Об одной краевой задаче с нелокальными по времени условиями для одномерного гиперболического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ ПО ВРЕМЕНИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО

УРАВНЕНИЯ

© 2013 С.В. Кириченко1

В статье рассмотрена краевая задача для одномерного гиперболического уравнения с нелокальными начальными данными интегрального вида. Доказано существование единственного обобщенного решения.

Ключевые слова: гиперболическое уравнение, нелокальные условия, обобщенное решение.

Введение

В настоящее время задачи с нелокальными условиями для уравнений в частных производных вызывают большой интерес, который обусловлен необходимостью обобщения классических задач математической физики в связи с математическим моделированием ряда физических процессов, изучаемых современным естествознанием [1].

Заметим, что в большинстве публикаций, посвященных задачам с нелокальными интегральными условиями для гиперболических уравнений, рассматриваются пространственно нелокальные условия [2-5] (см. также список литературы в них). В предлагаемой статье рассмотрена задача с нелокальными по времени интегральными условиями для гиперболического уравнения. Нелокальные задачи с условиями такого вида для других уравнений рассмотрены в работах [6-8]. Результаты исследования показали, что размер области, в которой ищется решение, имеет значение, а также, что условия разрешимости могут связывать между собой как размеры области, так и ограничения на другие входные данные.

1. Постановка задачи

Рассмотрим в области Qт = (0,I) х (0, Т) уравнение

Ьи = ии - ихх + с(х)и = /(х,Ь) (1.1)

и будем искать его решение, удовлетворяющее условиям:

и(0,г)= u(1,t)= 0, (1.2)

1 Кириченко Светлана Викторовна ([email protected]), кафедра высшей математики Самарского государственного университета путей сообщения, 443066, Российская Федерация, г. Самара, 1-й Безымянный переулок, 18.

T

u(x, 0) + f Ml (x, t)u(x, t)dt = 0,

0t (1-3)

ut(x, 0) + f M2(x,t)u(x,t)dt = 0.

0

Для обоснования разрешимости задачи (1.1), (1-2), (1.3) сведем ее к задаче с классическими начальными данными для нагруженного уравнения [3]. Введем обозначения:

N(x,t,T) = M1(x, т) + tM2(x,T), P (x,t,T) = Nxx(x, t, т) - N (x,t, 0)M2(x,T),

T T

i / / Ф2'

[0,l]

0 0

no = max{IIN||ia(n), ||Nt||L2(n), |МЫп), I|Nxx||l2(Q), ||Nt||ЫП)>,

P0 = ||P ||L2 (пь

n = (0,T) x (0,T), \\ф(х, ■, •}jjL2(n) ф2(Х>г>Т )dtdT) 2,

f i 1 - no + no ri . c0l2

7o = max{po, no}, Yi = ~гл-w ,mo = max{1 + co,—— }.

(1 - no}2 2

Определим оператор B формулой

i

Bu = u(x,t) + j N(x,t,T)и{х,т}dT

0

и будем обозначать Ви = ю(х,Ь). Пусть и(х,Ь) — решение задачи (1.1), (1.2), (1.3). Преобразуем выражение

т

Ь(] N(х,,,гМх.ту,.) =

0

т т

=М*- )и+ш*и*¥т Ч Ми-,т.

00

Так как по предположению и(х,Ь) — решение уравнения (1.1), то т т

J N(х,Ь,т)ихх(х,т)),т = J N(х,Ь,т)[итт + с(х)и — /(х,т)],т. 00 Учитывая, что и(х,Ь) удовлетворяет условиям (1.2), (1.3) и N(х,Ь,Т) = 0, получим т т

J N (х,Ь,т )ихх(х,т )),т = I N (х,Ь,т)/(х,т ),т+ 00

т

+/р, ^ м.н N ы^ы^ »и — ^ ^ №

o

Обозначим

i

F (x,t) = f (x,t) + J N (x,t,T )f (x,T )dT.

2. Разрешимость задачи

Теорема. Пусть выполняются условия

М € С^От), Мхх € С (От), М4(ж,Т) = 0,

с € С[0,1], / € Ь2(От), ¡г € МОт), по < 2•

Тогда существует единственное решение и € Шо2 (От) задачи (1.1), (1.2), (1.3) для Т, удовлетворяющих неравенству

т 1 2т0

Т< — т2° 2 2 +1).

то (2 + 1)27о72

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную задачу: найти в От пару функций (и, V), удовлетворяющих уравнениям

и условиям Обозначим

«„ - г,„ + с + /|Л + - Л«^ = *■(*,<),

о

т

„(*.<)= и0М) + / «(^Г)«(Х.Г' € М (2.2>

о

и(0,') = и(/,')=0, «(ж, 0)=0, «г(ж, 0)=0. (2.3)

Ш(От) = {и : и € Ш (От), и(0,') = и(/,') = 0}, ЩОт) = {и : и € Ш(От), и(ж, Т) = 0}. Норму в этих пространствах определим следующим образом:

||и|1^ (Ят ) = ||и||Ь2(Чт ) + ||иг||ь2(Чт ) + ||ux||L2(Qт )• Введем понятие обобщенного решения вспомогательной задачи (2.1)—(2.3), пусть П € ТУ(От)• Следуя известной процедуре [9, с. 210], получим тождество т I т I т

11(-«гПг + «хПх + + J J п(ж, г) J|Ри + 2Жжиж - Nит=

о о о о о

т I

= // г <2-4>

оо

Определение. Обобщенным решением вспомогательной задачи (2.1), (2.2), (2.3) будем называть пару функций и,« из Ш(От), удовлетворяющих тождеству (2.4), равенству (2.3) и условию «(ж, 0) = 0.

Будем искать приближенные решения вспомогательной задачи из соотношений

т I

''-«г

оо

т I т

+ // П0М)/|Р 0М,Т К" + 2«.См,Т >< - «т (^т кт*** =

Т I

//Г(М),,(М)« .-С, 01=0, (2.5,

0 0

Т

.« - + С1 = Г

0

Положим «0(х,£) = 0. Тогда м1(х,£) = 0 как решение однородного уравнения (2.6), и тождество (2.5) для т = 1 не содержит неизвестной функции м1(ж,£), поэтому «1(ж,£) определяется как обобщенное решение первой начально-краевой задачи для уравнения

"'« — 'ихх

с однородными начальными условиями. Как известно, эта задача однозначно разрешима в Ш(^т), и справедливо неравенство [9, с. 215]

< С(||Г(х,*)||

Ь2(Ят ). (2.7)

Найдем постоянную С, входящую в правую часть этого неравенства.

Для гладких функций .(х,£), удовлетворяющих уравнению — + с.1 = = Г(х,£) с Г € Ь2((^т) и однородным начальным и краевым условиям, для любого г € [0, Т] и любой функции п(х, £), обладающих той же гладкостью, что и .(х, £), справедливо тождество

т I т I

(.и—.хх+=// р^, 0 0 0 0 положив в котором х, £) = «¿(х,£), получим равенство

(.«.( — .хх.( + = J ! Г.^хЛ.

0 0 0 0 Интегрируя по частям в левой его части, получим

I т I Т I

2 /к2(х т)+(x, т )]^х 41Рщг1хЖ Ч /^^

0 0 0 0 0

Для оценки правой части последнего равенства используем неравенство Коши. Заметим, что из условий теоремы вытекает существование числа С0 > 0 такого, что |с(ж)| ^ С0. Получим

I

1

2f[vt(x,'г)+.2(х,т )]^х ^

0

т I Т I

Г+ J J(c0v2 + (1 + с0)«2Мх<^. 0 0 0 0 Применив теперь неравенство

I I

I2

J «2(х,^;)йх ^ 12 У ^х, (2.8)

т I т I

X

вытекающее из представления г(х, £) = / г^(£, приходим к оценке

о

т

I

J(г2(x,т)+ г2(х,г))дх < то ! У(г2 + г2+ ^|||2(Чт).

о 0 0

Применив к последнему неравенству лемму Гронуолла, получим

I

У [г2 (х, т) + г2 (х,т )]^Х < ехр{тот }||^ ). (2.9)

о

Интегрируя неравенство (2.9) по т от 0 до Т, приходим к оценке норм:

¡Ыкют) < —1= \/ехр{тоТ} - 1||ь2(«т), то

||гх ^Ют) < \/ехР{тоТ} - 1 || ^2 («Т ) .

то

Воспользовавшись еще раз неравенством (2.8), получим

||г||ь2 С^Т ) ^ —2т /еХР{тоТ} - ^^ ||^2(«т ).

Тогда

1 +

||г||ж(«т) ^ ^ехр{тот} -1||ь2(«т).

Замыкая это неравенство по норме, убеждаемся, что оно справедливо и для функций г € Ш(фт). Таким образом, в неравенстве (2.7)

С = ^-У— /ехр{тоТ} - 1. у2то

Вернемся к доказательству разрешимости вспомогательной задачи. По найденному г1(х, ;) на следующем шаге найдем и2(х,;) как решение уравнения (2.6) с правой частью г^х,;) € Ш(фу), а затем г2(х,;) как решение первой начально-краевой задачи. Продолжая этот процесс, мы построим последовательность приближенных решений вспомогательной задачи {г-, и-} таких, что выполняется неравенство

||гт|кют) < С||^т||ь2(«т), (2.10)

в правую часть которого теперь входит и- (х,;) :

т

*-<х,<) = +/[Р(:М,г)и- + 2«х(х,(,гК- - «т(х,*,тК"]*.

о

Перейдем к выводу априорной оценки. Обозначим

г- = г-+р - г-, в- = и-+р - и-. Нетрудно видеть, что справедливы соотношения

т I

(-г-п + г-Пх +

T 1 T

+ //,<.,<)/[*" + 2^ - Nrsm]dTdxdt = », (2.И,

0 0 0 T

s'M + JN^,^,^ = <2.12>

0

Выведем ряд неравенств.

Рассмотрим равенство (2.12) и умножим обе его части на sm<x,t) скалярно. Получим равенство

т

l|sm|l!2(Qt) = (rm-1,smW) - <J N<x,t,T )sm<x,r)dT,sm)L2iQT),

0

из которого в результате очевидных преобразований следует неравенство

l|sm||L2(Qt) < у1- l|rm-1||L2(Qt). (2.13)

1 — по

Дифференцируя (2.12) по t, а затем по x, умножив скалярно на sj™ и в^Т соответственно, получим, как и выше, с учетом (2.13) еще два неравенства:

||sm||L2(Qt) < ||rr-1||L2(Qt) + Т^0- ||rm-1||L2(Qt), (2.14)

1 — по

||sm||L2(Qt) < ||rm-1||L2 (Qt ) + <Т П0 )2 ||rm-1||L2(Qt). (2.15)

1 — по <1 — по )2

Из (2.13)—(2.15) получаем оценку нормы:

||sm||w(Qt) < Y1||rm-1||W(Qt), (2.16)

Заметим, что для каждого m соотношения (2.11), (2.12) имеют такой же вид, как и (2.5), (2.6), но для F = 0. Используя выведенную выше оценку (2.10), получим

||rm||w(Qt) < C||Fom||L2(Qt) (2.17)

с найденной выше постоянной C, где

т т

F0m(x,t) = y P<x,t,T)sm(x,T)dT + 2 J Nx(x,t,T)sm<x,T)dT— 00

"У N (х,Ь,г )з™йт.

о

Рассмотрим правую часть последнего равенста.

Используя неравенство Коши—Буняковского и выведенные неравенства (2.13)—(2.15), получим

что влечет за собой в силу (2.16) и (2.17) выполнение неравенства

1|гт|кЮт) < С7о71||гт-1||ж(Чт). (2.18)

Если

О1оц < 1, (2.19)

то из неравенства (2.18) следует сходимость последовательности {тт(х^)}, а в силу (2.16) — и последовательности {вт(х^)}. Так как гт = ут+р — Vт, вт = = ит+р — ит, то последовательности ^т(х,1)}, {ит(х,1)} являются фундаментальными в пространстве Ш(фт) и в силу его полноты сходятся к элементам v(x,t), и(х,Ь), принадлежащим Ш(фт). Переходя к пределу при т ^ то в (2.5) и (2.6), убеждаемся, что v(x,t), и(х,Ь) определяют единственное решение вспомогательной задачи, принадлежащее пространству Ш(фт).

т

Заметим, что в силу условий теоремы ¡{Ри + 2«хих — «тит]<т € Ь^(фт)

о

т

и те!Ри + 2Жх4их — «т1-ит]<т € Ь^(фт). Поэтому нетрудно доказать, следуя

о

[9, с. 218], что функция v(x,t), рассматриваемая как решение из Ш(фт) первой начально-краевой задачи для уравнения ^ = Н + Г, где

т

н^ = 1{р ^т у+2шхл,т X - « ы,т

о

имеет производные vtt,vxt € Ь2(фт). Тогда [9, с. 218] и тождество (2.4) можно записать так:

т I т I

J !Ып + VxVx + (жг))<1хА = ! J п(Г + Н)йхскЬ. (2.20)

о о о о

Покажем, что функция v(x,t) имеет и вторую производную по х. В последнем

тождестве выберем п(х,^) = х^)Ф(х), где х(^)—произвольный элемент Ьэ(0,Т),

т I

а Ф(х)—произвольный элемент Ш(0,1), и запишем интегралы § § ...<1х<М как по-

оо

т I

вторные § х(Ъ) / ...<х<Ь. В силу произвола выбора х(^) из (2.20) для почти всех

оо

t € {0, Т] будет выполняться тождество

I I

J vxФ'dx = ! Ф(—vtt — ею + Г + Н)<х,

которое и означает существование vxx € Ьъ(фт). Стало быть, v € (фт).

В силу взаимной однозначности оператора В и € ). Учитывая принад-

лежность функций и^ пространству ), тождество (2.4) можно записать

следующим образом:

т I т I т

J !^и — vxx + еи)п<хсИ + J J п{!(«и)хх<т — е(x,t) J «и<т]<х<Ь+ о о о о о о

т I т т I

+ JJ П ! «(итт — ихх + е(х,т)и)<т<х<Ь = J ^ Гп<х&.

(итт — ихх + е(х, т)и) о о о о о

т т т

Так как v = Ви, /(«и)хх<т — е(х,€) / «и<т = —ЬВи + Ьи, / N(итт — ихх +

о о о

+ c(x, т)u)dr = BLu — Lu, то последнее тождество можно записать так:

T l

T l

0 0

0 0

T l

T l

+ n(BLu — Lu)dxdt = qBfdxdt, 0 0 0 0 откуда следует, в силу произвольности n(x,t),

B(Lu — f) = 0,

+

что означает, что u(x,t) — решение уравнения (1.1). Выполнение условий (1.3)

следует из (2.3). Теорема доказана.

Литература

[1] Самарский А.А. О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения, 1980. Т. 16. № 11. С. 1925-1935.

[2] Гордезиани Д.Г., Авалишвили Г.А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды // Матем. моделир. 2000. Т. 12. № 1. С. 94-103.

[3] Кожанов А.И., Пулькина Л.С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 9. С. 1166-1179.

[4] Пулькина Л.С. Краевые задачи для гиперболического уравнения с нелокальными условиями 1 и 2-го рода // Известия вузов. Сер.: Математика. 2012. № 4. С. 74-83.

[5] Пулькина Л.С. Нелокальная задача для гиперболического уравнения с интегральными условиями 1 рода с ядрами, зависящими от времени // Известия вузов. Сер.: Математика. 2012. № 10. С. 32-44.

[6] Кузь А.М., Пташник Б.И. Задача з штегральними умовами для р1вняння Клейна-Гордона у класс1 функцш, майже периодичних за просторовими змш-ними // Прикл. проблеми мех. i мат. 2010. Вып. 8. С. 41-53.

[7] Абдрахманов А.М., Кожанов А.И. Задача с нелокальным граничным условием для одного класса уравнений нечетного порядка // Известия вузов. Сер.: Математика. 2007. № 5. С. 3-12.

[8] Лукина Г.А. Краевые задачи с интегральными граничными условиями по времени для уравнений третьего порядка // Матем. заметки ЯГУ. 2010. Т. 17. Вып. 2. С. 75-97.

[9] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука,

1973.

Поступила в редакцию 4/IV/2013; в окончательном варианте — 6/Vi/2013.

ON A BOUNDARY VALUE PROBLEM WITH NONLOCAL IN TIME CONDITIONS FOR A ONE-DIMENSIONAL HYPERBOLIC EQUATION

© 2013 S.V. Kirichenko2

In this article, the boundary value problem for hyperbolic equation with nonlocal initial data in integral form is considered. Existence and uniqueness of generalized solution are proved.

Key words: hyperbolic equation, non-local conditions, generalized solution.

Paper received 4/1V/2013. Paper accepted 6/V1/2013.

2Kirichenko Svetlana Viktorovna (svkirichenkoamail.ru), the Dept. of Higher Mathematics, Samara State University of Railway Transport, Samara, 443066, Russian Federation.