О пространствах Соболева с разными степенями суммируемости по разным переменным Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 2 (1), с. 134-138

УДК 517.95:517.97

О ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА С РАЗНЫМИ СТЕПЕНЯМИ СУММИРУЕМОСТИ ПО РАЗНЫМ ПЕРЕМЕННЫМ

© 2011 г. В.С. Гаврилов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

vladimir. s. gavrilov@gmail .com

Поступила в редакцию 21.10.2010

Доказываются теоремы вложения для функций из пространств Соболева со смешанными показателями суммируемости.

Ключевые слова: теоремы вложения, пространства Соболева.

В настоящей работе доказывается несколько теорем вложения для функций из пространств Соболева специального вида. Необходимость в таких теоремах возникает при изучении вопросов теории оптимального управления начально-краевыми задачами для гиперболических уравнений дивергентного вида со смешанным краевым условием. К подобным начально-краевым задачам относится, например, задача 8

2(1 ~1к ^а'] ^Х’Х^+ а' ^Х’Х^+

+ а(X, (, 2(X, ()) + Ь (X, ()2Х. + с(X, ()= 0,

(X, г) е 2Т;

2(x,0) = ф(X), (x,0) = у(X), X еП;

2(5, г) = 0, (5, г) е Я°;

-8^ + ?(5, ()2 = /(5, (),() е 4.

8Ы

Здесь ПсЦп - ограниченная область с границей Я = Я0 и Я1, Я, = Яг х (0, Т) , г = 0,1, Q7, = Пх (0,Т) , Я0 и Я1 - непересекающиеся измеримые части поверхности Я, имеющие

82

положительные поверхностные меры, = = (аг:/ (X, г)+ ai(X, г)2)ео8аг-, аг (X, г) - угол

между внешней нормалью к Я, и осью ОX .

При изучении условий существования и единственности решения сформулированной задачи в энергетическом классе требуется исследовать свойства заданных на ЯТ1 функций из пространств Соболева, таких, что и сами функции и их производные по переменной г принадлежат пространству Лебега со смешанными

показателями суммируемости. Кроме того, оказывается необходимым исследование свойств функций, определённых на Qт и принадлежащих подобному пространству.

Заметим, что пространствам Соболева посвящено огромное количество работ (см., например, работы [1-6] и библиографии к ним), в том числе и так называемым анизотропным пространствам Соболева, то есть пространствам Соболева, состоящим из функций, обладающих разными свойствами по разным переменным.

Однако слово «анизотропный» в известных автору работах, посвящённых пространствам Соболева, понимается либо как наличие по разным переменным производных разных порядков, либо как принадлежность функции и её производных разным пространствам Ьр

(например, сама функция принадлежит ^, а какая-либо её производная - Ьъ ).

При этом случай, когда как функция, так и её производные принадлежат пространству Лебега со смешанной нормой, насколько нам известно, ранее не рассматривался. Однако при получении теорем существования и единственности решений начально-краевых задач для гиперболических уравнений при возможно более слабых условиях на коэффициенты возникает потребность в теоремах вложения для пространств Соболева функций из пространства Лебега со смешанной нормой.

Далее в статье формулируется и доказывается ряд таких теорем.

Под ¿21 (Я,) понимается банахово пространство измеримых по Лебегу на ЯТ1 функций Е с конечной нормой

■( У'2

= | ||Е(5, г)|2йя йг;

■ 0 и1

а под Яу) - банахово пространство изме-

римых по Лебегу на Я, функций Е с конечной нормой

Т

ПС 1 я 1 "Iугаг 8ир 1Е(5,г) №

■ 0 5еЯ1

Следуя [7], через Ьх, l(Qт ) обозначим банахово пространство измеримых по Лебегу на Qт функций Е с конечной нормой

Н<»,1,27

■ | угаг 8ир |Е(х, ґ)|ґ.

0 хєО

,0,Ь

II 2,1, 5Т =1

1І2,1,5'1 + 11Еґ112,1,.

11р,П

Ида, П

||Е( х) рйх Чп )

■ угаг 8ир |Е( х)|,

1 < р < да;

Р = <

хєП

этом пространстве определяется как

н їїо.Г| ■

+

Еґ є 1 ) . Норму в этом пространстве

+ №*,

Обозначим через Ж20,11(51) банахово пространство измеримых по Лебегу функций Е : 5^ ^ Я, таких, что Е, Еґ є ¿2 1 (5^ ) . Норму в этом пространстве зададим формулой

|1Ы|(0,1) _цй||

Пусть ^^(Я1) — банахово пространство измеримых по Лебегу на ЯТ1 функций

Ее ¿о,1(Я}), для которых Ег еАодЯ) .

Норму в этом пространстве определим соотношением

11е11 0^1 Н1С,1,4 +вИ0,1,Я1.

Через Ьр(П), где ПсЯ™, обозначено банахово пространство суммируемых с р-й степенью (существенно ограниченных при р = о) функций Е : П —— Я, с нормой

у/р

зададим равенством

Н оо,1,2г ■|^Ида,1,^ ' да,\,<2т '

Прежде чем сформулировать основные результаты статьи, приведём следующую лемму,

вытекающую из того, что класс Ж/[0,Т] совпадает с множеством всех абсолютно непрерывных на отрезке [0, Т] функций, (см., например, [8, с. 343-344]).

Лемма 1. Пусть Е є Щ1 [0, Т|. Тогда функция Е абсолютно непрерывна на отрезке [0, Т] и производная функции Е, понимаемая в классическом смысле, существует почти всюду на отрезке [0, Т | и почти всюду совпадает с обобщённой производной в смысле Соболева. Более того, найдётся константа А — А(Т) > 0, зависящая лишь от Т > 0, такая, что

вдіЕ(ґ^ < 4^1(,1[0,ТI.

Перейдём теперь к основным результатам.

Теорема 1. У любой функции / єЩ0’|(51) при каждом ґ є [0, Т] существует след / (•, ґ) є (51), непрерывно зависящий от ґ є [0, Т| в норме (51), причём

11(0,1)

/(•■ ґ)||„.5. <4/1 К;.

(1)

Теорема 2. У каждой функции / е е ^о°’1 (Qт ) при всех г е [0, Т] существует след /(•, г) е Ь0(П), непрерывно зависящий от г е [0, Т] в норме Ь0 (П), и

< А^Л |(0,1)_ . (2)

тахЦ / (•, ґ )|| 4/| ¡0^-

Через Щ/[0,Т| обозначено банахово пространство измеримых по Лебегу на [0, Т] функций Е, таких, что Е, Е'є Ь1 [0, Т]. Норма в

Теорема 3. Для любой функции / є є Щ0/ (5т ) при каждом ґ є [0, Т] имеется след /(•, ґ) є ¿2 (51), непрерывно зависящий от ґ є [0, Т| в норме ¿2 (51) . Кроме того,

тах

ґє[0,Т |

II/(•. < 4/11^

(3)

1,[0,Т] ’ 1Р 111,[0,Т]■

Наконец, через ) обозначим бана-

хово пространство измеримых по Лебегу на Qт функций Ее 1 ), для которых

Доказательство теоремы 1. Произвольно фиксируем / е , 1 (Я, ). Для любой функции

0 е С(5Т>), равной нулю вблизи Я1 х {0} и Я1 х {Т} и имеющей непрерывную на производную 0, справедливо тождество

т

J f (s, t)0t (s, t)dsdt = - J ft (s, t)0(s, t)dsdt.

Полагая 0(5, г) = р(5)д(г) , где р е С(Я ), а

д е С0 [0,Т] — финитная на отрезке [0, Т] функция, получим, что для любых таких р и д

| £(5, Од'(г)йг +1 £ (5, г)д(г)йг р(5)й5 = 0. я! 0 0 _

Следовательно, какова бы ни была функция д из указанного класса, при п.в. 5 е Я1 имеет

место соотношение

Т Т

1£ (5, г )д' (г )йг = -| £\ (5, г )д(г )йг.

0 0

Это означает, что при почти всех 5 е Я1

функция £(¿у) является элементом Ж/[0,Т],

и, в частности, имеет смысл говорить о следе

£ (•, г).

Покажем, что £ е С([0, Т],(Я1)). В самом деле,

г+Аг

|£(5, г + Аг) - £ (5, г) <

J| ft(s, "О И

<

<

t +At

ЛІ ft(, т)ІІ», ^ dx

Таким образом,

\f (s, t + At) - f (s, t)| <

t+At

ЛІ ft(-, x)ll », ^ іdx

(0,1)

ад,1, *Sj-

Таким

образом, \\f(•,i)||51 < A\f\1 , что совместно с доказанным ранее включе-

нием ^0д1(Я1) с С([0,Т],Ь0 (Я1)) даёт оценку (1). Тем самым теорема 1 полностью доказана.

Доказательство теоремы 2. Выберем произвольно £ еW0'0\(QT). Для любой

функции Хе С(Я, ) , равной нулю вблизи П х {0} и Пх{Т } и имеющей непрерывную на Qт производную Хг, справедливо тождество

| £(X, г)Хг (X, г)dxdt = - I £1 (X, г)Х(X, t)dxdt.

Ят (2т

Беря Х(X, г) = р(x)д(г) , где р е С(П) , а

д е С0 [0,Т] — финитная на отрезке [0, Т] функция, получим, что для любых таких р и д

Q

p( x)dx = 0.

| £ (X, г )д' (г ^г +1 £ (X, г )д(г^г _0 0 _

Как следствие, какова бы ни была функция д из указанного класса, при п.в. X е П имеет место соотношение

Т Т

| £ (X, г)д' ( г)4г = -1 £ (X, г)д( г^ г.

0 0

В силу этого при почти всех X е П функция £(X/) — элемент Wl1 [0, Т], и, в частности, имеет смысл говорить о следе £(,г) .

Покажем, что £ е С([0,Т],(П)) . Действительно,

г+Аг

Следовательно, при всех е [0, Т] существует след £(-,г) е (Я1), непрерывно зависящий от г е [0, Т] в норме (Я1) .

Докажем теперь оценку (1). Поскольку функция £(5,-) при п.в. 5 е Я1 является элементом пространства Wl1[0,T], то, на основании леммы 1, для каждого г е [0, Т] при почти

всех 5 е Я1

Т

|£(5, г) < А11£(5, Т)| + |£г (5, т)|}1т.

|f (x, t + At) - f (x, t)| <

Л ft(x, т) Ит

<

<

t+At

ЛІ ft(, x)ll »,ndx

откуда

If (x, t + At) - f (x, t)| <

t+At

(', X)ll^,QdT

Ввиду этого при всех г е [0, Т] существует след £(•, г) е Ь0 (П) , непрерывно зависящий от г е [0, Т] в норме (П) .

Докажем оценку (2). Так как функция £ (X,-) при п.в. X е П принадлежит пространству Wl1[0,T], то, в соответствии с леммой 1, для каждого г е [0, Т] при почти всех X е П

S

S

T

T

T

t

0

T

\f (х, t) < A J If (х, t)| +1ft (х, т)|]¿t,

; силу чего \f (х, 0| < A\f\ 1^ .

t+At

JdT J | ft (s, t)||0(s)|ds

t s 1

<

(0,1)

Следовательно, \\f (-,0||и,п < 4f\

что

< ад 1 “Ir II2, S1

J Jl ft (s, т)|2 ds

dT

вместе с доказанным ранее включением Таким образом, ^0д1(2>т) сС([0,Т],¿о(П)) даёт оценку (2).

Итак, теорема 2 полностью доказана.

Доказательство теоремы 3. Произвольно

зафиксируем £ е W20í1 (Я^ ). Для любой функции 0 е С(Я, ), равной нулю вблизи Я1 х {0} и Я1 х {Т} и имеющей непрерывную на Я\ производную 0г, справедливо тождество

| £ (5, г )0г (5, г )dsdг = -1 £1 (5, г )0(5, г )dsdг.

J [f (s, t + At) - f (s, t )]&( s)ds

S1

<

< J | f (s, t + At) - f (s, t) || &(s) | ds =

S1

J [f (s, t + At) - f (s, t)]Ä(s)ds :

S1

1/2

< ^ 1 -ІГІІ2, S1

t+At ( \

J J\ft (s, т)2 ds

t V S1

dT

Взяв 0(5, г) = р(5)д(г) , где р е С(Я ), а

д е С0 [0,Т] — финитная на отрезке [0, Т] функция, получим, что для любых таких р и д

~Т Т ~

| £(5, г)д' (г^г +1 £г (5, г)д(г)dг р(5^5 = 0. я! 0 0 _

Следовательно, какой бы ни была функция д из указанного класса, при п.в. 5 е Я1 имеет

место соотношение

ТТ

I £ (5, г )д' (г Уг = -| £ (5, г )д(г )dг.

00

Это означает, что при почти всех 5 е Я1 функция £(5,-) является элементом ^11[0,Т], и, в частности, имеет смысл говорить о следе

£ (-,г).

Покажем, что £ е С([0,Т],Х2(Я1)) . В самом деле, пусть & е ¿2 (Я1) — произвольна. Тогда

J f (s, t + At)&(s)ds - J f (s, t)&(s)ds

S1 S1

Беря от обеих частей последнего неравенства точную верхнюю грань по всем

&єІ2(51) , у которых ||&||2 ^1 < 1, и используя

теорему Рисса о представлении линейного непрерывного функционала над гильбертовым пространством, заключаем, что

II/(•, ґ + Аґ) - /(•, ґ)||251 <

t + At ( \

J J\ft (s, т)|2 ds

t V s1

1/2

dT

Как следствие, при всех г е [0, Т] существует след £(•, г) е ¿2 (Я1) , непрерывно зависящий

от г е [0, Т] в норме ¿2 (Я1) .

Докажем теперь оценку (3). Поскольку функция £(5,-) при п.в. 5 е Я1 является элементом пространства WÍ [0, Т], то, на основании леммы 1, для каждого г е [0, Т] при почти

всех s є S

T

\f (s, t)| < A¡ j f (s, t)| +1 ft (s, t)|]¿t.

o

Предположим, что &eZ2(^1), t є[0,Т] — произвольны. Тогда

J f (s, t )&( s)ds

S1

< Jlf (s, t)||&(s)ds <

S1

T

=J

t+At

J ft (s, T)dT

| &(s) | ds <

< J j AJ1 f (s, т)| +1 ft (s, т)|]dT №(s)|ds

S11 0 J

T

= A[ J dT J f (s, t)||&(s) ds +

0 S1

<

0

t

S

S

<

S

T

+ i dxW ft ( s, T)|| »( s) |ds]:

0 S1

T (

^ 4Щ2Si[i If (s, ^)|2 ds

\

1/2

0 V S1

T (

+ | IIft (s, t)|2 ds 01 s 1

+

] =

— ЛН &II II f\l^0,1)

- Л11 &2, S Ml Л 12,1, S'T-

Как следствие, для всех t е [0, T] при каждом & eZ2(S1)

I f ( s, t )»(s)ds

* 4 »II2, s 1II f £1S T-

Переходя в обеих частях данного неравенства к точной верхней грани по & (Я1) ,

||&||2 < 1, на основании теоремы Рисса о пред-

ставлении линейного непрерывного функционала над гильбертовым пространством, будем иметь при каждом t є [0, T]

||f (, t tzs і < fi”.

Это совместно с доказанным ранее включением f є С([0,T],L2(S1)) даёт оценку (3). Таким образом, теорема 3 полностью доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований

(код проекта 07-01-00495), аналитической целевой ведомственной программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009—2010 годы)» Минобрнауки РФ (проект 2.1.1/3927) и Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009— 2010 годы (проект НК-13П(9)).

Список литературы

1. Успенский С.В. О следах функций класса Wll,■■■,ln Соболева на гладких поверхностях // Сиб.

матем. журн. 1972. Т. 13, № 2. С. 429-451.

2. Перепёлкин В.Г. О граничных свойствах функций, принадлежащих весовым классам w1í,"'’ln

р;аь..,ап

С.Л. Соболева в областях // Теория кубатурных формул и приложения функционального анализа к задачам математической физики. Тр. семинара акад. Соболева. Новосибирск: ИМ, 1977. С. 108-148.

3. Успенский С.В., Демиденко Г.В., Перепёл-

кин В.Г. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям. Новосибирск: Наука,

1984.

4. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.

5. Аджиев С.С. Характеризации функциональных пространств врд(О), Ирл(О), Wl(О) и некоторых

других. Приложения // Тр. Мат. ин-та РАН. 1999. Т. 227. С. 7-42.

6. Бесов О.В. Интерполяция, вложение и продолжение пространств функций переменной гладкости // Тр. Мат. ин-та РАН. 2005. Т. 248. С. 52-63.

7. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральце-ва Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

8. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.У. М.: ГИФМЛ, 1959.

ON SOBOLEV SPACES WITH VARIOUS SUMMABILITY POWERS FOR VARIOUS VARIABLES

V.S. Gavrilov

Some embedding theorems for functions belonging to Sobolev spaces with mixed summability powers are proved.

Keywords: embedding theorems, Sobolev spaces.

S