Существование и единственность решения линейного гиперболического уравнения дивергентного вида с мерой Радона в правой части и неоднородным третьим краевым условием Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2009, № 5, с. 158-162

УДК 517.95:517.97

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ДИВЕРГЕНТНОГО ВИДА С МЕРОЙ РАДОНА В ПРАВОЙ ЧАСТИ И НЕОДНОРОДНЫМ ТРЕТЬИМ КРАЕВЫМ УСЛОВИЕМ

© 2009 г. В.С. Гаврилов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского vladimir. s. [email protected]

Поступила в редакцию 20.04.2009

Доказывается теорема существования и единственности решения неоднородной третьей начальнокраевой задачи для полулинейного гиперболического уравнения дивергентного вида из пространства Соболева.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения в частных производных, начально-краевые задачи, меры Радона.

В работе доказывается теорема существования и единственности решения неоднородной третьей начально-краевой задачи для линейного гиперболического уравнения дивергентного вида с мерой Радона в правой части. Необходимость в таких результатах возникает при изучении задач оптимального управления с фазовыми ограничениями, динамика которых описывается гиперболическими уравнениями с начальнокраевыми условиями (см. [1-6]).

Рассмотрим следующую начально-краевую задачу:

д

% - д^т а (Х’ґ)Л х3 + Ъг (^ ґ)п) +

+ а. (х, ґ )п х. + а( х, ґ )п =

= f (х, ґ) + g(х, ґ)у.(Ж), (х, ґ) є Qт; (1)

П(х,Т) = ф(х), п (х,Т) = у(х), х еП;

^ + Ф, ґ )п = w(s, ґ), (s, ґ) є Sт. ды

Здесь и ниже ПсЯп — ограниченная строго липшицева область с кусочно-гладкой границей S,

8т -Sх(0,Т), ат-Пх(0,Т), - а{х,Х)2 +

дЫ

+аі(х,ґ)z)cosа., а.(х,ґ) — угол между внешней нормалью к Sт и осью Ох..

Считаем, что выполнены следующие условия на исходные данные задачи (1):

а) функции ау , аі]( , а., Ъ., аіґ, і, у = 1, п, определены и измеримы по Лебегу на ат ;

б) функции ^ и определены и измеримы в смысле Лебега на Sт ;

в) справедливы условия и оценки

а,] = ар, ф е ^(О), це М[0, Т], g е С([0,Т],^(О)), уе ^(°Х / еЖ2д1(1$У );

VI | ^ |2 < а1} (х, X )Ъ £ , ^ 2^|2

V (х, X) е Qт, VI, V2 > 0;

I а у (х, X )| +1Ь, (х, X )| +1 а, (х, X )| +

+ |а(х, X)| + \аи (х, X)| < V3 V (х, X) е QT;

I Ф, X) | +|^ (5 X)| < V4 V(5, X) е Sт.

Здесь и ниже используются следующие обозначения.

Через М[0, Т] обозначено множество всех мер Радона на отрезке [0, Т].

Через Lp(П), где ПсRs, обозначено банахово пространство суммируемых с р-й степенью (существенно ограниченных при р = да) функций £, : П —— R , с нормой

/ л1/Р

в

p,n

J|^( x)|p dx

Vn

да,П

= vrai supl ^( x)|,

1 < p < да;

p = (

яєП

Под (П), где П с - ограниченная

область, понимается банахово пространство функций ^ е L2 (П), все первые обобщённые

производные которых суммируемы с квадратом. Норма в Ж (П) определяется формулой + 1

|Ы! (1)

2,П

2 1

22

+

[0,т ]

ц(*ґ)

| g (х, ґ) г( х, ґ )ёх о _

V г еЯ1(£т), г(х,0) - 0;

П(х,т) = ф(х), х є П.

Через ^21 а) обозначено банахово про- Основным результатом настоящей статьи

I [| Н( х)| +|У^( х)\1№ Чп

странство измеримых по Лебегу на От функций Н, с конечной нормой

является

Теорема 1. Задача (1) имеет единственное

тС 9 Л1/2 решение из класса W^(Qт), причём найдётся

Н2,1,0т "I №(х,

*ґ.

константа В > 0, определяемая лишь числами т, V!, V2, Vз, V4 > 0, размерностью п и обла-

Обозначим ^л^т) банахово пр°странств° Стью П, такая, что

Ф ЇП+іМі 2,0 +

(3)

измеримых по Лебегу на Sт функций Н, с ко- ,, ил) ,, ,,(1) ,, ,,

“ “ П 20 - В[\\ф 9 0 + М 90 +

нечной нормой 11 И2°т 11 "2>0 11 "2>0

тс - ^1/2 +||Н120^ + тахк(■,ґ)І90ІІИІЧИІ910 ].

ІІ2,1,ґє[0,т ]" 'П2,0^" II •’ПХОт1

Н2,1,5т -1 ИН(s, ґ)І ^ 0 V 5

*ґ .

Доказательство теоремы 1 проведём в не-

Через С([0,Т],L2(0)) обозначено банахово сколько этапов.

1) Докажем единственность решения задачи

пространство измеримых по Лебегу на Qт 1

, „ е , гп п (1). В самом деле, пусть гь, Г2 еW2(QT) —

функций с,, при всех X е[0,Т ] имеющих следы 4 ' ’ ■’ 115 12 2У'

г, \ т решения задачи (1). Тогда их разность Аг =

С(-, X) е L2(0), непрерывно зависящие от

г„ т тт = г — П2 является решением начально-краевой

X е[0,Т ] в норме L2(0). Норма в этом про-

странстве определяется равенством

задачи

д

НС([0,т],П) - ґЧІ2.0 . АП« -дГ(аУАЦх, + ЪАП) +

Xе[0,T ]

Наконец, Ж2 1№т )- банахово пространство + а‘АГх, + аАг = 0,

измеримых по Лебегу функций С : Sт — R, та- Аг(х,Т) = Аг(х, Т) = 0 х е 0

ких, что С, С е L2l(Sт). Норма в Ж^^З'т) ^дП + Ф, X)Аг = 0,(5, X) е Sт,

задаётся формулой имеющей, согласно теореме 1 работы [7], лишь

||е|| (0,1) = |Ы| + 11? II тривиальное решение. Следовательно, г = Г2

1р1Ь,1,5т 1М12,1,£т 1РП12Д,Ят '

и задача (1) может иметь не более одного реше-

Дадим следующее 1

ния в классе Ж2 (Цт).

Определение 1. Функцию г назовём реше- 2) Докажем существование решения ге

нием задачи (1) из класса Ж^^т), если г яв- е Ж2(0) задачи (1). Рассуждая подобно тому,

ляется элементом данного класса и удовле- как это делалось при доказательстве те°ремы

творяет интегральному тождеству IV.2.6 в работе [8], можно показать, что сущест-

вует последовательность функций е С[0,т],

I [-гґПґ + аі]2х,Пх. + аі2ПХг + Ъ^Хгп +

ч ху щ 0т

к = 1,2, к, такая, что

+ а( х, ґ) ^п]<хґ + | м( х) г (х,т )dx + (2) т т

П ^ I ^(ґ )Ц к (Л) = I ^(ґ М*) (4)

+ I cz'цdsdґ = I fzdxdґ + I wzdsdґ + 00

8т 0т 8т С[0,т],

где цк (Е) (ґ)*ґ , Е с [0,т] — борелев-

Е

ское множество, к = 1,2, к, причём все функции юк є С[0,т], к = 1,2,..., неотрицательны на [0, 7], если такова мера ц .

Рассмотрим начально-краевую задачу

Пґґ - д- (ацПху + Ъі п) + аі Пх. + аП =

дх. у . (5)

= f (х, ґ) + g(х,ґ)цк (*ґ), (х, ґ) є От,

П(х,т) = ф(х), пґ (х,т) = м(х), х є П,

■^П + Ф, ґ)п = w(s, ґ), (s,ґ) є 5т дЫ

и обозначим её решение через П .

Эта задача является задачей того же типа, что и задача (1). Согласно определению 1, решение пк начально-краевой задачи (5), если оно существует, удовлетворяет интегральному тождеству

0т

г к к к і к

[-гґП + аугх} Пх. + аігПхі + Ъ.гх. П +

+

а( х, ґ) гцк ]*х*ґ + !м( х) г (х,т )*х

+

о

+ I срц dsdґ = I fzdxdґ + I wzdsdґ +

5т От 5т

+ I

[0,т ]

I g (х, ґ) г (х, ґ )*х

ц к (*ґ )

V г еЩ1©), 2{х,0) - 0;

Г (х,т) = ф(х), х еО.

Пользуясь определением мер цк , к = 1,2, к, перепишем последнее тождество в виде

| [—^Гк + аг]2х] гкхг + а1гГкх1 + Ь,гх, гк +

От

+

а( х, ґ) гцк ]*х*ґ + I м( х) г (х,т )*х

+

о

+ I срц dsdґ = I fzdxdґ + I wzdsdґ +

5т От 5т

+ [ g (х, ґ )юк (ґ) г( х, ґ )*х*ґ

От

Гхх — ~х а Гх} + Ьг г) + аг г х, + аГ =

= /(х,X) + g(х,X)<вк (X), (х,X) е Qт, (7)

г(х,т) = ф(х), гх (х,т) = у(х), х е О,

^ + Ф, X)г = w(s, X), (5, X) е Sт . дд

Итак, если функция Г есть решение начально-краевой задачи (5), то она является решением начально-краевой задачи (7). Обратно,

если функция Г является решением начальнокраевой задачи (7), то она удовлетворяет интегральному тождеству (6) и, в силу определения

мер цк , к = 1,2,..., и определения 1, является решением начально-краевой задачи (5). Как следствие, задачи (5) и (7) эквивалентны.

На основании теоремы 1 из [7], задача (7)

имеет единственное решение Г ^(©т), причём найдётся постоянная с > 0 , определяемая лишь числами т , V!, V2, Vз , V4 > 0, размерностью п и областью О, такая, что справедлива оценка

(1) -^гіиі(1)

2,°т

- с[||ф|

2,0

II II II 11(0,1)

+ 11412,0+1 Н12,1^ +

+

I f (х, ґ) + g (х, ґ)юк (ґ)

*х

1/2

(8)

*ґ ].

Из доказанной выше эквивалентности задач (5) и (7) заключаем, что задача (5) имеет единственное решение Г е Щ (©т), причём для него выполняется неравенство (8). Оценивая затем сверху правую часть неравенства (8), получаем

(1)

2,°т

^-г|| II(1) II I

- с[11ф 2,0 +ІІМІ

2,0

+

(0,1)

+ И 215 + тах ^(■,ґ)

,1,5т ґє[0,т] ,П

ц

(9)

Ввиду (4) существует константа М > 0, такая,

что

(6)

ц

- М , к = 1,2,___Последнее соотноше-

ние в совокупности с (9) даёт неравенство

(1)

2,°т

77ГІиК1)

- ЇМ, к = 1,2, к, где М - с[| |ф

2,0

+

V г еЩ1(©т), г(х,0) - 0;

Г (х,т) = ф(х), х е О.

Соотношение (6), согласно [7], означает, что Г есть решение начально-краевой задачи

+ІМІ 2,о+1 И 2Хт + тахЛ g(ч ґ)2,оМ+\\А 2Хот ]

т ґє[0,т]

112,1,0т -

Следовательно, найдутся подпоследовательность последовательности Гк , к = 1,2,..., которую мы обозначим так же, как и исходную по-

I

т

I

0

о

о

следовательность, и функция п є W21 (От), та-

кие, что

Пк — п пеааї а W21 (От),

тах

ґє[0,т ]

П (■, ґ) -пО, ґ)

— 0, к —— да.

2,0

г к к к і к

[-г Пґ + ау гх3 п х + аі гПх. + Ъі гх, п +

Согласно определению решения задачи (5),

I

От

+ а( х, X) гГ ]dхdX + |у( х) г (х,т )dх +

О

+ | czгkdsdX = | fzdхdX + | wzdsdх +

Зт От Зт

+ I

[0,т ]

I g (х, ґ) г( х, ґ )*х

ц к (*ґ )

неотрицательны, и

ц

вательно, для любого фиксированного р = = 1,2,. найдётся номер к0 (р), такой, что

її и 1 И-— р

ц

-ІНк-^Г Vк > к0(р).

Н21т- с[ІІфІЇП+ІН

II 11(0,1)

2,0 + НІ 2Д,Ят + 1

+ тах ^(-,х) [ ц +-у] + f 21О ].

хе[0,т Г "2’^2 11 11 р2 11 "2>1> ©т

Устремляя р к бесконечности, получаем

11(1)

11(0,1)

(10)

11Г112,От < с[11 ф12.О+1М2,0 + И2,1^ +

+ хЖХ]1 g(Чх)12,О1Ц11+1 ^ 12,1,От ].

Иными словами, в случае неотрицательной меры ц оценка (3) с В = с > 0 доказана.

Предположим, что мера ц имеет произвольный знак. Тогда найдутся неотрицательные меры ц+, ц—е М[0,т], такие, что ц = ц+ — ц_,

II +

ц|| = ц + ц

. Пусть п начально-краевых задач

п

решения

пґґ - — (ау(x, ґК, + І7і(хґ)п) +

V г еЩЧОт), г(х,0) - 0;

Гк (х, т) = ф(х), х е О.

Переходя в последних соотношениях к пределу при к — да с учётом (4) и (10), получаем, что Г удовлетворяет тождеству (2) и, как следствие, является решением задачи (1). Таким образом, задача (1) имеет решение Г е Щ (От).

3) Докажем априорную оценку (3). Вначале мы её докажем для случая неотрицательной меры ц. Тогда все меры цк , к = 1,2,..., также

— ||ц||, к — да . Следо-

_д_ дх,'

+ а, (х, X)гх, + а(х, X)г =

= f (х, X) + g (х, X )ц+ (Л), (х, X) е От;

Г(х,т) = ф(х), Гх (х,т) = у(х), х е О;

^ + Ф, X)г = и(5, X), (5, X) е Sт

дд

и

д

Гхх — д^т а(хх)Гх1 + ь,(X; х)Г) +

+ а, (х, X )Гх, + а( х, X )г =

= — g(х, X)ц— (Л), (х, X) е От;

Г(х, т) = Гх (х, т) = 0, х е О;

-дГ + с(5, X)г = 0, (5,X) е Sт

дД1 т

соответственно. По доказанному данные задачи однозначно разрешимы в Щ (От), причём

(1) .-г|| ||(1) II II и ||(0,1)

п

'^12,1,5т

Вследствие этого соотношения и (9) имеем

к (1) ^ _г|| ||(1) II II II ||(0,1)

Г 2,От - с[1ф2,О+1М12,О + И2,1,Зт +

+ тах I ^ (•; х 4 О [||ц|| +^у] +1f 1121 ]

хе[0,т Г "2,^2 11 11 р2 11 ,1, От

для всех к > к0 (р). После перехода в данном неравенстве к пределу при к — да, с учётом слабой компактности сильно замкнутого шара в гильбертовом пространстве, выводим, что

+ тах| ^ (■, ґ)|

ґє[0,т ] (1)

2,0

ц

+ 1А12,1,От ],

п

- с тах|^ (■, ґ)|

2,От ґє[0,т ]

2,0

в силу чего для функции Г = Г+ — Г , очевидно, являющейся единственным решением задачи (1) в Щ1 (От), имеет место неравенство

&

-

п

(1)

2,От

+

п

+1 НІ її! + тхІІ g(-,ґ )І2,ПИІ+

2,0 IIТ 112,0 1,От ].

+

^ хе[0,т]" 11- И2,1,°т ■

Стало быть, оценка (3) с В = с >0, а вместе с ней и теорема 1 полностью доказаны.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта 07-01-00495), а также аналитической целевой ведомствен-

о

ц

ной программы «Развитие потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» Минобрнауки РФ (регистрационный номер 2.1.1/3927).

Список литературы

1. White L.W. Control of hyperbolic problem with pointwise stress constraints // JOTA. 1983. V. 41. No. 2. P. 359-369.

2. White L.W. Distributed control of a hyperbolic system with control and stress constraints // J. Math. Anal. and Appl. 1985. V. 106. No. 1. P. 41-53.

3. Li X., Yong J. Optimal control theory for infinite dimensional systems. Birkhauser Verlag, Basel, 1995.

4. Mordukhovich B.S., Raymond J.-P. Dirichlet boundary control of hyperbolic equations in the presence of state constraints // Appl. Math. Optim. 2004. V. 49. P. 145-157.

5. Mordukhovich B.S., Raymond J.-P. Neumann boundary control of hyperbolic equations with pointwise state constraints // SIAM J. Control Optim. 2005. V. 43. No. 4. P. 135-137.

6. Гаврилов В.С., Сумин М.И. Принцип максимума Понтрягина в параметрической задаче субоп-тимального управления для дивергентного гиперболического уравнения с фазовым ограничением // В кн. «Международная конференция «Дифференциальные уравнения и топология», посвященная 100-летию Л.С. Понтрягина. Тезисы докладов. Москва, 17-22 июня 2008 г.». М.: Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2008. С. 329-330.

7. Гаврилов В.С. Существование и единственность решения неоднородной третьей краевой задачи для полулинейного гиперболического уравнения дивергентного вида // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2009. № 1. С. 104-111.

8. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.

9. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

10. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Ураль-цева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения

EXISTENCE OF A UNIQUE SOLUTION OF A LINEAR HYPERBOLIC DIVERGENT TYPE EQUATION WITH RADON MEASURE IN THE RIGHT-HAND SIDE AND AN INHOMOGENEOUS THIRD BOUNDARY CONDITION

V.S. Gavrilov

A unique existence theorem is proved for an inhomogeneous third boundary value problem for a semilinear hyperbolic divergent type equation from the Sobolev space.

Keywords: partial differential equations, initial boundary-value problems, Radon measures.

параболического типа. М.: Наука, 1967.