Аппроксимация высокого порядка точности двухточечной краевой задачи четвертого порядка с вырождающимися коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА.

_ СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

2017, Т. 159, кн. 4 С. 493-508

ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)

УДК 519.6

АППРОКСИМАЦИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ ДВУХТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С ВЫРОЖДАЮЩИМИСЯ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

А.А. Соболев, М.Р. Тимербаев

Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия

Аннотация

Работа посвящена построению схем метода конечных элементов высокого порядка точности для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка с вырождающимися на границе коэффициентами. Метод решения задачи основан на мультипликативном и аддитивно-мультипликативном выделении особенности. Полученные оценки скорости сходимости доказывают оптимальность предложенного метода на заданном классе гладкости правых частей.

Ключевые слова: двухточечная краевая задача, схемы метода конечных элементов, весовые пространства функций, мультипликативное и аддитивно-мультипликативное выделение особенности

В работе рассматривается двухточечная краевая задача четвертого порядка

Аи = В2 {хаа(х)В2и(х)) — В{а\(х)Ви(х)) + ао(х)и(х) = ](х), (1)

х € П = (0,1), В = ¿/¿х; и(0) = Ви(0) = и(1) = Ви(1) = 0 при а < 1; (2)

и(0) = хаВ2и(х)\х=0 = и(1) = Ви(1) = 0 при 1 < а < 3. (3)

Относительно коэффициентов уравнения (1) предполагается, что а(х) > со > 0, а\(х) > 0, ао(х) > 0. Дополнительные условия на эти функции сформулированы ниже.

Поскольку коэффициент хаа(х) вырождается в окрестности точки х = 0, решение задачи имеет неограниченные производные в окрестности этой особой точки. Для эффективного численного решения задач с вырождением нужно учитывать указанные особенности. Схемы метода конечных элементов (МКЭ) высокого порядка точности для вырождающегося уравнения второго порядка были предложены в [1]. В статье [2] при а < 1 рассматривалась краевая задача Дирихле для уравнения (1) с ах = 0.

В настоящей работе показано, что решение при а < 1 можно представить в виде и(х) = х2-аи(х), а при 1 < а < 3 - в виде и(х) = ио^о(х) + х3-аи(х), где ^о -некоторая фиксированная функция, ио € Я, и - новая неизвестная функция, которая, как следует из априорных оценок, является гладкой. В соответствии с этими представлениями приближенное решение мы ищем в виде: и^ = х2-аиь при а < 1 - мультипликативное выделение особенности [3] и и^ = ^о^о +

при 1 < а < 3 - аддитивно-мультипликативное выделение особенности [1], где ин - кусочно-полиномиальная функция. Для указанных аппроксимаций с выделением особенности получены оценки погрешности, являющиеся оптимальными в энергетической норме.

1. Обозначения и вспомогательные результаты

Определим весовые классы функций на интервале П. Для вещественного 7 через Ь2Г/ = Ьэг/(П) (далее символ П будем опускать, когда он подразумевается из контекста) обозначим пространство измеримых функций с нормой ||и||^2 ^ = = Цх 1 иЦь2. Для целого неотрицательного в множество функций, у которых почти всюду ограничена обобщенная производная порядка в, обозначим через ^^. Пространство функций и таких, что х 1 Пви € С[0,1], обозначим С® [0,1]. Через Н® будем обозначать гильбертово пространство функций, имеющих обобщенную производную порядка в класса Ьэг/, с нормой

/ \ 1/2 Ыщ = (И^иЩ _ т + ||и|||2(1/2д)

Иногда удобнее использовать другую, эквивалентную норму

* 1/2

Ыщ = ( ИП'иЩ^ и(1)|2

з=о

Через Сд° (П) обозначается множество бесконечное число раз дифференцируемых функций, имеющих компактные носители в интервале П. Замыкание множества

о

функций С0° в норме пространства Н® обозначим через Н ^. Замыкание в Н® бесконечно дифференцируемых финитных в окрестности точки х = 1 функций обозначим через Н®. При 7 = 0 этот символ в обозначениях пространств будет опускаться. Отметим, что полунорма ||Д8и|^2 т эквивалентна норме пространства

о

Н® на подпространствах Н^ и Н®.

Известны следующие результаты, доказательство которых можно найти в [4], [5, с. 378], [6, с. 319].

Теорема 1.

(I) Пространство Н® непрерывно вложено в пространство Н£ (Н® С Нк) тогда и только тогда, когда выполнены неравенства к < в, V < 1/2, в + 7 — к — — V > 0; если последнее неравенство строгое, то данное вложение компактно.

о

(II) Если 7 > —1/2, то пространство Н^ состоит из тех функций и, для

о

которых Вки(0) = Вки(1) = 0 при всех к = 0, .. ., в — 1; если 7 + в < 1/2, то Н^ состоит из функций и, для которых Пки(1) = 0 при к = 0,. .. ,в — 1, то есть

Щ = Н ®.

о о ,

(ш) Пространство Н ^ непрерывно вложено в пространство Н , к =

= 0, . . . , в .

(IV) При в + ^ > —1/2 имеет место компактное вложение Н® С Ь1.

(V) Для натурального в и произвольного £ > 0 пространство Н® компактно вложено в С£[0,1], если V < шт(0, в + 7 — 1/2 — к — £).

Для произвольного вещественного ¡л определим интегральный оператор Харди

х

К^и(х) = х^-1! у-ми(у) ¿у.

Естественной областью определения ёош К к оператора Харди К к является множество измеримых на О функций и, для которых функция у-к и (у) интегрируема по Лебегу на интервале (0, х) для каждого х € (0,1).

Теорема 2. Для оператора Харди справедливы утверждения:

(1) если 6 = 1/2 + 7 — р > 0, то оператор К к непрерывен в Ь2Г/ и

\\Кк\\ь2Г/6 '

(п) если р < шт(1,7+ в + 1/2), то Кк непрерывен как оператор из Н^ в Н^—к, к = 0,1;

(Ш) для р = V имеет место псевдорезольвентное тождество КК = К Кц = —(Км — К„);

р — V

(1у) для оператора Харди справедливы формулы дифференцирования: если и € ёош Кк, то хВКки = и + (р — 1)Кки; если, кроме того, Ви € ёош Кк, то ВК ки = Кк-\Ви .

Доказательство утверждений теоремы 2 имеются в [1, 7]. Имеет место

Лемма 1 [1]. Пусть и произвольное нормированное пространство. Для того

чтобы линейный непрерывный оператор Ь : и ^ Н^ был компактен, необходимо и достаточно, чтобы был компактен оператор В1 Ь : и ^ Ьэг/.

Через Ь обозначим линейный оператор умножения на функцию Ь(х). Для натурального к и вещественных р, 7 справедлива

Лемма 2. Пусть |Ь(х)| < схе+1 к к при к + р < 1/2, где £ > 0 достаточно мало и Ь € Ь2,-у при к + р > 1/2. Тогда оператор Ь : Нк ^ Ь2,7 компактен.

Доказательство. Пусть к + р < 1/2. Тогда по теореме 1 вложение Нк С Ь2,к+к-е компактно. Имеем х 1 Ь(х)и(х) = хк+к г-еЬ(х)хе-к-ки(х). Поскольку хе-к-ки принадлежит пространству компактно вложенному в Ь2, то оператор Ь будет компактным, когда |Ь(х)| < схе+'у-к-к, что выполнено по условию леммы.

Если к+р > 1/2, то по теореме 1 пространство Нк компактно вложено в С[0,1]. Поэтому для компактности оператора Ь достаточно, чтобы Ь € Ь2Г/, что выполняется по условию леммы. □

Теорема 3. Пусть ^ < 1/2, £ > 0 достаточно мало. Если для 3 = 0,. .., в ВЬ(х)| < схе+~'-к-к-* при к + 3 + р < 1/2, ВвЬ € Ь2л при к + 3 + р> 1/2, то оператор Ь : Н^+к ^ Н^ компактен.

Доказательство. По лемме 1 для компактности оператора Ь необходимо и достаточно, чтобы был компактен оператор ВвЬ : Н^+к ^ Ь2Л. Для произвольной функции и € Н^+к по формуле дифференцирования произведения имеем

в

В'Ьи = ^ С В*Ь(х)Ви(х).

з=о

Оператор В11-* : Н^+к ^ Н^* непрерывен для 3 = 0,..., в. Нужно показать, что оператор Ь* = В*Ь компактен из пространства Н^* в Ь2,7 для каждого 3 = = 0,..., в. Пусть к + з + р < 1/2. По лемме 2 оператор Ь* будет компактным, когда

\В^Ъ(х)\ < схе+, что выполнено по условию теоремы. Если к + 3 + / > 1/2, то по лемме 2 для компактности оператора Ъ^ достаточно, чтобы В3Ъ € Ь2г/. Это выполняется, так как при ^ < 1/2 в силу условия теоремы В3Ъ принадлежит Ь2г/, поэтому младшие производные В3Ъ также принадлежат пространству Ь2л. □

Определим оператор Б\ по формуле

В1и = —В(Ъ1(х)В(хв и(х))).

Теорема 4. Пусть ^ < 1/2, £ > 0 достаточно мало. Тогда оператор В1 : ^ Н^ компактен, если для 3 = 0,. .., в + 1 справедливы неравенства

В(хв—1Ъ1(х))\ < ах£+при к + 3 + / < 3/2 и В3+1(хв—1 Ъ1) € Ь2,7 при к + 3 + /> 3/2.

Доказательство. По формуле дифференцирования произведения двух функций имеем

В1и = —В(13Ъ1(х)х13-1и(х) + Ъ1(х)хвВи(х)).

Из этого равенства следует, что оператор В1 : Н^+к ^ Н^ компактен, если компактны операторы В2и = Ъ1(х)хв-1и(х), действующий из пространства в пространство Н3+1, и В3V = Ъ1(х)хвv(x), действующий из Н^+к-1 в Н3+1. Используя теорему 3, получим, что для компактности оператора В2 достаточно, чтобы \В3(хв—1 Ъ1(х))\ < ехЕ+при к — 1+ 3 + / < 1/2 и В3+1(хв—1Ъ\) € Ь217 при к — 1+ з + / > 1/2 (что выполнено по условию теоремы). Оператор В3 является компактным, когда \В3(хвЪ1 (х))\ < С1хе+7 —^—к—з+2 при к — 2 + 3 + / < 1/2 и В3+1(хвЪ1) € Ь2л при к — 2 + 3 + /> 1/2.

Справедливо равенство

В3+1 (хв Ъх) = В3+1(ххв—1 Ъх) = хВ3+1(хв—1Ъх) + (в + 1)В3(хв— откуда вытекает, что В3+1(хвЪ1) € Ь217 и

\В(х/Ъ1(х))\ < х\В*(хв—%(х))\ + 3\В3—1(хв—1 Ъ1(х))\ < хсхе+1—^—к—з+1+

+ 3охе+1—^—к—И—1)+1 < е1х£+7—^—к—!+2.

При к + 3 + / > 3/2 и ^ < 1/2 функция хв—1Ъ1 принадлежит Н ^. По теореме 1 имеет место вложение Н^ С С3е+1], так как £ + 7 — / — к — 3 + 1 < < 3 +1 — 1/2 — 3 . Следовательно, В(хвЪ1(х))\ < с1хе+7—^—к—3+2 , когда 3/2 < к + + 3 + / < 5/2. □

Лемма 3. Пусть \В3Ъ(х)\ < с1х"—3, где V < 0. Тогда \В3Ъ(х)\ < для

3 =0,...,в — 1.

Доказательство. Доказательство утверждения для 3 = в — 1 следует из цепочки неравенств

1

\В3—1Ъ(х)\ < \В3—1Ъ(х) — В3—1Ъ(1)\ + \В3—1Ъ(1)\ < ! В3Ъ(г) ¿г + \В3—1Ъ(1)\ <

< с1

1

' + \В3—1Ъ(1)\ < ^ — С{1 — 1)\\1 — х"—(з—1)\ + \В3—1Ъ(1)\ <

г—3 ¿г

< 3шахГ -С1- , \В3—1Ь(1)Лх—3—1).

V к — (в —1)\ )

Последнее неравенство верно, поскольку V < 0 по условию настоящей леммы. Повторяя последовательно рассуждения для 3 = в — 2, в — 3,..., 0, получим утверждение леммы. □

2. Весовые оценки решения задачи при а < 1

Пусть и(х) = и(х)/а(х), где и - решение задачи (1), (2), а(х) = х2-а. Определим оператор А формулой Аи = А(аи,). Вместо исходной задачи рассмотрим задачу о нахождении функции и такой, что

Аи(х) = / (х), ай]х=о = В(аи)\х=о = и(1) = Ви(1) = 0. (4)

Относительно параметров и коэффициентов задачи (4) предполагаются выполненными следующие условия: а — 5/2 — в < 7 < 1/2, В'1^2^ < с; для достаточно малого £ > 0 справедливы неравенства |В'+1(х1-аа1)| < схе-2-в, В11 (х2-аао)| < < схе-2-' при а — 5/2 — в <7 < —3/2 — в и В'+1(х1-аа1) € Ь2л, В'(х2-аао) € Ь2л при —3/2 — в < 7 < 1/2. Тогда имеет место

Теорема 5. При сформулированных выше условиях оператор А осуществляет изоморфизм пространства Н'—2 П Н на Н' и для решения задачи (4) имеет место двусторонняя оценка с1\\/\\я_» < \\и\д-а+4 < с2\\/|я».

Доказательство. Оператор А представим в виде А = Ао + В, где Аои(х) = В2{ха а(х)В2 (х2-аи(х))),

Ви(х) = В1 и(х) + Вои(х) = —В(а,1 (х) В(х2-аи(х))) + х2-аао(х)и(х).

При выполнении условий теоремы на коэффициенты а, а1 и ао непосредственным дифференцированием проверяется, что операторы Ао, В и А непрерывны из Н'—^ в Н'.

Покажем, что оператор Ао является изоморфизмом пространства Н'—\ р| Н^ на Н', а оператор В компактен из Н'—2 в Н'. Тогда оператор А = Ао + В будет компактным возмущением изоморфизма Ао. Так как однородное уравнение Аи = Аи = 0 имеет только тривиальное решение (это следует из эллиптичности оператора А), то в силу альтернативы Фредгольма оператор А : Н'—4 П Н2 ^ Н' будет изоморфизмом.

Пусть / € Н'. Дважды интегрируя уравнение (1) с а^х) = 0, ао(х) = 0, получим хаа(х)В2и(х) = р(х) + /1(х), где р(х) - полином первой степени, который строится из граничных условий в точке х = 1, функция Д(х) такая, что В2/1 = = /, то есть /1 € Н'+2 . Положим д(х) = а-1(х)(р(х) + /1(х)). Тогда д € Н'+2 , так как |Вs+2a| < с и а(х) > со > 0. Поскольку а — 3 < шт(1, 7 — 3 + в + 2+ 1/2) для 3 =0,1,... в + 2, то В*д € ёош Ка-* . Следовательно, х-ад € Ь1(0, £) для любого Ь € (0,1), и с учетом граничных условий в точке х = 0 получим

х у

и(х) = и ь-ад(£)

оо

соответственно,

и(х) = ха-2 ! у1-ауа-1 У г-ад(1) ¿1 ¿у = Ка-1Кад

у

х

Используя формулы дифференцирования оператора Харди (теорема 2) и условие а — 5/2 — в < 7, будем иметь

П°+2й = В°+2(Кад — Ка-щ) = Ка-8^+2д — Ка—3П°+2д е Ь2п,

°8+2д + а — в — 3 К 2д Р8+2д а — в — 4 К 2п

^ и = -X--'--X-Ка-з-2^ д--X---X-д =

4 + в — ат, ^+2п 3+ в — а К пв+2

^ Ка-8-з^ д--—-Ка^-2^д е Ь2,7-1,

в&+4й = (4 + в — а)(а — в — 5) Ка--,В°+2д— X2

(3 + в — а)(а — в — 4) К 2п + 0°+2д т --X2-Ка-е-2^ д +--X2- е Т2,1-2-

Следовательно, й е НЦ—, и в силу непрерывности операторов Харди справедлива оценка ||й\\нв+4 < е\\/||#з • Поскольку при 7 < 1/2 выполнены вложения С

С Н^+2 С Щ, то с учетом граничных условий для й в точке X =1 получим, что й е Н2 • Таким образом, оператор Ао есть изоморфизм пространства

Н—2 П Щ на Щ •

Покажем, что оператор В : ^ Н® компактен. По теореме 3 при к = 4,

1 = 7 — 2, Ь = x2-aaо оператор Во : Н^—2 ^ Н^ компактен, если для 3 = 0,... ,в справедливы неравенства (x2-aaо)\ < cxe-2-j при 7 < —3/2— 3 и (x2-aaо) е е 12г! при —3/2 — 3 < 1/2• Пусть 7 < —3/2 — в, тогда \Ds(x2-aa0)\ < cxe-2-s и (x2-aa0)\ < cxe-2-j, з = 0,...,в — 1 по лемме 3. При —3/2 — в < ^ < 1/2 имеет место непрерывное вложение Н^ С С^.-2-в[0,1], так как е — 2 — в < в + 7 — — 1/2 — в (теорема 1). Поэтому неравенства \Dj (x?-aa0)\ < cxe-2-j, 3 = 0,... ,в, выполнены, когда Ds(x2-aaо) е Ь217.

По теореме 4 (к = 4, 1 = 7 — 2, Ь1 = 0,1, в = 2 — а) оператор В1 компактен из пространства Н^—2 в пространство Н^, когда \Ds+1(x1-aal)\ < cxe-2-s при 7 < —3/2 — в и Ds+1(x1-aa1) е Ь2,7 при —3/2 — в < 7 < 1/2, что выполнено по условию теоремы. □

Следствие 1. Если о, x1-aal, x2-aaо, / - функции класса Сто[0, 1], то

й

е Сто[0,1].

Доказательство. Из теоремы 5 при 7 = 0 и вложения Н^^4 С Н:,+2 следует оценка ||й||я=+2 < 4/||н . Так как Н^2 С Cs+1[0,1], то й е ^+1[0, 1] для любого в, то есть й е Сто[0,1]. □

3. Весовые оценки решения задачи при 1 < а < 3

Рассмотрим уравнение (1) с граничными условиями (3). Обозначим а^) = = X3-а. Функцию уо е Сто(0,1] выберем так, чтобы она удовлетворяла условиям Уо (1) = Dфо (1) =0 ив некоторой фиксированной окрестности точки X = 0 имела вид

IX 1п X при а = 2, Уо(:с)= |X при а е [1,3) \{2}.

Для решения задачи и имеет место

Теорема 6. Пусть шах( —1/2, а — 5/2) — в < у < 1/2, |Вs+2a| < с, В'+1(х2-аа1) € Ь2,7, В'(х3-аао) € Ь2,7 . Тогда для любой правой части / € Н' решение .задачи (1), (3) существует, единственно и представимо в виде

и(х) = ио^о(х) + а(х)и(х), и € Н'—3 П Н"2—1, ио € Я,

и справедлива двусторонняя оценка

сЛ/\\я4 < |ио| + \\и\\н+4 < съ\\/\\я-.

Доказательство. Докажем утверждение при а € [1, 3) \ {2}. Случай а = = 2 доказывается аналогично с соответствующими изменениями для функции ^>о . Будем использовать ту же схему доказательства, что и при исследовании задачи Дирихле. Обозначим через Ао оператор, действующий по формуле Аои(х) = = В2(хаа(х)В2и(х)). Рассмотрим следующую задачу:

Аои = / (5)

с граничными условиями (3). Пусть / € Н'. Так как 7 + в > —1/2, то Н' С С Ь1 . Дв\ажды интегрируя уравнение (5) по интервалу (0, х) с учетом условия хаВ2и(х)\х_о = 0, получим

2

где

хаа(х)В и(х) = с1х + хКо/1, (6)

х

с1 = В(хаа(х)В2и(х))\х=о, /1(х)= ! /(у) ¿у,

о

х х

хКо/1 = хх-1 ! уо/1(у) ¿у = J /1(у) ¿у.

00

Обозначим д(х) = а-1(х)Ко/1. Функция д принадлежит Н^— 1, поскольку оператор Харди Ко : Н'+1 ^ Н— непрерывен (теорема 2) и |Вs+2a| < с, а(х) > со > 0. Поделив (6) на хаа(х) и интегрируя по интервалу (х, 1) с учетом условия Ви(1) = = 0 , получим

1 1

/у 1 —а г

ау^ ¿у — у у1—ад(у) ¿у. (7)

хх

По построению д(у) = а—1(у)уК—1 Ко/(у), где / € Н', следовательно, у1—ад € Ь2,7+2—а, где 7 = шт(в + у, 1/2 — £). Пусть шт(в + у, 1/2 — £) = в + 7, то есть 7 = в + 7. Тогда Ь2^+2—а С Ь1, так как в + 7 + 2 — а > —1/2 (7 > а — 5/2 — в) по условию теоремы. Если шш(в + у, 1/2 — £) = 1/2 — £ (7 = 1/2 — £), то Ь2~/+2—а С Ь1 при 1/2 — £ + 2 — а > —1/2, то есть при а < 3. Следовательно,

1 1 х х

I у1—ад(у) ¿у = у у1—ад(у) ¿у — | у1—ад(у) ¿у = с2 — | у1—ад(у) ¿у.

х о о о

Интегрируя равенство (7) по интервалу (0,1) с учетом условий и(0) = и(1) = 0, получим

/11 \ —1 1 1 у г

с1 = с1(/) = —у!! у1—а а—1(у) ¿у ¿Л J! у—аа—1(у) J^ / (г) ¿zdt¿y¿x,

о х о х о о

откуда следует, что

1 1

|с1(/)| < с\\/\\Ь1 !У у—а У ¿t¿y¿x < Для с2 имеем

(3 — а)

о х о

1 у г 1

с2 = с2(/) = У у—аа—1(у)! У /(г) ¿г ¿Ь ¿у = ^ у—аа—1(у)К—1Ко/(у) ¿у.

о о о о

Так как / € Н', Н' С Ь2,7 при 7 = шш(в + у, 1/2 — £) и р < 1/2 + 7 при р = —1,0, то операторы К—1, Ко непрерывны в пространстве Ь2^ и К^Ко/ € Ь2^ (теорема 2). Следовательно, у2—аК—1Ко/ € Ь2,7+2—а и Ь2,7+2—а С Ь1, так как 7 + 2 — — а > —1/2. Поэтому

|с2(/)| < ё1\у2—аК—Ко/\к < с\\у2—аК—1Ко/\\ь2,,+2—а =

= с\\К—1Ко/^ < с\\К—1 ^2,,\\Ко\\ь2,,^\\/\\< с\\/\\н4.

Поскольку |В'+2а| < с и а(у) > со > 0, то имеет место разложение а—1(у) = = а—1(0) + а(у), где а(у) = О(у) и |В'+2а| < с. Следовательно,

1 1 1

,1 — а

¿у = 0(0) / у1 а ¿у + / у1 аа(у) ¿у =

хх

1 х

т-^^т — 7—^тту2—а + [ у1—аа(у) ¿у — [ у1—аа(у) ¿у =

(2 — а)а(0) (2 — а)а(0)У } У КУ' У } У КУ' У

о

2-а I „.1-а~

х

1

= сз

(2 — а)а(0)

С учетом этих преобразований равенство (7) примет вид

у2—а — у у1—аа(у) ¿у.

Ви(х) = ио + (3 — а)с4у2—а + ! у1—аа(у) ¿у,

о

где ио = —с2 — с1сз, с4 = с1/((3 — а)(2 — а)а(0)), д(у) = с1а(у) + д(у) € Н—. Интегрируя последнее равенство по интервалу (0, х) и принимая во внимание условие и(0) = 0 , получим

х у

и(х) = иох + с4х3—а + / / Ь1—ад(Ь) ¿t¿y =

оо

х у

= ио^о(х)+ х3 ха 3ио(х — у>о(х)) + с4 + ха 3ц Ь1 аа(Ь) ¿t¿y^ =

оо

= ио^о(х) + х3 аи(х).

у

ь, < с / н•.

7

Обозначим

x y x y

U(x) = Xa-3 J j t1-ag(t) dt dy = xa-s J y2—aya—2J t1-ag(t) dt dy = Ka-2Ka-1g.

0 0 0 0

Имеем, что g e H—, Dg e H—. Так как y1-ag e L1, y2-aDg e L1, то g e dom Ka-1, Dg e dom Ka-2 . Поэтому

Du = Ka-3Ka-2Dg.

По условию теоремы 7 > a — 5/2 — s, a < 3. Следовательно, по теореме 2 оператор Ka-2 действует непрерывно из Н^—1 в Hs—2, Ka-3 - непрерывно из Hs—22 в Н^—3 . В итоге получаем, что Ka—3Ka—2 является непрерывным оператором из в H—, то есть Du e Н^—33, u e HS—3. Кроме того, й e H^—3, так как y>0(x) = = x в фиксированной окрестности точки x = 0, а вне этой окрестности у задачи особенности нет.

Поскольку выполнены вложения H^—3 С H С H^—1, то с учетом граничных условий в точке x =1 получим, что й e H^—3C\ H"2—1. Положим А0й = = Á0(x3-aй). Таким образом, оператор А0 является изоморфизмом пространства H;—¡n H2-1 на HS.

Согласно теоремам 3 и 4 (к = 4, j = 7 — 3, b = x3-aa0, 61 = a1, в = 3 — a) оператор В : H^—3 ^ H^, действующий по формуле

B4(x) = —D(a1(x)D(x3-a 4(x))) + x3-aa0(x)4(x),

является компактным, когда Ds+1 (x2-aa1) e L2Y, Ds(x3-aa0) e L2Y при —1/2 — — s < 7 < 1/2, что выполнено по условию теоремы.

Вернемся к исходному уравнению (1) с граничными условиями (3). Решение задачи имеет вид u(x) = v,0^0(x) + x3-a4(x). Подставим его в уравнение и перенесем v,0Á^0 в правую часть, в результате получим

Á(x3-a й) = Á0 й + Вй = f1,

где f1(x) = f (x) — u0Á^0(x). Так как Á0 является изоморфизмом H—3 П H2—-1 на H s, оператор В является компактным из Hs—3 в Hs, то оператор ÁU = Á(x3-au) есть изоморфизм пространства Hs-—\ р| H2/—1 на H. Поэтому решение задачи существует, единственно и справедлива оценка

\\U\\Hs+3 < с\\М\щ < с(Уf Ун. + |U0).

у—3 ' ' '

Оценка |u0 \ < c\\f \\н. справедлива, поскольку U0 = —С2 — сс, где \с1 \ < c\\f \\н. , \с2 \ < c\\f \\н^ и постоянная С3 от f не зависит. □

Следствие 2. Если a, x2-aa,1, x3-aa,0, f - функции класса C™[0, 1], то u e

e C™ [0,1].

4. Вариационная постановка задачи

,2 с нормой llull - = ( [ xaD2u)2dx^l/2

◦ // 2 \ 1/ 2

На пространстве V =Н—а/2 с нормой ||и||у = ( / D2u) определим

п

[инейную форму а и линейный функционал f соответственно по формулам

аК ^ = / ^^ + + аои. ^ ^ = / /* ^

Рассмотрим следующую вариационную задачу: найти функцию и € V, которая удовлетворяет равенству

а(и,«) = Я«) VV € V. (8)

Теорема 7. Если 7 > а/2 — 2 — в, а, х2—аа1, х4—аао € Ьж, то решение и € V вариационной задачи (8) существует и единственно для любой правой части / € Н' .

Доказательство. Проверим непрерывность билинейной формы а по обоим аргументам

а22

|а(и, «)| < / Ух ааВ2иВ2 V + а1ВиВV + aоuv| ¿х <

п

^¡^ОЧ- Мх + ¡| а,ВиВ« ¡¿х + f| аи ^ <

п п п

< ^ ( j ха(В2и)^ху/2 ( j ха(В2«)^ху/2 + ( j х^В^^ху1 \

п п п

х ( J xа-2(Вv)2¿xy/2 + ( J ха—4и2^12 ! xа-4v2¿x^

< с\\и\\уИ\у,

п

поскольку Н—а/2 СН1—а/2 С Ь2,2—а/2 и выполнены условия теоремы на функции а, а1, ао. Эллиптичность формы а на пространстве V следует из неравенств

->2„,)21 ^ „ ||„.ц2

а(и,и) > J хаа(В2и)2¿х > со\\и\\у.

Так как V С Ь2,2—а/2, то линейный функционал f непрерывен на V, если / € Ь2,а/2—2 С V * .А это выполнено, поскольку Н' С Ь2а/2—2 при 7 > а/2 — 2 — в. Из свойств билинейной формы а и линейного функционала f следует, что вариационное уравнение однозначно разрешимо. □

При а < 1, а — 5/2 — в < 7 < 1/2, а(х) = х2—а решение задачи (1), (2) можно представить в виде и = аи (теорема 5), где функция и € V = Н[2/2—2 является решением вариационной задачи

а(аи, ас) = ^ас) V V € V. (9)

Через а обозначим линейный оператор умножения на функцию а(х) = х2—а. В [8] доказана

Лемма 4. Оператор а является изоморфизмом пространства Vе на пространство V.

Из леммы 4 следует, что вариационная задача (8) на гильбертовом пространстве V эквивалентна вариационной задаче (9) на гильбертовом пространстве Vе.

В случае 1 < а < 3, шах( —1/2, а — 5/2) — в < 7 < 1/2, а(х) = х3—а решение задачи (1), (3) представимо в виде и = ио^о + аи (теорема 6), где пара (ио,и) (ио € Я, и € V = Н2^) удовлетворяет вариационному равенству

а(аи, ас) + са(аи, ^о) + иоа(^о, ас) + иоса(^о, ¥>о) =

= Яас) + с^о) V (с,с) € Я х V. (10)

5. Оценки погрешности эрмитовой интерполяции в весовых нормах

Фиксируем степень полиномов на конечном элементе т > 3, степень сгущения сетки г > 1 к точке х = 0 и для произвольного п разобьем отрезок [0,1] точками (хк)к=1 на конечные элементы вк = [хк—1,хк], положим Нк = хк — хк—1, Н = = тах Нк, Тл = {вк}'к=1 • Предполагаем, что существуют постоянные С1, > 0,

к = 1,...,п

не зависящие от Н, такие, что

01(к/п)г < хк < С2{кЩТ;

в частности, это соотношение выполнено для квазиравномерного разбиения. Из этого условия следует, что

Н ~ 1/п и Нk ~ Нх\ 1/г ~ Н(к/п)г 1. (11)

Определим пространство конечных элементов Бт(Тл) = Бт как множество функций класса С1, сужение каждой из которых на произвольный конечный элемент вк еТл есть полином степени т, то есть

Бт = {V е С 1[0,1] : ь\ек е Рт(вк) Vк =1,...,п}.

Рассмотрим базисный эрмитовый элемент (с , &р, Ер), где с = [0,1], &р - набор узлов, занумерованных по возрастанию &р = {Ь^ : г = 0,...,т — 2}, р = 1, 2, ¿>1 С (0,1], &2 С [0,1], ¿20 = 0, Ьрт—2 = 1, со степенями свободы Ер = = {яро,..., Чрт} : Чр0^)= v(tpo), Чр1^) = Dv(tpo), qpi(v)= v(tpi—l), г = 2,...,т — 2, дрт— 1^) = v(tpm—2), = Dv(tpm—2) • Соответствующие базисные функции

Эрмита обозначим через ф^, г = 0,... ,т, то есть они являются полиномами степени т, удовлетворяющими условиям яр-1(фр.1) = 5^ , г,] = 0,... ,т. Для непрерывно дифференцируемых в окрестности точек &р функций определим оператор эрмитовой интерполяции в пространстве полиномов Рт(е) по формуле

т

Прй^) = ^ qpi(й)фpi(Ь).

i=0

Известны оценки погрешности полиномиальной интерполяции в нормах пространств Соболева для функций й е Нт+1(с) [9, с. 229]

\В3(й — П2й)Уь2(ё) < с\Вт+1 й\\Ыё), 8 = 0,..., т +1, (12)

где постоянная с зависит от т, 8 и от выбора узлов сетки &2 • Для весовых норм имеет место

Лемма 5. Пусть выполнены условия 8 < т +1, т + 1 + в — 8 — а > 0, а< 1/2 . Тогда существует такая постоянная с> 0, что для любой функции й е Н'т+1 (с) справедлива оценка

\\^(й — П1й)\\Ь2>^) < с (ё). (13)

Доказательство. Поскольку Н^г+1 (с ) С С 1(0,1] и Ь10 > 0, то оператор П1 : Нт+1(с ) ^ Рт(с) непрерывен. Справедливо непрерывное вложение Нт+1(с ) С С На (с ) по условию леммы (теорема 1), то есть непрерывен тождественный оператор I : Н'т+1 (с) ^ На (с ). При а < 1/2 справедливо непрерывное вложение

Рт(с ) С На (с ). Поэтому линейный оператор Ь = I — П1 : Н/т+1(с ) ^ На (с )

непрерывен и для любого полинома ф G Pm (C ) выполнено равенство Ьф = 0. Имеем

\\Ds(u — п1й)^Ь2аа(ё) = \\DsL(u — ф)||Ь2_а(ё) < c-iWu — ф\\нт+1{ё) <

m

< C2(\\Dm + 1u\\b2, в (е) + Е D u(1) - Dj ф(1)|) V ф G Pm(c). j=0

Выбрав ф G Pm(C) из условий Djф(1) = Dju(1) для j = 0,... ,m, получаем требуемое утверждение. □

Замечание 1. Если Hjm+1(е ) С C 1[0,1] (выполнено при m — 1/2 + в > 0), то лемма останется справедливой для оператора П (вместо ni).

Используя аффинные отображения Fk : C ^ ek, Fk(t) = hkt + xk-i, определим локальные операторы интерполяции nk : C 1(ek) ^ Pm(ek), к = 2,...,n соотношением

nku(x) = n?u(t), где x = Fk(t), u(t) = u(Fk(t)),

и оператор локальной интерполяции на первом конечном элементе п : C 1(0, h1] ^ ^ Pm(e\) соотношением

П1и(х) = %1u(t), где x = F1(t), u(t) = u(F1(t)).

Определим также оператор глобальной интерполяции Щ : C 1(0,1] ^ Sm по формуле

Щм(х) = nku(x), x G ek, к = 1, ... ,n.

Теорема 8. Если a < 1/2 и m — 1 + в — a > 0, то для любой функции и G Hm+1 (П) справедливы оценки

\\Ds(u — nku)\\L2,a(ek) < c 1hm+1-sxe-a\\Dm+1и\Ь2вe(Bk), k =1, 2,... ,n, (14)

\\Ds(u — Щи)\\Ь2,„(о) < Ch\^т+1и\\Ь2в,(я), (15)

где s G {0,1, 2}, в = min(m + 1 — s, r(m + 1 + в — a — s)).

Доказательство. Используя замену переменных x = F1(t), лемму 5 и обратную замену, получим следующую локальную оценку погрешности интерполяции на конечном элементе e1:

\\Ds(u — П1и)\\1 aa(ei) = h1-2(s+a)\Ds(U — П1и)\\1 аа(е) <

< сф1-2(°+а)\^т+1и\\1 в э (е) = в в (в1).

Т-Г г. xk-1 / к — 1 ST

Поскольку для к > 2 -~ (—-—) ~ 1, то существует константа c такая, что

xk к

max x-1a < Cx-1a и x-ie < C min x-ie.

xEek k k xEek

Проводя замену переменных x = Fk (t) , принимая во внимание полученные выше неравенства и оценки (12), имеем

\DS(u — nk u)\\L2 , a (ek) < Cx — 2a\\DS (и — nk u)\H2 {ek) <

< C1hk^m+1-')x-^\\Dm+1 u\\la(eh) < Cihkm+1-s) *k/i-1a\\Dm+1u\\la в в {ек).

С учетом (11) получим, что

^ / \ т(т+1 — в+13—а) — ('ш+1 — в)

К+1-84-а - нт+1-в(к/пу < н°,

где в = шт(т +1 — з,т(т +1 + в — а — в)) • Из полученных выше оценок следует \\Бв(п — Пкп)\\1а{ек) = \\Бв(и — Пки)\Ц2а {ек) < ¿2^ (ек )■

Суммируя эти неравенства по к = 1, 2,... ,п, получим глобальную оценку погрешности интерполяции(15). □

6. Схемы МКЭ с выделением особенности

Пусть а < 1, а(х) = х2-а, V = И2а/2-2 • Положим % = р| V = {V в Б™ :

V(1) = Бу (1) = 0}, Vh = o^Vh. Через и^ в Vh обозначим аппроксимацию Галеркина задачи (9)

а(ин,у) = Vу в V,. (16)

Относительно коэффициентов предполагаем, что \Пт-1а\ < с, \Пт-2(х1-аа')\ <

< сх£-т+1, \Вт-3(х2-аа0)\ < сх£-т+1 при а/2 — т + 1 <7 < 3/2 — т для достаточно малого е > 0 и Бт-2(х1-аа1) в Ь2л, Б™-2(х2-аа0) в Ь2л при 3/2 — т <

< 7 < 1/2.

Для оценки погрешности метода имеет место

Теорема 9. Пусть а/2 — т +1 <7 < 1/2. Тогда для / в Н^-3 справедлива оценка

в\

-3,

У« - uh\\v < ch

где в = min(m — 1, r(m — 1 + 7 — а/2)).

Доказательство. Используя лемму Сеа [9, с. 109], весовые оценки конечно-элементной аппроксимации (15) и теорему 5 для s = m — 3, получим оценку

\\u — uh\\v ~ \\u — üh\\y < c1 min \\u — p\\vr < сЛ\\й — Пп\\у <

< C2 he\\Dm+1u\\L2i7-2 < ефв\\u\\Hm+i < che\\f \\Hm-3.

Следствие 3. Для r = max{1, (m — 1)/(m — 1 + 7 — a/2)} имеет место оптимальная оценка

\\u — uh\\v < chm-1\\f \\н_Т-з.

Следствие 4. Если a e W^-1, x1-aa1 e Wm-2, x2-aa0,f e W^-3, то на равномерной сетке (r =1) справедлива оценка

\\u — uh\v < chm-1\\f\\^-з.

Справедливость следствия 4 непосредственно вытекает из теоремы 9, поскольку при a < 1 имеет место вложение W^-3 С Hm— •

Пусть 1 < a < 3, a(x) = x3-a, V = Hl/2-3 . Обозначим Vh = f| V,

dim Vh = N (N = nm — n + 2). В пространстве Vh выберем кусочно-полиномиальный базис {фг}1=1 и обозначим pi = афг, i = 1,...,N. В качестве

N

приближенного решения задачи (10) возьмем функцию и^ = хоуо + гзУз из

3=1

пространства Vh = врап{уо, У1,..., УN}, удовлетворяющую системе алгебраических уравнений

а(иЫУг)= КУг), г = 0,...,М, (17)

из которой коэффициенты разложения функции и^ определяются однозначно.

Теорема 10. Пусть тах(5/2, а + 1/2) — т < 7 < 1/2, ^т-1а\ < c Dm-2(x2-aa1) е 12г,, Dm-3(x3-aa0) е 12л. Тогда для / е Н^-3 имеет ме сто оценка погрешности метода

У« - uh\\y < ch \\f \\Hm-3, где в = min(m — 1, r(m — 1 + 7 — а/2)).

Доказательство. Через üj обозначим интерполянт функции ü, то есть üj = = nhü. Положим üj = üQ^o + x3-aüj € Vh, где üq - коэффициент в представлении функции ü (теорема 6). Используя лемму Сеа, весовые оценки конечно-элементной аппроксимации (15) и теорему 6 для s = m — 3, получим оценку

\\ü — üh\\v < ci min \\ü — y\\v < ci\\ü — üj\\v = ci\\x3-a(ü — üj)\\v <

vevh

Hm 3 '

< ci\\ü — üj\\v < c2he\\Dm+lü\\L2,Y-3 < c3he\\ü\\Hm+ < ch

Следствие 5. Для r = max{1, (m — 1)/(m — 1 + 7 — а/2)} справедлива оптимальная оценка

\\ü — ü, \\v < chm-l\\ f!hY

|\ü — üh\\v < chm-l\\f \\h m-3 .

Литература

1. Таюпов Ш.И., Тимербаев М.Р. Схемы МКЭ высокого порядка точности для неоднородной двухточечной граничной задачи с вырождением // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2006. - Т. 148, кн. 4. - С. 63-75.

2. Соболев А.А., Тимербаев М.Р. О схемах МКЭ высокого порядка точности для двухточечной задачи Дирихле четвертого порядка с вырождением // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2010. - Т. 152, кн. 1. - С. 235-244.

3. Тимербаев М.Р. Мультипликативное выделение особенности в схемах МКЭ для эллиптических вырождающихся уравнений // Дифференц. уравнения. - 2000. - Т.36, № 7. - С. 1086-1093.

4. Кудрявцев Л.Д. Об эквивалентных нормах в весовых пространствах // Труды МИАН им. Стеклова. - 1984. - Т. 170, Ч. 10. - С. 161-190.

5. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. -М.: Наука, 1977. - 456 с.

6. Трибель Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. - М.: Мир, 1980. - 664 с.

7. Тимербаев М.Р. Весовые оценки решения задачи Дирихле с анизотропным вырождением на части границы // Изв. вузов. Матем. - 2003. - № 1. - С. 60-73.

8. Тимербаев М.Р. О схемах МКЭ для 2-точечной граничной задачи Дирихле 4-го порядка со слабым вырождением // Исслед. по прикл. матем. и инф. - Казань: Казан. гос. ун-т, 2004. - Вып. 25. - С. 78-85.

9. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. - М.: Мир, 1980. -512 с.

Поступила в редакцию 12.04.17

Соболев Андрей Анатольевич, сотрудник кафедры вычислительной математики Казанский (Приволжский) федеральный университет

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: [email protected]

Тимербаев Марат Равилевич, доктор физико-математических наук, доцент кафедры вычислительной математики

Казанский (Приволжский) федеральный университет

ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: [email protected]

ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online) UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)

2017, vol. 159, no. 4, pp. 493-508

High-Order Accuracy Approximation for the Two-Point Boundary Value Problem of the Fourth Order with Degenerate Coefficients

A.A. Soholev*, M.R. Timerbaev**

Kazan Federal University, Kazan, 420008 Russia E-mail: *[email protected], **[email protected]

Received April 12, 2017 Abstract

The paper deals with the construction of high-order accuracy finite element schemes for the fourth-order ordinary differential equation with degenerate coefficients on the boundary. The method for solving the problem is based on both multiplicative and additive-multiplicative separation of singularities. For the given class of smoothness of the right-hand sides, the optimal convergence rate has been proved.

Keywords: two-point boundary value problem, finite element schemes, weight function space, multiplicative and additive-multiplicative decomposition of singularity

References

1. Tayupov Sh.I., Timerbaev M.R. Finite element schemes of a high accuracy order for two-pointed heterogenous boundary-value problem with designation. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2006, vol. 148, no. 4, pp. 63-75. (In Russian)

2. Sobolev A.A., Timerbaev M.R. On finite element method of high-order accuracy for two-point degenerated Dirichlet problem of 4th order. Uchenye Zapiski Kazanskogo Uni-versiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2010, no. 1, pp. 235-244. (In Russian)

3. Timerbaev M.R. Multiplicative extraction of singularities in FEM solvers for degenerate elliptic equations. Differ. Equations, 2000, vol. 36, no. 7, pp. 1086-1093. doi: 10.1007/BF02754511.

4. Kudryavtsev L.D. On equivalent norms in weighted spaces. Tr. MIAN im. Steklova, 1984, vol. 170, pt. 10, pp. 161-190. (In Russian)

5. Nikol'skii S.M. Approximation of Functions of Several Variables and Imbedding Theorems. Moscow, Nauka, 1977. 456 p. (In Russian)

6. Triebel H. Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators. Elsevier Sci. Publ., 1978. 500 p.

7. Timerbayev M.R. Weighted estimates of solution of the Dirichlet problem with anisotropic degeneration on a part of boundary. Russ. Math., 2003, vol. 47, no. 1, pp. 58-71.

8. Timerbaev M.R. On FEM schemes for two-point boundary-value Dirichlet problems of the fourth order with weak degeneration. Issled. Prikl. Mat. Inf., 2004, no. 25, pp. 78-85. (In Russian)

9. Ciarlet P. The Finite Element Method for Elliptic Problems. North Holland, 1978. 529 p.

Для цитирования: Соболев А.А., Тимербаев М.Р. Аппроксимация высокого по/ рядка точности двухточечной краевой задачи четвертого порядка с вырождающи-\ мися коэффициентами // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2017. -Т. 159, кн. 4. - С. 493-508.

For citation: Sobolev A.A., Timerbaev M.R. High-order accuracy approximation for / the two-point boundary value problem of the fourth order with degenerate coefficients. \ Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2017, vol. 159, no. 4, pp. 493-508. (In Russian)