Неравенство Харди с точечно сингулярным внутри области весом Текст научной статьи по специальности «Математика»

_____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 154, кн. 3 Физико-математические пауки

2012

УДК 517.518.235

НЕРАВЕНСТВО ХАРДИ С ТОЧЕЧНО СИНГУЛЯРНЫМ ВНУТРИ ОБЛАСТИ ВЕСОМ

М. Р. Тимербаев, Н.В. Тимербаева

Аннотация

В работе рассматриваются пространства Соболева с весом, принимающим бесконечные значения в некоторых внутренних точках двумерной области. Для функций этих пространств доказывается неравенство Харди. Устанавливаются теоремы вложения в весовые пространства Лебега и теоремы о перенормировках.

Ключевые слова: неравенство Харди, весовые пространства Соболева, теоремы вложения, теоремы о перенормировках.

Введение

Неравенства типа Харди находят многочисленные применения в вопросах анализа: в теории функциональных пространств, в теории аппроксимации пространств функций, при исследовании интегральных и дифференциальных уравнений и анализе сходимости приближенных методов для этих уравнений.

Относительно интегрального неравенства Харди [1, с. 289] с весовой функцией справедлив следующий результат [2. с. 120]:

Теорема 1. Пусть f (х), л(х) > 0 на (0, с), /л абсолютно непреры вна на [0, с],

X

причем л'(х) > 0, л(0) =0, 1 < p < ж. Тогда для F(x) = J f (t) dt справедлива

о

оценка

Классическое неравенство Харди получается отсюда при ^(х) = х. Часто это неравенство применяется для степенных весовых функций ^(х) = ха. Имеются обобщения неравенства Харди на многомерные области интегрирования, где в качестве весовых функций берутся подходящие степени расстояния от точки области до ее границы.

Настоящая работа посвящена доказательству неравенства типа Харди для функций из пространства Соболева с весом, стремящимся к бесконечности при приближении к некоторой точке внутри двумерной области. На основе этого неравенства устанавливаются свойства пространств Соболева с весом указанного типа, такие как теоремы вложения и теоремы об эквивалентных нормировках.

1. Весовые пространства

В этом разделе вводятся пространства Лебега и Соболева с весом, который может иметь особые точки внутри области. Такие пространства возникают при

описании решений дифференциальных уравнений с сингулярностью в коэффициентах дифференциального оператора и/или в правой части. По теории пространств Соболева с весом, сингулярные точки которого лежат на границе области, имеется обширная литература (см., например, монографии [3. 4] и ссылки в них).

Пусть О = {х £ М2 : |х| < - круг радиуса По = О \ {0}. Если р(х) - неко-

торая положительная почти всюду функция на О, называемая весом, то мы можем определить весовое пространство Лебега Ь2,р(О) как пространство измеримых по Лебегу функций с конечной нормой

Тогда через Нр(О) обозначим множество функций с конечной полунормой |и|1 р = ^и|0 р = |рУм|0. Если р(х) = 1, то вместо Нр(О) будем писать Нх(О). Всюду далее мы считаем, что весовые функции имеют вид р(х) = р 1 (|х|), где Р1 : (0, ^ (0, +то) - некоторая монотонная непрерывная функция. Более того,

допуская вольность в обозначениях, но упрощая запись, мы будем р1 отождествлять с р, то есть если х £ О и £ = |х|, то р(х) = р(£). Поскольку особенность такого

х=0

окрестности нуля градиент функции из Нр (О) интегрируем с квадратом. Поэтому для таких весов в качестве нормы пространства Нр (О) можно взять, например, норму ||и|| 1 р = |и|1 р + |и|0 п, где В С О0 - любой компакт ненулевоЙ меры в М2 . Различный выбор В приводит лишь к эквивалентным нормам, как будет показано ниже (см. теорему 5).

Хорошо известно, что для функций и £ Н 1(О) и фиксированной точки г £ О нельзя определить значение (или «след») и(г) как линейный непрерывный функционал на Н 1(О). Другими словами, дельта-функция 5г, сосредоточенная в г и действующая по формуле (¿г, и) = и(г), не является элементом сопряженного пространства Н 1(О)/. Однако при определенных условиях на весовую функцию р(х) для функций и £ Нр (О) можно корректно определить значение функции и(0) в сингулярной точке г = 0, то есть при определенных условиях роста р(х) в окрестности г = 0 будем иметь включение ¿о £ Нр(О)/. Выясним эти условия.

Введем следующие функции:

Лемма 1. Функция и принадлежит пространству Нр(О) тогда и только тогда, когда ^(0) < то.

Доказательство. Имеем

0,р

d

(1)

5

Уи(ж) = 4(|ж|)У|ж| = - Х

| х| 2 р2 ( х)

откуда для Ое = {х £ О : |х| > е}

d

Предельным переходом по е ^ 0 получаем требуемое утверждение.

□

Замечание 1. Из условия ^(0) < то следует, что р(0) = +то. В этом случае пространство Нр(О) непрерывно вложено в Н 1(О).

Лемма 2. Если ^(0) = то, то найдется такая неотрицательная непрерывная в О0 функция и £ Нр(О), что и(0) = то.

Доказательство. Условие леммы означает, что функция ^ не принадлежит пространству Ь2(0, ¿). Следовательно, найдется такая неотрицательная функ-

d

/V (£)

---сИ = то. Положим

аДр(£)

d

■uq(s) = ( °( ') dt и и(х) = «o(|x|).

J Vtp(t)

s

По построению u(x) неотрицательна и всюду непрерывна в П, за исключением точки x = 0, в которой она принимает бесконечное значение. Кроме того, поскольку \/lp(t)u'0 = —vq G Ьо(0, d) и |Vu(x)| = |uq(|x|)| , то

d d j |p(x)Vu(x)|2 dx = 2n j tp2(t)|u0(t)|2 dt = 2n j |v0(t)|2 dt < то.

Q 0 0

то есть и G Hp(Q). □

Лемма 3. Если w(0) < то mo для любой фу нкции u G Нр(П) и любо го е > 0 справедлива оценка

j |u| dx < се2УиУ1р, (2)

| x| <£

где постоянная с не зависит от и и е.

Доказательство. Положим

(*)=/гж- (31

£р2(£)'

0

Для произвольной функции и £ Н1(О) щи £ (0, ¿) оценим в полярных координатах |и(£, <р) — и(в, <р)|, используя неравенство Коши-Шварца:

Ь , d ч 1/2

|«(#, <р) — «(в, <р)| = | J дru{r,^p)dr\ < \fo\d) ( J гр2(7')\дги(г,(р)\'2 dr\ .

Интегрируя по угловой координате и снова используя неравенство Коши Шварца для интеграла по <р, получим

2п / 2п d ч 1/2

2п / 2п d \ 1/2

J \u(t, (р) — w(s, 92) | d(f < \/2iï(j{d) ( J J rp2(r)\dru(r: (p)\2 dr dtp j

o \ 0 o /

0 4 0 0

2п 2п

откуда J |и(в,у>)| ^ |и(£, у>)| + с|и|1 р. Умножим это неравенство на £ и

00 проинтегрируем по (0, ¿):

2п

%■ J\'Ф,<Р)\й<р < ||м||ь1(п) + с^-\и\1,р ^ С111'ы111,р-

0

Наконец, умножая последнее неравенство на в и интегрируя по интервалу (0, е), будем иметь

J |и| ¿х < С2е2|и|1р.

Лемма доказана. □

Теорема 2. Следующие утверждения эквивалентны:

(г) ¿0 £ Нр1(О)/;

(гг) и £ Н1(О);

(ггг) ^(0) < то.

Доказательство. Эквивалентность утверждений (11) и (111) доказана в лемме 1. То, что (1) влечет (ш), следует из леммы 2. Осталось показать, что из (Ш) вытекает (1). Рассмотрим регуляризацию дельта-функции вида

\х\ <£

Ясно, что /е ^ ¿^и е ^ 0 в пространстве распределений В/(О). Из оценки (2)

с

следует, что для V £ Нр(И) \(/е,1’)\ < — ||г’||1р, то есть последовательность {/е} Н 1(О)/

{/еп К слабо сходящуюся к некоторому предельному функционалу / £ Н1(О)/, который, очевидно, совпадет с 6а ■ □

Примерами весовых функций р, удовлетворяющих условию ^(0) < то, являются

1) р(£) = а > 0;

2) р(*)=1п“у, а > ^:

3) р(г) = ^1п у 1п“ (1пу) > « >

4) р(#) = ^“ехр^-, аеК, /3,7 > 0.

2. Неравенство Харди

Всюду далее в работе рассматривается случай ^(0) < то. Как уже отмечалось выше, в этом случае имеет место непрерывное вложение Н1(О) С Н 1(О). Кроме того, корректно определено подпространство Н1(О) = {и £ Н^(О) : и(0) = 0}. Переформулируем теорему 1 в случае р = 2 в другом, более удобном для нас

виде;

Лемма 4. Пусть весовая функция г/(#) такова, что — £ Тогда для

V

1

любой функции и Є Н,3(0, d) имеет место оценка d d

j £и dt < 4 j \i/u'\2 dt, где e(s)=i/2(s) j

dt

v2{t)'

0 0 0

Это утверждение получается из теоремы 1 заменой в ней / на |и'|, ^(в) на в в

J V-2 ¿і и учетом неравенства |и(в)| < В (в) = J |и'(і)| ¿і.

00

Основной результат работы содержится в следующей теореме.

Теорема 3. Для любой функции и є НґЗ(П) справедливо неравенство

j |A(x)u(x)| dx < 4у |p(x)Vu(x)| dx, п п

(4)

P(t)

gcte A(i) = ^7-7, p(t) = tp2(t)a(t), a a(t) определяется соотношением (3). Мно-M(t)

житель 4 в этом неравенстве неулучшаем.

Доказательство. Применяя лемму 4 для v(t) = оценим в полярных

координатах

t

о

P(t)

tp2(t)a(t)

u(t, y>)

d

dt < 4 j r|pdru(r, <^>)|2 dr.

Интегрируя no <£>, получим

2n d

оо

<

p(t)

= /|AWuW|2 dx <

tp2(t)a(t)

Г

4 J J dr\pdru(r, ip)\2 dr dip < 4 J j r\pdru{r,ip)\2 -\- — \рд^и{г,ір)\2 dr dip =

= 4У |p(x)vu(x)i2 dx.

2n

оо

2n d

оо

Теорема доказана. □

Вес А = — в теореме 3 в определенном смысле является предельно максималь-М

ным. Кроме того, 1 £ -^2,а(О), то есть А £ ¿2(О). Действительно, d d d / *<н> *=2* / (1п<т(,))'л=+о°-

П 0 0 0

так как <г(0) = 0. В то же время 1 £ Н1(О) по определению. Поэтому дополни-и(0) = 0

х=0

и(0) = 0

d

2

г2а г

Пример 1. Пусть р(1) = 1~а, а > 0. Тогда оД) = —, ¿Д) = — и неравен-

2а 2а

ство (4) примет вид:

J ||ж|_а_1г«(ж)|2 ¿х < — J ||ж|_“У«(ж)|2 (¿Ж. п п

Пример 2. Для Д > й положим /Д) = 1п“ а > 1/2. В этом случае оД) = ■ 1п2“-1 —. Тогда

2а — 1 г

1п“+1(Д/|ж|) 2 2

¿ж <

(2а - 1)2 7 п

1па Д- У«(ж) ж

¿ж.

3. Вложение в весовое Ь2 и эквивалентные нормировки

Пусть, как и выше, Дг) = ¿рД)ст(г). Теорему 3 можно трактовать как теорему вложения (непрерывного, но не компактного!) подпространства Н^(П) в Ь2,Л(П),

где А = —. причем константа вложения 2 в оценке неулучитаема:

М

|и|о,л — 21 и 11, р.

Однако все пространство Н1(П) те вкладывается в Ь2,Л(П) хотя бы потому, что, как уже отмечалось выше, 1 € Н1(П) и 1 € ¿2,л(П).

Справедлива

Теорема 4. Пусть вес V — сЛ (с > 0 - постоянная). Для того чтобы имело место непрерывное вложение Н1(П) с Ь2,^(П), необходимо и достаточно, чтобы

! V2(|ж|) ¿ж < ж, то есть чтобы V € Ь2(П).

Доказательство. Необходимость сразу следует из того, что 1 € Н1(П). Далее, для произвольной функции и € Н1(П) запишем разложение и(ж) = и(0) + (и(ж) — — и(0)). При этом постоянная и(0) принадлежит Ь2,^(П) по условию теоремы, а функция и — и(0) прпнадлежпт ННД(П) с Ь2,л(П) с Ь2,^(П). Таким образом, и £ ЬоДП). Это доказывает достаточность. □

Н 1(П) оператора градиента:

Н(П) = {и € ¿2(П) : Уи € ¿2,р(П)}.

Теорема 2.7 о перенормировках пространств с нормой графика работы [5] в нашем случае примет вид:

Теорема 5. Пусть р - непрерывная на Н1(П) полунорма такая, что р(1) > 0. Тогда норма ||и|| = р(и) + |и| 1 эквивалентна норме ||и^1 р.

Следствие 1. Норма ||и|| = |и(0)| + |и|1р эквивалентна норме ||и||1р.

Заключительное замечание. Все представленные в работе результаты справедливы. конечно, н для областей более общего вида, а также если имеется несколько сингулярных точек: в оценке (4) теоремы 3 в этом случае точная постоянная 4 заменится на некоторую другую постоянную, зависящую от геометрии области и взаимного расположения сингулярных точек весовой функции.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект X- 11-01-00667-а, 12-01-00955-а).

Summary

M.R. Timerbaev, N. V. Timerbaeva. Hardy Inequality with a Singular Weight inside a Domain.

We consider Sobolev spaces with singular weights at some internal points of a 2D-domain. For the functions of these spaces. Hardy inequality is proved. Embedding theorems for weighted Sobolev spaces and theorems on equivalent renorming are obtained.

Key words: Hardy inequality weighted Sobolev spaces, embedding theorems, equivalent renorming theorems.

Литература

1. Харди Г., Литтлоуд Дме.Е., Полна Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948. 456 с.

2. Соболев C.JI. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. М.: Наука, 1989. 254 с.

3. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.

М.: Наука, 1977. 456 с.

4. Трибель X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. 664 с.

5. Тимербаев М.Р. Пространства с нормой графика и усиленные пространства Соболева. I // Пзв. вузов. Матем. 2003. Л'! 5. С. 55 65.

Поступила в редакцию 07.05.12

Тимербаев Марат Равилевич доктор физико-математических паук, профессор кафедры вычислительной математики Казанского (Приволжского) федерального университета.

Е-шаіІ: marat.timerbaeveksu.ru

Тимербаева Наиля Вакифовна кандидат педагогических паук, доцепт кафедры теории и технологий преподавания математики и информатики Казанского (Приволжского) федерального университета.

Е-шаіІ: іітпеїівтаіі.ги