CC BY
20
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 148, кн. 4
Физико-математические пауки
2006
УДК 519.6
СХЕМЫ МКЭ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОЙ ДВУХТОЧЕЧНОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ С ВЫРОЖДЕНИЕМ
Ш.И. Тактов, М.Р. Тимербаев
Аннотация
Для неоднородной двухточечной задачи Дирихле с вырождающимися па границе коэффициентами построены схемы метода конечных элементов высокого порядка аппроксимации, основанные па мультипликативном выделении особенности решения задачи. Получены оценки погрешности метода, доказывающие его оптимальность па классе правых частей заданной гладкости.
Введение
Известно (см.. например. [1 4]). что решение задачи Дирихле для эллиптического уравнения с вырождающимися коэффициентами имеет неограниченные производные в окрестности точек вырождения. Поэтому применение стандартных проекционно-сеточных схем для дискретизации таких задач приводит к потере сходимости приближенных решений к точному в окрестности точек вырождения коэффициентов дифференциального оператора задачи. Для численного решения рассматриваемого класса задач предлагались различные подходы. Так. в работе [5] построение приближения основано на специальной замене переменных, при которой в новых координатах используется обычная разностная схема. В работах [6 10] анализировался метод конечных элементов (МКЭ) со сгущающейся к особым точкам сеткой. Отметим, что построение сгущающейся сетки в областях со сложной геометрией является нетривиальной задачей. Кроме того, для многомерных областей размер результирующей системы МКЭ с уменьшением характерного шага сетки растет существенно быстрее по сравнению с квазиравномерными сетками. Следствием этого является медленная сходимость метода.
Принципиально иной подход предложен в работе [11]. В этой статье аппроксимация основывается на мультипликативном выделении особенности, а именно, решение задачи представляется в виде произведения двух функций, одна из которых имеет весьма простой вид и отражает характерное поведение решения в окрестности точек вырождения коэффициентов дифференциального уравнения, а другая объявляется новой искомой функцией. Причем, как следует из априорных оценок [4]. эта функция гладкая, и для ее аппроксимации можно использовать обычные конечные элементы на квазиравномерной сетке. Таким образом, данный метод фактически приводит к стандартному МКЭ с оптимальной сходимостью.
Во всех указанных выше работах рассматривались однородные граничные условия Дирихле. Целыо настоящей работы было построение схем МКЭ высокого порядка точности для неоднородной двухточечной задачи Дирихле с вырождением коэффициентов на границе. Для того чтобы можно было использовать преимущества метода с мультипликативным выделением особенности, неоднородная граничная задача сводится к однородной с помощью так называемой функции продолжения (граничных значений в область), построение которой описано в п. 2.2.. В работе
доказано (теорема 9). что предложенный метод имеет оптимальный порядок сходимости на правых частях заданного класса гладкости. Приведены результаты численных экспериментов, подтверждающие теоретические оценки точности рассматриваемого метода.
1. Обозначения и вспомогательные результаты
Введем весовые классы функций. Для вещественного 7 через ¿2Г/(О) обозначим пространство измеримых функций и : О ^ Ее нормой
Через Н(О) будем обозначать пространство функций, для которых конечна полунорма ||Щ8и||£2 (здесь и всюду далее в - целое неотрицательное число, Б8 -обобщенная производная порядка в). В качестве нормы этого пространства можно взять
где 6 £ (0,1) фиксировано. Иногда удобнее использовать другую, эквивалентную норму [12]
Обозначим через Н^(О) замыкание то норме пространства Н^(О) множества Сд°(О) финитных в О, бесконечное число раз дифференцируемых функций и положим Н^(О) = {и £ Н(О) : Щи(1) = 0, о = 0,1,...,в - 1}. Можно показать [12], [14, с. 346], что для в = 1 при 7 < —1/2 эти подпространства совпадают:
Н1 (О) = #1(О), а при 7 > —1/2 имеет место следующая характеризация «запуленного» класса: Н^(О) = {и £ #1(О) : и(0) = и(1) = 0}. Следует отметить также
о
вложение (которое имеет место и в многомерном случае) Н^(О) С ¿2,7+я(О) и эквивалентность полунормы норме пространства Н(О) на подпространствах
Хорошо известны следующие теоремы вложения (см.. например. [12]. [13. с. 378]. [14, с. 319]).
Теорема 1. (г) Пусть к < т. Для того чтобы пространство Нт(О) было непрерывно вложено в Нд(О)г необходимо и достаточно выполнения двух неравенств: в < 1/2 и т + а — к — в > 0,- если последнее неравенство - строгое, то указанное вложение компактно.
оо
(И) Пространство Щ(О) непрерывно вложено в Н?+_к(О) для к = 1,..., в.
(ш) Для натурального в пространство Щ(О) непрерывно (и компактно) вложено в С(П) тогда и только тогда, когда в + 7 — 1/2 >0.
О
Для произвольного вещественного ^ определим интегральный оператор Харди
о
о
Щ(О) и Д?(О).
X
о
Естественной областью определения ёош оператора является множество всех измеримых на П функций и(у) таких, что функция у_ми(у) интегрируема по Лебегу на интервале (0, х) для каждого х £ (0,1).
Теорема 2 (Формулы дифференцирования оператора Харди). Пусть и £ ёош . Тогда
хДКми(х) = и(х) + (/ — 1)Кми(х).
Если, кроме того, Ви £ ёош , то
= Км_1Ви.
Доказательство формул имеется в [4].
Теорема 3. (г) Для того чтобы выполнялось включение Ь2л(П) С doш необходимо и достаточно, чтобы 3 =1/2 + 7 — / > 0. При этом оператор непрерывен в Ь2л(П) и
(п) Если / < шт(1,7 + в + 1/2), то Кд непрерывен как оператор из И^(П) в Н^-к(П) для любого целого неотрицательного к.
Доказательство. Утверждение (1) доказано в [4]. Докажем (11). Для каждого 3 =0,1,..., в выберем 73 £ (/ — 3 — 1/2,1/2) П (/ — 3 — 1/2, в + 7 — 3] (такой выбор осуществим в силу условия теоремы). По теореме 1 пространство И^(П) непрерывно вложено в (П), поскольку 73 < 1/2 и 73 < в + 7 — 3. Так как / < 70 + 1/2, то И(П) С Ь2,70(П) С doш Км.Извключепия И^(П) С И^ (П) и из неравенства / — 1 <71 + 1/2 следует, что для любой функции и £ И^(П) производная Ви принадлежит doш следовательно, справедлива вторая формула дифференцирования: ДКми = Рассуждая последовательно, убеждаемся в корректности формул В3Кми = В3и (3 =0,1,..., в) для функций из пространства ив непрерывности оператора в этом пространстве. □
2. Постановка задачи и разрешимость
В интервале П = (0,1) рассматривается неоднородная граничная задача с вы-х=0
Аи = —В(хаа(х)Ви(х)) + ха6(х)и(х) = /(х) в П, и(0) = д, и(1) = 0. (1)
Предполагается, что а(х) > а0 > 0, Ь(х) > 0 - достаточно гладкие функции, а £ ( — 1,1) — степень вырождения коэффициентов дифференциального уравнения (регулярной задаче соответствует значение а = 0). Мы рассмотрим сначала задачу
д=0 д=0
2.1. Однородное граничное условие д = 0. На пространстве V =
о
=И_а/2(П) определим, соответственно, билинейную форму и линейный функцио-
аК = / хаа(х) Ви(х) В.(х) + х«6(х)и(х).(х) ^ ^ = / /(х).(х) п п
Рис. 1. Характерное поведение решений u(x) задачи (1) (слева) и u(x) задачи (4) (справа)
Обобщенная постановка задачи (1) при g = 0 состоит в отыскании функции u £ V, удовлетворяющей вариационному уравнению
a(u,v) = f(v) Vv £ V. (2)
Из условий на коэффициенты a(x), b(x) и из эквивалентности полунормы ||D • \\l¡2 /2 норме пространства H! а/2(П) на подпространстве V следует, что
энергетическая норма ||u||0 = a(u,u)1/2 эквивалентна норме пространства H1 а/2(П) на V. В силу теоремы Рисса-Фишера вариационное уравнение (2) раз-
V
ционала f. Далее, го вложения V с L21 _а/2(П) (теорема 1) вытекает вложение пространства L2,a/2 _1(П) в сопряженное V*. По теореме 1 при y + s > а/2 — 1 имеет место включение С L2,a/2 _1(Q). Таким образом, нами установлена
Теорема 4. Если y > а/2 — s — 1, то решение u(x) задачи (2) из пространства V существует и единственно для любой правой части f £ H® (П).
Обозначим a(x) = x1 _а. Символом а будем обозначать также оператор умножения на функцию а : (<гу)(ж) = a(x)y(x).
Лемма 1 [11]. Оператор умножения на а является изоморфизмом пространства H1/2 _1(П) мо V.
Из леммы следует, что задача (2) эквивалентна вариационной задаче на V = = Ha/2 _1(П) об отыскании функции u £ V такой, что
a(u,v) = f(v) vv £ V, (з)
где a(u,v) = a(au,av ), f(v ) = f(av ). При этом решения задач (2) и (3) связаны между собой простым соотношением u(x) = a(x)u(x).
Смысл перехода от решения исходной задачи (1) (с g = 0) к решению задачи
Au(x) = A(au)(x) = f(x) в a(x)u(x) = 0 щи x = 0,1 (4)
состоит в том, что решение исходной задачи при а > 0 имеет бесконечную производную в окрестности точки вырождения x = 0, в то щемя как u(x) (это будет доказано ниже) является гладкой функцией (рис. 1 наглядно демонстрирует это),
f(x)
a(x), b(x) независимо от степени вырождения а.
Лемма 2. (г) Для того чтобы ограниченное в H(0) множество K было относительно компактным в этом пространстве, необходимо и достаточно, чтобы множество производных порядка s {Dsv : v е K} было относительно компактным в L2j7(О).
(«) Для того чтобы линейный непрерывный оператор L, действующий из некоторого нормированного пространства U в H® (О) был компактен, необходимо и достаточно, чтобы был компактным оператор DsL : U ^ L2j7(О).
Доказательство. Ясно, что эти два утверждения эквивалентны, поэтому достаточно доказать одно из них. например (i).
Необходимость. Поскольку оператор s-кратного дифференцирования Ds является непрерывным оператором из H(0) в L2j7(О), то он переводит относительно компактное подмножество K С H.^0) в относительно компактное Ds(K) С
с L2,7 (О).
Достаточность. Из ограниченности K в H(0) следует ограниченность в Hs(3,1) множества ^сужений на (3,1) функций из K. Так как Hs(3,1) компактно вложено в L2(3,1) (здесь мы предполагавм, что s > 1, поскольку при s = 0 ничего доказывать те нужно), то из любой поеледовательности un е K можно выделить сходящуюся в L2(3,1) подпоследовательность (u„fc) такую, что в L2j7(О) сходится последовательность производных (Dsunk). Это означает, что подпоследовательность (иПк) сходится в □
Представим оператор A в гаде A = ALo + B, где
Aov(x) = —D(xaa(x)D(a(x)v(x))), Bv(x) = xb(x)v(x).
Лемма 3. .Если y < 1/2 и xb е W,(О) (то есть |Ds(xb(x))| < c = const почти всюду на О), то опера тор B компактен как оператор из пространства
H+^o) в н(о).
Доказательство. Имеем
s
DsBv(x) = ^ Cj Ds-j (xb(x))Dj v(x). j=o
Так как пространство Hs+1-j(О) компактно вложено в L2j7(О) (теорема 1), то для каждого j = 0,1,s оператор Dj : Hs+1 (О) ^ L2j7(О) компактен. Поскольку все производные Dk(xb(x)), k = 0,1,..., s, ограничены, то из равенства, приведенного выше, следует компактность оператора DsB : H_s+1(0) ^ L2j7(О), откуда согласно лемме 2 вытекает компактность оператора B го пространства H_s+1(0) в tf»(ii). □
Замечание. Очевидно, что условие xb е WS (О) леммы будет выполнено, если |Dsb(x)| < ^/x и |Ds-1 b(x)| < c2.
s=0
О
Теорема 5. Пусть a — s — 3/2 < 7 < 1/2, a е W^+1(0), xb е W^(О). Тогда
AL
mom пространства HS-1(0) П ¿^(0) mo H(0). Лри этом для решения U задачи (4) выполняется граничное условие x2-aDU(x)|x=0 = 0.
Доказательство. Непосредственным дифференцированием легко проверяется, что операторы А0, В и А = А 0+В при сделанных предположениях относительно коэффициентов а(ж) и 6(ж) непрерывны из Н^+1(О) в Н^(О). Мы покажем, что оператор А0 является изоморфизмом пространства Н^+1(О) П Н_1(О) па Н^(О). Тогда, в силу компактности оператора В : Н^+1(О) С Н^+1(О) ^ Н^(О) (лемма 3), отсюда будет следовать, что оператор А = А0 + В фредгольмов, то есть размерность его ядра и коразмерность области значений конечны и равны между собой. Но поскольку по теореме 4 решение задачи (4) с нулевой правой частью
А
изоморфизмом пространства Н^+1(О) П Н_1(О) на Н^(О). Итак, нужно показать только, что оператор А0 является изоморфизмом пространства Н^+1(О) П НН"1(О) на Н(О).
Пусть / £ Н^(О). Интегрируя уравнение (1) с 6(ж) = 0 то интервалу (ж, 1),
получим
= /i(x),
где
/i(x) = ^cc + J / (y) dyj
а(ж), co = iaa(i)D«(i)|x=i = a(1)Du(1).
Из условия a G W^1^) и а(ж) > a0 > 0 следует, что / G #®+1(П). Поделив па жа и интегрируя по интервалу (0, ж) с учетом условия u(0) = 0, будем иметь
x
и(ж) = j ж -a/i(x) ши й(ж) = жа- 1и(ж) = Ka/i(x).
o
Поскольку a < min(1,Y + s + 1 + 1/2), то согласно теореме 3 оператор Харди Ka : ^ непрерывен, следовательно, ||u||Hs+i — c1y/1yHs+1 —
— c2(|c0| + ||/||Hs). Иостоянная c0 в /1(ж) вычисляется из условия u(1) = 0:
т
Со = со(Л = - ( [ 1 dx ) [ 1 [ /(у) dydx, I J жаа(ж) / J жаа(ж) J
откуда вытекает, что |с0(/)| < с3||/||На. Окончательно имеем ||и|| на+2 < с4||/|| н •
7 7 — 1 7
Из этой оценки и из единственности решения (теорема 4) следует, что оператор А0 есть изоморфизм пространства Н^+1(О) П Н_1(О) на Н^(О).
Наконец, из второй формулы дифференцирования оператора Харди получим
x2 _ a
X
Du(x) = ж2 _aKa _ 1D/1(x) = J D/1(y) dy ^ 0 при ж ^ 0,
так как Dfi G H8(Q) С dorn Ä'a_i в силу теоремы 3. □
Следствие. Если коэффициенты а(х), Ъ(х) и правая часть /(ж) функции класса C°°(fl), то и решение задачи (4) й(х) является функцией из C°°(fl).
2.2. Общий случай д = 0. Функция продолжения.
Определение. Функция у(ж) называется функцией продолжения для класса правых частей задачи (1), если Ау(ж) принадлежит пространству и
выполнены граничные условия у>(0) = 1, ^(1) = 0.
Приведем один из способов построения функции продолжения в предположении, что производные порядка в + 1 коэффициентов о(ж) и Ь(ж) ограничены. Фиксируем 3 е (0,1). На отрезке [0, 3] будем искать у>(ж) как решение задачи Коши
28+2
А<¥ =-Д(жаТа(ж)Д^(ж)) + жаТь(ж)^(ж) = 53 ж е (0,3), (5)
¿=8 + 1
¥>(0) = 1, жа^(ж)|*=0 = 0, (6)
8 8
где Та(ж) = 5^ Ть(х) =5^ ^ж^ ^ ^^^^^^^^^^^ Тейлора степени в функций
¿=0 ¿=0
а(ж) и Ь(ж). Коэффициенты с, подберем таким образом, чтобы решение задачи
8+2
(5), (6) было представимо в виде суммы ^ ^жй. Подставим это представление в
й=0
ж
28+1 28+2 28+2
(а + а)ж7+а-1 53 (к +1)0,^+1 + 53 ж7+а 6¿¥fc =53 c¿ж¿+a.
,=1 ¿+й=з ,=0 ¿+й=з ¿=8+1
Заменив в первой сумме а на а + 1, перепишем последнее равенство в виде 28 28+2 28+2
- Е(а + 1 + «)ж''+а Е (к + 1Н^+1 + 53 Е ^ = Е c¿ж¿+a • ,7=0 ¿+^=3+1 ,=0 ¿+^=3 ¿=8 + 1
Из последнего равенства, учитывая начальные условия (6), получим рекуррентные соотношения, которым удовлетворяют ^ и с,:
¥0 = 1, ¥1 = 0, I] ^¿^й - (а + 1 + а) х 2 (к + 1Н<¥й+1
= -, ■ , -, ■ , -, ,-ч-, 3=0, 1,..., в.
00 (а + 1)(а + 1 + а)
с, = -(а + 1 + а) 53 (к + 1Н¥й+1 +53 , а = в + 1,в + 2, •••, 2в,
¿ + Й=,+ 1 ¿+й=,
с, ^ 53 6¿¥fe, а = 2в + 1, 2в + 2.
¿+й=,
Итак, па отрезке [0, 3] функция у(ж) есть полином степени в + 2, удовлетворя-
[3, 1]
патуральпого к > в + 2 функцию у(ж) можно продолжить произвольной функцией из Сй[3,1] с соблюдением следующих условий: у>(1) = 0, Д7 ^(3 - 0) = Д7^(3 + 0) для а = 0,1, • • •, к. Например, в качестве у>(ж) на [3,1] можно взять полином Эрмита степени к + 1, удовлетворяющий указанным условиям. Тогда кусочно-полиномиальная функция ¥>(ж) будет принадлежать пространству Сй [0,1].
Покажем, что ¥(ж) является функцией продолжения для класса Н. Установим предварительно справедливость следующей простой леммы.
Лемма 4. Пусть некоторая функция р(ж) имеет ограниченную производную порядка в + 1 и ^р(0) = 0, з =0,1,..., е. Тогда справедливы оценки
\&р{х)\ < , * ./ I.....
(в + 1 - 3)!
Доказательство. По условию |Дя+1р(ж)| < с. Проинтегрируем функцию .Оя+1р(ж) то отрезку [0, ж]. Так как Дяр(0) = 0, то
X
£
Повторяя эти рассуждения для _Ояр(ж), получим |.08_1р(ж)| < —ж2 и т. д. □
Теорема 6. Пусть а(ж) и Ь(ж) имеют ограниченные производные порядка в + 1, 7 < 1/2. Тогда построенная выше функция у(ж) является функцией продолжения для класса правых частей Щ(&) задачи (1).
Доказательство. Так как на отрезке [£, 1] коэффициенты оператора А являются регулярными (не имеют особенностей), а ^ € Ся+2[£, 1], то достаточно убедиться, что А<^> € Н®(0, ¿). Запишем а(ж) и Ь(ж) в виде
а(ж) = Та(ж) + а(ж), Ь(ж) = Ть(ж) + Ь(ж),
где Та(ж), Ть(ж) — полиномы Тейлора степени в, а(ж) и Ь(ж) - остаточные члены. Оба они принадлежат Ся (Г2), производные этих функций порядка в +1 ограничены и ^а(0) = ^6(0) = 0 для з =0,1,..., в. Тогда по лемме 4 для производных порядка з =0,1,..., в справедливы оценки а(ж)| < сжя+1 —, |^6(ж)| < сжя+1 - ^,
с
(жаа(ж))| < сжя+а+1 —, (жа Ь(ж))| < сжя+а+1 —, з =0, 1,. . ., в. (7)
Имеем А^(ж) = А<£>(ж) + Ау(ж), где
А^(ж) = —Джаа(ж)£^(ж)) + жа 6(ж)у>(ж).
€ Н®(0, £) то построению, так как ~ ж1+а € Ь2,77 < 1/2
(напомним, что а € (-1,1)). Из оценок (7) следует, что Дя(жа 6(ж)у(ж)) ~ ж1+а €
€ Ь2,7(0, ¿). Наконец, учитывая, что = 0 и ^(ж) = Ду(ж) = ^ (& + 1)^к+1 жк,
к=1
опять из (7) получим Дя+1(жаа(ж)^(ж)) ~ ж1+а € Ь2л(0, ¿). Таким образом, функция А(р(х) принадлежит пространству Н8(0,6). Теорема доказана. □
Теорема 7. Пусть выполнены условия предыдущей теоремы, у(ж) - функция продолжения для класса правых частей Н®(П) задачи (1). Тогда если а — в — 3/2 < 7 < 1/2, то для любой правой части / € Н®(П) решение задачи (1) существует, единственно и представши> в виде
и(ж) = д^(ж) + ж1 - аи(ж),
где и € Я£?(П) П Д^), ||й||я;+? < с(||/Ц + М)-
0
Доказательство. Положим /(ж) = / (ж) — #Ау(ж) и обозначим через и(ж) решение краевой задачи
Аи(ж) = /(ж) в П, и(0) = 0, и(1) = 0.
Так как / е Н(П), то по теореме 5 решение этой задачи существует, единственно и представимо в виде и(ж) = ст(ж)и(ж), где и е Н®-1(П) П Н_1(П). При этом для и(ж) имеет место априорная оценка
I я
>+2 < с1||/11я= < с1(Н/Ня= + |g| ll^ll
Осталось заметить, что и(ж) = gy>(x) + u(x) - решение граничной задачи (1) по построению. □
3. Аппроксимация задачи конечными элементами
Пусть на [0,1] задан набор точек ж0 = 0 < ж1 < ... < жп = 1, образующих разбиение 7h = (efe}fc=1 отрезка [0,1] та конечные элементы ek = [xk-1 , xk].
Здесь h = max hk, hk = xk — xk-1, k = 1,..., n. Предполагается, существование k
постоянной ц > 0, та зависящей от h, что
hk+1 < ^hk Vk =1, ...,n — 1; (8)
в частности, это выполнено для квазиравномерного разбиения. Из этого условия вытекает, что xk = xk-1 + hk < xk-1 + ^hk-1 < (1 + ^,)xk-1 для k = 2,... ,n. Положим c(y) = max(1, (1 + Y) для вещественного 7. Тогда
ж 7 < c( —y) min ж7, max ж7 < c(y )xk Vk = 2,... ,n. (9)
k k
Для натурального m обозначим через Sm(Th) = Sm пространство конечных элементов, состоящее из функций v € C[0,1] таких, что сужение v(x) на любой конечный элемент ek € 7h являете полиномом степени m.
3.1. Оценки погрешности интерполяции в весовых нормах Соболева. На базисном конечном элементе е = [0,1] зафиксируем два набора узлов, занумерованных по возрастанию: се1 = {t1i : i = 0,1,..., m} С (0,1] и се2 = : i = = 0,1,..., m} С [0,1], причем ¿20 = 0, ¿1m = ¿2m = 1. Пусть {(¿p : i = 0,1,..., m} -базисные функции Лагранжа для узлов сер, p = 1, 2, то есть это полиномы степени m, удовлетворяющие условиям <£pi(tpj-) = ¿j для всex i,j = 0,1,..., m. Для функций, непрерывных в окрестности точек сер, определим оператор интерполяции в пространство полиномов Pm(e) формулой
7TpU(i) = ^ (t).
i=0
Хорошо известны оценки погрешности полиномиальной интерполяции в нормах пространств Соболева для функций и е Нт+1(е):
||Яв(й — Прй)УЬ2(-) < с||Рт+1иУЬ2(ё), в = 0,1,..., т +1. (10)
Постоянная с зависит здесь толь ко от т, в и от выбора сетки сср. Этот результат обобщается на весовые нормы.
m
Лемма 5. Пусть выполнены следующие условия: 1) в < т +1, 2) т + 1 + в— —в — а > 0, 3) а < 1/2. Тогда существует такая постоянная ё > 0, что для
ГШ гв
любой функции и е ДШ+1(е) справедлива оценка
||Р'(Й — П1Й)||Ь2,а(ё) < с||ДШ+1йУЬ2,э (ё). (И)
Доказательство. Поскольку ЯШ+1(е) С С(0,1] и ¿10 > 0, то оператор ип-
терполирования П1 : НШ+1(е) ^ РШ(ё) непрерывен. Условия леммы согласно теореме 1 обеспечивают непрерывность вложения НШ+^ё) С На (е), то есть непрерывность тождественного оператора I : НШ+^ё) ^ На(ё). Наконец, из последнего условия леммы следует включение РШ (ё) С Н^, (ё). Таким образом, линейный оператор Ь = I — П1 : НШ+1(ё) ^ На (ё) непрерывен. Учитывая, что Ьф = 0 для любого полинома ф е РШ (ё), получим
||Р8(й — П1Й)|Ь2,а(ё) = Н^Ь(Й — Ф)|Ь2,а(ё) < ^ — ФНя^) <
Ш
< с2(|РШ+1й|Ь2,в(ё) + Е Ри(1) — Р5ф(1)|) Уф е Рш(ё).
5=0
Выбрав здесь ф е РШ(ё) го условий Р5ф(1) = Р5и(1) для ] =0,1,..., т, получим требуемую оценку. □
Замечание. Если РШ+^ё) С С[0,1] (что равносильно условию т +1/2 + в > > 0), то лемма останется справедливой, если вместо П1 взять п2 .
Для каждого конечного элемента е^ функция Ф^ (¿) = + _ 1 отображает базисный конечный элемент ё на е^. Положим с = Ф^сё!) = {ж^ : г = = 0, 1,...,т} С (0, ^1] и = Фй (с) = {жь : г = 0, 1,...,т} С ей для к > 2. Тогда функции у>н(ж) = <£н(Ф_1(ж)), г = 0,1,..., т, образуют базис Лагранжа на элементе е1 так же, как и функции 9>ь(ж) = 952«(Ф_1(ж)), г = 0,1,..., т, образуют базис Лагранжа на элементе е^ для к > 2.
(0, 1]
ные операторы интерполяции : С(0,1] ^ РШ (е&), полагая
Ш
пйм(ж) = ^ м(жь)9^ (ж). ¿=0
При этом для й(£) = м(Фй(£)) справедливы тождества П1Й(£) = (п^^Ф^)) и П2Й(4) = (п&и)(Ф^)) (к > 2). Так как та стыках конечных элементов ж^, к = = 1,... ,п — 1, имеет место равенство <9>&Ш(ж&) = ^й+^с^жй) = 1, то п&и(ж& — 0) = = пй+1м(ж^ + 0) = и(ж&). Поэтому формулой
Щ и|ек = пйм Ук =1,...,п
корректно определяется оператор кусочно-полиномиальной интерполяции Щ : С (0,1] ^ ^Ш во всех точках от резка [0,1].
Теорема 8. Если а < 1/2 и т + в — а > 0, то для для любой функции и е НШ+1(П) справедливы оценки
1|Р> — пй«)|1ь2,а(вк) < С1^Ш+1 _8жв _ а|РШ+1и|Ь2,э(ек), к =1,...,п, (12)
||Р> — Пли)|Ь2,„(п) < С2^е|РШ+1и|Ь2,в(О), (13)
где в = 0,1 и в = шт(т +1 — в, т +1 + в — а — в).
Доказательство. Используя замену переменных ж = Ф1(^), лемму 5 и затем обратную замену, получим локальную оценку погрешности интерполяции на конечном элементе в1:
I2 — г,1-2(«+«Ь п^Л _
D (и - niu)yL2,„(e1) = hriS+"ID (и - niü)||L2,„(é) <
< cih1-2(s+a)|Dm+1u|L2,e(в) = cih?(m+1-s)x?(e-a)|Dm+^,|L2,e(ei).
Для k > 2 также используем замену переменных x = Ф2 (t) и оценки (9), (10). Тогда
- nfcu)|L2,„(efc) < c(-2a)x-2a||Ds(w - nfcи)!^) <
< C2h2fc(m+1-S)X-2a||Dm+1u||L2(efc) < C2h2fc(m+1-s)X2fce-2ac(2e)|Dm+1u|L2,e(ek).
Пусть в = min(m+1-s, m+l+в - a-s). Поскольку h2 < x2 < 1,то hm+1 sx^ a < < h2 < he. Из полученных выше оценок следует, что
||Р> - Щ«)|1,а(ек) = - n2u)||Í2,„(efc) < C2h20 || Dm+1«||^ ^ )..
Суммируя эти неравенства по k = 1,... ,n, получим глобальную оценку погрешности (13). □
3.2. Схемы метода конечных элементов с мультипликативным выделением особенности. Пусть a/2 - m<Y< 1/2, / G H^-1^), a, b G Wm(^) •
Поскольку 1/2 > y > a/2 - m > a - (m - 1) - 3/2, то в силу теоремы 7 решение краевой задачи (1) можно записать в виде u(x) = gy>(x) + a(x)u(x), где y>(x) -функция продолжения для класса H^"-1^), а функция u(x) является решением вариационной задачи
a(au, av) = ^ a(x)/(x)v(x) dx - ga(y>, av) W G V n
и имеет место оценка ||w||Hm+1 < c(||/||Hm-i + |g|). В качестве приближенного ре-
Y — 1 Y
шепия задачи (1) возьмем функцию wh(x) = gy>(x) + a(x)Uh(x), где wh G Vh = {Sm : v(1) =0} есть решение задачи
a(aMh,av) = y a(x)/(x)v(x)dx - ga(y>, av) W G Vh- (14)
n
Теорема 9. Лусть a/2 - m < 7 < 1/2, a, b G . Тогда Л/гл / G Я^ЧП)
справедливы, оценки погрешности
||и - uh|Hi , ~ ||и - иьУ0 = ||и - uhHa ~ ||u - < ch-0(||/Ун-—1 + Ы);
a/2 а/2 I
где в = min(m, m + 7 - a/2).
Доказательство. Доказательства требует только последнее неравенство. Из леммы Сеа [16, с. 109] и из оценки (13) получим
||U - Ufc||#1 /2 < c1|u - Щи|Я1/2 < С2^0|Рт+1й|Ь27 1 < C3he|f |нт— 1 -
a/2 a/2 2'< 1 '
Следствие 1. Если a,b G Wm(Q) и f G W™ то для схем (14) имеют
.место оценки погрешности
\\u — uh\\H! - \\и — Uh\\a = \\и — Uh\\а - \\и — uh\\Hl < chm(Wf llw^-1 + |g|).
a/2 а/2
Доказательство непосредственно вытекает из теоремы, поскольку при а < 1 справедливо вложение с Нт—1(0.).
4. Численные эксперименты
Через и обозначим точное решение задачи, через un - приближенное конеч-ноэлементное решение на сетке с «элементами. Если p - порядок сходимости метода относительно некоторой нормы \\ • \\, то есть \\un — u\\ < Cn-p, то из неравенства треугольника получается оценка np\\un — U2n\\ < C(1 + 2-p) = const. Можно доказать и обратное: если для некоторого p величины np\un — u2n\\ ограничены при n ^ то в рассматриваемой норме метод сходится с порядком p, то есть существует такая постоянная C, что \\un — u\ < Cn-p. Это позволяет численно подтверждать установленный теоретически порядок сходимости метода.
Табл. 1
m \ а -0.9 -0.5 -0.1 0 0.1 0.5 0.9
1 0.63 0.29 0.26 0.26 0.26 0.26 0.27
2 0.18 0.09 0.09 0.09 0.10 0.12 0.14
3 0.86 0.86 0.98 1.02 1.07 1.34 1.66
Для задачи (1) был проведен ряд численных экспериментов, результаты которых подтверждают теоретические оценки в теореме 9 и в следствии 1. В частности, для степени полиномов на конечном элементе m = 1, 2, 3 вычислялись величины пт\\ип — u2n||а, которые практически не менялпсь с ростом п. В табл. 1 приводятся результаты вычислений для a(x) = 1 + 2x + 3x2, b(x) = 1 + 4x2 + 5x3, f (x) = cos x, g = 2 та сетках с числом эле ментов n = 16, 32, 64,128, 256, 512.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект Л- 06-01-0063).
Summary
S.I. Tayupov, M.R. Timerbaev. Finite element schemes of a liigli accuracy order for two-pointed heterogeneous boundary-value problem wit.li degeneration.
The purpose of the paper is construction of a finite element schemes wit.li a high approximation order for two-pointed heterogeneous boundary-value problem wit.li degenerated coefficients, based on a multiplicative allocation of singularities. It is proved, that this method has optimal order of convergence rate.
Литература
1. Смирнов M.M. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравпепия. М.: Наука, 1966. 292 с.
2. Лгшоркии П.И., Никольский G.M. Эллиптические уравпепия с вырождением. Дифференциальные свойства // Докл. АН СССР. 1981. Т. 257, 2. С. 278 282.
3. Кыдыралгиш С.К. О повышении гладкости решений вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка // Дифферепц. уравнения. 1989. Т. 25, Л' 3. С. 529 531.
4. Тимербаео М.Р. Весовые оценки решения задачи Дирихле с анизотропным вырождением па части границы // Изв. вузов. Математика. 2003. Л' 1. С. 60 73.
5. Гусман Ю.А., Оганесян JI.A. Оценки сходимости копечпо-разпостпых схем для вырожденных эллиптических уравнений // Жури, вычисл. матем. и матем. физ. 1965. Т. 5, Л» 2. С. 351 357.
6. Рукавишникова Е.И. О порядке сходимости метода конечных элементов для эллиптической краевой задачи с вырождением. Владивосток: ДВО АН СССР, 1987. С. 26 52.
7. Лягико А.Д., Тгшсрбасв М.Р. Оценки точности схем МКЭ для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка // Дифферепц. уравнения. 1993. Т. 29,
7. С. 1210 1215.
8. Тгшсрбасв М.Р., Ляшко А.Д. Об оценках погрешности схем МКЭ для квазилинейных вырождающихся уравнений 2-го порядка // Дифферепц. уравнения. 1994. Т. 30, 7. С. 1239 1243.
9. Тгшсрбасв М.Р. Копечпоэлемептпая аппроксимация вырождающегося эллиптического уравнения 2-го порядка в области с криволинейной границей // Изв. вузов. Математика. 1994. Л» 9. С. 78 86.
10. Карнсвскгш М.М., Лягико А.Д., Тгшсрбасв М.Р. Метод конечных элементов для квазилинейных вырождающихся уравнений 4-го порядка // Дифферепц. уравнения. 1999. Т. 35, 2. С. 232 237.
11. Тгшсрбасв М.Р. Мультипликативное выделение особенности в схемах МКЭ для эллиптических вырождающихся уравнений // Дифферепц. уравнения. 2000. Т. 36,
7. С. 1086 1093.
12. Кудрявгу.в Л.Д. Об эквивалентных нормах в весовых пространствах // Тр. МИАН им. Стеклова. 1984. Т. 170, Ч. 10. С. 161 190.
13. Никольский G.M. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. 456 с.
14. Трг1белг> X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. 664 с.
15. Тгшсрбасв М.Р. О непрерывности интегральных операторов в пространствах вектор-фупкций // Исследования по прикладной математике и информатике. Казань: Изд-во Казап. матем. о-ва, 2001. Вып. 23. С. 118 121.
16. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. 512 с.
Поступила в редакцию 12.10.06
Тимербаев Марат Равилевич кандидат физико-математических паук, доцепт
кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета.
E-mail: marat.timerbaevQksu.ru
Таюпов Шамиль Ильдусович аспирант кафедры вычислительной математики
Казанского государственного университета.
