор:

Ra =(аЕ+ А*А)~' А* (а>0 - параметр).

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1 ).

112