Гиперболические уравнения дивергентного вида с разными краевыми условиями на разных частях границы Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.95:517.97

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДИВЕРГЕНТНОГО ВИДА С РАЗНЫМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ НА РАЗНЫХ ЧАСТЯХ ГРАНИЦЫ

© 2012 г. В.С. Гаврилов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

vladimir. s. gavrilov@gmail. com

По9тупнла в ридакцню 18.11.2011

Доказывается существование и единственность решения, принадлежащего энергетическому классу, начально-краевой задачи для полулинейного уравнения дивергентного вида. Рассматривается случай, когда на одной части боковой поверхности цилиндра, в котором исследуется уравнение, задано неоднородное третье краевое условие, а на другой части боковой поверхности - однородное краевое условие Дирихле. Также доказывается существование и единственность в том же функциональном классе решения линейного уравнения с мерой Радона в правой части уравнения.

Клю-ивыи 9лова: дифференциальные уравнения в частных производных, начально-краевые задачи, меры Радона.

Введение

Г иперболическим уравнениям посвящено достаточно большое число работ (см., например, [1-7] и библиографию к ним). Несмотря на это, насколько нам известно, полулинейным гиперболическим уравнениям дивергентного вида посвящены лишь работы [3, 4], в которых рассматривалась начально-краевая задача с третьим краевым условием. Что же касается гиперболических уравнений дивергентного вида с разными краевыми условиями на разных частях границы, то нам известны лишь работы [5, 7]. Однако в работах [5, 7] рассматривался лишь вопрос существования и единственности решения линейного гиперболического уравнения и притом в уравении отсутствовали слагаемые с младшими производными. Аналогичные результаты для эллиптических уравнений можно найти в [8] (см. также библиографию к этой работе).

В настоящей же работе (в первом разделе) рассматривается вопрос существования и единственности решения полулинейного гиперболического уравнения дивергентного вида для случая, когда на одной части боковой поверхности цилиндра, в котором рассматривается уравнение, задано неоднородное третье краевое условие, а на другой части - однородное краевое условие Дирихле.

Необходимость изучения подобных вопросов возникает при исследовании задач оптимально-

го управления, динамика которых описывается гиперболическими уравнениями с начальнокраевыми условиями (см., например, [9-17]).

Отметим также, что при получении необходимых условий оптимальности для задач оптимального управления с поточечными фазовыми ограничениями множитель Лагранжа, отвечающий оператору, задающему поточечные фазовые ограничения, является мерой Радона, и эта мера Радона появляется в правой части сопряжённого уравнения, отвечающего оператору поточечных фазовых ограничений (см. работы

[11-17]).

В связи с этим представляется важным изучение свойств решений линейных гиперболических уравнений дивергентного вида с присутствующей в правой части уравнения мерой Радона. Из результатов в этом направлении нам известны лишь работы [12, 13]. В отличие от них, в данной работе (а именно во втором разделе) рассматривается более общее уравнение и более общий вид граничного условия.

Отметим, что решение как полулинейного уравнения без меры, так и линейного уравнения с мерой в правой части ищется в энергетическом классе. При этом можно доказать, что на самом деле решение полулинейного уравнения без меры в правой части обладает несколько более хорошими свойствами, нежели решение уравнения с мерой. Для линейных уравнений подобная регулярность доказана в [5, 7].

Настоящая работа состоит из введения и двух разделов.

В первом разделе доказывается существование и единственность решения полулинейного гиперболического уравнения дивергентного вида, а во втором разделе - существование и единственность решения линейного гиперболического уравнения дивергентного вида с мерой Радона в правой части.

1. Полулинейное уравнение без меры Радона

Рассмотрим следующую начально-краевую задачу:

д

г„ - д^ а (х 0^ + а (х 02) + а(х t, 2(х Ф+

(0,7), Qт = Ох(0,т), 5'т - Si х (0,т), і = 0,1, 5й

У II »,1,ат

+ \а„

И^т

а + ь. + с

1 МІ ъ&т и ііі»,ат її и

\а..\\ + 1ЬЛ|| + с

8

11^,51 + 1 к і 1^,51 < уз;

Здесь и ниже используются следующие обозначения.

Через Lp(П), где П с Rm , обозначено банахово пространство суммируемых с р-й степенью (существенно ограниченных при р = да) функций £: П ^ Я, с нормой

у/р

Ир,П £(х)1Чх

||£|' '

1 < р < <ю; р = а).

- та^ир|£(

хєП

Под Н'(П), где П с Rm — ограниченная область, понимается банахово пространство функций £ є L2 (П), все первые обобщённые

производные которых суммируемы с квадраті

(1.1) том. Норма в Н (П) определяется формулой

+ьі (хі)х х + с(х і)2> = 0 ^0 є&;

г(х,0) = ф(х), х1 (х,0) = у(х), х є О; 2^, і) = 0,

дх

(s, і) є 5°; — + ф, і)2 = f (s, і), (s, і) є 57.

дії

Здесь и ниже О с Rn — ограниченная область с кусочно-гладкой границей 5 = 50 и 51, 5т = 5 х (0.7). а = Ох(_;_/; „т _ .

дх

НЦП -і |[£(х)Г +|^(х)|2]^х

Через L2д(QT) обозначено банахово пространство измеримых по Лебегу на QT функций £ с конечной нормой

и У/2

£

2,1,Qт

;/| / |£(х,і

ах

л.

о1 ^ / / \

и о не пересекаются, = (а. (х, I) ^ +

+ аг (х, t)z)cos а 1, аг(х,^ - угол между внешней нормалью к 5^ и осью Охг, площади частей 5й и О1 положительны.

Считаем, что выполнены следующие условия на исходные данные задачи (1.1):

а) функции а., аи Ь, с, а., аи, Ьи, сь г, . = 1, п ,

определены на QT, причём аг., аг, Ьг, с, г, . = 1, п, измеримы по Лебегу на QT;

б) функция д определена и измерима в смысле Лебега на 5-;

в) справедливы условия и оценки

а. = а„, фе Н 1(01 50), I, (О), / е ^ 0$); у,|^|2<а..(х,t. <у2^|2 V (х,t) е QT, Е,е Яп (у1, V2 > 0);

Обозначим через Ь21(31т) банахово пространство измеримых по Лебегу на 5- функций £ с конечной нормой

т ( У/2

ІІІ«( -/І / І£«-і )1

ds

Лі.

г) при всех г е Я функция а(-,-, 2) измерима по Лебегу и а(-,-,0) е L21 (<0-т); существует функция k е L1 [0, Т], такая, что

|а(х,t,21) -а(х,t,г2)| < k(^|2х—22|

V (х, t, 2 г) е Qт х Я, г = 1,2.

Пусть W2011(S7■) -------- банахово пространство

измеримых по Лебегу функций £: 5т ^ R , таких, что £, £ є Ь215). Норма в Ж,^1 (5^) задаётся формулой

||£|(0,1) = ||£ ||„ И

ІРІІ2,1,Я1 _ ІРІІ2,1,Я1. ІРПІ2,1,51 ‘

Пусть Ж^0,1^) -----------банахово пространство

измеримых по Лебегу функций £ є Lo0 ^), у которых £ є La 5). Норма в Ж°Л 5) задаётся соотношением

|Ы|(0,1) = ||£ ||£ и

ІРІІад,51 ІРІІад,51 ІРП 1^,51 *

Пусть ) ----- банахово пространство

измеримых по Лебегу функций £ є Lrл ^т), у которых £ є La (QT). Норма в Ж°л ^т) задаётся равенством

||И|(0,1) =||£ |1„ и

ІРІІ»,Qт ІРІІ»,Qт ІР'Іийт ■

Под Н1 (О | 50) понимается замыкание в норме Н'(О) пространства бесконечно дифференци-

+

а

со

г

+

а

х

т

руемых в О финитных вблизи 5 функций. Норма в пространстве Н1 (О | 50) определяется так:

1|£||21О -I/ [£( х)|2+|у£( х)|2]ах

Через W210(QT | 5°) обозначено замыкание в норме Н1^т) множества бесконечно дифференцируемых в Qт финитных в окрестности 5° функций. Норма в ^210^т | Б0) задаётся равенством

(

||£|

і(1)

І2,ат

1

/ [|£|2 + |У£|2 +1£(| 2]ЛхЛі V ат )

Через Но1 (О | 50) обозначено пространство, сопряжённое к Н1 (О | 50).

Через Lp([0,T]X), где X - сепарабельное банахово пространство с нормой ||-|Х, а 1 < р < да, обозначено банахово пространство слабо измеримых на [0,т] функций £: [0,т] ^ X, для которых функция і є[0,т] ^ ||£(і)|Х является элементом банахова пространства Lp[0,7]. Норма в Lp([0,7],X) задаётся следующим образом:

Ґ т ч1/р

£

р,[0,т ], X

/I |£(' )||

,Лі

,1 < р <да;

>,[0,т ]Х

- \таІ8ир|І£(і )||, р = да.

іє[0,т ]

Следуя [7], через Cs([0,T]X), где X — банахово пространство, обозначим пространство функций £: [0,т] ^ X, слабо непрерывных на [0,т], т.е. таких, что при всех х* е X* и всех т е [0, т ]

X х) = (£(тХ x*),

где X обозначает сопряжённое к X пространство, а (х, х ) — значение линейного непрерывного

функционала х* е X* в точке х е X.

Через C([0,T],X), где X — банахово пространство с нормой У^, обозначено банахово пространство функций £: [0,т] ^ X, сильно непрерывных на [0,т], т.е. таких, что при любом т е [0, т ] имеет место равенство

Нш||£(,) — £(т)||= 0.

II МЛ

Норма в C([0,T],Л) задаётся формулой

|£|(0) - тахЦШ)|| .

1Ч[0,т],X (е[0,т^ ^

Наконец, обозначим через Г2 0 (<0-т | 5.°) «энергетический класс», состоящий из измеримых по Лебегу на Qт функций £, удовлетворяющих следующим условиям: при всех t е [0, т] справедливы включения £(-,0е Н<1(^| 50), £(-,?)е L2(Q);

функция t е [0,т] ^£(-, ^еН^^ 50) — элемент

класса С,, ([0,т], Н'1(П| 50)); функция

t е [0, т] ^ ' (•, /) е L2(Q) — элемент прост-

ранства Lш([0,T],L2(Q)). Норма в пространстве ^2 0 (Ят | 5т) задаётся равенством

|£| QT - ™р||£(Ч ОЦ^ + УГШ™р||£, (•,

^ »е[0,т ] 2,“ »е[0,т ] 2,“

Наделённое этой нормой Г2 0 (0/т | 5-0) представляет собой банахово пространство.

Дадим следующее

Определение 1.1. Функцию 2 назовём решением задачи (1.1) из энергетического класса, если 2 является элементом данного класса и удовлетворяет интегральному тождеству

I" [—2п, + а.2х,п+ аг2п+ ^п+

^ . - - -

+ с2 п + а(х, t, 2(х, t))n]dxdt +1 czr^dsdt = (1.2) = ^ frdsdt + ^у(х)п(x,0)dx

V "Л е (Qт | 5-0); 2(х,0) = ф(х), х е О.

Здесь ¥}№т | 5т0) - {п е V21,,0(Qт | 5т0):п(^,т) = 0} .

Основным результатом данного раздела является

Теорема 1.1. Задача (1.1) имеет единственное решение из энергетического класса, причём найдётся константа В > 0, определяемая лишь числами т, VI, ^, v3 > 0, функцией k е L1[0, т], размерностью п и областью О, такая, что

14 < в|Ф1 2,0 +1М1 2,о+1 И2“; ]. (°)

Для доказательства данной теоремы нам потребуется ряд вспомогательных результатов, и прежде всего следующая лемма, вытекающая из теорем 1—3 работы [18].

Лемма 1.1. У любой функции И еЖм1^) при каждом t е[0, т] имеется след И(•,t)еL2(S1), непрерывно зависящий от t е [0, т] в норме L2(Sl), причём найдётся константа А\ = А\(т) > 0, зависящая лишь от т > 0, такая, что

таХ У(чі) 251 < 4 у

/є[0,т Г ||2,5 11 1

(0,1)

Нам также потребуется

Лемма 1.2 [6, неравенство (6.24) главы I].

Пусть О с Яп - ограниченная область с кусочно-гладкой границей 5. Тогда

/г2ds < /[є | Ух |2 + А2 (є) | г |2 ]Лх

Б О

Vє > 0 Vг є Н‘(О), где А2(є) > 0 - некоторая постоянная, зависящая лишь от области О, размерности п и от є > 0.

2,1,5

Кроме того, будет использоваться Лемма 1.3 [19, с.78, неравенство (2.5)].

Пусть О с Яп - ограниченная область с кусочно-гладкой границей 5. Тогда существует константа А3 > 0, зависящая лишь от области О и размерности п, такая, что

|Ы| < А3||Х|(1> Vг є Н'(О).

II ІІ2,5 3|| II 2,О 4 /

Из очевидной непрерывности вложения УЦв | 5°) с Н 1(ат), теорем 6.3 и 7.2 из [6, глава 1] и теорем вложения для функций одной переменной вытекает

Лемма 1.4. Пусть х є¥21а(вт 15°). Тогда при любом і є [0, т] существует след х(-, і) є L2 (О), непрерывно зависящий от і є [0, т] в норме L2(О), причём

шахІІ х(- і )|| < Ы .

іє[0,т Г Н2,° I '<2т

Помимо этого, найдётся константа А4 > 0, определяемая лишь областью О, размерностью п и числом т > 0, такая, что

И2,5т < А41*\в1 ■

Например, можно взять А4 = А34т .

Сверх того, вложения V10 (вт | 5° ) с L2 (5т) и УЦв | 5°) с С([0,т],L2(О)) - компактны.

Кроме того, потребуется следующая лемма, вытекающая из [5, лемма 8.1, с. 307].

Лемма 1.5. Справедливо равенство К([0,т],Н1 (О | 50))п С,([0,т],І2(О)) =

= С,([0,т],Н1 (О | 50)).

Используя слабую компактность замкнутого шара в гильбертовом пространстве и компактность вложений ^20^т | 5°) с Е^т. ) и ^2 0 ^т | 5°) с С([0, т], Е2 (О)), получаем, что

найдутся подпоследовательность т., k = 1,2,., последовательности т = 1,2,... и функция

2 еГ2‘0 (0/т | 5^), такие, что выполнены предельные соотношения (1.5).

Покажем, что 2 е¥21^т | 5°). Из (1.4) следует, что последовательность 2тк, k = 1,2,., равномерно ограничена в норме пространства А»([0,т],Н^0| 50)), а последовательность 2гтк, k = 1,2,., равномерно ограничена в Еш([0,т], Е2(О)). На основании предложения 10 на с. 60 монографии [20] пространство Еда ([0,т ],

Н1 (О | 50)) изометрично изоморфно пространству, сопряжённому к Е1([0,т], Н(—1(01 50)), а банахово пространство Еш([0,т], Е2(О)) изометрично изоморфно пространству (Еа([0,т^, Е2(О))) . Поэтому найдутся подпоследовательность последовательности т., k = 1,2,., которую мы обозначим так же, как и исходную последовательность, и функции ~0 е Еда([0,т],

Н0(0150)), ~ е Еда([0,т],Е2(О)), такие, что 2т ^ ~0, * — слабо в Еда ([0,т],Н 1(01 50)),

2^. ^ т^, * — слабо в Еда ([0,т],Е2(0)), k ^ да.

Сравнивая полученные соотношения с соотношениями (1.5), заключаем, что

Лемма 1.6. Пусть последовательность 2щ ^ х, * - слабо в Ьда ([0, т ], Н^О! 50)),

г'т1 ^ , * - слабо в Ьда ([0, т], А2(О)), к ^ да.

такова,

(1.4)

функций 2т е Г2 0 (<0-т | 5°), т = 1,2,... что найдётся постоянная с > 0, такая, что

И < с Vт = 1,2,.

I 1^т

Тогда найдутся подпоследовательность т., . = = 1,2,., последовательности т = 1,2,. и функция 2 е Г2 0 (0/т | 5йт), такие, что выполнены соотношения

Нттах|| 2Щ (•, t) — 2^, t)|| = 0, (1.5)

.tе[0,T]11 II2,0

Нт|| 2Щ — А = 0,

.^да11 112,51

2т. ^ 2, . ^ да, слабо в РУ210^т | 5^).

При этом

(1.7)

х < с.

І I вт

(1.6).

Доказательство леммы 1.6. Из условия

леммы следует, что

|И|(1) < с4т Vт = 1,2,.

II II 2,вт

Согласно (1.7), 2 е Еда ([0, т],Н1(0| 50)),

2 еЕда([0,т],А(О)). Следовательно, 2,2; еЕда([0,т], Е2(0)). Последнее означает, что 2 е С ([0, т], Е2(0)). Таким образом, 2 е С,([0,т],Е2(0))п

п Еда ([0,т],Н 1(01 50)).

Поэтому, на основании леммы 1.5, 2 — элемент пространства С,([0,т],Н0(01 50)).

Что же касается неравенства (1.6), то его доказательство проводится аналогично доказательству теоремы Бишопа в [22, с. 53—55].

Лемма полностью доказана.

Доказательство теоремы 1.1. Доказательство разобьём на три части. При этом в целом будем следовать схеме доказательства, предложенной в [6, гл.4, §3] для линейных гиперболических уравнений.

1) Докажем, что начально-краевая задача

(1.1) может иметь не более одного решения. В

самом деле, пусть 21, 22 е Р21,0^т | 5°) — решения задачи (1.1) и пусть w = 21 — 22. Тогда w е е Р21,0 (QT | 5т) и удовлетворяет тождеству

|[—wt п, + О/^П х- + a,■wn х- + ь,^п +

(2т

+ cwt п + [а(х, t, 22 + w) — а(х, t, 22)]п]dxdt + (1.8)

+ |cwпdsdt = 0 Vп е Г2 0 (QT);

я!

w(х,0) = 0, х е О.

Введём функции па: Qт ^ Я, Рг: Qт ^ Я, г = 1,п (а е [0, т ] — параметр), соотношениями

а

па (x, t) = —Х[0,а] ^)|W(X, £)d£,

г

Р,-(x, t) = —1 wx.(x,£)d£, г =1 n, (x, t) е ^,

0 '

где хЕ — характеристическая функция измеримого по Лебегу множества Е.

Можно показать, что па е У\\^т | 5°), ла»,

< е Еда([0,т]Е2(0)) , < еЕда([0,а], L2(0)), причём

па( ^ О - Х[0,а] ^ ) w( x, ( X

па (x, *) - — Х[0,а] (,Л Wxi (x,£)d£, пах (^1:) = п“, (x, t) = Х[0,а] ()wx,. (x:, 1:X г =1, n, (хt) е Qт; п«(x, t) - w, (хt), (x, t) е ^

Qа - ° х (0,а).

Полагая в (1.8) п = па, получим

а

I dt | [—< па + а. п/< + а, пап: + Ь п“» п“ +

0 О

+ ста па + [а( х, 22 + па) — а( х, и па)]па ]Лх +

+ | dt | с(,, t )папа ds = 0 V а е [0, т ].

0 д1

Интегрируя это соотношение по частям, выводим, что

71 [| па (х,а) |2 + а/ (х,0)л“ (х,0)л'а- (x,0)]dx +

О

+ |Ь-(х,0)па(х,0)Ла (x,0)dx +

О

а

+11 с(,,о)|ла(,,о)|2 ж+1 л | [{ аХХ +

+(Ь - «інх+ кпх + с,папа + +с | па |2 -[«(х, і, х2 + па) -«(х, і ,па)]па]Лх+

а |2

+ 7

2 /Л (|па|" ^=о.

0 51

Используя липшицевость функции a(x,t,2), (х, t, 2) е Qт х Я , по переменной 2, неравенство

Коши—Буняковского и неравенство аЬ<“(а2 + Ь2)

и применяя к интегралу

| |ла (х,0)|| Ула (х,0)| Лх

О

неравенство Коши с е (см. [6, с. 33]), а к инте-

I I2 а I |2

гралам | та(,,0) Л, и | Л,| та Л, леммы 1.3 и

^ 1 0 5

1.4 соответственно, будем иметь

22 I[|па(х,а)| + (Vl — У1е)|Vпа(x,0)| ]Лх<

Г Г І I2 І |2 I |2

</Лі/[ъ|уп“| +Уз(і,є)(п“| + |па| ]]Лх,

О

- У3(4п +1), у2 - у3(л/й (4п + 3) + А32),

0 О

где У1 - У3

,4п

у3 (і, є) - к (і) + У3 (2л/п + 3 + А32 + т (— + А2 (є))).

є

V,

Полагая в данном неравенстве є - ——,

2Ї1

у4(і) - у3(і,-^), получаем, что 2Ї1

Г І 12 V, І |2

/[|м(х, а) +— ул“ (х,0)| <

а

</Лі/[У 2 |ула|2 + У 4(і)[ла|2 +|л,а|2]]Лх ^є[0,т].

0 О

Из этого неравенства вытекает, что

/ [| ™(х,а)|2 + т X |Рі(х,а)|2]<іг <

О і=1

< / Лі/ [у2 [Рі (x, а) - Рі (х,0)]2 +

+У 4 (і )

а 2

^(х, і )2 + / w( х, £)Л£

0

]Лх <

2аЇ2 /X в і (х, а)|2Лх + / Лґ / у4(і)[| ^( х, і )|2 +

О '=! 0 О

а а п

+(а - і)/| w(x, £)|2 а£]Лх + 2у2 / аі/Х |Р і (х,і )|2 Лх <

і 0 О і=1

п а

< 2ау 2 /XI Р,. (х, а)2 Лх + / С%/[у 4 (^) +

п і=1 0 п

а

+ т/ у 4 (і)Лі]^2 (х, ^уОх <

0

* п а п

2ау2 /X |Рі (х,а)|2 Лх + 2у2 / Лі / X |Рі (х, і)^Лх <

О і=1

0 О і=1

Ц. 1

/ Л-/ [у 4 (^) + 2у 2 + т /у 4 (і )Лі ][м>2 (х, і) -

0 О 0

+ Х Р?(х,£)]ох.

Следовательно,

где

/ [| ™(. х а)|2 + (т- 2ау2 )Х |Рі(х,а)|2]Лх г

О і=1

-/ Лі/у5(і)[1w(x, і)2 +Х в і (х, і )|2]Лх,

0 О і=1

т

Ї5 (і) - т/ У 4 (£)Л£ + Т4 (і) + 2Т2 .

----- М

Пусть ют = т0, т = 0,Х, где 0 =------------, X =

8У2

Нш||фИ -тії() = 0,

N ^даІІ II 2,О

Нш||уN - у|| = 0,

N ^даІІ ІІ2,О

в которых

ФN (х) - X Фт^т (x), VN (х) - X Vmgm (х)

Фт - / Ф(У)gт (У)dУ, Vт - / V(У)Ят (У)ЛУ ,

О

т, N = 1, 2,.

Будем искать приближённое решение 2 задачи

N

(1.1) в виде 2Ы (х, t) -2 К (,)£т (х), где набор

т=1

функций е ^12[0,т], т = 1,N, является ре-

шением задачи Коши

^ +£ [рт (і № + Ч іт (і Ж ] +

т=1 „К и 7„ N /

(1.10)

Положим Ут - [ют,ют+1] п [0,т], т = 0,р — 1.

Пусть а е J0. Тогда ^ — 2ау 2 >-^1, вследствие чего

| [|w( х,а)|2 + 2 |Р г (х, а)|2]Лх <

О г=1

а Г п

< | л, | .4 (t )[| w( х, t )|2 +2 в (х, t )|2 ]Лх,

0 О ‘=1

где у6(,) - у5(,)/тт{1,-^}. Применяя теперь

известную лемму Гронуолла (см., напр., [21]), получаем, что

w(х,,) - 0, Рг. (х,,) - 0, (х,,) е О х J0. Рассуждая подобным образом, за конечное число шагов получим, что

w(х,,) - 0, Рг. (х,,) - 0, (х,,) е О х Jm

для всех т = 0, X — 1.

Таким образом, разность любых двух решений начально-краевой задачи (1.1) равна нулю почти всюду в QT, в силу чего задача (1.1) может иметь не более одного решения.

2) Докажем существование решения начально-краевой задачи (1.1). Пусть gm е

е Н0(О| 50), т = 1,2,., — ортонормированная в Е2(О) система функций, такая, что для всех феН1(0|50), уе /^(О) справедливы равенства

+ г/ (і,^ (і),.,Нії (і)) = 0,

кN (0) = Ф і, кN (0) = V і, і = ,

в которой

ріт (і) - / c(x, і)gl (х)gm

О

Чіт (і) - / К (X, і) gmxJ (х) glx, (х) +

О

+ а(x, і )gт(х) gь,( х) +

+ Ьі і)gmx,(x)gl (x)]dx,

Г* (і, к„., кN ) -

Г N

- / а(X, і, X ^т (х))gl (х)Лх +

О т=1

. N

+ / [Ф і)X ^т (,) - У (s, і)]gl (,)<*.

т=1

Такой набор, очевидно, существует и определяется единственным образом.

Умножив і-є уравнение (1.10) на к (і) при

і = 1, N, сложив все полученные уравнения и проинтегрировав результат по і є[0,т], выводим, что

7 / [|^ (x. °)|2 + ау(х т)2ЫХ] (х т)гх^(х т)]Лх -

О

- 7 / [(VN (х)2 + «у (х,0)ФN (х)ФNГ(x)]dx +

О

т

+ /a.zNzNdxЦ=0 -/Лі /[^а. IйIй -сІИ! +

І і хІ І і=0 І ! 2 іуі ху хг і

О 0 О

+ а^Х + («і - Ь, - а(х, і,0)хИ]Лх +

X

+ / Лі / [а( х, і, ) - а(х, і,0)]2(иЛх +

(1.9)

2 х +і/?І хИІds |і=0- ^2 /Лі/? і|2

0 я1

-

X

/|ґ:0о +/Лі//Іг1яЛ, = 0 Vі є [0,т].

Таким образом,

N

22 у I [|2^ (х,т)| + v- |Ухи (х,т)| ]Лх <

О

22 <^/[|VИ(х) +V2|Уфи(х)| ]Лх +

О

т т

+ /Лі/+ ■1 /Лі/|?^|хи| Л, +

/ /2ИЛ, - 1 / 2И| Лз -/ аі2И2И1,йх

/ л / [-2

,Г1 N N. Ґ і \ N N N \

+ I М\ [- ац,2х2„ + (а. - Ьі) х г -с2і -

где Р 4 = Р5(і) = VPз(і^7i-L), v =

2Р1 2Р1

= 4(шт{2^1})-1.

Введя обозначение

І* і |2 і |2 і |2 УИ (і) =і[|2й (х,і)| +|Ухи (х,і)| + \хИ (х,і)| ]Лх,

>=/||2

О

можем записать

N

— |а(х,,,0) 2N | + к(,)|2N ^2,^ |]Лх.

Оценивая сверху правую часть последнего неравенства, с помощью неравенства Коши—Буня-ковского, неравенства Гёльдера с показателем р=2 и условий на исходные данные, и применяя затем леммы 1.3 и 1.4, неравенство Коши с е и лемму 1.1, заключаем, что

22 у I [|2^ (х,Т) + (У1 — Р1е)| V2N (х,т)| ]Лх <

О

2 2 2 <р2(е)[| [|VN| +ФN| +^ФN| ]Лх +

О

+[11 А +11а(-,-,0)112,шт ]тах(1 [1^(х, °12 +

О

I 12 | 12

+ |VzN (х,,)| + \2? (х,,) ]Лх)1/2] +

X

ГГ I 12 I 12 | 12

+ 1 Л, |р3(,,е)[|2™| + |VzN| + \21^\ ]Лх,

0 О

где р1 — некоторая положительная постоянная, определяемая лишь числами у2, у3, т > 0 и размерностью п; р2(е) — положительная постоянная, определяемая числами т, е > 0, областью О и размерностью п; а р3(,,е), , е [0,т], — некоторая неотрицательная суммируемая по , е [0,т ] функция, определяемая лишь числами т, е > 0, областью О, размерностью п и функцией к. Добавляя к обеим частям полученного нера-

2

венства слагаемое | ^ (х,т) Лх и полагая

О

е - —^, будем иметь 2р1

Г I |2 | |2 | |2

I [|2^ (х,т)| +|V2N (х,т)| + ^2, (х,т)| ]Лх <

О

С I |2 | 1^. .2

<Р4[|[|фN| +|VфN| + ^ ]Лх +

О

+[11А Сй +1К”0)112,№ ^а^ I [12~(х,, )2 +

О

I |2 | |2

+ V 2Ы ( х, , ) + 2N ( х, , ) ]Лх )1/2] +

ГГ і і2 і |^| 12

/ Лі і Р5(і)[|хИ| +|УхИ| + \21И\ ]Лх,

(т) < Р6[^Л (0)+[|| а 12,1,51 + (1.11)

______ X

+ 11а(”0)|2^ ]тах7УИ(1:)] + |р7^)УИ(1:)Л

11 "2,1,йт ,е[0,х] 4 J

0

VI е [0,т].

Пользуясь монотонностью функции YN(т) = тах JyД(t) , т е[0,т],

,е[0,т] *

и леммой Гронуолла, несложно показать, что

шах

іє[0,т ]

л/УЧі) < Р6^л/Уи(0)

+1 /1;"! +1 |а(-,-,0)І2,1,вт ],

(1.12)

/р5 (і)Лі

гдеР6 - Р4Є0 .

Заметим, что из (1.12) следует

вт

(1.13)

41 /12,115т +1 |а(',',0)|2Д,вт ].

Из соотношений (1.10) вытекает, что Нш|фи -ф||() = 0, Нт| VИ -V = 0, (1.14)

N ^даІІ ІІ2,О N ^даІІ ІІ2,О

вследствие чего

“ -и 11®

Ііш

N ^да

Ф“\\ + V

II 2,О У II 2,О

= ІФІІ(1) + \ш\

Т 9 О '

II2,О II Т II2,О

Поэтому найдётся константа р7 > 0, такая, что

И <р7 VN = 1,2,. (1.15)

I I Qт

Пользуясь затем леммой 1.6, заключаем, что найдутся подпоследовательность последовательности 2ДГ, N = 1,2,., которую мы обозначим так же, как и исходную последовательность, и функция 2 е ^’0 ^т | 50), такие, что

Hmmax||zN(•,,) — 2(-,= 0,11^112N — Л , = 0,

N^да ,е[0,т ^ 112,О N^да 112,5Т

2N ^ 2, N ^ да, слабо в ^'210^т | 51).

Рассуждая затем по аналогии с тем, как это делалось в [5, с. 214—215] для линейных уравнений, заключаем, что функция 2 удовлетворяет интегральному тождеству (1.2).

Таким образом, существование решения задачи (1.1), принадлежащего энергетическому классу, доказано. Что же касается априорной оценки (1.3), то она следует из оценки (1.13) и леммы 1.6. Теорема полностью доказана.

+

+

N

г

2. Линейное уравнение с мерой Радона в правой части

Рассмотрим следующую начально-краевую задачу:

д

л,,— дх- (а/(х, )л х. + Ь1(x,, )л) +

+ а1 (х,, )л х + а( х,, )л + с( х,, )л, =

= Ы(х,,) + g(х,,)ц(Л»), (х,,) е Qт; (2.1)

л(х,т) = ф(х), л,(х,т) = у(х), х е О; л(,,,) = 0, (,,,) е 5°;

+ Ф,, )л = А (,,,), (,,,) е 5т,

дД

дп

где ~^~,- (а. (х,,) лх + а1 (х,,)л)cos аг, а коэффициенты а., а-, Ьг, с, а.,, аи, Ьи, с,, г, / = 1, п, <;, А, ф, у — те же, что и в разделе 1, причём удовлетворяют тем же условиям. Дополнительно предполагаем, что справедливы включения це М[0,т], g е С([0,т],/2(О)), д е ),

где через М[0, т] обозначено множество всех мер Радона на отрезке [0, т].

Дадим следующее

Определение 2.1. Функцию п назовём решением задачи (2.1) из энергетического класса, если п является элементом данного класса и удовлетворяет интегральному тождеству

|[—2, л, + а/х.л^ + ащх, + ь,2х,л+а2л+

От

+ с2л, ]ЛхЛ,+ |^(х)2(х,т)Лх + |^2лЛ,Л, = (2.2)

/q2dxdі+ //2dsdі+ / /g(x, і)х(х, і)Лх

[0,т ] Lп '■1,1 І р0'

|фі)

(1)

л < В[ ф + V +

I л I- т о п 'по

+1 А\2д!51+И таХg (’, )2,о+1 Ы 2,1,от].

Для доказательства данной теоремы нам потребуются две леммы.

Доказательство теоремы 2.1. Доказательство разобьём на три части.

1) Докажем единственность решения задачи

(2.1). В самом деле, пусть п1, п2 е Г21,0(От | 5°) —

решения задачи (2.1). Тогда их разность Дп = п1 — п2 является решением начально-краевой задачи

д

Ал« ——(а„Алх, + Ь1 Ал) + аАлх_ + аАл + сАл, = 0

дхг 1 ‘

Ал(х,т) = Ал,(х,т) = 0, хе О, Ал(,,,) = 0, (,,,) е 5т, дАл + Ф, »)Ал = 0, (,,,) е 5т, дД

имеющей, согласно теореме 1.1, лишь тривиальное решение. Следовательно, п1 = п2 и задача

(2.1) может иметь не более одного решения в

классе (От | 5т).

2) Докажем существование решения п е е Г1,11 (От | 5°) задачи (2.1). Рассуждая подобно

тому, как это делалось при доказательстве теоремы ГУ.2.6 в работе [22], можно показать, что существует последовательность функций шк е С[0, т], к = 1,2,., такая, что

(2.4)

V С є С[0,т],

где цк (Е) - / шк (і)Лі, Е с [0, т] — борелевское

Е

множество, к = 1,2,., причём все функции юк є С[0,т], к = 1,2,., неотрицательны на [0,т], если такова мера ц.

Рассмотрим начально-краевую задачу

Піі - -Э- (аупХ] + Ьіп) + ап, + ап +

+ сц, = ч(х,і) + g(х,і)цк (Лі), (х,і) є Qт, л(х,т) = ф(х), лі(х,т) = у(х), х є О,

(2.5)

V 2 є ^2,0 (От | 5т), х(х,0) - 0; п(х, т) = ф(х), х є О.

Основным результатом настоящей статьи является

Теорема 2.1. Задача (2.1) имеет единственное решение из энергетического класса, причём найдётся константа В > 0, определяемая лишь числами т, v-, ^, v3 > 0, размерностью п и областью О, такая, что

ф, і) = 0, (,, і) є 5°

^ + Ф, і)л = /(,, і), (,, і) є 5\

дИ

и обозначим её решение через пк. Эта задача является задачей того же типа, что и задача

(2.1). Нетрудно заметить, что, ввиду определения мер цк, к = 1,2,., начально-краевая задача

(2.5) эквивалентна начально-краевой задаче

п»- д^ а п ху + ьі п) + аі пх + ап +

+ спі = ц( х, і) + g (х, і )юк (і), (х, і) є От,

(2.3)

л(х,т) = ф(х), лі(х,т) = у(х), х є О, л(,, і) = 0, (,, і) є 5°,

^ + ?(,, і)л = /(,, і), (,, і) є 5т.

дИ

(2.6)

т

т

На основании теоремы 1.1 задача (2.6) имеет

к

единственное решение п , принадлежащее классу ^’0 (От | 5°), причём найдётся постоянная

с > 0 , определяемая лишь числами т, v-, ^, v3 > 0, размерностью п и областью О, такая, что справедлива оценка

I к| ^ -гіI 11(1) II І II ,.11(0,1)

л < с [ ф + V + / 1 +

1 О II ІІ2,О II ІІ2,О ІК II2,1,51

T

I I|q(x,t) + g(x,t)rak(t)| dx

1/1 (2.7)

dt ].

|r kQ < c[llф 1О+ІМІ i,q + +1f 11 lTS. + maXl g (•.1 )|2 Q11^ k\\+1 |q||

11 И1,1^! ie[G,T]" 112 ...........

к=+mi

у ai(o,i)

+ IW Ill,i,Sl

+ \rn i,i,qt +

||ц|| — е < |цк|| <||ц|| + е Vк > к0(е). (2.11)

Вследствие этого соотношения и (2.8)

1лк| < с [II ф||(1) + 1М +

| 1 О М1ТН2,П IIт112,О

+N12,1,От +1И1^ + т„ах^(•, [И+е]]

для всех к > к0(е).

Из неравенства (2.12) и леммы 1.8 следует неравенство

(2.12)

Irl < c[||ф|(1) +IM +

I 4q_ Llmll,Q II тIIi,q

Из эквивалентности задач (2.6) и (2.7) выводим, что задача (2.6) имеет единственное решение пк е ^’0(От | 5^), причём для него выполняется неравенство (2.7). Оценивая затем сверху правую часть неравенства (2.7), получаем

II II II z-lKG.l) II , МІ ГІІ II

+ llqll 1,1,Qt + llfll 1,1S- + ^Є?0ІXJIg (’ t)ll,Q [l Hl + E]].

(2.13)

ie[G,T ]"

(2.8)

112,1,3Т ,еГ0 т^ Н2,0|| || 11 112,1,От

Ввиду (2.4) существует константа К > 0, такая, что ||цк|| < К, к = 1,2,.. Последнее соотношение в совокупности с (2.8) даёт неравенство

И < К, к = 1,2,., (2.9)

I \(°т

где введено следующее обозначение:

+ гахЦ g (ч t 1 К ].

?e[0,T у1 |12,“

Пользуясь затем леммой 1.6, получаем, что найдутся подпоследовательность последовательности ц, к = 1,2,., которую мы обозначим так же, как и исходную последовательность, и

функция п £ ^2 0 (QT I ), такие, что Hmmax||nk (', t) - п(', t)|| = 0,

N—k t£[0,T]H Il2,«

limllnk - n|L = 0, (2.10)

N —112,St

Пк — n, N — да, слабо в W2\(Qt | S0). Записывая затем интегральное тождество из определения 2.1, в котором взято n = nk, М = Мк, и переходя в этом тождестве к пределу при к ^ да с учётом соотношений (2.4) и (2.10), получаем, что п удовлетворяет интегральному тождеству

(2.2).

Таким образом, существование решения задачи (2.1), принадлежащего энергетическому классу, доказано.

3) Докажем априорную оценку (2.3). Вначале мы её докажем для случая неотрицательной меры м. Тогда все меры цк, к = 1,2,., также неотрицательны, и потому ||мк|| ^ ||м||, к ^ да. Следовательно, для любого фиксированного е > 0 найдётся номер к0(е), такой, что

Устремляя затем е к нулю, получаем оценку

(2.3) с В = с > 0 в случае неотрицательной меры ц. Иными словами, в случае неотрицательной меры ц оценка (2.3) с В = с > 0 доказана.

Предположим теперь, что мера ц имеет произвольный знак. Тогда найдутся неотрицательные меры ц +, ц— е М[0, т], такие, что ц = ц+ — ц—, ||ц|| = ||ц+|| + ||ц—||. Пусть п+, п— — решения начально-краевых задач

п»—д^ (/. + п)+а п, + ап+сп, =

= д(х,,) + g(х,,)ц+ (Л,), (х,,) е От; л(х,т) = ф(х), л,(х,т) = у(х), х е О;

л |50 = 0; -|л + ?л = А, (,,О е 5т

^ дN

и

п»—д^ ап х1 + п)+а п- + ап+сп, =

= — g (х,,)ц— (Л,), (х,,) е От; п(х, т) = п, (х, т) = 0, х е О;

п|50 = 0; = 0,(s,,)е5т

5т дN

соответственно. По доказанному, данные задачи однозначно разрешимы в ^’0 (От | 50), причём I +1 ^ ог11 11(1) , II II , II /-11(0,1) ,

^ < В| Ф + V + п 1 +

I 1от II 112,^ II 112,0 1к II2,1,51

+т„х g (•,, )|201И+|\4 21О ],

,е[0,т ]" |12,^^^| II 11 Н2,1, От

л— < ВтаХ|g(•,ц— ,

I ' О ,е[0,туИ2,п|Г II’

в силу чего для функции п = п+ + п— , очевидно, являющейся единственным решением задачи

(2.1) в Г2и(От), имеет место неравенство

, +1

ii(i)

r < m + r ^ B[ ф + ш +

I 'IpT і > \qt і 1 \pT Limil,Q IIYlll,Q

||(G,1)

+ \/\\ ’ 1 + шах g(•,і) Н + Ч ].

ІК IІ2,-,5Т іє[0,т^’ УІІ2,^М 11 ІІ2,1,От

Стало быть, оценка (2.3), а вместе с ней и теорема 2.1 полностью доказаны.

+

т

1,а

Замечание. В работе [23] для случая линейного гиперболического уравнения дивергентного вида с неоднородным третьим краевым условием и мерой Радона м в правой части уравнения показано, что решение такого уравнения можно представить в виде интеграла по мере м от решения подобного уравнения, в правой части которого находится дельта-мера Радона 5Х, сосредоточенная в точке отрезка [0,Т]. Это напоминает метод Радона из [24, §22]. Аналогичный результат может быть доказан и для задачи

(2.1) для случая, когда f = 0, q = 0.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (проект 12-01-00199) и гранта Минобрнауки РФ в рамках государственного задания на оказание услуг подведомственными высшими учебными заведениями (проект 1.1907.2011).

Список литературы

1. Lasiecka I., Lions J.-L., Triggiani R. Nonhomoge-neous boundary value problems for second-order hyperbolic operators // J. Mat. Pures Appl. V.65. No.2. P.149-192.

2. Lasiecka I., Sokolowski J. Regularity and strong convergence of a variational approximation to a nonho-mogeneous Dirichlet hyperbolic boundary problem // SIAM J. Math. Anal. 1988. V.19. P.528-540.

3. Lasiecka I., Triggiani R. Sharp regularity theory for second order hyperbolic equations of Neumann type, I: L2 nonhomogeneous data // Ann. Mat. Pura Appl. 1990. V.157. P.285-367.

4. Lasiecka I., Triggiani R. Regularity theory of hyperbolic equations with non-homogeneous Neumann boundary conditions, II: General boundary data // J. Diff. Eq. 1991. V.94. P.112-164.

5. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

6. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

7. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

8. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1988.

9. White L.W. Control of hyperbolic problem with pointwise stress constraints // jOTa. 1983. V.41. No.2. P. 359-369.

10. White L.W. Distributed control of a hyperbolic system with control and stress constraints // J. Math. Anal. and Appl. 1985. V.106. No.1. P. 41-53.

11. Li X., Yong J. Optimal Control Theory for Infinite Dimensional Systems. Birkhauser Verlag, Basel, 1995.

12. Mordukhovich B.S., Raymond J.-P. Dirichlet boundary control of hyperbolic equations in the presence of state constraints // Appl. Math. Optim. 2004. V. 49. P. 145-157.

13. Mordukhovich B.S., Raymond J.-P. Neumann boundary control of hyperbolic equations with pointwise state constraints // SIAM J. Control Optim. V. 43. No. 4. 2005. P. 135-137.

14. Гаврилов В.С., Сумин М.И. Принцип максимума Понтрягина в параметрической задаче субоп-тимального управления для дивергентного гиперболического уравнения с фазовым ограничением // В кн. «Международная конференция "Дифференциальные уравнения и топология", посвященная 100-летию Л.С. Понтрягина. Тезисы докладов. Москва, 17-22 июня 2008 г.». М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2008. С. 329-330.

15. Nowakowski A. Shape optimization of control problems described by wave equations // Control and Cybernetics. 2008. V. 37. No .4. P. 1045-1055.

16. Гаврилов В.С., Сумин М.И. Параметрическая оптимизация для гиперболического уравнения дивергентного вида с поточечным фазовым ограничением. I // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. №4. С. 550-562.

17. Гаврилов В.С., Сумин М.И. Параметрическая оптимизация для гиперболического уравнения дивергентного вида с поточечным фазовым ограничением. II // Дифференциальные уравнения. 2011. Т.47. №5. С. 724-735.

18. Гаврилов В.С. О теоремах вложения для некоторых классов функций // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 2. С. 134-138.

19. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Ураль-цева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

20. Бурбаки Н. Интегрирование. Векторное интегрирование. Мера Хаара. Свёртка и представления. М.: Наука, 1970.

21. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

22. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.

23. Gavrilov V.S., Sumin M.I. Perturbations method in the theory of Pontryagin maximum principle for optimal control of divergent semilinear hyperbolic equations with pointwise state constraints // Control Theory and Its Applications. Chapter 4. 2010.

24. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Наука, 1965.

DIVERGENCE-FORM HYPERBOLIC DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH DIFFERENT BOUNDARY CONDITIONS ON DIFFERENT PARTS OF THE BOUNDARIES

V.S. Gavrilov

Existence and uniqueness of an energetic solution is proved to an initial-boundary value problem for a semilinear divergence-form hyperbolic differential equation. Specifically, the case is considered when on the one lateral surface of a cylinder there is given a third nonuniform boundary condition whereas on the other one there is a uniform Dirichlet boundary condition. We also prove the existence and uniqueness of an energetic solution to the problem for a linear divergence-form hyperbolic equation with a Radon measure on the right hand side of the equation.

Keywords: partial differential equations, initial- boundary value problems, Radon measures.