Существование и единственность решения однородной начально-краевой задачи Дирихле для полулинейного гиперболического уравнения дивергентного вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.95:517.97

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ДИВЕРГЕНТНОГО ВИДА

© 2012 г. В. С. Гаврилов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

vladimir. s. gavrilov@gmail. com

Поступила в редакцию 12.10.2011

Доказывается существование и единственность решения из энергетического класса однородной первой начально-краевой задачи для полулинейного гиперболического уравнения дивергентного вида.

Ключевые слова: кубичное дифференциальное уравнение, улитка Паскаля, частный алгебраический интеграл, предельный цикл, круг Пуанкаре.

В настоящей работе доказывается существование и единственность решения, принадлежащего энергетическому классу, однородной первой начально-краевой задачи для полулинейного гиперболического уравнения дивергентного вида. Необходимость в подобного рода результатах возникает при изучении задач оптимального управления, динамика которых описывается гиперболическими уравнениями с начальнокраевыми условиями (см., например, [1-6]).

Рассмотрим следующую начально-краевую задачу:

д

z„ a( ^ t > + a( ^ t) z) +

dxt J

+ a( x, t, z( x, t )) + b (x, t ) zx +

+ c(x, t)zt = 0, (x, t) e QT ; (1)

z(x,0) = <p(x), zt (x,0) = y(x), x e Q; z(s, t) = 0, (s, t) e ST.

Здесь и ниже Q c R — ограниченная область с границей S, ST = S x (0, T), QT = Qx (0,T).

Считаем, что выполнены следующие условия на исходные данные задачи (1):

а) функции aj, a, b, c, ат aü, bit, ct, i, J = 1, n определены и измеримы по Лебегу на QT;

б) справедливы условия и оценки

aj = ajt, Ф e н 1 (рх ^е l2 (q);

vj^|2 < a.. ( x, t )Çi E j <v 2|^|2

V (x,t) e QT, E e Rn (vj, v2 > 0);

а.. + а. + Н + И +

II у1 1»,1,6т II 'II »,1,6т II 'II »,1,6т II И »,1,6т

+ \аЛ +1 \аА +||й.,|| +1|с,|| < V,;

II у*Н»,6Т и и »,6т и и»,6т и *11»,6т

в) при всех г е R функция а(-,-, z) измерима по Лебегу и а(-,-,0) е Ь21 (6т); существует функция k е Ь1 [0, т], такая, что

|а(х,?,21) -а(х,?,г2)| < k(?)21—22|

V (х, ?, 2 ') е 6т х R, ' = 1,2.

Здесь и ниже используются следующие обозначения.

Через Ьр (П), где Пс Rm , обозначено банахово пространство суммируемых с р-й степенью (существенно ограниченных при р = ») функций ^ : П —— Я, с нормой

Р,п

Jl«x)l'

у/ Р

dx

1 < p < œ;

ІІЯІ»п= vrаisuPІ £( x)|, Р = *.

’ хєП

Под Я'(П), где П с Rm — ограниченная область, понимается банахово пространство функций Е, є L2 (П), все первые обобщённые -— производные которых суммируемы с квадра-

том. Норма в -^(П) определяется формулой

і(і)

J [| ^( x)2 +|V^( x)|2]dx

vn

Через Ь21(6т) обозначено банахово пространство измеримых по Лебегу на 6т функций £ с конечной нормой

1/2

2,П

HI - /ні«*.' )i

dx

dt.

а через I»1(6т) — банахово пространство измеримых по Лебегу на 6т функций Е с конечной нормой

Сю - /vraisup|H(x.t)dt.

’ >ЪТ J о

IH

I С1)

/ [| H( x)|2 +|VH( x)2]dx

Vo

IH

1(1)

2.Qt

/ [| H2 +VH2 +|Ht| 2]dxdt

V Qt

IH

P.[0.T ]. X

IIH

/II«' )ll

ч1/p

dt

. 1 < p < да;

- vraisupll H(t )||, p = <■

te[0,T ]

Пусть ^»0,11(6т) ------- банахово пространство

измеримых по Лебегу функций Е е Ь» 1 (6т), у

которых Е, е Ь»д(6т). Норма в ^»0,1(6т) задаётся равенством

и (0,1) = 11р11 им

11Е11»,1,6т 11Я|»,1,6т 1М1»,1,6т "

Под Н^(О) понимается замыкание в норме Н '(О) пространства бесконечно дифференцируемых финитных в О функций. Норма в пространстве Н ^ (О) определяется так:

( \1П

Через ^2\(6т) обозначено замыкание в норме Н '(6т) множества бесконечно дифференцируемых в 6т финитных вблизи Sт функций. Норма в ^'210(6т) задаётся равенством

[0,Г], т.е. таких, что при всех х* е X* и всех те [0,T]

X х*) = (Е(тХ х ^,

где X обозначает сопряжённое к X пространство, а (х, х ^ — значение линейного непрерывного функционала х* е X* в точке х е X .

Через C([0,Г], X), где X — банахово пространство с нормой ||-|| , обозначено банахово пространство функций Е: [0,Г] ^ X, сильно непрерывных на [0,Г], т.е. таких, что при любом т е [0, T ] имеет место равенство lim|| E(t) -£(т)|| X = 0.

t^T 11 IIX

Норма в C ([0,T ], X) задаётся формулой |Е|(0) = maxi|E(t)|| .

|Ъ|[0,Т],X (е[0,Г'IIx

Наконец, обозначим через V2’l0(QT) «энергетический класс», состоящий из измеримых по Лебегу на QT функций £, удовлетворяющих следующим условиям: при всех t е [0, Г] справедливы включения ЕС,t) еH^Q), Ei(•,t) е L2(Q); функция t е [0,Г] ^ ЕС, t) е H0 (Q) — элемент класса Cs([0,T],H'(Q)); функция t е [0,Г] ^ ^ Е, (•,t) е L2(Q) — элемент пространства

L„ ([0,Г ], L2(Q)). Норма в пространстве

V1,1 (QT) задаётся равенством

EL = sup ||S(-,tl® + vralsupllЕ((•,t)|l .

Через Н -1 (О) обозначено пространство, сопряжённое к Н ^ (О).

Через Ьр ([0, т], X), где X — сепарабельное банахово пространство с нормой IX , а 1 <

< р <», обозначено банахово пространство слабо измеримых на [0, т] функций Е : [0, т]

— X , для которых функция ? е [0,т] ^ ||Е(?)|| является элементом банахова пространства Ьр[0,т]. Норма в Ьр([0,т],X) задаётся следующим образом:

te[0,T ]

te[0,T ]

Наделённое этой нормой К21,0(6т) представляет собой банахово пространство.

Дадим следующее

Определение 1. Функцию 2 назовём решением задачи (1) из энергетического класса, если 2 является элементом данного класса и удовлетворяет интегральному тождеству

|[— 2, Л, + ау2х,Л + а,2Л х, + Ь12х.Л +

6т

+ С21 л + а( х, ?, 2 (х, ? ))г[]<ЛхЖ = ^ у( х)л(х,0)^х (2)

v-n є f/210 (Qt ); z(x,0) = 9(x). x є O.

Здесь

VH(Qt) -(Л є VH(Qt): л(-.Т) = 0}.

Следуя [7], через С ([0,т], X), где X — банахово пространство, обозначим пространство функций Е : [0, т] — X , слабо непрерывных на

2,0 Т / “ 111 ' 2,0 УУСТ >

Основным результатом работы является Теорема 1. Задача (1) имеет единственное решение из энергетического класса, причём найдётся константа В > 0, определяемая лишь

1/2

2.0

1/2

T

числами Т, v1, ^, v3 >0, функцией к є L1[0,T], размерностью п и областью О, такая, что

тах А(•, t)

tє[0,T ]И ||»,п

1(0,1)

1“,1,6т

'є[0,Т ]

+І t ^1 »,п ] + а

+ К

+ а,.

'є[0,Т ]

+ с(ч t ) ] + \аИ

II -'11“,^ У

+ \с.

< А, Г[1|а..(•,')|| + ||а.(•,')|| +

^41 У4’ /11“,П II ,Ч’ 'Н“,О

|26т < Б[1 Н120 + М12,0 + I|а(",",0)12,1,6т ]. (3)

Для доказательства данной теоремы нам потребуется ряд вспомогательных результатов, и прежде всего, следующая лемма, вытекающая из теоремы 2 работы [8].

Лемма 1. У любой функции / е ^»0,11(6т) при каждом ? е [0, т] имеется след /(•, ?) е е Ь» (О), непрерывно зависящий от * е [0, т ] в норме Ь» (О), причём найдётся константа А1 = = А1(7) > 0, зависящая лишь от т> 0, такая, что

+ |Ь. (•, t)|| + ||с(- t)|| + а... (•, t) +

II ^ /П“,п У /11“,п || у'4’ /||“,п

+ 11а., (•,' )|| + |Ь., (•,')|| + \с, (•,' )|| +

У “О > “О > “О-1

+ \аш\\ + аі.

II У'II“,6Т 11 .

+ К

+ \с.

Отметим, что из очевидной непрерывности вложения Г21,0(6т) с ^20(6т), теорем 6.3 и 7.2

из главы 1 монографии [9] и теорем вложения для функций одной переменной вытекает

Лемма 2. Пусть 2 е У2 0 (6т). Тогда при каждом ? е[0, т] существует след 2^, ?) е Ь2(О), непрерывно зависящий от ? е [0, т] в норме Ь2 (О), причём

тах|| 2(% ? )|| < Ы .

*е[0,т Г И2,° I 6т

Кроме того, вложение Г21,0(6т) с С([0,т], Ь2(О)) компактно.

Покажем, что справедлива

Лемма 3. При всех ? е [0, т] существуют

следы а,у (•, ?), а, (•, ?), Ь 1 (•, ?) с(ч ?) е Ь» (О), непрерывно зависящие от ? е [0, т ] в норме Ь» (О) . При этом найдётся постоянная А2 > 0 , зависящая лишь от чисел V 3, т > 0, такая, что

т?х[1к (•, о||.„+1 к ^ о! »о+1 \Ь1 (•, о|| »о +

(4)

11»,6т

^ ', 7 = Х--п. Доказательство леммы 3. Утверждения о существовании следов функций а 7, ап Ь,, с являются следствиями вытекающих из условий на эти функции включений а 7, а ,, Ь и с е

е ^»1 (6т) и леммы 1. Поэтому докажем лишь

оценку (4).

В самом деле, на основании леммы 1

тах[|| а,7 (•, ?)|| +1 |а,. (•, *)|| + ||Ь,. (•, *)|| +

„глтЛ у4’ -'п^ъ ,ч’ ' »о ,ч’ ' »о

11“,6т

+ а„

< А1 [V 3 +v т ] + v 3 =v з[1 + А1 (т +1)].

Полагая А2 = V 3[1 + А1(т +1)], получим оценку (4). Лемма 3 полностью доказана.

Кроме того, нам потребуется следующая лемма, вытекающая из леммы 8.1 на с. 307 монографии [7].

Лемма 4. Справедливо равенство

Ь» ([0,т ], Н 0 (О)) п С ([0,т], ¿2 (О)) =

= С5 ([0,т ], Н 1(0)).

Доказательство теоремы 1. Доказательство разобьём на три части. При этом в целом будем следовать схеме доказательства, предложенной в [9, гл. 4, § 3] для линейных гиперболических уравнений. Однако завершение доказательства существования решения и доказательство априорной оценки (3) проведём, используя как метод [9, гл. 4, § 3], так и метод [10, гл. I].

1) Докажем, что начально-краевая задача (1) может иметь не более одного решения. В самом деле, пусть 21, 22 е У2 0 (6т) — решения задачи

(1), и пусть w = 21 - 22. Тогда w е У21,0(6т) и удовлетворяет тождеству

I[—Л, + а^х_1П х. + а^Л х, + ь^х, Л +

6т

+ см^{л + [а(х, ?, 22 + w) - а(х, ?, 22 )]л]<1х& = 0 (5) V л е У2 0 (6т); w(x,0) = 0, х е О.

Введём функции л* : 6т — Я , Р,-: 6т — Я , ' = 1, п (а е [0,т] — параметр), соотношениями

а

Л а (x, *) = Х[0,а] (*)IЕ)dЕ,

?

Р *) = 4^. (x, Е)dЕ, '= 1, n, (x, *) е 6т ,

0

где х Е — характеристическая функция измеримого по Лебегу множества Е.

Можно показать, что ЛаеУ2’0(6т), Л*,, лах, е Ь»([0,т],Ь2(0)), ла е Ь»([0,а], Ь2(0)),

причём

Ла *) = Х[0,а] (*)w(x,*),

а

Ла (X,*) = Х[0,а] (*)I ^. (X,Е)dЕ,

Т

Т

Т

Т

+

6

6

СО

СО

Т

Т

< (^ ,) = Л“, (х,?) = Х[0,а] (?^ (х ,X , = 1, и, (х,,) е QT;

Л Г, (Х,,) = (X,(X, 0 е , = Пх (0, а).

Полагая в (5) п = па, получим

а

Г 7. Г г а а , а а, а а , 7 а а,

/ ё/ [-Л„Л, + а,Лх,,Лх, + а1 Л, Лх, + Ь,Лх,,Л +

+ сл“ л“ + [а(х,,, г 2 + Л Г) - а(х, ?, л Г )]л“ ]dx = = 0 Уае [0,Т].

Интегрируя это соотношение по частям, выводим, что

11[| Ла (х,а) |2 +а,(х,0)Л(х,0)Ла, (х,0)]ёх +

а

а 1

+1Ь,(х,0)ла (х,0)Л а,(х,0)ёх +| Ж| [2 а,, Л а, Л а +

а 0 а

+(Ь,- а, )ла л а + ь„ лха +с лала +

+ с | л а |2 -[а( х,,, 72 + л а) - а( х,,, л“ )]Ла ]ёх = 0.

Используя липшицевость функции а(х,?,г), (х,,, г) е QT х R , по переменной г, лемму 3, неравенство Коши-Буняковского и неравенство

аЬ < -^(а2 + Ь2), заключаем, что 2

1^ |2 I |2

-1[|л“(х,а)| + ^ |Ула(х,0)| ]ёх<

а

</ dt Г[ а2'/" (А+3) |ул- |2 +

0 а 2

+ 3) + £(0Г|_„|2 , |_а|2

[Ла + Л“ ]]ёх +

2

+ А,47г/I Ла (х,0)|| Ул“ (х,0)| сёх.

а

Применяя неравенство Коши с £ (см. [9, с. 33])

к интегралу /та(х,0) ул“(х,0)ёх, будем иметь

а

Г I |2 | |2

/[|л“(х,а)| + К-У1б)|Ула(х,0)| ]<*<

а

а

Г Г I |2 | |2 | |2

</С,/[V2К | +у3(,,е)[|Л“ | + |л“| ]]Сх,

где у 3(,,е) = £(0 + А2(2л/й + 3 + Т^-), у1 = А^И,

8

у2 = А24п(4п + 3).

0 а ,=1

■ а 2

4 у + х, + х, <Т«

0

Г I |2 V, I |2

I [^(х,а) +----------ул“(х,0) ]ёх <

а 2 1

а

</ [у 2 ула |2 + у 4(,)[| ла |2 +|л“ |2]]<*

0 п

Уае [0,Т].

Из этого неравенства вытекает, что

/[|Чх,а )2 + у I|Р,(х,а )\2]Сх <

а 2 ,=1

“ п

</С/[У 2 (х,а ) -Р, (х,0)]2 +

]ёх <

п а

< 2ау 2 Р, (х, а )|2ёх + / С/ у 4(,)[|и>(х,,)2 -

а ,=1 0 а

а

+ (а - ,)/1 w(х,|)|2 ё|]ёх +

,

п

+ 2у 2 /С [^|Р, (х, ,)|2ёх <

0 а ,=1

п

< 2ау 2 /II Р, (х,а )|2 ёх + / [У 4Й) +

а ,=1 0 а

а

+ Т / у 4 (,)ё, ]w2( х, ^)ёх +

0

п

+ 2у2 Гё,/11Р, (х,,)|2ёх <

0 а ,=1 п

< 2ау 21 ЦР, (х,а )| ёх +

а ,=1

а Т

+ / Ц [у 4^) + 2у 2 + Т / у 4 (,)ё, ][w2( х,,) +

0 а 0

п

+ 1Р ,2( х, |)]ёх.

,=1

Следовательно,

/ [| Чx, “ )|2 + (у - 2“у 2)!^ 1Р,(x, “ )|2]ёх <

(6)

где

и. п

< /ё/у 5 (,)[1w(x, 1 )Г +11Р, (X,

0 а ,=1

Т

у 5(?) ^ Т/у 4 (£>№ + у 4(?) + 2у 2 .

Полагая в данном неравенстве 8 = ——.

2у1 '

у 4(,) = у 3(?,-^), получаем, что

2у1

Пусть ю = тВ , т = 0, X, где 0=——, ^=

8у2

Положим Jm = [ют,ют+1] п [0,Т], т = 0,р -1.

Пусть в неравенстве (6) а є J0. Тогда

У1 О ^ У1

------2ау, ^ —, вследствие чего

2 4

п

| [| ^(х,а)|2 + 2Р , (х,а )|2]йх <

п і=1

а п

<1 йґ Iу 6 (ґ) [1 w(x, ґ )Г+2 р і (хґ )Г]dx,

+аі (х, ґ)gm (х)gbc,(х) +

+ Ьі (х>ґ)gmx,(х)gl (Х)]^Х.

г,Х (ґ, Ь,..., hN) =

Г N

; | а (х, ґ, hmgт (Х))gl (Х)^Х-

где у6(,) = у5(,)/тт{1,^}. Применяя теперь _______________

известную лемму Гронуолла (см., напр., [11]), получаем, что

w( х,,) = 0, Р, (х,,) = 0, (х,,) еах J 0.

Рассуждая подобным образом, за конечное число шагов получим, что

w(х,,)=0, Р,(х,?)=0, (х,,)еах Jm

= I а ( _

а т=1

Такой набор, очевидно, существует и определяется единственным образом.

Умножив 1-е уравнение (8) на кХ (,) при

для всех т = 0, X -1.

Таким образом, разность любых двух решений начально-краевой задачи (1) равна нулю почти всюду в Qт, в силу чего задача (1) может иметь не более одного решения.

2) Докажем существование решения начально-краевой задачи (1). Пусть gm є Н^(п), т = = 1,2,..., — ортонормированная в L2(Q) система функций, такая, что для всех ф є Н ^ (П), у є L2 (П) справедливы равенства

Нш||фХ-ф||о = 0, Нш||уХ-у|| = 0, (7)

N II 2,П N ^»11 II 2,П

в которых

N N

Ф N (Х) = 2Ф>^т (X), У N (Х) = 2^т (X),

т=1 т=1

Фт = |Ф(У^т (У)dУ, Ут = (У^т (У)йУ ,

п п

т, N = 1,2,..

Будем искать приближённое решение гХ за-

N

дачи (1) в виде гХ(х,ґ) = 2К(t)gm (х), где на-

т=1

бор функций Ъ-Х є^2[0,Т], т = 1, N, является решением задачи Коши

N

ЪХ +2[ Рт (ґ Ж + Чт (ґ Ж ] +

I = 1, N, сложив все полученные уравнения и проинтегрировав результат по , е[0, т], выводим, что

1 Г I 12

— / [|г1 (х,т)| + а, (х,т)гых (х, т)гХ (х,т)]ёх -

1 Г I 12

- 2/ [|^1 (х)| + а, (х,0)фN (х)Ф1 (х)]ёх +

N N N И"

~аа,^< - СК| +

+1|;=0 -|йі|[-2 п 0 п

+ аііХ'хХ + (аі - Ьі)іХ - а(х,і,0)гХ]йх +

X

+ |йґ|[а(х,і, гХ) - а(х, t,0)]zХйх = 0.

0п

Утє [0, Т ]

Таким образом,

1 Г І 12 і 12

— I [ іХ (х, X) +у 1 угХ (х, X) ]йх <

2 о

1^1 12 І 12 I [ У Х (х) +у 2 уф Х (х) ]йх -2 о

-1|ґ=0 -|I[2

+

т=1 N ^ і N

+ гХ (ґ, ьх (ґ),., ъх (ґ)) = 0, ъх (0) = ф;, ЪХ (0) = у, і = 1,Х,

в которой

Ріт (ґ) ^ | ^ ґ)gl (x)gт (x)dx,

п

Чіт (ґ) = | [аі,- (X ґ)gтх] (х)gіх, (х) +

(8)

+ (а, - Ьг )г,Х - с|г1| +

+ |а( х, ,,0)| гХ | + к (, )| г1 ^ |]ёх.

Оценивая сверху правую часть последнего неравенства с помощью неравенства Коши— Буняковского, неравенства Гёльдера с показателем р=2, леммы 3 и условий на исходные данные, заключаем, что

1 Г I 12 | 12

— / [ гХ (х, т) + V1 угХ (х, т) ]ёх <

2 о

^1 12 | 12 | 12

[|^Х(х)| +|фХ(х)| +уфХ(х)| ]ёх +

а

+а,47,/| гХ (х, т)||УгХ (х, т)|ёх +

І 12 і 12 і 12 йґ ір2(ґ)[|гХ| +угХ| + |г(Х| ]йх +

+ ||а(у,0)|| тах| /[|гХ (х,,)|2 + |г,Х (х,+

11 ll2,1,Qт ,е[0,т] Л I II I

Ча

+ угх (х,,) ]ёх

Р2(,) = 1(А2(л/7 + 3)л/7 + к(,)), р1 = 1тах{1,

где У2\11 2^*2

V 2 + А247}.

Применяя неравенство Коши с £, выводим, что

1 Г I |2 | |2

2 /[|гХ(x, т)| + (V -Р38)|УгХ (x, т)| ]ёх <

х тах

,е[0,т]

2,1,Qт 1/2'

2 2 2 <Р4(8)/[|VХ| +|фХ| +|уФХ| ]ёх +|| а(У,0)||2,1,& х _а

С I 12 I 12 I 12

/ [|гХ (х,0| + угх (х, 0| + |г,Х (х,0| ]ёх

а

т

+ / ё,/ р5 (,, 8)[ гХ|2 +|УгХ|2 + |г,Х| 2]ёх,

0а

где р3 = А247 , р4(8) = тах{1, р1 + А2^7.}

2 8

+ г;

т

?(х,,)| ]ёх)1/2] + /ё,/р7(,)[|

гх\ +

+ угХ + \гХ\ ]ёх, где р6 = 4Р4(^Ч/тш{2,V1}, р7(,) = 4р5(,^:~^)/

2р3 2р3

/тт{2,v1} .

Введя обозначение

■Х^ = /[I гх‘

уХ (,) = /[| гх (х,, )|2 +

+ уг (х,,) + |г, (х,,) ]ёх, можем записать

УХ (т) < р6 [Ух(0) +1|а(У,0)||21 Q тахл/УХ(?)] +

11 "¿Л&т ,е[0,т]

+ /р7(,)УХ(,)ё, Уте [0,Т].

0

Покажем, что из (9) следует

(9)

тах

,е[0,Т ]

ТТЧО < р8[л/Ух(0) +||а(у,0)||21,& ], (10)

Т

/р7 (,)*

где р8 = Р6е ° .

Пусть УХ (т) = тах л/уХ (,) , т е [0, Т]. Не-

,е[0,т]

трудно видеть, что функция YN неотрицательна и монотонно не убывает на отрезке [0,Т] Используя данный факт, несложно показать, что множество тХ нулей функции YN либо пусто, либо является отрезком вида [0,т ], где т* е[0,Т]. Ясно, что если т* еТ, то (10) заведомо имеет место.

Предположим, что Т пусто. Поделив обе части неравенства (9) на YN(т) и воспользовавшись монотонностью функции YN, заключаем,

что

/ \ / \ А~ \ 7

р зО, 8) = р 2(?) +^Т Т---------- .

2 8

Добавляя к обеим частям полученного неравенства слагаемое / |гХ (х, т)| ёх и полагая 8=——,

а 2р3

будем иметь

С I |2 I |2 I |2

/ [|гХ (х,т)| +угХ (х,т)| + |г,Х (х, т)| ]ёх <

а

С I 12 I 12 I 12

<р6[/[|фХ| +|УфХ| + |уХ| ]ёх +

а

22 + а(-,-,0) тах(/[ гХ (х,,) + угХ (х,,) +

И II 2,l,Qт ,е[0,т] •! I II I

+

г

/ р 7 (,)

уХ (,)

ёг Уте [0,Т].

0 У (,)

Применяя лемму Гронуолла, выводим, что

уХ(| < Р.^/Т^ +1К.-,°)||вд ] У т е [0,Т].

В частности, это означает, что

Х ( \

Щ <р8^1/УХ00) +||a(■.■.0)І2,l,Qт ]

при почти всех те[0,,] для всех , е (0,Т].

В силу монотонного неубывания функции YN на отрезке [0,Т] это даёт соотношение

Х ( \

УД <рА4уХт+| |a(•.',°^2,l,Qт ]

при почти всех т е [0,,] для всех , е (0,Т]. Отсюда и следует (10).

Отметим, что рассуждения в случае непусто-

тХ

ты множества т совершенно аналогичных, ввиду чего опускаются.

Заметим, что из (10) следует

|г\ < 2Р•[|фХll21,n+lk'IІ2,n+ll“('.',0)L,l,Qт ]. (Ш

Из соотношений (7) вытекает, что

Нт|фХ -ф|| о = 0, Нт| VХ -V = 0, (12)

х ^»11 112,а х 112,а

вследствие чего

“ -Х||(1)

lim

х

|ф'1 + V

I II 2,а У II 2,а

= |ф||(1) +1М .(13)

2,а 2,а

1/2

Поэтому найдётся константа р9 > 0, такая, что |гх| <р9 УХ = 1,2,.... (14)

I I (¿Т

Из (14) следует, что

11(1)

h,QT

<p9VT VN = 1,2,..

Используя слабую компактность замкнутого шара в гильбертовом пространстве и компактность вложения ^^(¿Т) с С([0, Т], L1 (а)), получаем, что найдутся подпоследовательность последовательности гх, Х = 1,1,., которую мы обозначим так же, как и исходную последовательность, и функция г е ^ 0 (¿Т), такие, что

lim max zN (•, t) - z (•, t) = 0,

N^» /e[0,T]ll II 2,0

Таким образом, существование решения задачи (1), принадлежащего энергетическому классу, доказано.

3) Докажем априорную оценку (3). В самом деле, на основании (13) для каждого е > 0 найдётся номер N0(e) > 1, такой, что при всех N > > N0(e) справедливо неравенство

II nI |(1) II N У ^ II ||(1) II II /1 '"7\

Ф + w < ф + ш +е. (17)

II 1Ь,П II ||2,n HTll2,n IIтII2,0 v '

Далее, из (10) следует, что

II N / у 'ч II(1) ^ r|| nI 1(1) II nII

sup 2 (•, ^)2П<Р8[Ф 20 +Ш 20 +

5е[0,Г]" 112,0 11 112,0 " 112,0 (18)

+ 1 H”0)L,1,Qt ]

(15)

гх ^ г, Х ^ », слабо в 1У210^Т).

Рассуждая далее по аналогии с тем, как это делалось в [7, с. 114-115] для линейных уравнений, заключаем, что функция г удовлетворяет интегральному тождеству (2).

Покажем, что г е V,10 (¿Т).

Из (14) следует, что последовательность гх, Х = 1,1,., равномерно ограничена в норме пространства Ь»([0,Т],Н^П)), а последовательность гх, Х = 1,1,., равномерно ограничена в Ьш([0,7], Ь2(0)). На основании предложения 10 на с. 60 работы [11] пространство Ьш([0,7], Н ¿(а)) изометрично изоморфно пространству (Ь1([0,Т],Н(-1 (а)))*, а пространство Ьш([0,7], Ь2(0)) изометрично изоморфно пространству (Ь1([0,Т], Ь2(0))) . Поэтому найдутся подпоследовательность последовательности Х = 1,1,., которую мы обозначим так же, как и исходную последовательность, и функции ~0 е Ь» ([0,Т],

Н^ (а)), ~ е Ь»([0,Т], Ь2 (а)), такие, что

* -слабо в Ь»([0,Т],Н¿(а)),

* -слабо в Ь» ([0,Т],Ь2(П)),

Х ^ ».

Сравнивая полученные соотношения с соотношениями (15), заключаем, что

гх ^ г, *-слабов Ь»([0,Т],Н1(П)),

гХ ^ г,, * -слабов Ь» ([0, Т], Ь2(П)), (16)

Х ^ ».

Из (16) следует, что г е Ь» ([0,Т], Н ^П)), г, е4([0ТЩа)). Следовательно, г, г, еЬ»([0,Т], Ь2(П)). Последнее означает, что г е С([0,Т], Ь2(П)). Таким образом, г е С([0,Т],Ь2(П))п п Ь» ([0,Т ], Н 1(П)). Поэтому, на основании леммы 7, г — элемент пространства Сз ([0,Т],

н 1(п)).

vraisudZ, (•,0 <р8[ф

te[0,T ] ll2,° 11

lid)

(19)

+ IINN| 1,0+1 H(^,^,0)2,1,Qt ].

Ограничившись в (19) номерами N > N0(e), ввиду (17) будем иметь

vraisup zt (•,t)||^ <р8[||ф|

te[0,T ] 11

|(1) +|| и 20 ■ ^^ІІ2,0 llNll2,0

+ 1 |а(*,',0)|2,1,¿т +8].

Из данного неравенства, второго из соотношений (16), *-слабой компактности замкнутого шара в пространстве, сопряжённом к сепарабельному банахову пространству, и упомянутого выше изометрического изоморфизма пространств Ь»([0,Т],Ь2(П)) и (Ь1([0,Т], Ь2(П)))* выводим, что

vraisup zt (•, t)

te[0,T ]

<p8[llфіі 2*0+INI 20 +

+ 1 И”0)112,1,& +Б].

Устремляя затем s к нулю, заключаем, что

vraisup zt (•, t)

te[0,T ]

<p8[llф|| 110+М120 +

(20)

+ 1 К^И,,^ ].

Выберем произвольно , е [0, Т] и зафиксируем. Из (14) следует, что последовательность гх (•,,), Х= 1,1,., равномерно ограничена в норме Н 1(П). Поэтому найдутся подпоследовательность последовательности гх (•,,), Х = =1,1,., которую мы обозначим так же, как и исходную последовательность, и функция г(>) (•) е Н^ (а), такие, что

гх (•,,) ^ г(,)(0, слабо в Н^П), Х ^». (11)

Из (15) и (11) следует, что г(,) (•) = г(-,,), т.е. гх (•,,) ^ г(^,,), слабо в Н^ (а), Х ^ ».

Ограничившись в (18) номерами Х > Х0(8), на основании (17) заключаем, что

N

z

+

+

2,0

2,0

К (-,? С<р8[11 ф12‘,0+MI 2,0 +

+ 1 И”0)И2,1,& +S].

Пользуясь слабой компактностью замкнутого шара в гильбертовом пространстве, из последнего неравенства выводим, что

IK,t)|21,0 <Р8[|ф||Z +11^12,0 + + 1 И”0)112,1,& +s].

Устремляя s к нулю, получаем, что

Н,1С <Р8[11 ф1 20 +IMI2,0 +

+ 1 ].

Поскольку t е [0, T] было выбрано произвольно, то

supl К,t С<р8[11ф 2‘,0+IN 2,0 +

tE[0,T ]

+ 1 ].

Данное неравенство совместно с неравенством (20) даёт оценку (3) с B = 2р8. Теорема полностью доказана.

Список литературы

1. White L.W. Control of hyperbolic problem with pointwise stress constraints // JOTA. 1983. V. 41. No. 2. P. 359-369.

2. White L.W. Distributed control of a hyperbolic system with control and stress constraints // J. Math. Anal. and Appl. 1985. V. 106. No. 1. P. 41-53.

3. Li X., Yong J. Optimal Control Theory for Infinite Dimensional Systems. Birkhauser Verlag, Basel, 1995.

4. Mordukhovich B.S., Raymond J.-P. Dirichlet boundary control of hyperbolic equations in the presence of state constraints // Appl. Math. Optim. 2004. V. 49. P. 145-157.

5. Mordukhovich B.S., Raymond J.-P. Neumann boundary control of hyperbolic equations with pointwise state constraints // SIAM J. Control Optim. 2005. V. 43. No. 4. P. 135-137.

6. Гаврилов В.С., Сумин М.И. Принцип максимума Понтрягина в параметрической задаче субоп-тимального управления для дивергентного гиперболического уравнения с фазовым ограничением // В кн.: «Международная конференция "Дифференциальные уравнения и топология", посвященная 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина. Тезисы докладов. Москва, 17-22 июня 2008 г.», М.: Издательский отдел факультета ВмиК МГУ им. М.В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2008. С. 329-330.

7. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

8. Гаврилов В.С. О теоремах вложения для некоторых классов функций // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 2. С. 134-138.

9. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

10. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Ураль-цева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

11 Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

12. Бурбаки Н. Интегрирование. Векторное интегрирование. Мера Хаара. Свёртка и представления. М.: Наука, 1970.

EXISTENCE AND UNIQUENESS OF A SOLUTION TO A HOMOGENEOUS DIRICHLET INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A SEMILINEAR HYPERBOLIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION IN DIVERGENCE FORM

V.S. Gavrilov

Existence and uniqueness of an energetic solution to a homogeneous first initial-boundary value problem is proved for a semilinear hyperbolic partial differential equation in divergence form.

Keywords: partial differential equations, initial-boundary value problems.