CC BY
21
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 152, кн. 1
Физико-математические пауки
2010
УДК 519.6
О СХЕМАХ МКЭ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ ДЛЯ ДВУХТОЧЕЧНОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С ВЫРОЖДЕНИЕМ
A.A. Соболев, М.Р. Тимербаев
Аннотация
В статье рассматривается двухточечная краевая задача Дирихле для вырождающегося уравнения 4-го порядка. Эта задача решается методом конечных элементов высокого порядка аппроксимации с мультипликативным выделением особенности. Доказывается оптимальная скорость сходимости предложенного метода па заданном классе правых частей.
Ключевые слова: двухточечная краевая задача, весовые пространства Соболева, метод конечных элементов, мультипликативное выделение особенности.
Введение
Анализ эллиптических уравнений с вырождающимися коэффициентами показывает. что их решения имеют особенности в точках вырождения, связанные с неограниченным ростом производных (см.. например. [1 4]). Стандартные проек-ционно-сеточные методы численного решения таких задач, не учитывающие эти особенности, оказываются малоэффективными и плохо сходящимися. Для преодоления возникающих вычислительных трудностей применяются различные подходы: специальные замены переменных в исходном уравнении, сгущение расчетной сетки в окрестности точек вырождения, использование специальных базисных функций для аппроксимации решения и другие приемы. Так. для вырождающегося уравнения 2-го порядка в [5] была построена конечно-разностная схема 1-го порядка точности на ортотропно-сгущающейся сетке в исходных переменных, которую можно интерпретировать и как схему метода конечных элементов (МКЭ) с численным интегрированием на равномерной сетке в новых координатах при специальной замене переменных. В работе [6] также использовалось ортотроп-ное по направлению к линии вырождения сгущение, то есть линейные размеры конечных элементов триангуляции по вырождающейся переменной уменьшались существенно быстрее, чем по остальным переменным. Равномерное (изотропное) по всем переменным степенное сгущение сетки к точкам вырождения применялось в работах [7 9] для линейных и квазилинейных уравнений 2-го порядка и в работе [10] для квазилинейного уравнения 4-го порядка. Отметим, что сгущение сетки, хотя и улучшает аппроксимацию решения в окрестности особых точек, но приводит к нежелательным с вычислительной точки зрения эффектам другого рода к увеличению числа уравнений и неизвестных в результирующей системе МКЭ и ее худшей обусловленности по сравнению с квазиравномерными триангуляциями расчетной области, что было замечено еще в статье [5]. Что касается ухудшения в той или иной степени свойств систем уравнений МКЭ для задач с особенностями по сравнению с регулярными задачами, то это является, по-видимому, неизбежной платой за удовлетворительную или оптимальную аппроксимацию сингулярности.
Для вырождающегося линейного уравнения 2-го порядка в статье [11] был предложен оптимальный с точки зрения теории аппроксимации численный метод для класса правых частей из весового пространства Лебега, то есть наиболее быстро сходящийся в энергетической норме задачи проекционный метод на данном классе входных данных. Метод основывается на мультипликативном выделении особенности. то есть представлении решения в виде произведения специально подобранного сингулярного веса и новой неизвестной функции, которая, как показывают априорные оценки [4]. является гладкой и может быть аппроксимирована стандартными кусочно-полиномиальными функциями. Этот метод можно трактовать как МКЭ со специальным базисом, состоящим из произведений сингулярного веса на кусочно-полиномиальные базисные функции обычного МКЭ, поэтому для его реализации могут быть использованы процедуры триангуляции области и генерирования систем уравнений с оптимизацией нумерации узлов сетки, заложенные в стандартных пакетах программ МКЭ.
В настоящей работе мы применяем мультипликативное выделение особенности для дискретизации с высоким порядком точности вырождающегося обыкновенного дифференциального уравнения 4 -го порядка. Ранее для этого уравнения в [12] был построен метод 2-го порядка аппроксимации с кубическими эрмитовыми элементами. Схемы МКЭ высокого порядка аппроксимации для вырождающегося уравнения 2-го порядка анализировались в [13].
1. Обозначения и вспомогательные результаты
Введем в рассмотрение весовые классы функций на интервале П = (0,1). Для вещественного 7 через Ь2}1 = ¿2,7 (П) (далее символ П будем опускать, когда он подразумевается из контекста) обозначим пространство измеримых функций с конечной нормой
1/2
2
^¿2,71| = / |х 1u| ¿X
Пусть в - целое неотрицательное число. Множество функций, у которых почти всюду ограничена обобщенная производная порядка в, обозначим через ЭД^. Через Н® будем обозначать пространство функций, имеющих обобщенную производную порядка в класса Ь2,7, то есть функций, у которых конечна полунорма НDsu|L2}11|, где П® - оператор обобщенного днфференцирования порядка в. Это пространство является гильбертовым с нормой
ИНН = (||^и|Ь2,71|2 + 1)Н2)1/2,
где 5 £ (0,1) фиксировано. Иногда удобнее использовать другую, эквивалентную норму
/ а_х \ 1/2 |МН|| = цп®«^ ||2 + £ |п и(1)|2
\ 3=0
Через С0 (П) обозначается множество бесконечное число раз дифференциру-
П
о
жества функций СО" в норме пространства Н® обозначим через Н^ • Замыкание в Н® бесконечно дифференцируемых финитных в окрестности точки х =1 функций обозначим через Н®. При 7 = 0 этот символ в обозначениях пространств будет опускаться.
Нам понадобятся следующие вложения, доказательство которых можно найти в [13, 14]. [15. с. 378]. [16, с. 319].
Теорема 1.
(I) Пространство НТ непрерывно вложено в пространство Нк (НТ с Н^) тогда и только тогда, когда выполнены неравенства к < т, в < 1/2 и т + а — — к — в > 0; если последнее неравенство строгое, то данное вложение компактно.
(II) Если 7 > —1/2, то пространство Н^ = {и & Н® : Вки(0) = Вки(1) = 0, к = 0,1,...,з — 1};
если 7 + в < 1/2, то Н; = НН^ = {и & Щ : Вки(1) =0, к = 0,1,..., в — 1}.
о о ,
(Ш) Пространство Н ^ непрерывно вложено в прос транство Н ®+к при к =
= 0,
(Н-) Пространство Н^ вложено в Се -х[0,1] тогда и только тогда, когда 7 > > —1/2,- при этом данное вложение компактно.
(у) Пусть и - произвольное нормированное пространство. Для того чтобы линейный непрерывный оператор Ь : и ^ Н® был компактен, необходимо и достаточно, чтобы был компактен оператор ВвЬ : и ^ Ь2л.
Для произвольного вещественного / определим интегральный оператор Харди
X
К^и(х) = Xм-1 У у-ми(у) ¿у.
0
Естественной областью определения ёош Км оператора Харди Км является множество измеримых на П функций и(у), для которых функция у-ми(у) интегрируема по Лебегу па интервале (0, х) для каждого х & (0,1).
Теорема 2 [4]. Для оператора Харди справедливы утверждения:
(I) если / < шт(1,7 + в + 1 /2), то Км непрерывен как опера тор из Н^ в Н®;
(II) для / = V имеет место псевдорезольвентное тождество
КцК„ = К„Кц = - к„у,
/ — V
(Ш) для оператора Харди справедливы формулы дифференцирования:
если и & ёош Км, то хВКми = и + (/ — 1)Кми;
если еще Ви & ёош Км, то ВКми = Км-1Ви.
2. Постановка задачи и гладкость решения
На интервале П = (0,1) рассматривается модельное уравнение 4-го порядка
Аи = В2(хаа(х)В2и) + хв Ь(х)и = ] (х), (1)
с граничными условиями Дирихле
и(0) = Ви(0) = и(1) = Ви(1) = 0. (2)
ав
А
Далее предполагаются выполненными условия на коэффициенты уравнения: а < 1 (условие строго вырождения); в + 4 — а > 0; а(х) > а0 > 0, Ь(х) > 0; а, Ь -достаточно гладкие функции (их гладкость определяется ниже).
Положим и(х) = м(х)/ст(х), где и - решение задачи (1), (2), <г(х) = х2 а. Определим оператор А формулой Аи = А(стм). Вместо исходной задачи рассмотрим задачу о нахождении функции и:
А и(х) = / (х), ам|ж=о = П(стм)|ж=о = и(1) = Пи(1) = 0. (3)
Для решения и справедлива теорема гладкости
Теорема 3. Пусть а — 5/2 - в < 7 < 1/2, а £ , хв+2_аЬ £ ^. Тогда
оператор А осуществляет изоморфизм пространства Н®+2 п Н на Н®. Лрм этом длярешенил задачи (3) выполняются граничные условия х4_аВ2м(х) |х=0 = = 0, П (х4_аП2и(х)) |х=0 = 0.
Доказательство. Оператор А представим в виде А = А0 + В, где
А0и(х) = П2 (хаа(х)П2(а(х)м(х))), Ви(х) = хв+2_а6(х)и(х).
При выполнении условий теоремы па коэффициенты м Ь непосредственным дифференцированием проверяется, что операторы А0, В и А непрерывны из
в Н®.
Покажем, что оператор А0 является изоморфизмом прос транства п Н
на Н®, а оператор В компактен из в Н®. Тогда оператор А = А0 + В
будет компактным возмущением изоморфизма А0 . Так как однородное уравнение Ам = Аи = 0 имеет только тривиальное решение (это следует из эллиптичности оператора А), то в силу альтернативы Фредгольма оператор А : Н®_2 п Н ^ Н® будет изоморфизмом.
Пусть / £ Н®. Дважды интегрируя уравпение (1) с Ь(х) = 0, получим хаа(х)П2и(х) = р(х) + Д(х), где р(х) - полином первой степени, который подбирается из граничных условий в точке х = 1, функция /1(х) такая, что В2/1 = /,
/1 € Я®+2. Положим 9(ж) = Р<уХ^ ^^ ■ Тогда д € Щ+2, так как о € Т<У^+2 и
а(х)
а(х) > а0 > 0. Поскольку а — у < ш1п(1, 7 — + в + 2+ 1/2) для у =0, 1,. .., в + 2, то П3 д £ ёош Ка_з . Следовательно, х_ад £ ¿1(0, 4) для любого 4 £ (0,1),ис учетом
х=0
х у
и(х) = / J ¿_ад(4) ¿у,
00
соответственно,
X у
и(х) = ха_2/ ¿_ад(*) ¿у = Ка_1Кад.
00
Используя формулы дифференцирования оператора Харди (теорема 2) и условие а — 5/2 — в <7, будем иметь:
Вя+2и = Вя+2(Кад — Ка_1д) = Ка_в_2Пв+2д — Ка_8_зВя+2д £ ,
па+з~ 1)8+2 9 а-8- 3 +2 а - а - 4 +2
= -Ж----Ж-д--------Ка-д-зЬ) д =
4+ в — а ,2 3+ в — а ,2
D^u = (4 + ' ~ *)(<» ~ ' ~ 5) Ka_s_3D^g.
(3 + *-а)(а-*-4) +2 Ds+2g -о-дЛ--ъ— е L
g
2- t ^2,7-2-
Следовательно, и G H> и в силу непрерывности операторов Харди справедлива оценка ||w|HS—2|| < СН/1Н|| • Поскольку при y < 1 /2 выполнены вложения H— С С H^+2 С H, то с учетом граничных условий для м в точке x =1 получим, что и G HS-2 П H • Таким образом, oneратор A0 есть изоморфизм пространства H-2 П H^ на H-
Проверим выполнение естественных граничных условий в точке x = 0. Так как D2w = Ka-2D2g - Ka-sD2g G Hs,
то при x ^ 0
x x
xA-°D2u = x J t2-a D2 g(t) dt -J t3-aD2 g(t) dt ^ 0
X
В(х4-аВ2и) ^У t2-aВ2g(t) ¿г + хх2-а В2 д(х) — х3-аВ2д(х) = 0
X
= У г2-аВ2д(г) ¿г ^ 0.
0
Наконец покажем, что оператор В : Н^-2 ^ Н® компактен. Справедливо равенство
в
ВяВм(х) = ^ С® В8-3 (хв+2-аЬ(х))В3 и(х). (4)
3=0
Пространство Н®+1-3 компактно вложено в Ь2л (теорема 1), следовательно, оператор В3 : Н®+1 ^ Ь2,7 компактен для = 0,1,..., в. Из условия хв+2-аЬ & £ следует, что все производные Бк(х13+2~аЪ) (к = 0,1,..., в) ограничены
па П. Из равенства (4) и теоремы 1 (утверждение (у)) вытекает компактность оператора В : 2 С Щ+1 ->■ Щ. □
Следствие 1. Если а, хв+2-аЬ, / - функции класса Сто[0,1], то функция и & Сто[0,1].
Доказательство. Из теоремы 3 при 7 = 0 и вложения Н-+4 С Ня+2 следует оценка ||м|Яя+2|| < с||/|Я8||. Так как Н3+2 С С8+1,то С8+1[6,1] для любого в, то есть и € С°°[0,1]. □
Из теоремы 3 вытекает, что решение м задачи (3) является гладкой функцией и ее гладкость зависит только от гладкости правой части / и коэффициентов а, хв+2-аЬ и те зависит от степени вырождения а, тогда как у решения и исходной задачи при а > 0 вторая производная в окрестности точки вырождения х = 0, вообще говоря, бесконечна.
о
о
3. Вариационная формулировка задачи
Рассмотрим обобщенную постановку исходной задачи (1). (2) на пространство
1/2
^ =Н _а/2
с нормой ||и| V|| = [ ! ха(П2и)2 ¿х I . Определим билинейную V п )
форму а та пространстве V х V и линейный функционал ^ ^^ ^^^странстве V по формулам
а(и,")=/(х"аП2иП2" + хвЬи^а = / ^
п п
Под обобщенным решением двухточечной краевой задачи (1). (2) будем понимать функцию и £ V, которая удовлетворяет равенству
а(м,«)= V v £ V. (5)
Теорема 4. .Если 7 > а/2 — 2 — в, то решение и £ V задачи (5) существует и единственно для любой правой части / £ Н®.
а
|а<и, ^ < /|xааD2uD2v+хв м * < / ^„л^ч *+/ м * <
п п п
< е1 ( J ха(п2и)2 ¿х)1/2( J ха(П^)2 ¿х^2 + пп
/1/2 /* 1/2 хви2 ¿х) ( / х^2 ¿х) < еНu|V|| ||v|V||,
пп
поскольку V С ¿2,_в/2 при в+4 —а > 0. Эллиптичность формы а па пространстве V следует из неравенств
а(и, и) хаа(П2и)2 ¿х > ао|
и| V ||2.
Так как V С ¿2,2-0/2 > т0 линейный функционал | непрерывен на V, если / £ £ ¿2,а/2_2 С V*. А это выполнено, поскольку Н® С ¿2,а/2_^и 7 > а/2 — 2 — в. Из свойств билинейной формы а и линейного функционала f следует, что вариационное уравнение (5) однозначно разрешимо. □
Положим и = На/2_2.Через а обозначим линейный оператор умножения на функцию а(х) = х2_а. В [12] доказана
Лемма 1. Оператор а является изоморфизмом пространства Vй на пространство V.
Из леммы 1 следует, что вариационная задача (5) на гильбертовом пространстве V эквивалентна вариационной задаче на гильбертовом пространстве Vй: найти функцию и £ Vй такую, что
!(!,!)= Т(и) V и £ и, (6)
где !(!,!) = a(au,av), ^(и) = f(аv). При этом решения задач (5) и (6) связаны между собой соотношением и = аи.
4. Аппроксимация задачи конечными элементами
На отрезке [0,1] зададим набор узлов 0 = x0 < x1 < • • • < xn = 1. Данный набор точек образует разбиение Th = {ek}n=1 отрезка [0,1] на конечные элементы ek = [xk_bxk] с шагом h = max hk, где hk = xk — xk_1. Предполагается суще-
ствованне постоянной ¡л > 0, те зависящей от h, что hk+i < лhk, к = 1,... ,n — 1.
Пусть m > 3 натуральное число. Определим пространство конечных элементов S^1'1 как множество функций класса C1, сужение каждой из которых на произвольный конечный элемент ek G Th есть полином степени m, то есть
sm'1 = Sm'1(Th) = & G C1[0,1] : <f\ek G Pm(ek) V ek G Th}.
Пусть выполнены условия: a/2 — (m — 1) < y < 1/2, a G Wm_1, xe+2_ab G G Wm_3, / G Hm_3. Поскольку 1/2 > y > a/2 — (m — 1) > a — (m — 3) — 5/2, то по теореме 3 решение краевой задачи (1), (2) можно записать в виде и = аи, где функция V - решение вариационной задачи (6), причем имеет место оценка
nh-Vii < с/нт_з||.
Положим Vh = S™'1 П V = {V G S^1 : V(1) = DV(1) = 0}, Vh = aVh. Через uh G Vh обозначим приближение Галеркина для задачи (5), то есть функция uh является решением вариационного уравнения
a(uh,v)= f(v) V v G Vh. (7)
В качестве приближенного решения задачи (6) возьмем функцию uh G Vh такую, что
V(Vh,V)= V(V) V V G Vh. (8)
Тогда uh = auh, и для погрешности приближения в энергетической норме справедлива оценка:
||'Ы - Uh\V\\ ~ \/а(и - Uh,U - Uh) = \Ja{u - Uh,U - uh) ~ II« -
Теорема 5. Пусть а/2 - (m - 1) < y < 1/2, a G xß+2~ab G Wc
m — 3 oo
Тогда для / & Нт 3 справедлива оценка погрешности метода
||и — и^У||< еЬв\\/|Нт—3||, (9)
где 0 = шш(т — 1, т — 1+ Y — а/2).
Доказательство. Используя лемму Сеа [17, с. 109], весовые оценки конечно-элементной аппроксимации [18] и теорему 3 для в = т — 3, получим оценку (9):
||и — и^У 1141« — ||< С1 1п| ||Й — ||< С2кв1\Вт+1и1Ь2,1—21| <
< СЗ^ИН?—1! < сЬвц/|НТ—3|.
Следствие 2. Если а & хв+2—аЬ, / & 3 , то
||и — и^У|| ~ ||« — || < сНт—1Ц/|^—3||.
Справедливость утверждения непосредственно вытекает из теоремы, поскольку при а < 1 имеет место вложение Wm—3 С НО/-3.
5. Результаты численных экспериментов
Пусть (X, р) - полное метрическое пространство. Если для некоторой последовательности (^) и элемента ^ из ^ ^^^^^^^ета оценка р(^-< ед_, где з = = 0,1,..., д > 1, то имеет место неравенство
^чО < р(^^ + рК^+О < (е + .
Справедливо и обратное утверждение
Лемма 2. Если для некоторой последовательности ^ £ X выполнено неравенство р(^-< е1д_3, з = 0,1,..., д > 1, то существует единственный элемент v £ X такой, что р(^-,v) < е2д_3.
зв
имеем цепочку неравенств
Р(^' ^Ч«) < Р(^' + Р^'+Ь^^ + • • • + Р(^+8_1,^+8) <
^ (с1 е«г4)^ (с1 е«г4)= с1 (7ГТ)=(10)
откуда следует, что последовательность (^) фундаментальна. Так как пространство X полное, то у этой последовательности существует предел, который обозначим через ^^ ^^^^^^^^ ^ ^^^^^^^стве (10) к пределу при в то, получим оценку V) < с^з . □
Пусть т — степень полиномов на конечном элементе, ип, М2п _ решения (8) на равномерной сетке, состоящей из п и 2п конечных элементов соответственно. Тогда по лемме 2 при д = 2т_1, п = по23 (по — начальное число конечных элементов) из неравенства ||ип — м2п|и|| < е1п1_т следует, что ||ип — || < е2п1_т. Таким образом, проверка ограниченности величин пт_1||г(п — м2п|и|| может слу-
т — 1
вычислепы для а(х) = 1 + х, Ь(х) = х, в = а, /(х) = 1 + х.
Табл. 1
т а \ п 16 32 64 128 256 512
3 0.5 2.0е 3 1.6е 3 1.5е 3 1.4с 3 1.4с 3 1.4с 3
3 0 2.9е 3 2.3е 3 2.0е 3 1.9с 3 1.8с 3 1.8с 3
3 0.2 3.5е 3 2.8е 3 2.4е 3 2.2е 3 2.1с 3 2.1с 3
3 0.5 4.бе 3 3.9е 3 3.5е 3 3.1е 3 2.8е 3 2.бе 3
3 0.9 6.бе 3 б.Зе 3 б.Ое 3 5.8е 3 5.бе 3 5.5е 3
4 0.5 2.7е 4 2.7е 4 2.7е 4 2.7е 4 2.7е 4 2.7е 4
4 0 З.Зе 4 З.Зе 4 З.Зе 4 З.Зе 4 З.Зе 4 3.4е 4
4 0.2 3.5е 4 З.бе 4 З.бе 4 З.бе 4 3.7е 4 3.7е 4
4 0.5 4.0е 4 4.0е 4 4.0е 4 4.0е 4 4.0е 4 4.1с 4
4 0.9 4.7е 4 4.8е 4 4.9е 4 4.9е 4 4.9е 4 5.0е 4
Заключение
Схемы МКЭ, основанные на мультипликативном выделении особенности для рассматриваемой задачи, имеют в энергетической норме оптимальную скорость сходимости 0(Лт_1) та классе правых частей из , т > 3. Данный ме-
а=в=0
вырождения, тогда как стандартный МКЭ при 0 < а < 1 для сколь угодно гладкой правой части и любого m > 3 приводит к существенно худшей сходимости O(h(1-a)/2), которая не улучшается с повышением гладкости входных данных и m
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты Х- 09-01-97015, 10-01-00728).
Summary
^4.^4. Subulev, M.R. Timerbaev. On Finite Element Method of Higli-Order Accuracy for Two-Point. Degenerated Diriclilet. Problem of 4t.li Order.
In this paper two-point, boundary value problem for a differential equation of 4t.li order with degeneration is considered. This problem is solved by the finite element, method of high-order accuracy with a multiplicative separation of singularity. The optimal convergence rate of the presented method for a given class of smoothness of the right-hand sides is proved.
Key words: two-point, boundary value problem, weighted Sobolev space, finite element, method, multiplicative decomposition of singularity
Литература
1. Смирнов M.M. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. 292 с.
2. Лгшоркии П.И,, Никольский G.M. Эллиптические уравнения с вырождением. Дифференциальные свойства // Докл. АН СССР. 1981. Т. 257, 2. С. 278 282.
3. Кыдыралиев С.К. О повышении гладкости решений вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка // Дифферепц. уравнения. 1989. Т. 25, Л' 3. С. 529 531.
4. Тимербаев М.Р. Весовые оценки решения задачи Дирихле с анизотропным вырождением па части границы // Изв. вузов. Матем. 2003. Л' 1. С. 60 73.
5. Гусман Ю.А., Оганесян JI.A. Оценки сходимости копечпо-разпостпых схем для вырожденных эллиптических уравнений // Жури, вычисл. матем. и матем. физ. 1965. Т. 5, Л» 2. С. 351 357.
6. Franchi В., Tesi М.К. A finite element, approximation for a class of degenerate elliptic equations // Math, of Сотр. 1999. V. 69, No 229. P. 41 63.
7. Ляшко А.Д., Тимербаев М.Р. Оценки точности схем МКЭ для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка // Дифферепц. уравнения. 1993. Т. 29,
7. С. 1210 1215.
8. Тимербаев М.Р., Ляшко А.Д. Об оценках погрешности схем МКЭ для квазилинейных вырождающихся уравнений 2-го порядка // Дифферепц. уравнения. 1994. Т. 30,
7. С. 1239 1243.
9. Тимербаев М.Р. Копечпоэлемептпая аппроксимация вырождающегося эллиптического уравнения 2-го порядка в области с криволинейной границей // Изв. вузов. Матем. 1994. Л» 9. С. 78 86.
10. Карневсклш М.М., Ляшко А.Д., Тимербаев М.Р. Метод конечных элементов для квазилинейных вырождающихся уравнений 4-го порядка // Дифферепц. уравнения. 1999. Т. 35, 2. С. 232 237.
11. Тимербаев М.Р. Мультипликативное выделение особенности в схемах МКЭ для эллиптических вырождающихся уравнений // Дифферепц. уравнения. 2000. Т. 36,
7. С. 1086 1093.
12. Тгшербаев М.Р. О схемах МКЭ для 2-точечпой граничной задачи Дирихле 4-го порядка со слабым вырождением // Исслед. по ирикл. матем. и ипф. Казань: Казан, гос. уп-т, 2004. Вып. 25. С. 78 85.
13. Тактов Ш.И., Тимербаев М.Р. Схемы МКЭ высокого порядка точности для неоднородной двухточечной граничной задачи с вырождением // Учен. зап. Казап. уп-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2006. Т. 148, кп. 4. С. 63 75.
14. Кудрявцев Л.Д. Об эквивалентных нормах в весовых пространствах // Тр. МИАН им. Стеклова. 1984. Т. 170, Ч. 10. С. 161 190.
15. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. 456 с.
16. Трибелъ X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. 664 с.
17. Сья'рле. Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. 512 с.
18. Тгшербаев М.Р. Копечпоэлемептпая аппроксимация в весовых пространствах Соболева // Изв. вузов. Матем. 2000. 11. С. 76 84.
Поступила в редакцию 25.01.10
Тимербаев Марат Равилевич доктор физико-математических паук, профессор кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета. Е-шаП: тага1. ЫтегЬаел Qksu.ru
Соболев Андрей Анатольевич аспирант кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета. Е-шаП: andreyasobQyandex.ru
