Об одной теореме вложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 5!7.95:5!7.97

ОБ ОДНОЙ ТЕОРЕМЕ ВЛОЖЕНИЯ © 2008 г. B.C. Гаврилов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского vladimir. s. gavrilov@gmail. com

Поступила в редакцию 10.03.2008

Доказывается теорема вложения для функций из пространства типа пространства Соболева, определённых на боковой поверхности цилиндра над ограниченной областью Qc Rn .

Ключевые слова: теорема вложения, функция пространства, пространство Соболева.

Работа посвящена исследованию свойств функций, принадлежащих пространству Соболева специального вида. Необходимость такого исследования возникает при изучении вопросов теории оптимального управления начальнокраевыми задачами для гиперболических уравнений дивергентного вида с неоднородным третьим краевым условием. К подобным начально-краевым задачам относится, например, задача вида

д

ги ~~— (ац (х, 0 гХ1 + а, (х, 0 г) + д х

+ а( х, г, г( х, г)) + Ь, (х, 0 гх. +

+ с(х, г) г = 0, (х, 0 е вт; г(х,0) = ф(х), (х, 0 = у(х), х е О,

^ + д(5, г)г = /(5, г), (5, г) е ^т• ды

Здесь и ниже Ос Я" — ограниченная область с кусочно-гладкой границей S, 5’т — S х (0,Т),

дг

вт ='О х (0, т), — - (а„ (х, г) 2Х1 + а, (х, г)г) 008 а,,

ды

а. (х, г) — угол между внешней нормалью к Sт и осью Ох,.

При изучении условий существования и единственности решения этой начально-краевой задачи в пространстве Соболева ж\(вт) требуется исследовать свойства заданных на границе Sт функций из пространства Соболева специ-

ального вида. При этом оказывается полезной формулируемая ниже теорема вложения.

Пусть Ь21(5Т) — банахово пространство

измеримых по Лебегу функций £, : ST ^ Я с конечной нормой 11^12^ = /Т (^ |^( 5, ґ )|2 й$)хпй1.

Через ST) обозначим банахово про-

странство измеримых по Лебегу функций £, : ST ^ Я таких, что ^, Е,ґ є Ь21 (ST). Норма в

Ж2°1 ) задаётся формулой

||(°,1)

Е - Е + Е

^II2,;,st ; s- in

2,;, ST

t 2,;, ST

Наконец, пусть Ь2(S) — банахово пространство измеримых по Лебегу функций £, : S ^ Я, имеющих конечную норму

( у/2

Н^ - Л«5)|2*5 •

V S /

Основным результатом статьи является

Теорема 1. У любой функции / е Ж2,^(Sт) при каждом г е [0, т] имеется след

/(•,г) е Ь2(S), непрерывно зависящий от г е [0, т] в норме Ь2 (S), причём существует константа с1 = с1(т) > 0, определяемая лишь числом т > 0, такая, что

„Г (Л 1 Л

(1)

max||f (ч t )|2S < c;\\f\ ^

t£[O,T ]" ll2,S 11 2, ;,st

Доказательство. Произвольно фиксируем / е^^ST). Для любой функции 0 е С(Sт), равной нулю вблизи S х {0} и S х{Т } и имеющей непрерывную на Sт производную 0г, справедливо тождество

| / (5, г )0г (5, г)*5*г = -1 /(5, г )0( 5, г )*5*г.

sт sт

Полагая 0(5, г) - р(5)д(г), где р е С^ ), а

q е Сш[0,т] — финитная на отрезке [0, т] функция, получим, что для любых таких р и q

J

J f (s, t)q' (t)dt + J f (S! t)q(t)dt

p( s)ds = 0.

= J

t+Дt

J ft (s, т^т

t

t+Дt

| S(s)| ds <

<

J dт J j ft (s, т)||S(s)|ds

;/2

tS

IІ2,S

t+Дt Г

J Jlft(s,т)|2

t V S

dт

Таким образом,

J [ f (s, t + Дt) - f (s, t)]S( s)ds

<

t+Дt Ґ

;/2

J Jlft(s,т)І'

t V S

dт

Беря от обеих частей последнего неравенства точную верхнюю грань по всем S eZ2 (S), у

которых ISI2 S < 1, и используя теорему Рисса о

представлении линейного непрерывного функционала над гильбертовым пространством, заключаем, что

II/(•, t + At) - f (•, t)|l S <

<

t+Дt Г

J Jlf(s,т)|'

t V S

;/2

dт

Следовательно, какова бы ни была функция q из указанного класса, при п.в. 5 е S имеет место соотношение

т т

| / (5, г V (г )йг = -{ / (5, г ^(0<*.

0 0

Это означает, что при почти всех 5 е S функция /(5/) является элементом Ж/[0,т], и в частности, имеет смысл говорить о следе

/ (•, г).

Покажем, что / е С([0,Г],Ь2(S)). В самом деле, пусть & е Ь2( S) — произвольна. Тогда

J f (s, t + Д^&(s)ds - J f (s, t)S(s)ds

SS

= J [f (s, t + Дt) - f (s, t)]S(s)ds <

S

<J|f (s, t + Дt) - f (s, t)||S( s)| ds =

Следовательно, при всех ге [0, т] существует след /(•,г) е Ь2(S), непрерывно зависящий от г е [0, т] в норме Ь2 (S).

Докажем теперь оценку (1). Поскольку функция /(5/) при п.в. 5 е S является элементом

пространства ^[0, т ], то на основании классической теоремы вложения (И^[0, т ] ограниченно вложено в С[0,т]) найдётся постоянная с1 = с1(т) > 0 , зависящая лишь от т > 0 и не зависящая от выбора функции / еЖ^ЧSт), такая, что для каждого г е [0, т] при почти всех 5 е S

\/ (5, г )| ^ С11 \/(5, т)| +1 / (5, т)| \к.

0

Предположим, что &еХ2(S), г е [0,т] — произвольны. Тогда

J f (s, t)S( s)ds

< J| f (s, t)||S(s)| ds <

< J |c; J [f (s, т) +1 ft(s, т)|>т||3(s)|

= c; [ J dт J j f (s, т)||S(s)| ds

+

0 s

+ JdтJ I ft(s, т)||S(s)ds] <

0 s

Tf y/2

2

< c;\\Sll2,s[J Jlf(sт)І

V s

+

т Г 2 ^ + J Jl ft (s, т)| ds 0 V S У

;/2

]=

i(0.;)

2і^ IІ2,;,Sт ■

Как следствие, для всех г е [0,т] при каждом $е^2( S)

J f (s, t )S( s)ds

< c;ll Sll 7.JIfl

і(0і;)

f (•і t )ks < c;|| f\

і(0і;)

І2,;,Sт

Переходя в обеих частях данного неравенства к Это совместно с доказанным ранее включе-

точной верхней грани по всем &є Ь2(S), нием ST) с С([°,T],Ь2(S)) даёт оценку

||0||2 S < 1, на основании теоремы Рисса о пред- (1). Теорема полностью доказана.

ставлении линейного непрерывного функционала над гильбертовым пространством, будем работа выпошена при поддержи рффИ (ко,ц проекта

, т 07-01-00495).

иметь при каждом ґ є [°^ ]

2,;,s.

T

ON АN EMBEDDING THEOREM V.S. Gavrilov

An embedding theorem for functions belonging to Sobolev space is proved. These functions are defined on a cylinder side surface over a bounded domain fic Rn .