Существование и единственность решения неоднородной третьей краевой задачи для полулинейного гиперболического уравнения дивергентного вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделированиє. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Ло бачевского, 2009, № 1, с. 104-111

УДК 517.95:517.97

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ НЕОДНОРОДНОЙ ТРЕТЬЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ДИВЕРГЕНТНОГО ВИДА

© 2009 г. В.С. Гаврилов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского vladimir. s. gavrilov@gmail.com

Поступила в редакцию 20.11.2008

Доказывается теорема существования и единственности решения неоднородной третьей начальнокраевой задачи для полулинейного гиперболического уравнения дивергентного вида.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения в частных производных, начально-краевые задачи.

В работе доказывается теорема существования и единственности решения неоднородной третьей начально-краевой задачи для полулинейного гиперболического уравнения дивергентного вида. Необходимость в подобного рода результатах возникает при изучении задач оптимального управления краевыми задачами для гиперболических уравнений (см. [1-6]).

Рассмотрим следующую начально-краевую задачу:

д

~^г (аи(хґ) + а(хґ) г) +

д%і

+ а( х, ґ, г( х, ґ)) + Ь (х, ґ) гх +

+ с(х, ґ)г = 0, (х, ґ) є QT; (1)

г(х,0) = ф(х), г (х,0) = у(х), х єП;

+ д(5, ґ)г = /(5, ґ), (5, ґ) є Sт.

дЫ

Здесь и ниже П с $г — ограниченная строго липшицева область с кусочно-гладкой гра-

дг

ницей S, sт = s х(0,т), Qт = Пх(0,Т), — =

= (аи(х,ґ)гхі + аі(х,ґ)^)соэаі, аі(х,ґ) — угол между внешней нормалью к Sт и осью Охі.

б) функции ^ и — - определены и измери-

дt

мы в смысле Лебега на ST ;

в) справедливы условия и оценки

aj = a,i,

фєЖ'(О),

?є L2(Q), f є Wj1 (St);

Vi | £ I2 < a, (x, t%£, < V2 | ^ I2 V (x, t) є QT, Vj, v2 > 0;

| a j (x, t)| +1 b (x, t)| +1 c(x, t)| +

+ I aг (x, t)| +

da,(x, t)

dt

+

+

db, (x, t)

dt

I q( s, t )| +

+

dc(x, t)

dt dq( s, t)

< V3 V (x, t) є Qt ;

dt

< v4 V(s, t) є ST;

г) при всех г е R функция а(-,-, г) измерима по Лебегу и а(-,-,0) е L21(QT); существует функция k е /1[0, Т] такая, что

|а(х,t,г1) - а(х, t,г2)| < k^)|г1-г2|

V (х, t, гг-) е QT х R, 1 = 1,2.

Считаем, что выполнены следующие усло- п

,,/ Здесь и ниже используются следующие обозна-

вия на исходные данные задачи (1):

а) функции a,,,

da,.

db,

~dt~

dc

dt dt dt

i, J = 1, n , — определены и измеримы по Лебегу на qt ;

чения.

Через Lp (П), где Пс Rs, обозначено банахово пространство суммируемых с р-й степенью (существенно ограниченных при р = да) функций £, : П —— R , с нормой

c

/ у/р Теорема 1. Задача (1) имеет единственное

11^11 Р,П ^ И^(х)1 ^х , 1 “ р <<х>; решение из класса Ж2(вт), причём найдётся

П константа В > 0, определяемая лишь числами

11С,п= уг™ Пир^(х)|, р = да. т, у1, V,, у3 , у4 > 0, функцией k є ^[0, т],

Под Ж^П), где П с Rs — ограниченная размерностьк п и обшстью П, такая, что

область, понимается банахово пространство ||г||2 ^ ^ В[||ф|2 П +||у||2 П +

функций £єL2(П), все первые обобщённые ,, ..(0,1) .. ,, (3)

+ fu + а (..,0) ].

производные которых суммируемы с квадра- 11 ^л^т 11 |12,1^т

том. Норма в Ж2 (П) определяется формулой Для доказательства данной теоремы нам по. /2 требуется ряд вспомогательных результатов, и

( V

2

ІЙ2п = 1 [|^х) + Нх) ]^х

Чп у

прежде всего

Лемма 1 [7, неравенство (6.24) главы I]. Пусть Ос - ограниченная строго липши-

Через L21 Ют) обозначено банахово про-

ґ 2,1 т / г ч.-.-от'

цева область с кусочно-гладкой границей S. 1о странство измеримых по Лебегу на QT функ- гда

Обозначим L21 (Sт) банахово пространство

ций £ с конечной нормой | г2ds < I [в | У г |2 +с(в) | г |2]dx

Т, \1/2 S О

||£||216т ||£(х, t)\2dx dt. V8> 0 Vг еЖ2(О),

где с(в) > 0 — некоторая постоянная, зависящая лишь от области О, размерности п и от измеримых по Лебегу на ST функций £ с ко- в > 0 .

нечной нормой Кроме того, нами будет использоваться

/ у/2 Лемма 2 [8, с. 78, неравенство (2.5)]. Пусть

||£||21Л ||£(5,t)| ds dt. Ос^ - ограниченная строго липшицева об-

0 ^S ' ласть с кусочно-гладкой границей S. Тогда су-

Наконец, Ж21°11(ST) - банахово пространство ществует константа с0 > 0, зависящая лишь

измеримых по Лебегу функций £ : ST — R, та- от области О и размерности п, такая, что

ких, что £, £ е 1,21(ST). Норма в Ж20,1(ST) за- N12,л < С01 г\\2,о Vг е Ж2(О).

даётся формулой Наконец, нам понадобится

||£|(0,1) _||£| ||£ || Лемма 3 [9]. У любой функции

2,1 ^ 2,1,^ ^ 2,1,^ f еЖ2(),1(ST) при каждом t е [0, T] имеется

Дадим следующее ’

след } (-, t) е L2(Л), непрерывно зависящий от

Определение 1. Функцию г назовём реше- t е [0, T] в норме L2(Л), причём найдётся кон-

нием задачи (1) из класса Ж21^:т), если г явля- станта с1 = с^) > 0, зависящая лишь от

ется элементом данного класса и удовлетворя- T > 0, такая, что

ет интегральному тождеству тах||f ( t)|| < с IIf||(0’1'1

|[-ггП + аг]гх}Пхг + аггПхг + Ьггх, П+ Д ^ ^

<2Т Доказательство теоремы 1. Доказательство

проведём в три этапа. При этом будем следовать схеме доказательства, предложенной в [8,

(2)

+ сг( п + а( х, ґ, г( х, ґ ))-ц\Зх& + | С£^5& +

+ |^ёх& +1у(х)г|(х,0)^х є Ж2 (вт); нений.

гл. 4, §3] для линейных гиперболических урав

'2У^ т

вт П 1) Докажем, что начально-краевая задача (1)

г(х,0) = ф(х), х є П. может иметь не более одного решения. В самом

Здесь Ж21 (вт) = {п є Ж1 (вт): г|(-, т) = 0} . деле> пусть zl, г2 є (вт) - решения задачи

Основным результатом настоящей статьи (1) и пусть w = г1 — г2. Тогда w єЖ2(вт) и

является удовлетворяет тождеству

(4)

I [-WtП + аг^х, Пхг + аг ^ ^х, П +

Qт

+ cwt п + [а (х, t, г2 + w) - а( х, t, г2 )]п]ЛхЛг +

+ | cwпdsdt +| у(х)п(x,0)dx Vn е Ж (QT);

ST О

w(х,0) = 0, х е О.

Введём функции па : QT — R, Рг- : QT — R , г = 1,п (ае [0,T] — параметр), соотношениями

а

Па(Xt) = -Х[0,а] (г)|w(X,£)d£,

Используя липшицевость функции а(х,t,г), (х, t, г) е QT х R , по переменной г , оценки для коэффициентов начально-краевой задачи и неравенство аЬ < -2(а2 + Ь2), заключаем, что

11[| па(х,а) |2 +У1|Упа(x,0)|2]dx <

О

а

< |dt|[^(п + 2 + Ъ4п)| Упа |2 +

0 О

+ ((4п + :2)Уз + 22))[\ па |2 + 1 па |2]]dx +

+ у.

2,^—я та I2+1 па I2]

.,4п 11 па (х,0) || Упа (х,0) | dx +

Рг(x, t) = -1 wxг (x, £)d£, г 1 n, (x, t) е &, + -^11 па (5,0) |2 ds + -^1 dt 11 па (5, t)|2 ds.

где хЕ — характеристическая функция измеримого по Лебегу множества Е .

а л 1 а

Можно показать, что па е Ж2 (Q1.), пОг ,

П^х, е ^(& ), < е L2(Qа ) ( Qа_ Ох (0, а)Х

причём

п0(X, t) _Х[0,а](г)w(X, г),

а

пО (X, t) _ -Х[0,а](г)I Wx. (X,£)d£,

г г

п°г (x, г) = пОг(x, г) = Х[0,а](г)wxг (X гX

г = 1,п, (х, г) е QT; п° (х, г) _ w^ (X, г), (X, г) е Qа.

Полагая в (4) п = па, получим

а

I Л I [-пОпО + а„п“Х + а, пО< + *,пО,п° +

0О

+ спО па + [а (х, г, г2 + пО) - а( х, г, пО )]па ]Лх +

а

+ |Лг!с(5,г)пОпаЛ5 = 0 Vае [0,T].

0 Л

Интегрируя это соотношение по частям, выводим, что

I2 а (х,0)пО„ (х,0)пО'

О

{1 [I па(х,а) |2 +а„(х,0)па„ (х,0)пО (х,0)]Лх +1 bi (х,0)па (х,0)пО (х,0)Лх +

1!?(5,0) | па(5,0) |2 Л5 +

+

О

+

+

IЛI [|а„па„ пО - аг-пОпО + ьггпОпа

.X; гг I 'Ь

+

0О

+ь пОп“ + с папО+с | пО I2 -

- [а(х, г, г2 +пО) - а(х, г,пО)]п°]Лх = 0.

Применяя неравенство Коши с 8 (см. [7, с. 33]) к интегралу 11 па (х,0) II Уп° (х,0) I Лх и лемму 1 к

О

а

интегралам 11 п° (5,0) I2 Л5 и IЛг11 п° (5, г) I2 Л5 ,

Л 0 Л

будем иметь

21 [I пО (х, а)\2 +У1^па (х,0)\2]Лх <

О

а

<! Лг I [ ^(п + 2 + з4п )| Упа I2 +

0 О

+ ((4п + :2)Уз + пО |2 + | пО |2]]dx +

+ V384п 11 уп°(х,0) I2 Лх + Уз^п 11 па(х,0) I2 Лх +

4 О 48 О

+ VI[8 I Упа(х,0) I2 +с(8) I па(х,0) \2]Лх +

2 О V а

+ -*■ I Лг I [8 I Упа I2 +с(8) I па \2]Лх =

2 0 О а

= IЛгI[> + 2 + з4п)\Упа I2 +

0О

+ ((л/п + -2)vз + ^[Щ I2 +1 пО I2] +

I па \2]Лх +

+ ^8^ \2 + ^(8)\-а ,2]

+ -

V

4п + 2v4

^ I Упа (х,0) I2 Лх

+

V3^fn + 2v48c(8)

48

-|пО (X £)Л£

+

Лх <

< I dt| [та1(е> I Упа I2 +k1(f) 8)[\па I2 +

0 О

+ \ пО \2]]Лх + та28!\ Упа(х,0) \2 Лх

О

а

Л 0 Л

4

О

2

I

Л

а

О

0

а

О

где та

(в) — vЗ (т + 2 + Зл/п) + V,

в, та0 =

— ^^, k1(ґ, в) — (24п + 1)vЗ + k (ґ) +

, / ч , v^^/n + 2v4вc(в)

+ v4c(в)+ —--------------------------------------------4-т . Таким образом,

2в

| [| < (х, а) |2 +(Vl — та2в) | Упа (х,0) |2]Лх <

<| Лґ | К(в)|УПа |2

+

0 П

+ ^(ґ,в)[| па |2 + | па |2]]Лх Уа є [0,т],в > 0.

Полагая в данном неравенстве в — ——

2та

та = та

V 2та2 У

ґ'

V 2та2 у

получаем,

что

|[|w(х,а)|2 + —ІУпа(х,0)| ]Лх <

2

* * 2 2 2 <1 л| [тау^а + ^(о[ + па ]]Лх.

0П

Уа є [0,т]

Из этого неравенства вытекает, что

2 V п .2

|[|w(х,а)| + —^|Рг.(х,а)| ]Лх <

П 2 і=1

а п

< IЛ| [та£ (Рг (х, а) — рг (х,0))2 +

0 П і =1

+

k2(ґ)[ I w(х, £)Л£

+ ^(х, ґ)| ]]Лх <

+

IЛґ|k2 (ґ)[(а — ґ)11 w(х, £) |2

+

0 П

ґ

+ ^(х,ґ)| ]Лх < 2ата|^|Рг-(х,а)| Лх +

П і=1

а п 2

+ 2та|Лґ|Х|Рг- (х, ґ)| Лх +

0 П і=1

а т

+ |Щ (тIk2 (ґ)Лґ + ^ (£))|w(х, £)|2Лх <

0П0

п2 < 2ата|^|Рг.(х,а) Лх

+

П і=1

+ | Л£| (т | ^(ґ)Лґ + 2та + ^(£))[| w( х, £)| +

0 П 0

+ !|Рг (х, фЛх.

і=1

Следовательно,

2 V п , 2

| [|w(х,а) + (— — 2ата)^|Рг- (х, а) ]Лх <

п 2 ,=1

<|ЛґIkЗ(ґ)[|w(х, ґ)| +Х|Рг' (х, £)| ]Лх, (5)

0 П і =1

т

где ^ (ґ) — тI k2 (£)Л£ + k2 (ґ) + 2та .

0

Пусть (ак: = £0 , k = 0, р , где 0 = ,

Р =

8та

Положим Jk — [^, %+1] п [0, т],

k = 0, р — 1.

Пусть в неравенстве (6) а є J0. Тогда V! о ^ V!

—- — 2ата > —-, вследствие чего 2 4

2 п 2

I[|w(х,а) +Х|Рг-(х,а)| ]Лх <

П і=1

а

п

IЛгIк4(г)[|w(х,г)| +Х|Рг-(х,г)| ]Лх,

0 О г =1

где k4(t) _ k3(t)/min{1,V-} . Применяя теперь

известную лемму Гронуолла (см., напр., [10]), получаем, что

w(х,г)_0,Рг.(х,г)_0, (х,г)еОхJ0. Рассуждая подобным образом, за конечное число шагов получим, что

w(х,г)_0,Рг-(х,г)_0, (х,г)еОхJк

п 2 а п 2

< 2ата!^|Рг.(х,а) Лх + 2та!ЛґI^^|Рг-(х,ґ)| Лх +

П і =1 0 П і =1

для всех k = 0, р — 1.

Таким образом, разность любых двух решений начально-краевой задачи (1) равна нулю почти всюду в вт , в силу чего задача (1) может иметь не более одного решения.

2) Докажем существование решения начально-краевой задачи (1). Пусть ^ єЖ1(П), k = = 1, 2, к, - ортонормированная в L2 (П) система функций, такая, что для всех ф є Ж (П), у є L2 (П) справедливы равенства

Нт||фЫ — ф||() = 0, Нт||уЫ — У = 0, (6)

N 112, П N ІІ2,П

в которых

фЫ (х) — Хфтёт (x), У (х) — Х^тёт (x),

т=1

т=1

п

П

П

а

2

т

сх

Фк _ I Ф(У)gk(У)dУ, У к _ I У(У)gk(У)dУ,

О О

к, N = 1, 2, ...

Будем искать приближённое решение гы зада, N м

чи (1) в виде г (х, г) _ 2К (г)gm (х), где на-

т=1

бор функций е Ж^2^,! ], т = 1, N, является решением задачи Коши

И, + !Кш (ґ)% +Pk„ (ґ )ИШ ] +

т=1

+ у N (ґ, И^ (ґ),..., и^ (ґ)) = 0,

ИN (0) = фk, ^ (0) = у, k = ,

в которой

а

— I fzNds |Ц +| ЛI ftzNds = 0. У ґ є [0, т].

|ґ=Т

|ґ=0

S 0 S

Таким образом,

і і2 і |2

■11 [zN (х, т) +v1 УzN (х, т) ]Лх <

< 21 [ УN (х) +V2 УфN (х) ]Лх +

П

т т 2

+ !ЛґЦf^||zN |ds + -21ЛґЦсгр| ds +

0 s

+

Іґ=т + ^=0 ^

(7)

т да

+ ! Лґ I [{ -/« + (аі — Ь)

0 п иі

(ґ) — I с( х, ґ) ё, (х) ёт (х )Лх,

П

Р,т (ґ) — I К(^ ґ)§тхі (х)ёх (х) +

П

+ а (X, ґ)ёт (х)ёкХ[ (х) + Ьі (X, ґ)ётх, (х)ё, (x)]dX,

N

У(ґ,И^ .. ., ИN ) — Iа(x, ґ, ЪИтёт (х))ё, (х)Лх +

П т=1

N

+ I [С(s, ґ) ЪИтёт (s) — f (5 ґ)]ё, (s)ds.

S т=1

Такой набор, очевидно, существует и определяется единственным образом.

Умножив ,-е уравнение (7) на Ик (ґ) при

, = 1, N, сложив все полученные уравнения и проинтегрировав результат по ґ є [0, т], выводим, что

I |2

11 [| р? (х, т)| + а (х, т^ (х, т^ (х, т)]Лх —

П

2

—11 [ ^ (х) + а1} (х,0)ф^ (х)ф% (х)]Лх +

т 1 да

, Г N N і \і=т {л, Гг1 а' N N ,

+ I аір РхЛ ґ=0 — I Лґ I Ь~дГрх/х1 +

П 0 П 2 дґ

2

+ (аі — Ьі) — с^^ — а( х, ґ,0) ]Лх +

+1 Лґ I [а( х, ґ, рЬІ) — а( х, ґ,0)]р^ Лх +

0 П

■ 12 т і 12

+ІIс|Л |ґ=т— }I^СґІ^І —

S 0 s

т

- с^ | - а(х, г,0)г^ + [а(х, г, г14) - а(х, г,0)]гг"чГ ]Лх.

Оценивая сверху правую часть последнего неравенства, с помощью неравенства Коши - Буня-ковского, неравенства Гёльдера с показателем р=2 и условий на исходные данные, заключаем, что

I |2 I |2

■11 [ г14 (х, т) +v1 VгN (х, т) ]Лх <

< } I [ УN (х) +V2 |фN (х) +

2П

|2

+ v9 Уф(х) ]Лх +1 ^ maX zN (•, ґ^ +

2 ^ К П 2.!^т ґє[0,тIІ2,S

р (х, т)||

П’

N /

+ vЗ^fn [ I |zN (х, т)| УzN (х, т)| Лх +

2

+ I фN(х) УфN(х)Лх] + ■2|v4 рЬІ(5,т) Ли +

П

2І 4|'

s

+ 21 V4|фN (5) Ли +| f (•, (•, т)|2 s +

s ’ ’

II II т I |2

+1 f (•,0)|2,JzN (.,0) +| dґ|ш(ґ)[zN +

0П

22 + УzN + ]Лх +

I |2 | |2

+ 1 |а(у,0)|| тах( [ [ гы (х, г) + VгN (х, г) +

11 ге[0,т] О 1 11 1

I N / \1/2

+ гг (х, г) ]Лх) ,

где ю(г) = (п + з4п + к (г)).

Применяя леммы 2 и 3 и неравенство Коши с е, выводим, что

11 [|г1Я (х, т)| +v1 |VгN (х, т)| ]Лх < 2 о

I |2 I |2 і |2

<р11 [ уN (х) +|фN (х) +|УфN (х) ]Лх +

П

+N1А І20;!і+1 Iа (”0)ІІ2,1вт] moax](I [1(х, ґ)Г+

П

П

0

s

s

П

П

П

і |2 і |2 + УzN (х, ґ) + ^ (х, ґ) ]лх)1/2 +

I и I 12 I |2

+1 ЛґI ш(ґ)[ры\ + УрЧ + ]Лх +

0 П

I [ (х, т) + Ур^^ (х, т) + \рґ (х, т) ]Лх <

П

і і! і |2 і |2 <р5[ I [ ф^ +УфN +уN ]Лх+

+ ЦУр^ (х, т)| Лх + УзЛ1" Ц(х, т)| Лх +

4п

2в

+ 1 ^4|(5, т)|

s

гдер1 = |тах{1, v2 +vЗ4n +v4c0} , р2 = 2^ +

+ [I А К +1И (.,.,0)|210 ]т ах (I [I (х, ґ)\ +

II 2,1,^^ "2,1,Йт ґє[0,т] П 1 1

22 + УzN(х,ґ) + №(х, ґ) ]Лх)1/2] +

І |2 і |^| 12

+ |Лґ|ю2(ґ)[р \ +уzN| + р^І ]Лх,

0П

+ с0.

(

Оценим слагаемое | (х, т) Лх :

где р5 = 2тах\ рЗ

V

Л

2

| (х, т) Лх = |

'(х,0) + | (х, £)Л£

Лх < ю2(ґ) = 2ю1

2(v4 + vЗ4n) V,

^ *4 , *з^.. ,у

+ 2т.

1

’2^4 + vз^^n)

I |2

< 21 [ фN (х) + 12^ (х, ^)Л^ ]Лх <

у4 1 УЗ ч" / У Введя обозначение

п V 0

I |2 т | |2

< 2 ||фN (х) Лх + 2т| Лґ| ^ (х, ґ) Лх.

П 0 П

Далее, согласно лемме 1,

22 | (х, т) Ли <| [в УzN (х, т) +

УМ (ґ) = | [ (х, ґ) +

22 + УzN (х, ґ) + (х, ґ) ]Лх,

можем записать

s

П

у~ (т) <Р5[ У~ (0)+[|| А12°;^ +

+ 1|а(.,.,0)|21р ]таху[Уйґ)] +

+ с(в)(х, т)| ]Лх.

Итак,

1 I |2

-1[| тґ (х,т) + (V1 — в(v4 +

2 П

+ vз^/й"))|УzN (х, т)| ]Лх <

і |2 і |2 і |2

<Рз(в)|[фN(х) +|УфN(х) + ^(х) ]Лх +

П

+ Р4[11А Иїїт +1 Iа (•’•’0)І2Д,Йт ] таХ(П [ ^ ( х’ ґ)Г +

+ УzN (х, ґ)| + ^ (х, ґ)| ]ох)1/2 +

т І |2 і |2 і |2

+ | Лґ |ю1(ґ, в)[| +|УzN| + ]Лх,

0П

где рз(в) = р1 + ^^п + V4c(в), р4 = тах{1, р2}, ю1(ґ,в) = ю(ґ) + 2т(+ v4c(в)).

(8)

ґє[0,т]

+ |ю2(ґ)у1Я(ґ)Лґ Ут є [0,т].

Покажем, что из (8) следует

т

/— |®2 (ґ )Лґ І—----------

тахд/у (ґ) <Р5Є0 [V у (0)

ґє[0,т ]

+

(9)

+1А +1 la(•,•,0)І2,;, дг ].

Полагая в =

V

2^4 +vз4n)

и добавляя к обе-

м 1 уз

им частям полученного неравенства слагаемое

I N |2

I р (х, т) Лх , будем иметь

П

Пусть YN (т) = та^д/уы (ґ), тє [0,т]. Не-

ґє[0,т]

трудно видеть, что функция YN неотрицательна и монотонно не убывает на отрезке [0, т]. Используя данный факт, несложно показать, что множество нулей функции YN либо пусто, либо является отрезком вида [0, т*], где т* є [0, т]. Ясно, что если т* є т , то (9) заведомо имеет место.

Предположим, что - пусто. Поделив обе части неравенства (8) на YN (т) и воспользо-

П

П

П

П

2

П

П

0

2

П

0

вавшись монотонностью функции Y , заключаем, что N ( \

<р5[ У" (0) +1А С +1 ам!,,* ]+

т vN (г)

+1®2(г)^()ЛгУте[0,T].

0 * (г)

Применяя снова лемму Гронуолла, выводим,

что

VN (т)

\ < p5e0

Yn (т) 5

11(0,1)

T

| ®2 (t )dt

[V yN (0)

+

II f 2,Ц. +1 ]утє [0) T ]•

В частности, это означает, что

Г (т) YN (т)

<p5e"

+

yN (т)

Y N (t)

<p5e"

|®2( Id

[V7w

+

<p5e

[JH І11’]2+ІИ I2 +

11 I^U 11 II^U

II nI|(1) rll nI|(1) II Nil

Ь L <p«[llф ILu+lk II,я

+1 f\ C,+1 K-Aiq ],

+

\\2XST

T

I ®2 (

при доказательстве существования решения первой начально-краевой задачи для линейного гиперболического уравнения дивергентного вида, получим, что начально-краевая задача (1)

имеет решение в классе Ж1 (QT).

3) Докажем априорную оценку (3). В силу соотношений (6),

lim ф

N ^даІІ

N||(1) II ||(1)

■ . = ф 2 U

lim yN

= У

ІІ2.П 11 ’ ІІ2.П’

на основании чего по любому в > 0 найдётся номер N (в) > 1, такой, что при всех N > И0 (в) справедливо неравенство

IkNl|() +||vN| <||ф|2JU+IM-

II ІЬ,’ II ІІ2,и 1 |T|I2U "т"

+ є.

I^u II * к,’

Выбрав произвольно є > 0 и ограничившись в (10) номерами N > —0(є), будем иметь

(і)

41А1 +1 |a(•)■)0>І2,1,QT ]

при п.в. т е [0, г ] У г е (0, T ].

В силу монотонного неубывания функции YN на отрезке [0, T] это даёт нам соотношение

<p6[|| ф| 2 0+N

l^u

+

||(1)

II2,Qt

20iJST +1 И^Ікі^ +є].

Переходя в данном неравенстве к пределу при N ^ да , с учётом слабой компактности сильно замкнутого шара в гильбертовом пространстве, выводим, что

41А+1 |a(•)•)0>І2,1,QT ]

при п.в. те [0, г ]У г е (0, T ]. Отсюда и следует (9).

Отметим, что рассуждения в случае непусто-

ryN

ты множества / совершенно аналогичны, ввиду чего опускаются.

Возводя обе части (9) в квадрат, получим

I |2 I |2 I |2

I [ г1Я (х, г) + г^ (х, г) + VгN (х, г) ]Лх <

II l|(i) ^ rll l|(i) , II I

N12qt <p6[Iф|2,u + ІІУІ 11(0,1)

2,U

+

41А11 2^т +1 |a(•)•)0>І2,1,QT ].

Интегрируя данное соотношение по г е [0, T], извлекая затем квадратный корень из обеих частей и оценивая сверху правую часть, выводим, что

(10)

где р6 = р5е" -Л .

Используя равенства (6) и рассуждая по аналогии с тем, как это делалось в [7, с. 214-215]

+1 л i2.u + ami»*+£]-

Устремляя в к нулю, получаем требуемую априорную оценку. Теорема полностью доказана.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта 07-01-00495).

Список литературы

1. White L.W. Control of hyperbolic problem with pointwise stress constraints // JOTA. 1983. V. 41. No. 2. P. 359-369.

2. White L.W. Distributed control of a hyperbolic system with control and stress constraints // J. Math. Anal. and Appl. 1985. V. 106. No. 1. P. 41-53.

3. Li X., Yong J. Optimal control theory for infinite dimensional systems. Birkhauser Verlag, Basel, 1995.

4. Mordukhovich B.S., Raymond J.-P. Dirichlet boundary control of hyperbolic equations in the presence of state constraints // Appl. Math. Optim. 2004. V. 49. P. 145-157.

5. Mordukhovich B.S., Raymond J.-P. Neumann boundary control of hyperbolic equations with pointwise state constraints // SIAM J. Control Optim. V. 43. No. 4. 2005. P. 135-137.

6. Гаврилов В.С., Сумин М.И. Принцип максимума Понтрягина в параметрической задаче субоп-тимального управления для дивергентного гиперболического уравнения с фазовым ограничением //

N

z

T

L2

0

В кн. «Международная конференция “Дифференциальные уравнения и топология”, посвященная 100-летию Л.С. Понтрягина. Тезисы докладов. Москва, 17-22 июня 2008 г.». М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2008. С. 329-330.

7. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

8. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Ураль-цева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

9. Гаврилов В.С. Об одной теореме вложения // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2008. № 2. С. 128-130.

10. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

UNIQUE EXISTENCE OF THE SOLUTION OF A NONHOMOGENEOUS THIRD INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A SEMILINEAR HYPERBOLIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION

IN DIVERGENCE FORM

V.S. Gavrilov

A unique existence theorem of a nonhomogeneous third initial-boundary value problem for a semilinear hyperbolic partial differential equation in divergence form is proven.