О непрерывной зависимости решения краевой задачи для гиперболического уравнения с разными условиями на разных частях границы От положения гиперплоскости начальных условий Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.95:517.97

О НЕПРЕРЫВНОЙ ЗАВИСИМОСТИ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С РАЗНЫМИ УСЛОВИЯМИ НА РАЗНЫХ ЧАСТЯХ ГРАНИЦЫ ОТ ПОЛОЖЕНИЯ ГИПЕРПЛОСКОСТИ

НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ

© 2013 г. B.C. Гаврилов

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

vladimir. s. gavrilov@gmail. com

Поттупела в редакцею 27.03.2013

Доказывается непрерывная зависимость решения начально-краевой задачи для линейного гиперболического уравнения дивергентного вида от положения гиперплоскости, на которой заданы начальные условия. Кроме того, доказывается результат об интегральном представлении решения гиперболического уравнения дивергентного вида с мерой Радона в правой части уравнения.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения меры Радона, непрерывная зависимость решения.

Введение

Гиперболическим уравнениям дивергентного вида посвящено достаточно большое число работ (см., например, работы [1-7] и библиографию к ним). Довольно большое количество работ посвящено и задачам оптимального управления системами, динамика которых описывается такими уравнениями (см., например, работы [8-17] и библиографию к ним).

Отметим, что наиболее широкий спектр результатов при изучении указанных систем с наложенными на них поточечными фазовыми ограничениями типа неравенства можно, пожалуй, получить, если рассматривать, как это делалось, например, в работах [13-16], поточечное фазовое ограничение (ПФО) как бесчисленное множество функциональных ограничений типа неравенства.

Используемый в работах [13-16] метод вывода необходимых условий подразумевает аппроксимацию исходной задачи с ПФО задачами, каждая из которых «эквивалентна» задаче с конечным числом функциональных ограничений-неравенств. Далее в каждой аппроксимирующей задаче выводится «аппроксимирующий принцип максимума», после чего в семействе этих принципов максимума совершается предельный переход при стремлении числа ограничений к бесконечности. Подобный же подход применяется в [13-16] и при получении резуль-

в частных производных, начально-краевые задачи,

татов, связанных с регулярностью, нормальностью и с чувствительностью.

Однако при таком подходе возникает проблема «склейки» сопряжённых уравнений аппроксимирующих принципов максимума в одно результирующее сопряжённое уравнение, отвечающее исходному фазовому ограничению и содержащее меру Радона в своей правой части. Кроме того, при выводе «аппроксимирующих» принципов максимума возникает необходимость «подравнивания» их сопряжённых уравнений с распространением решений этих уравнений на весь цилиндр, в котором рассматривается исходное уравнение. В результате такого «подравнивания» левая часть сопряжённого уравнения не изменяется, а начальное условие для производной по времени «перекачивается» в правую часть сопряжённого уравнения, так что в правой части получающегося уравнения оказывается 5-мера Радона.

В связи с этим представляется важным изучение свойств решений гиперболических уравнений дивергентного вида с 5-мерой Радона в правой части и изучение возможности представления решения линейного уравнения с произвольной мерой Радона в правой части в виде интеграла от решения уравнения с 5-мерой Радона в правой части. Именно этим вопросам посвящена статья.

Статья состоит из двух разделов. В первом формулируются изучаемые начально-краевые

задачи, а во втором формулируются и доказываются основные результаты статьи - теоремы о связи решений сформулированных в первом разделе начально-краевых задач.

1. Постановка начально-краевых задач

Пусть ОсRn - ограниченная область с кусочно-гладкой границей 5 = 50 и 5”1, ST = S х х(0,Т), Qт =Ох (0,Т), 5Т = 5і х (0,Т), і = 0,1,

50 и 51 не пересекаются, площади частей 50 и

51 положительны. Кроме того, для любых чисел т1, т2 є [0, Т], т1 < т2, введём обозначения

^1, х2] = Ох ^ 5хь х2] = 5 х ^ Х2].

Определим функцию 9[у, f ](х, t, т), хє є [0, Т], (х, t) є Qт , при (х, t) є Q[0 т] как решение начально-краевой задачи

д

9« — ^"7(аіРх. + Ьі9) + а9 + аі9хі +

дхі ' 1 і (1.1)

+ с9, = f (х, t, т), (х, t) є ^0,^;

9|,=т= 0, 9,Іт), х єО;

9(5 t, т) = 0, (51) є 5[00,т]; д9

— + Ф, 1 )9 = 0, (5,1) є Я^т],

а при (х, 1) є Q[тT ] - как решение начальнокраевой задачи

д

9„ — —— (а.. 9 х, + Ьі 9) + а9 + аі 9 +

дх 1 х (1.2)

+с9, =:[(x, ит), (x, 1) є Q[т,т];

9=т=0, 9Іт), х єО;

9(5,1, т) = 0, (5,1) є 50т,Т];

д9

— + Ф, 1 )9 = 0, (5,1) є 5[',Т ].

д9 і

Здесь и всюду ниже ----------------------= (а. (х, 1) 9х +

Наконец, через С[у](х, t, х), хе [0, Т],

(х, t) е QT , обозначим решение начальнокраевой задачи

д

с,,(а.сх. + ьС)+аС + а,сх + п .Л дх, 7 ' (1.4)

+ сС, = у( х, t )8х (<*), (х, t) е Qт;

Си=0, с, I=т=0, х еР;

^, t , X) = 0, ^, t ) е ST■^;

—+ ф, t)С = 0, (s, t) е SІ.

дм

При этом считаем, что выполнены следующие условия:

а) функции а 7, а, Ъ ,, с , а ф, а,.,, Ъ и, с,

(,, 7 = 1, и) определены и измеримы по Лебегу на Qт ;

б) функции с и с, определены и измеримы в

смысле Лебега на S1T ;

в) справедливы условия и оценки

а7 = а7,, у е С([0,T], (РЖ

цеМ[0,T], / е С([0,T],Ь2Л®Т)); у,|^2<а..(х,,)^Д7 <у2|^|2 V(х,,)е Qт, Е,еЯи (V!, V2 >0);

а,.,.

‘.І »,Шт

+ а,.

э,б*Т

+ а,,

+ а„

+ Ь,,

I ^ + С ^ +

1«^Т II И«,б|Т

+ +

ю&Т 11 11 |даОТ

д0 _ дМ “ ^'у''

+ Ъ1 (х,,)0)cos а,, а, (х,,) - угол между внешней нормалью к и осью Ох,.

Введём функцию ю [у, ц](х,,), (х,,) е Qт , как решение начально-краевой задачи

ю„—— (а■ ю + Ъ ю) + аю + а ю +

,г дх 7 х7 х, (1 3)

+ сю, = у(х,,)ц(^,), (х,,) е Qт; ю(х,т) = 0, ю,(х,т) = 0, х еР; ю^,,) = 0, (s,,) е ST!;

—— + с^,,)ю = 0, (s,,) е S^.

дм т

II ••'•|I»,QT П “II»,От

+ Н»,Х1 +|с^| »,Х1 <V3.

Здесь и ниже используются следующие обозначения.

Под 8х понимается 5-мера Радона, сосредоточенная в точке х е R , а под Г - множество

[0, т ] х [0, т ].

Через Ьр(П), где ПсRm , обозначено банахово пространство суммируемых с р-й степенью (существенно ограниченных при р=») функций Е,: П —^ Я с нормой

у/р

р ,п

/|?( х)|'

dx

1 < р <<»;

Н»п=vraisup| ^( х)^ р=*.

хєП

Под Н‘(П), где П с Rm - ограниченная область, понимается банахово пространство функций ^ є L2 (П), все первые обобщённые производные которых суммируемы с квадратом. Норма в Н1 (П) определяется формулой

|Ы|0) =

II ІІ2,П _

| [| ^(х)2 +|У^( x)|2]dx

\П

Через Ь21(От) обозначено банахово пространство измеримых по Лебегу на От функций Е с конечной нормой

И2,1 ,Qt "і№x.')f

dx

dt.

Под Н^Р | S0) понимается замыкание в норме Н'(Р) пространства бесконечно дифференцируемых в Р финитных вблизи £0 функций. Норма в пространстве Н'(Р | £0) определяется так:

/- N1/2

1Е1121,Р_^|[| Е(х)|2 + ^Е( х)|2]^х

Через Г2‘0(От | £°) обозначено замыкание в норме Н 1(От) множества бесконечно дифференцируемых в От финитных в окрестности функций. Норма в ^'210(От) задаётся равенством

( У/2

ІІЕІ

1(1)

>2,Qt

p,[0,T ], X

J|4(t )|l

,dt

, 1 < p < да;

Еда[0Т]X _ vraisup E(t% p =да.

’L ’ J’ »є[0,т]

Через С ([0, T], X), где X - банахово пространство с нормой ||-|| , обозначено банахово пространство функций Е: [0, T] ^ X, сильно непрерывных на [0, T], т.е. таких, что при любом x є [0, T ] имеет место равенство lim||E(t) -E(x)||X = 0.

t^X 11 llX

Норма в С ([0, T ], X) задаётся формулой ІЕІ(0) _ maxi|E(t)|| .

|Ъ|[°,т],x »є[0,Т'llx

Через Ск ([0,Т],X), где X - банахово пространство с нормой || , а к - натуральное

число, обозначено банахово пространство функций Е: [0, Т] ^ X, к раз сильно непрерывно дифференцируемых на [0, Т]. Норма в пространстве Ск ([0, Т], X) задаётся равенством

|Е

(к)

_в

( m)

1(0)

[0,Т ],X |[0,т ], X

m=0

| [| Е|2 +|уе| 2 + |Е,| 'ухл

V От у

Через Но'(Р | £0) обозначено пространство, сопряжённое к Н^ (Р | £0).

Через Ьр ([0, т], X), где X - сепарабельное банахово пространство с нормой IX , а 1 < < р < да, обозначено банахово пространство слабо измеримых на [0, т] функций Е: [0, т] — — X , для которых функция , е [0, т] ^ ||Е(,)||х является элементом банахова пространства Ьр [0, т]. Норма в Ьр ([0, т], X) задаётся следующим образом:

/> л1/р

Следуя [7], через С,, ([0, т], X), где X - банахово пространство, обозначим пространство функций Е: [0, т] — X, слабо непрерывных на

[0, т], т.е. таких, что при всех х* е X* и всех хе [0, т ]

1—х1^ ^ х*) х*),

где X обозначает сопряжённое к X пространство, а (х, х^ - значение линейного непрерывного функционала х* е X* в точке х е X .

Через М [0,Т ] обозначено множество всех мер Радона на отрезке [0, Т].

Наконец, обозначим через Г2 0 (<0-Т | 5Т)

«энергетический класс», состоящий из измеримых по Лебегу на Qт функций Е , удовлетворяющих следующим условиям: при всех

1 є [0, Т] справедливы включения Е(, 1) є

є Н^(Р | 50), Е»(', 1) є L2(P); функция 1 є є [0, Т] ^ Е(, 1) є Н^(Р | 50) - элемент класса С([0,Т],НІ(Р | 50)); функция 1 є [0,Т] ^

^ Е, (•, 1) є L2 (Р) - элемент пространства

L„ ([0, Т ], L2(О)). Норма в пространстве Г20(0,Т | 5Т) задаётся равенством

|Е| Q = sup| |Е(, 1)12*0+ ^^ирЦ Е( (•, 1)||2Р.

1 Т 1є[0,Т ] 112,0 1є[0,Т ] 11 112,0

Наделённое этой нормой, Г2 0 (0-Т | 5'°) представляет собой банахово пространство.

2. Основные результаты

Прежде чем сформулировать и доказать основные результаты работы, нам потребуется ряд вспомогательных утверждений.

Из [6, гл.1, теорема 6.1] вытекает

Лемма 2.1. Найдётся последовательность функций g1 є Н10(Р | 50), 1 = 1,2,..., ортого-

нальная в Н^Р | 50) и ортонормированная в L2(P), такая, что для всех ф є Н^(Р | 50) и всех у є L2 (Р) справедливы равенства

Нш|Фм -ф||0 = 0, Нш||ум -V = 0,

М—»Н 112,Р М—» 112,Р

где введены обозначения

М М

фМ(х)_^фкёк(х) VМ(х)_^укёк(х),

к=1 к=1

Фк _ | Ф(У)ёк(У)dУ, Vк _ | у(У)ёк(У)dУ,

Р Р

к, М = 1,2,....

Утверждение следующей леммы аналогично утверждению леммы 4.1 из [18, гл. IV, § 4].

Лемма 2.2. Пусть ё., 7 = 1,2, — , - последовательность из леммы 2.1. Пусть, кроме того, $0 е Ск([0,т],4(Р)), Э1 е Ск([0,т], Н0(Р | £0)), ^2 е Ск([0,т],Ь21(От)), $3 е Ск(Г,Н0(Р | £0))

(к - неотрицательное целое число). Тогда

I |( к )

11ш ЭМ -$0 = 0,

М—»1 0 01[0,т ^(Я)

= 0,

Теорема 2.1. Имеет место включение

0[у,/] е С([0,т],Г210(От | £“)), означающее, что для всех х е [0, т] существует след 0[у, /](-,-, х) е е Г210(От | £°), непрерывно зависящий от х е [0, т] в норме пространства Г2 0 (От | £°т). При этом найдётся константа В > 0 , зависящая лишь от чисел т, v1,V2,v3 >0, размерности п и области Р , такая, что

max 0|у f Кчч x) Q <

xє[0,T ] 'QT

< B[max||у(•,x)|l „ + max|| f (•,•,x)|l ^ ].

xe[0,T Г H2,° xe[0,T f II2,',qt

(2.1)

11ш|ЭМ -Э1|(к) 1 0

М—»1 1 11[0,т ],Но(П|Я0)

(к)

11ш ЭМ -Э, = 0,

М—»| |[0,т ],^2,1 (От )

(к)

11ш ЭМ -Э3 . 0 = 0.

М—»1 3 31 Г,н1(П|Х0)

Помимо того, С'([0,т],Н°(Р | £0)) всюду плотно в С ([0, т], £2(Р)), а функциональный класс С '(Г, Н°(Р | £0)) всюду плотен в классе С ([0, т ], Ь21(От)). Здесь введены обозначения

Доказательство. 1) Прежде всего отметим, что, в силу теоремы 1.1 работы [19], функция 0[у, f ] однозначно определяется на множестве

QT х [0, T], 0[v, f ] (у, х) е К2‘;0 (Q | S°°) при всех х е [0, T], и найдётся константа B > 0 , зависящая лишь от чисел T, v1,v2,v3 >0, размерности n и области Q, такая, что

sup| |01ж f Кчч x)|fQ +

?е[0,х]

+ vraisupf0,[v,./'](•,•,х)||2П -B[\х)||2о +

^[0,х]

+1 f (•,•, X)

] < B[max| |у(•, Е)|| +

2,',QTJ "Еє[0,Т ]'

+ maxJ f (•,•, Е)[

Еє[0,т ]"

2,1,Qt

||(1)

];

$М (х т) = 2$01 (т)gl(x),

1=1

N

^ (x, т) = 2$1 1 (т)gl (x),

1=1

N

$М (x, 1, т) = 2 921 (1, т^1 (x),

1=1

N

$м (x, ^т)=2 $з 1(1, т) gl(x),

1=1

$01(т) = |$0( y, т^1(У )dУ,

Р

1(т) =|$1( y, т) gl(У)dУ,

Р

$21 (1, т) = I $2 (У, 1, т)gl (У)dУ,

Р

$31(1, т) = I $3(У, ^ т)gl(У )dУ,

Р

1, N = 1,2,., (1, т) єГ. Основными результатами данного раздела и работы в целом являются теоремы 2.1-2.3.

sup| l0^ .Я(У, x)|2n +

te[x,T ]

+ vraisup|0,[у,.f](•,•,x)|L < B[||у(•,x)|L +

»є[ x,T ]

+|f (•,•, x)||21Q ] < B[maxJ|у(•,е)|2 о +

11 |I2,1,qt Еє[0,т ]" 112,0

+ max f (•,•, E)L„ ].

Еє[0,т f H2,',qt

Следовательно,

11(1)

sup 0|у .Я(У,x) 2 0 +

te[0,T ] ^

+ vraisupf0[у,.f](•,•,x)|| <

te[0,T ] ’

< 2B[max| |у(•, E,)|l _ + max II f (•,•, E)|

Еє[0,т YV’^'H2,0 Еє[0,т ]H

(2.2)

2,1,Qt

].

Заметим также, что 0[у, / ] линейно зависит от функций у е С([0, т], £2(Р)) и / е

е С([0,т],Ь21(От)).

2) Докажем теперь включение 0[у, /] е е С([0,т],Г20(От | £°)), для чего воспользуемся методом Галёркина. Предположим сначала, что VеС'([0,т],Н°(Р|£0)), а функция / принадлежит классу С '(Г, Н°(Р | £0)).

Будем искать приближение 0М [у, /] к функции 0[у, / ] в виде

М

0М [V, /](х,,, х) _:гл; (,, х)ёт (х),

т=1

где набор функций , т = 1, М, является решением задачи Коши

hN+X[plm (t)hN + qm (t)hN ] = flN (t, X),

hlN = 0, hN =у1 (x), l = 1, N,

в которой

ГЛ =-уі (x)

lt=x

N

(2.4)

ГіГ L=x = у (X) + Х plm ^m (X) + ^ (X X)

0N [у, f ](•,•, x) < B[ у^' +

I JV?? ^Qt L|T |[0,т ],L2(0)

+1 A (0) ],

' l[0,T ],L2,i(Qt )j’

Е [у, f](•,•,x) < B[у

I lQT I

+ 1A(1) ],

V ІГ,1.2(0)

l[0,T ],h'(0)

мерности n и области О. Следовательно, при всех X', x2 є [0, Т]

І0 N [у, /](•,•, X') -0 N [у, /](•,•, x 2)| =

N

(2.3)

X hm (•, xi)gm-Х hm (•, x2) g

1 m=1

N

X[hN (•, xi) - hN (•, x 2)]g

N X1

X fhNx (•,x)gmdx

QT

QT

Ріт (1) = |С(X 1)gl (х)gm

Р

Чіт (1) = | К (Х 1)gmx1 gxн + аі (X, 1)gmX^ gl +

Р

+ Ь1 Сх 1) gmglxi ]А +| ^ 1) gm (5) gl С^.

Нетрудно показать, что существует единственный набор функций , m = 1, N, непрерывных на Г и имеющих непрерывные на Г

производные ^, , С, С, , m =1N,

являющийся решением задачи Коши (2.3). Можно показать, что при этом существуют и

непрерывны на Г производные , m = 1, N,

а набор функций ^ , m = 1, N, является

решением задачи Коши

N

ГШ + 2 [Р^ (1 ^ + Ч» (1 )Г„Т ] = (1, т),

m=1 x2 X1 N

QT

fX hmNx (•, X)gmdx

x m=1

QT

N [у, f ](•,•, x)dx

QT

||Е n [у, f ](•,•, x)| Qdx

< B[ уN

l[0,T ],H'(0)

I r|(i) її 1

+ 1AF,L2(0)lX1 X2 Г

Таким образом,

|0N[у,/](•,•,x)| < B[|уN|(0)

'QT

+ 1A(0) ],

К l[0,T],L2,i(Qt)J

[0,T ], L2(0)

0N[у,/](•,•,X')-0N[у,/](•,•,x2)Q <

I lQT

- orl n|(1) , і /-|(1) -.і і

< Biу , + / ]X - x,.

I l[0,T],H'(О) І ІГ,І2(0^І 1 21

(2.6)

(2.7)

I = 1, М.

Рассуждая затем подобно тому, как это делалось при выводе неравенства (1.13) в работе [19], и воспользовавшись при этом условиями на исходные данные, для функций 0М [V, /] и ЕМ _ 0М [V, /] получаем априорные оценки

(2.5)

Выберем теперь произвольно х1, т2 е [0, T] и зафиксируем. В силу леммы 1.6 на стр. 186 работы [19] найдутся подпоследовательность Nm , m = 1,2,., последовательности N = 1, 2, ..., и функции

0-(•,•, т) е V20 (Qt | s[0,,x. ]), 0+ (•,•, х,) е Vo (Qt | S[°x.,T]),

0*(v,х,) е OQtISt0), i = 1,2,

такие, что

max,|I0Nm Iv f ](•, t, x,) - 0- (•, t, x, o ^ 0,

te[0,x, ^ 112,0

maX I|0Nm [^, f ](•, t, x,) - 0+ (•, t, x, o^ 0,

te[ x, ,T ^ 112,0

||0Nm[v,/](•,•,X,)-0-(•,•,x,)| Sl ^ 0,

11 "2,Ч0,т, ]

||0Nm [V, /](•,•, X,)-0+ (•,•, x, )\\ ^ 0,

"2,S[4 ,T]

где В - некоторая положительная постоянная, зависящая лишь от чисел т, v1,V2,v3 >0, раз-

0Nm [у, А](•,•, Xi) ^0-(•,•, Xi)

сЛабо в W2',0(Qt I SL]),

+

+

0Мт [V, / ](-,-, х,) — 0+ (у, х,)

сЛабо в ^2,0(От | ^х,,т]),

0Мт [V, / ](-,-, х,) — 0*(у, х,) слабо в Ж°0 (От | ), т — » , , = 1,2 .

Записывая затем интегральные тождества для функций 0Мт [V, /](•,,, х,), , = 1,2, и переходя затем в них к пределу при т — » , получим, что

0*(у,х,) _0[^/](•,•,х,),

0-(•,•, х,) _0[V, /](•,•, х, )|О

0+ (•,•, X,.) = 0[у, / ](•,•, X,. )|

Кроме того, в силу леммы 1.6 на стр. 186 работы [19] и неравенства (2.7)

|0[^ /](•,•, х1) - 0[^ /](•,•, х2 )|& <

^ ог1 |(‘) , I /-К1) II I

< В1 V . + / I х, -х, ,

Чч[0,т ],Н°(П) К 1г,/,2(П)^ 1 21’

на основании чего включение 0^, / ] е

С([0,т],Г21|°(От | £°)) доказано для случая

V е С°([0,т],Н0(Р|Я0)),

/ е С'(Г, Н0(Р|£0)).

Пусть теперь Vе С([0,т],£2(Р)), / е

е С([0,т], 121(От)). Тогда, согласно лемме 2.2, найдутся последовательности функций vm е е С°([0,т],Н^Р^0)), т = 1,2,— , и / е С°(Г, Н0 (Р | £0)), т = 1,2, — , такие, что справедливы

соотношения

SVm "VlZ],L2(0) = 0,

нш|/ - /1(0) = 0.

m^J7 m J l[0,T],^2,1 (Qt)

xe[0,T ]'

- 2B[|v -vk |(0) +1 / - /, Г' ].

I m Tk l[0,T],L2(0) \J m Jk l[0,T],L21(Qt)

(0)

вость включения 0[v,/]е С([0,т],Г2’0(От | £°)) доказана и для случая vе С([0, т], £2(Р)), / е е С([0,т],Ь21(ОТ)).

Что же касается априорной оценки (2.1), то она вытекает из только что доказанного включения 0^,/]е С([0,т],Г2 0(От | £“)) и из неравенства (2.2). Теорема 2.1 полностью доказана.

Теорема 2.2. При каждом фиксированном х е [0, т] существует единственное решение

СМ(у,х) е Г21,0(От | £°) начально-краевой задачи (1.4), причём справедливо равенство С[v](х,,, х) = 0[-^0](х,,, х)х(,, х),

(х,,) е От, х е [0,т], где введено обозначение

Г1, если 0 <, < х < т;

Х& х) Ч0

[0, иначе.

Доказательство. Существование и единственность при всех х е [0, т] решения

СМ(у,х) е Г21,0(От | £°) начально-краевой задачи (1.4) вытекает из теоремы 2.1 на стр. 190 работы [19].

Докажем теперь равенство (2.9). Прежде всего, в силу данного в работе [19] определения решения задач вида (1.4),

|[-7,С, + а.2х.С ч + а^ ч + Ъ,2Щ С +

(2.9)

QT

(2.8)

Из неравенства (2.2) и вышеупомянутой линейной зависимости функции 0[v, /] от функций v и / выводим, что

max|0[vm, fm ](•,•, х) - 0[vк, fk ](•,•, х)|Qt -

В силу (2.8) это означает, что последовательность функций 0^т, /т ], т = 1,2,— , является фундаментальной в банаховом пространстве С([0,т],Г2’0(От | £°)). Поэтому найдётся функция

0[V,/] е С([0,т],Г210(От | £“)), такая, что

11ш|0[v ,/] — 0[v,/]() ,, п = 0.

т—»1 т т 1[0,т ^(ОтРЙ

На основании данного равенства и определения функции 0[v, / ] заключаем, что

0^, /] _ 0[V, /]. Следовательно, справедли-

+ ахС + схС, ]ЛхЛ, + ^ сzСdsdt =

5°’

= Jv(х, х) г( х, х)ЛхЛ, (2.10)

Р

V 7 е ООт^т0), ^,0) _ 0;

С(х,т,х) = 0, х еР, хе [0,т], где С _ СМ. В последних тождествах отдельно рассмотрим случаи х = 0 , х = т и х е (0,т).

Пусть сначала х = 0 . Тогда тождества (2.10) перепишутся в виде

|[-г,С, + а.2х.С х, + аЛ х, + Ъ,7х, С +

QT

azt, + czC,t ]dxdt + J qz^dsdt = 0

+ azQ +

V z е ^(QtISt0), z(^,0) - 0;

C(x,T,0) = 0, x е О. Следовательно, функция ^(x,t,0), (x, t) е Qt является решением начально-краевой задачи

д

С,,- — (а.С . + Ъ С) + аС + а, С ч +

+ сС, = 0, (х,,) е От;

С|,=т = ° С,|,=т = ° х еР;

С(,,,, х) = 0, (,,,) е ^т,;

|С + с(5,, )С = 0, (,,,) е £[10,т ],

согласно теореме 2.1 на стр.190 работы [19] имеющей лишь тривиальное решение. Поэтому в случае х = 0 равенство (2.9) выполняется.

Пусть теперь х = т. Тогда, как нетрудно видеть, функции СМ(у,т) и 0[-v,O](•,•,T) тождественно совпадают, и равенство (2.9) снова имеет место.

Рассмотрим, наконец, случай х е (0, т). Пусть в тождествах (2.10) 7 есть линейная

М

комбинация вида ^ Ък (,)ёк (х), (х,,) е От , где

к=1

М - некоторое натуральное число, Ьк, к = 1, М ,

- кусочно непрерывно дифференцируемые на

[0, т] функции, причём Нк (х) = 0, Ък I _ 0, а

1[°,х]

ёк, к = 1,2, — , - последовательность из леммы 2.1. Учитывая, что множество всех таких функций 2 всюду плотно во множестве функций из )), равных нулю при , = х, заключаем, что имеют место соотношения

|[-2,С , + а„2х. С х + а,2Сх1 + Ъ,2х, С +

^‘,0(О(х,т )^0х,т))

![

От

-2,С , + ау2х. С х, + а,2С х, + Ъ^ч С +

+ ахС + схС, ]ЛхЛ, + ^ с^СЛ,Л, =

с1

Ч х,т)

^ v(х, х)2(х, х)ЛхЛ,

п

а1,1/

V 2 е ^2,0 (О(х,т) | ^)), 2(:, х) _ 0;

С(х, т, х) = 0, х е Р, означающие, что при (х,,) е О(хт) функция С является решением начально-краевой задачи

д

С,,- — (а.С . + Ъ С) + аС + а, С ч +

+сС, =0, (х,,) е О(х,т);

С|,=т = 0, С,|,=т = 0, х еР;

С(,,,, х) = 0, (,,,) е £(х,т);

Ц + Ф, ,)С = 0, (,,,) е £(1х,т),

которая на основании теоремы 2.1 из [19] имеет лишь тождественно равное нулю решение. Поэтому С(х,,,х) _ 0, (х,,)е О(хт), ввиду чего соотношения (2.10) можно переписать в виде

Ох

+ ахС + схС, ]ЛхЛ, + ^ сгСЛ,Л, =

«х

= ^ v( х, х)2 (х, х)ЛхЛ,

Р

V 2 е^Ох^), 2(^,0) _ 0;

С( х, х, х) = 0, х е Р.

Отсюда выводим, что при (х,,) е О(0х) функция С является решением начально-краевой задачи

д

С,,- — (а.С . + Ъ, С) + аС + а, С ч +

+сС, =0, (х,,) е О[0,х];

С|,=х=° С,|,=х=х), х еР;

С(s, t,х) =0, (s,,) е S[l0,х];

Ц + Ф,, )С = 0, (,,,) е S(o,х].

Следовательно, в случае хе (0, т) равенство

(2.9) тоже справедливо.

Теорема 2.2 полностью доказана.

Теорема 2.3. Существует единственное решение ю^, ц] е ^2 0 (От | ) начально-краевой

задачи (1.3), причём при п.в. (х,,) е От справедливы равенства

ю [V, Ц] (х,,) =| С[ V] (х,,, х)ц(Лх),

[0,т ]

ю,['V, ц] (х,) = ГС,['ч'Кхt, х) ц^Х

[0,т ] (2.11)

юх, [V, цКх,) = |С х, [V](х, t,

[0,т ]

, = 1, п.

Доказательство. 1) Существование и единственность решения начально-краевой задачи

(1.3) вытекает из теоремы 2.1 работы [19].

2) Докажем теперь равенства (2.11). Поскольку, на основании теоремы 2.1, для всех функций Vе С([0,т],£2(Р)) справедливо включение 0[-V,O] е С([0,т\У\\(От | £“)), то для любой меры Радона це М[0,т] конечны интегралы

Г Г|0[-v,O](х,,, х)|2 ЛхЛ,

0,т] _От _

Г ||0, [^,0]^,,, х)2 ЛхЛ,

Ц(Лх),

Ц(Лх),

От

[ f|0 x [-v,0](x, t, x)|'

[0,T ] Qt

dxdt

M-(dx),

, = 1, и,

что, в силу доказанного в теореме 2.2 равенства

(2.9), означает суммируемость с квадратом (по

От ) функций

ГВДСх,, х)ц(dх), ГС, [v](х, t, х)ц(dх),

[0,T ]

[0,T ]

Jcч [v](xt,i =1,n (x,t) е Qt .

[0,T]

Кроме того, пользуясь определением производных в смысле С.Л. Соболева, выводим, что

_s

dt

JC[v](x t, xMdx):

[0,T ]

_э_

dr.

k, [v](x, t, xMdxX

),T ]

■ JC[v](x t, xMdx) =

[0,T]

Jc x [v](xt, xMdxX

(2.12)

[0,T]

i = 1, n, (x, t) е Qt .

Для завершения доказательства осталось лишь показать, что

ra[v,M-](x, t) = J C[v](x,t,x)^(dx)

[0j ] (2.13)

(x, t) е Qt .

Действительно, поскольку C = C[v] является решением начально-краевой задачи (1.4), то выполнены тождества (2.10). Интегрируя их по мере ц по переменной x е [0, T], заключаем, что функция

Y(x,t) = JC[v](x,t,x)^(dx), (x,t) е Qt,

[0,T ]

является решением задачи (1.3). Это, в силу единственности решения данной задачи, даёт равенство (2.13). Теорема 2.3 полностью доказана.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта 12-01-00199-а) и Минобрнауки РФ в рамках государственного задания на оказание услуг в 2012-2014 гг. подведомственными высшими учебными заведениями (шифр заявки 1.1907.2011).

Список литературы

1. Lasiecka I., Lions J.-L., Triggiani R. Nonhomoge-neous boundary value problems for second-order hyperbolic operators // J. Mat. Pures Appl. 1986. V. 65. № 2. P. 149-192.

2. Lasiecka I., Sokolowski J. Regularity and strong convergence of a variational approximation to a nonho-mogeneous Dirichlet hyperbolic boundary problem // SIAM J. Math. Anal. 1988. V. 19. P. 528-540.

3. Lasiecka I., Triggiani R. Sharp regularity theory for second order hyperbolic equations of Neumann type, I: L2 nonhomogeneous data // Ann. Mat. Pura Appl. 1990. V. 157. P. 285-367.

4. Lasiecka I., Triggiani R. Regularity theory of hyperbolic equations with non-homogeneous Neumann boundary conditions, II: General boundary data // J. Diff. Eq. 1991. V. 94. P. 112-164.

5. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

6. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

7. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

8. White L.W. Control of hyperbolic problem with pointwise stress constraints // JoTa. 1983. V. 41. № 2. P. 359-369.

9. White L.W. Distributed control of a hyperbolic system with control and stress constraints // J. Math. Anal. and Appl. 1985. V. 106. № 1. P. 41-53.

10. Li X., Yong J. Optimal Control Theory for Infinite Dimensional Systems. Birkhauser Verlag, Basel, 1995.

11. Mordukhovich B.S., Raymond J.-P. Dirichlet boundary control of hyperbolic equations in the presence of state constraints // Appl. Math. Optim. 2004. V. 49. P. 145-157.

12. Mordukhovich B.S., Raymond J.-P. Neumann boundary control of hyperbolic equations with pointwise state constraints // SIAM J. Control Optim. 2005. V. 43. № 4. P. 135-137.

13. Гаврилов В.С., Сумин М.И. Принцип максимума Понтрягина в параметрической задаче субоп-тимального управления для дивергентного гиперболического уравнения с фазовым ограничением // В кн. «Международная конференция "Дифференциальные уравнения и топология", посвященная 100-летию со дня рожд. Л.С. Понтрягина. Тезисы докладов. Москва, 17-22 июня 2008 г.», М.: Издательский отдел факультета ВмиК МГУ им. М.В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2008. С. 329-330.

14. Гаврилов В.С., Сумин М.И. Параметрическая оптимизация для гиперболического уравнения дивергентного вида с поточечным фазовым ограничением. I // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 4. С. 550-562.

15. Гаврилов В.С., Сумин М.И. Параметрическая оптимизация для гиперболического уравнения дивергентного вида с поточечным фазовым ограничением. II // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 5. С. 724-735.

16. Gavrilov V.S., Sumin M.I. Perturbations method in the theory of Pontryagin maximum principle for optimal control of divergent semilinear hyperbolic equations with pointwise state constraints // Control Theory and Its Applications. Chapter 4. 2010. P. 83-144.

17. Nowakowski A. Shape optimization of control problems described by wave equations // Control and Cybernetics. 2008. V. 37. № 4. P. 1045-1055.

18. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Из д-во МГУ, 1999.

19. Гаврилов В.С. Гиперболические уравнения дивергентного вида с разными краевыми условиями на разных частях границы // Вестник Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского. 2012. № 4(1). С. 183-192.

ON THE CONTINUOUS DEPENDENCE OF SOLUTIONS OF THE BOUNDARY-VALUE PROBLEM

FOR A HYPERBOLIC EQUATION WITH DIFFERENT BOUNDARY CONDITIONS ON DIFFERENT PARTS OF THE BOUNDARY ON THE POSITION OF THE INITIAL CONDITION HYPERPLANE

V.S. Gavrilov

The article proves the continuous dependence of solutions of the initial-boundary value problem for a linear hyperbolic equation in the divergence form on the position of the initial condition hyperplane. Besides, the result is proved on the integral representation of the solution of the hyperbolic equation in the divergence form with a Radon measure on the right-hand side.

Keywords: partial differential equations, initial-boundary value problems, Radon measures, continuous dependence of solutions.