Обратная краевая задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ______________________________________2010, том 53, №4____________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.946

Я.Т.Мегралиев, А.Х.Сатторов*

ОБРАТНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Бакинский государственный университет, Республика Азербайджан,

Институт экономики и торговли Таджикского государственного университета коммерции,

г.Худжанд

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан И.М.Илоловым 19.02.2010 г.)

В работе исследована одна обратная краевая задача для гиперболического уравнения второго порядка с интегральным условием. Сначала исходная задача сводится к эквивалентной задаче, для которой доказывается теорема существования и единственности решения. Далее, пользуясь этими фактами, доказываются существование и единственность классического решения исходной задачи.

Ключевые слова: краевая задача - интегральные условия - гиперболические уравнения - нелокальные интегральные условия - банахово пространство - неподвижная точка.

Рассмотрим уравнение

ип (х, t) - и^ (х, t) = а^)и( х, t) + / (х^) (1)

в области ^ = {(х,0 : 0 < X < 1, 0 < t < Т} и поставим для него обратную краевую задачу с

начальными условиями

и(х, 0) = ф(х), и (х, 0) = /(х) (0 < х < 1), (2)

нелокальными условиями

1

их (0, t) = 0, | и(х, t)dx = 0 (0 < t < Т) (3)

0

и дополнительным условием

и(0, t) = ) (0 < t < Т), (4)

где /(х, t), ф(х), /(х), Н() - заданные функции, а и (х, t), а ^) - искомые функции.

Смешанные задачи для гиперболических уравнений с нелокальными интегральными условиями были ранее рассмотрены в работах [1, 2].

Адрес для корреспонденции: Сатторов Ахмад Хасанович. 735700, Республика Таджикистан, г. Худжанд, ул. Ленина, 169. Институт экономики и торговли Таджикского государственного университета коммерции. E-mail: [email protected]

Определение. Классическим решением задачи (1)-(4) назовём пару {и( х, t), а^)} функций и (х, t) и а (? ), обладающих следующими свойствами:

1) функция и (х, t) непрерывна в Д^ вместе со всеми своими производными, входящими в уравнение (1);

2) функция а^) непрерывна на [0, Т ];

3) все условия (1)-(4) удовлетворяются в обычном смысле.

Аналогично [3], можно доказать следующую лемму.

Лемма 1. Пусть

1 1

ф(х) е С[0,1], |ф(х^х = 0,/(х) е С[0,1], /(х^х = 0;

0 0

1

/(х, t) е С(ДТ), |/(х, t^х = 0 (0 < t < Т);

0

Н(г) е С 2[0,т ], Н(г) ф 0(0 < t < т ),ф(0) = Н(0),/(0) = Н(0).

Тогда задача нахождения классического решения задачи (1)-(4) эквивалентна задаче определения функций и(х, t) е С2(ВТ) и a(t) е С[0,Т] из (1),(2) и

их (0,Ь) = 0, их (1,Ь) = 0 (0 < Ь <Т), (5)

Н"(Ь) — ихх (0,Ь) = а(Ь)Н(Ь) + /(0,Ь) (0 < Ь <Т). (6)

С целью исследования задачи (1), (2), (5), (6) рассмотрим следующие пространства. Обозна-

чим через В? т [4] совокупность всех функций вида

ТО

и(х,t) = ^Щ^)ООБх (\= к л),

к=0

рассматриваемых в вт , где каждая из функций и(t) (к = 0,1,...) непрерывна на [0,Т] и

J(и) = IIu0(t ^С[0,Т] + Ь (t Я С[0,Т] )2}2 < •

причем X > 0. Норму в этом множестве определим так:

11и( хt 4?, = (и).

Через Е? обозначим пространство В?т хС[0,Т] вектор-функций 2(X,Ґ) = {и(х,Ґ),а(ґ)} с нормой

1И х> Ґ )||Е?=\ |и( х> Ґ ^1В? +1 |й(Ґ ^1 С[0,Т ]■

Известно, что В?т и Е? являются банаховыми пространствами.

Первую компоненту и (X, Ґ) классического решения {и(х, Ґ), а(ґ )| задачи (1),(2),(5),(6) будем искать в виде:

ТО

и(х, Ґ) = ^ ик (ґ)собЛX (Л = кж) , (7)

к=0

где

1

ик

(ґ) = 2|и(х,Ґ)собЛхйх (к = 0,1,...).

о

Тогда, применяя формальную схему Фурье, из (1) и (2) имеем:

1 2

и”к(ґ) + Лкщ(ґ) = ^(ґ;и,а) (0 < ґ < Т;к = 0,1,...), (8)

ик(0) = Фк, ик(0) = ¥к (к = ^.. Х (9)

где

і

¥к (ґ; и, а) = /к (ґ) + а(ґ)ик (ґ), /к (ґ) = 21/(х,ґ) соб ^х:

ф = 2|ф(х)собЛхйх,щ = 2|^(х)собЛхйх , (к = 0,1,...).

0 0

Из (8),(9) находим:

Ґ

щ(ґ) = ф + ґр0 +|(ґ -г)¥0(г;и,а)йт, (10)

0

ик

1 1 Ґ

(ґ) = фсобЛґ + щ— бійЛґ +---1^(г;и,а)БІпЛ(ґ-г)йг (к = 1,2,...). (11)

Л Л 0

Очевидно, что

t

u'k (t) = - Дф sin\t+ Wkcos Дt + |F (T; u,a)cos Д (t- r)dr (к = 1,2,...), (12)

u'l (t) = - Д Фк cos \t - sin Дt -

t

F(г;u,a)sinД(t -r)dr + F(t;u,a) (к = 1,2,...). (13)

После подстановки выражений (t) (к = 0,1,...) в (7) для определения компоненты

U (X, t) классического решения задачи (1),(2),(5),(6) получаем:

t J

u( x, t )=ф + Wo + | (t -г) F (г; u, a)dr + VM cos^ t + yk —sin Д t+

0 k=i I \

1 f

+-1F (г; u, a)sin Д (t - r)dr

Д ь

cos^ X. (14)

Теперь из (6) с учетом (7) имеем:

a(t) = h-'(t) .| h" (t) - f(0, t) + ХДЧ (t) I-. (15)

к=1

Для того чтобы получить уравнение для второй компоненты a(t) классического решения jw( X, t), a(t )| задачи (1),(2),(5),(6), подставим выражение (11) в (15):

{<Х>

h (t) - f (0, t)+ХЛ2 (A cos \t +

k=1

(16)

Таким образом, решение задачи (1),(2),(5),(6) свелось к решению системы (14), (16) относительно неизвестных функций и(х, t) и а(?) .

Исходя из определения классического решения задачи (1), (2), (5), (6) доказывается следующая

Лемма 2. Если {и(х, t), а^)} - любое классическое решение задачи (1), (2), (5), (6), то функции

о

о

>

и

1

(ґ) = 2|и(х,Ґ)собЛхйх (к = 0,1,...)

удовлетворяют системе (10),(11). Теперь, из (11)-(13) имеем:

ик(^ <|фк|+-1 ы+-1 }|^(г;^а)\(к=1,2,...),

Лк Л 0

г

ик(Ґ^ <Л|фк|+КІ+{|рк(г;u,а)|(к = 1,2,.Д

0

г

<(ҐІ <ЛфкI+ЛкКІ+Лк11^(г;u,а)\Лг+\¥к(Ґ;u,а)\(к=1,2,...).

Отсюда имеем:

\2 \2

и

к.(ґ)11 с[0,ті) I <21 !(Л фкI)

+

І то о \2 I Т то 9

+2[Х(Л2Ыі) І + 24Т1 ЩЛІ/к(г)|)<Г

V £=1 У V 0 ^=1

1

Ло

+

+2Т||а(ґ )||

С [0,Т ]

1 .2 ^2

ик (Ґ )С,0.Т ] I I ’ (17)

“к (Ґ )||с [0Т ] I 1 < 2

I ТО 9 \2 I Т ТО 9

+2 [Х(Л21 Ык I) + 2^Т [ |]С(Лк2 \Ек (г;и а)1)ат

V к=1 У V 0 к=1

ик.(ґ)|| с[0т,)2 12 <3№Ф|)'

+

(18)

0

0

1

1

1

I 1 х 2

+Ъу[т I |Х(Дк2 |Ик(Г;u,а)|) ^

0 к=1

+31 ¿(^И- (^ и а)1 с [0,т ])

I 2 ^2

(19)

Предположим, что данные задачи (1), (2), (5), (6) удовлетворяют следующим условиям:

1. ф(х) е С2[0,1], ф(х) е ^2(0,1) и ф(0) = ф(1) = 0;

2. /(х) е С1[0,1], /(х) е 4(0,1) и /(0) = /(1) = 0;

3. Дх,t) е С1,0(Дт), /хх(х,t) е Ь2(ВТ) и /(0,t) = /(1,Г) = 0 (0 < t < Т). Тогда из (17)-(19), (10) соответственно получаем:

1

£(Лк3 IIик.С)|С[„л )212 < 2||ф""(х!,»,„ + 2|/"(х)||

К (0,1)

+

+.

2^Г(\/х (х, t )|| , + 2Т||а(Г )||с[ОЛ Г £ (Л3! |щ (> ^г])2

V к=1 У

(20)

Е(^1иЯ)\С[0,Т] )2 12 < 2||ф""(х)||^(01 + 2|/"(х)||

К (0,1)

+

+2у[т \\а^ )ихх(x, г) + /хх(x, г )||

(21)

Х(Л )||С[0,Т])2 12 < 3|ф(х)||

+

31Их)1,(0,1) +

+

3^\\а(1; )ихх(x, t) + /хх (x,

42 (ДТ )

+ 3

11^)их (X, t) + Л (X,

С[0,т ]

¿2(0,1)

^1С[0,Т] <11ф(х)11 и(0,1) + Т1/(х)11

+

тЩ/(х,

\Ь 2(0,1)

11^2 (0,1)

+

+ Т2|\а^)||г„ _Л\иг

(t )|| С

\\Ь1{ПТ) ' II ~~К~А\С[0,Т ] II 0^ Л\С [0,Т] '

Далее, из (20) и (23) находим:

llu(x,^13 < 3 + Т(Т + 2)lla(t)llc[0,т]llu(x,ОЦ^’

(22)

(23)

(24)

где

1

\(Т) = 2|\ф" (x)|| L (0,„ + 2| |у/ ' (х)||

11^2(0,1)

+ 2'HT\.fxx (Х,' )L2( Dr) + |И X)|L,(0,1) +

+T\V( X)|| L-, (0,1) + ^If ( X,

Теперь из (15) с учётом (20) имеем:

L2 (DT )

\\a(t Л СОТ ] ~ B1(T ) + B2(T ^a(t Л С0.Т, 11И( Х> ' )||

С[0,т,ll v 5 /llB2

(25)

где

Bi(T ) = 1 И' )|| С [ОТ] 0 h" (t )1 СОТ ] 41 f С0, t

С[0,Т ]

+

то 1/ Г \

+(Х^,-2)/2 _2|\Ф’( L2 (0,1, + + 2| k'( 4\l 2(0,1) ) + ( X t )|| L2, DT ,),

k=1

“ 1/

B2(T) = 2 h- 1(t)c|(in(X4_2/2T.

k=1

Из неравенств (24) и (25) заключаем:

lla(t )11 с[0,т ]+IKx' )IB,£ A(T)+B(T )a(t »ILnlkx oU, ■ (26)

C[0,T, I

где

A(T) = A (T) + B (T), B(T) = T(T + 2) + B2 (T).

Итак, можно доказать следующую теорему. Теорема 1. Пусть выполнены условия 1-3 и

B(T)(A(T) + 2)2 < 1.

(27)

Тогда задача (1), (2), (5), (6) имеет в шаре K = KR (|| zjj^ < A(T) + 2) из Е^ единствен

ное решение.

Доказательство. В пространстве Е3 рассмотрим уравнение

z = 0z, (28)

где Z = {u, a}, компоненты Фг оператора Ф(и, а) определены правыми частями уравнений (14), (16) соответственно. Рассмотрим оператор Ф(и, а) в шаре K = K^(||< R = A(T) + 2) из

Аналогично (26) получаем, что для любых z, z1, z2 е КЕ справедливы оценки:

Щ\Е3 < А(Т) + ЩТ) ||a(t^] IIu(x,t^b2,t . (29)

||®zi - E, < B(T)R ||ai(l) - a2(t)|C[0 Tj +1|ui(x, I) - U2(x, Iц,тj. (30)

Тогда из оценок (29) и (30) с учетом (27) следует, что оператор Ф действует в шаре K = KR и является сжимающим. Поэтому в шаре K = KR оператор Ф имеет единственную неподвижную точку {u, a} , которая является решением уравнения (28).

Функция U(X, t) как элемент пространства В^т , непрерывна и имеет непрерывные производные U (X, t), U^ (X, t) в DT.

Из неравенств (21), (22) следует, что U (X, t), U (x, t) непрерывны в DT .

Легко проверить, что уравнение (1) и условия (2), (5), (6) удовлетворяются в обычном смысле. Значит, {u (x, t), a(t)} является классическим решением задачи (1), (2), (5), (6), а в силу леммы 2 это

решение единственно. Теорема доказана.

С помощью леммы 1 легко доказывается следующая Теорема 2. Пусть выполняются все условия теоремы 1 и

1 1 1

|ф(X)dX = 0, | /(X)dX = 0, | f (x, t)dX = 0 (0 < t < T),

0 0 0 .

ф(0) = h(0), /(0) = h'(0).

Тогда задача (1)-(4) имеет в шаре K = K^ 11|z||^3 < A(T) + 2 j из E3 единственное решение.

Поступило 19.02.2010 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гордезиани Д.Г., Авалишвили Г.А. - Мат. моделирование, 2000, т.12, №1, с. 94-103.

2. Пулькина Л.С. - Дифференциальные уравнения, 2004, т.40, №7, с. 887-892.

3. Намазов Г.К., Мегралиев Я.Т. - Вестник Бакинского университета, сер. физ.-мат. наук, 2003, №2, с.5-15.

4. Худавердиев К.И. К теории многомерных смешанных задач для нелинейных гиперболических уравнений: Автореф. дисс. д.физ.-мат.н., Баку, 1973, 48 с.

Я.Т.Мегралиев, А.Х.Сатторов*

МАСЪАЛАИ КАНОРАИ БАРАКС БО ШАРТИ ИНТЕГРАЛЙ БАРОИ МУОДИЛАИ ГИПЕРБОЛИКИИ ТАРТИБИ ДУЮМ

Донишго^и давлатии Боку, Цумхурии Озарбойцон,

Донишкадаи ицтисод ва савдои Донишго^и давлатии тицоратии Тоцикистон

Дар макола як масъалаи канории баракс барои муодилаи гиперболикии тартиби дуюм бо шарти интегралй тадкик карда шудааст.

Аввал ин масъала ба масъалаи эквивалент овардашуда, теоремаи мавчудият ва ягонагии хдлли он исбот карда мешавад. Баъдан ба эквивалентии ин масъалахо асос намуда мавчудият ва ягонагии хдлли классикии масъалаи гузошташуда исбот карда шудааст.

Калима^ои калиди: масъалаи канорй - шарти интегралй - муодилауои гиперболикй - шартуои интегралии гайрилокалй - фазаи Банах - нуцтаи устувор.

Ya.XMegraliev, A.Kh.Sattorov*

INVERSE EDGE TASK WITH INTEGRAL CONDITIONS FOR HYPERBOLIC EQUATION OF THE SECOND ORDER

Baku State University, Republic of Azerbaijan,

Institute of Economics and Commerce of the Tajik State University of Commerce, Khudjand

In the given paper the inverse edge task with integral conditions for hyperbolic equation of the second order is researched. First of all the initial task is brought together to equivalent task, in which the theorem of existence and unique solution is proved. Further, having used these facts, existence and unity of the classical solution of the initial task is proved too.

Key words: edge task - integral conditions - hyperbolic equations - non-local integral conditions - Banakh space - unmovable point.