CC BY
41
Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ
УДК 517.5
ФУНКЦИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА НА МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
А. С. Романов
FUNCTIONS AND MAPPINGS OF SOBOLEV TYPE ON METRIC SPACES
A. S. Romanov
Статья содержит краткий обзор теории функциональных классов соболевского типа, определяемых на метрическом пространстве (X, d), снабженном борелевской мерой /л. Более подробно рассматриваются введенные П. Хайлашем банаховы функциональные пространства (X, d, л) и связанные
с ними классы отображений.
This article contains a short review of the theory of functional classes of Sobolev type defined on a metric space (X,d), equipped with a Borel measure л- More detailed discussion of Banach function spaces Ml(X,d, л), introduced by P. Hajlasz, and related classes of mappings.
Ключевые слова: пространства Соболева, метрические пространства, теоремы вложения.
Keywords: Sobolev spaces, metric spaces, embedding theorems.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 10-01-00662) и программы поддержки ведущих научных школ (НШ-6613.2010.1).
Изучение функциональных классов, в той или иной мере являющихся обобщением классических пространств Соболева, уже в течение многих лет является актуальной задачей, имеющей многочисленные приложения в разных областях математики - анализе, геометрии, теории дифференциальных уравнений, вариационном исчислении ... В настоящее время теория функциональных классов соболевского типа активно развивается в различных направлениях.
К уже традиционным направлениям, как правило, имеющим практические приложения, можно отнести введение и изучение в областях евклидова пространства новых классов вещественнозначных функций, гладкость которых понимается в некотором обобщенном смысле. Так, в работе О. В. Бесова [4] введены и изучаются функции соболевского типа с "переменной гладкостью" , а в книге Д. Эдмундса и В. Д. Эванса [26] рассматриваются "абстрактные пространства Соболева" Шк(Х(П),У(П)), функции которых принадлежат банахову пространству X(П) и имеют обобщенные производные, принадлежащие банахову пространству У(П).
В работах Ю. Г. Решетняка [13,14,15] были введены и изучены классы функций соболевского типа, определенных в евклидовых областях, но принимающих значения в метрическом пространстве. Оригинальный подход к определению таких функциональных пространств позволил получить аналоги многих результатов, известных для классических пространств Соболева.
В настоящее время на группах Карно активно изучаются различные вопросы, в которых важную роль играет принадлежность функций или отображений соответствующим классам Соболева. На группах Карно, в отличие от евклидова случая, во многих вопросах определяющую роль играет
не полный дифференциал отображения, а дифференциал, вычисляемый лишь вдоль "горизонтальных" векторных полей. Групповая специфика не позволяет автоматического перенесения евклидовых результатов и требует новых подходов и методов доказательств, которые порой оказываются близки к используемым при изучении свойств функций на метрических пространствах. Подробное обсуждение вопросов теории отображений с ограниченным искажением и различных свойств соболевских функций на группах Карно можно найти в работе С. К. Водопьянова [43], содержащей обширную библиографию.
Нас же в первую очередь будет интересовать ситуация, когда метрическое пространство является областью определения функции.
Вполне актуальным и целесообразным представляется введение и систематическое изучение (в дополнение к традиционно рассматриваемым на метрических пространствах классам непрерывных, липшицевых и суммируемых функций) новых классов функций с обобщенной "гладкостью" , наследующих многие характеристические свойства классических пространств Соболева.
В евклидовом случае пространство Соболева Ш^(О) обычно воспринимается как подпространство функций из Ь р(О), у которых первые обобщенные производные суммируемы в степени р. На метрических пространствах в общем случае нет никакой линейной структуры и, как следствие, нет адекватного понятия дифференциала функции. Поэтому метрическое определение функций соболевского типа естественным образом должно отличаться от традиционного определения пространств Соболева, используемого в евклидовом случае. При всем внешнем различии формулировок, а порой и различии получаемых в итоге классов функций, в основе разных подходов к опреде-
Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ
лению функциональных классов соболевского типа на метрических пространствах лежит единый принцип - для функций пространства Шр(В) на шаре В С Кп выделяется какое-либо характеристическое свойство, допускающее переформулировку в терминах произвольной метрики и подходящей борелевской меры, а затем это свойство используется в качестве аксиомы принадлежности функции соответствующему классу соболевского типа на метрическом пространстве. В результате получаемые классы функций, совпадая на шарах В С Кп с классическими пространствами Соболева, в общем случае на метрических пространствах могут оказаться существенно различными.
Наиболее общий - аксиоматический подход к определению соболевских классов функций предложен в работе В. М. Гольдштейна и М. Троя-нова [27], формализовавших минимальный набор требований, позволяющий определить на метрическом пространстве функциональные классы, совпадающие в евклидовом случае с пространствами Соболева. В эту схему вписываются большинство из известных классов соболевского типа на метрических пространствах. К сожалению, минимальный набор условий позволяет получить лишь ограниченный набор содержательных утверждений о свойствах функций.
Активное изучение различных классов функций с обобщенной гладкостью на метрических пространствах началось с введением Ю. Хейноне-ном и П. Коскелой понятия "верхнего градиента" [37,38].
На связном метрическом пространстве (Х, !) стандартным образом определяются класс спрямляемых кривых и понятие интеграла по кривой. Неотрицательную функцию д называют "верхним градиентом" функции и : X ^ К, если неравенство
щих метрику ! и меру ц. Наиболее полная теория таких классов функций получается в случае, когда должным образом согласованные свойства метрики и меры обеспечивают выполнение для произвольной функций и Є Ш1 (X, !, л) метрического
аналога ^-неравенства Пуанкаре:
(
J \и — ив \ < Ср J др !л
1/р
В(х,р)
(2)
\В (х,р)
(1)
выполняется для всякой кривой соединяющей точки х и у. Очевидно, что в евклидовом случае для гладкой функции и неравенство (1) является непосредственным следствием формулы Ньютона-Лейбница, а "верхним градиентом"является модуль градиента функции и, т. е. д = |Уи|.
Если на метрическом пространстве задана некоторая борелевская мера /л, то функциональное пространство соболевского типа (X, !, /л) определяется как совокупность функций и € Ьр (Х,л), у которых "верхний градиент" суммируем в степени р по мере л [28,36,37,38].
В евклидовом случае свойства функций, принадлежащих пространству Соболева Ш^(О), существенным образом зависят от геометрического строения области О. В метрическом случае свойства функций из пространства соболевского типа Ш1(Х, !, л) зависят от соотношений, связываю-
где символом ид обозначено среднее значение функции и на шаре В(х,р).
Учитывая имеющуюся в евклидовом случае взаимосвязь между принадлежностью функции и пространству Соболева (Кп) и выполнением для нее соответствующего неравенства Пуанкаре, неравенство (2) само может быть использовано для определения новых классов функций соболевского типа на метрических пространствах. Будем говорить, что функция и € Р^(Х,!, л), если и € Ь р (Х,л) и существует такая неотрицательная функция д € Ьр(Х,л), что неравенство (2) выполняется для всех шаров В(х,р) С Х. Отметим, что, в отличие от пространств Ш^(Х,!, л), определяемых на связных метрических пространствах, функциональные классы Р^(Х, !, л) могут быть определены на произвольном метрическом пространстве с мерой.
Различные свойства функций, удовлетворяющих на метрическом пространстве неравенствам Пуанкаре, и взаимосвязь пространств Р1 (Х, !, л) с другими функциональными классами соболевского типа довольно подробно изучаются в работе П. Хайлаша и П. Коскелы [33], а также рассматриваются в работах [28,30,31,38].
Для соболевских функций на евклидовом шаре В С Кп Б. Боярским [24,25] была получена поточечная оценка липшицевого типа: при р > 1 для всякой функции и € Ш^(В) почти всюду выполняется неравенство:
1и(х)-и(у)1 < С 1х-у1 (М(|Уи|)(х) + М(\Уи1)(у)),
(3)
где М(|Уи|) - максимальная функция Харди-Литтлвуда для модуля градиента функции и.
Метрический аналог неравенства (3) был использован П. Хайлашем [29] для определения функциональных классов соболевского типа М ^(Х, !, л), которые достаточно подробно будут рассмотрены в первом разделе статьи. Здесь же лишь отметим, что оценка липшицевого типа, на которой базируется определение, позволяет получить для пространств М^(Х,!, л) аналоги основных классических теорем вложения, выполняющихся для пространств Соболева в евклидовом случае. При этом полученные в метрическом случае доказательства оказываются даже проще и нагляднее, чем в евклидовом. Традиционное определение соболевских классов функций в областях
Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ
евклидова пространства, основанное на суммируемости обобщенных производных в некоторой степени p > 1, является весьма универсальным. С одной стороны, этим объясняется активное использование теории пространств Соболева в различных разделах современной математики, с другой стороны, наличие широкого спектра технических возможностей не способствует поиску наиболее простых и естественных для данного круга задач методов доказательств. Определения функциональных классов соболевского типа на метрических пространствах базируются на альтернативных описаниях, как правило, выделяющих какое-либо характеристическое свойство соболевских функций, что сужает технические возможности, зато позволяет выделять основное содержание необходимых оценок и находить оптимальные способы доказательства.
При доказательстве для пространств M^(X,d, р) теорем вложения в пространства Лебега Lq (Х,р) основную роль играет получаемая в ходе доказательства оценка приращения функции через меру шара, содержащего соответствующие точки. Учитывая это обстоятельство, вполне целесообразным оказывается рассмотрение новых функциональных классов Wap (X,d,p), функции которых удовлетворяют условию:
\u(x) - u(y)\ < (M(x, y))1/a(g(x) + g(y)),
где M(x,y) - мера соответствующего шара, содержащего точки x и y, а функция g G Lp (Х,р). Получаемые для пространств Wap(X,d,p) теоремы вложения оказываются вполне аналогичными классическим соболевским теоремам вложения [18,19]. Если считать, что на метрических пространствах критерии "гладкости" определяются взаимосвязью свойств функций с соответствующей метрикой, то, в случае неоднородных мер, пространства Wap (X,d,p) можно воспринимать как классы функций с переменной гладкостью, зависящей от строения меры в окрестности данной точки. Такая точка зрения вполне согласуется с подходом О. В. Бесова к определению классов функций с переменной гладкостью в евклидовом случае [4].
Отметим, что развитие теории функциональных классов соболевского типа на метрических пространствах стимулируется не только внутренними мотивами, но и имеющимися приложениями, казалось бы, столь абстрактных результатов к изучению классических пространств Соболева в евклидовых областях с нерегулярной границей [20,21], к описанию следов соболевских функций на множествах фрактальной природы [34], к изучению различных вопросов в теории пространств Карно-Каратеотори [33,43]...
1. Функциональные пространства
1.1. Определения и основные свойства
Рассмотрим метрическое пространство (X, d) с конечным диаметром и конечную регулярную боре-левскую меру р с носителем в множестве X.
Для произвольной р - измеримой функции u : X ^ R, функцию g : X ^ [0, ж) будем называть допустимой, если существует такое множество E С X, что р(Е) = 0 и неравенство
\u(x) - u(y)\ < d(x, y)(g(x) + g(y)) (i.i.i)
выполняется для всех точек x,y G X \ E.
Множество всех допустимых функций для функции u обозначим через D(u) и при p > 1 положим Dp(u) = D(u) П Lp(X,p).
Функциональные классы S^(X,d, р) и M^(X, d, р) определяются условиями:
Sl(X,d,p) = {u : X ^ R \ Dp(u) = $},
M^(X, d, р) = {u G Lp(X, р) \ u G S^(X, d, р)},
а полунорма в пространстве S^(X,d, р) и норма в пространстве M^ (X, d, р) определяются равенствами:
\\u \ S1H = inf \\g \ Lp\\,
g£Dp(u)
\\u \ Mp\ \ = \\u \ Lp\\ + \\u \ S1\\.
В работе [29] показано, что пространство M^(X,d^) является банаховым, а липшицевы функции образуют в нем всюду плотное подмножество. Отметим, что, в силу конечности диаметра метрического пространства и конечности меры, пространства S^ (X, d, р) и M^ (X, d, р) совпадают как множества функций. Различные свойства пространств Mp (X, d, р) и их взаимосвязь с другими классами функций изучаются в работах [28,29,30,31,32,34].
В евклидовых областях G С Rn, для которых существует ограниченный оператор продолжения Ext : W^(G) ^ W^(Rn) (в частности, в областях с липшицевой границей), пространство M^(G, \ * \,mn), рассматриваемое относительно стандартной евклидовой метрики и меры Лебега, и классическое пространство Соболева W^(G) совпадают как множества функций, и их нормы эквивалентны [29]. Это позволяет введенные П. Хайла-шем пространства M1 (X, d, р) называть пространствами соболевского типа.
В евклидовых областях более общего вида пространство Соболева W^(G) и пространство M1(G, \ * \, mn) могут и не совпадать, можно лишь гарантировать вложение [29]:
Ml(G, \*\,mn) С Wlp (G).
Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ
Если в общем случае не предполагать никакой взаимосвязи между метрикой и мерой, то сложно ожидать какой-либо дополнительной содержательной информации о свойствах функций классов (X, 3, л). Однако при вполне естествен-
ных дополнительных предположениях для функциональных пространств Мр (X, 3, л) выполняются аналоги многих классических результатов, известных в евклидовом случае для пространств Соболева Ш^(Кп). Для нас в первую очередь будут представлять интерес аналоги классических теорем вложения.
Мера л называется в-регулярной, если для всякого шара при р < ЗгатХ выполняется оценка л(Б(х, р)) > С рв, при этом показатель в во многих случаях играет роль "размерности" метрического пространства (X, 3). Согласно результатам работы [29], верна следующая теорема вложения.
Теорема 1.1.1. (Р. Hajlasz) Пусть
1 < р < ж, мера л является в-регулярной
и функция и € М^(Х,3, л), тогда:
1) при р < в функция и € Ьч (Х,л), где 1 < Ч < в—р и
1|и | Ь||< С ||и | МЦ\,
\\и - их | Ьч|| < С' Ци | ||;
2) при р = в существуют такие постоянные С\ и С2, что
- expiCi мщ) d,‘ < C2;
X
3) при p > s ||u - ux I L^II< Cл(X)1/s-1/p ||u I SiII.
когда мера л удовлетворяет простому геометрическому "условию удвоения":
ji(B(x, 2p)) < Cd ji(B(x,p)),
(1.1.2)
т. е. мера шара удвоенного радиуса допускает оценку сверху через меру исходного шара. Всякая мера, удовлетворяющая условию удвоения, является s-регулярной с показателем s = log. Cd. Всюду далее мы будем предполагать, что мера л удовлетворяет условию удвоения, а символом s будем обозначать ее показатель регулярности. Несмотря на простоту оценки (1.1.2), она имеет много полезных следствий. На метрических пространствах с мерой, удовлетворяющей условию удвоения, сохраняются многие свойства меры и интеграла Лебега в Rn [42], к примеру - лемма Витали о покрытии, теорема Лебега о дифференцировании интеграла, ограниченность максимального оператора в пространствах Lp при p > 1...
При этом метрических пространств, на которых можно ввести меру, удовлетворяющую условию удвоения, достаточно много. Как показали А. Л. Вольберг и С. В. Конягин [7,8], такие меры могут быть заданы на любом компакте в Rn.
Если мера л удовлетворяет условию удвоения, то, согласно работе [32], для всех точек Лебега локально суммируемой функции u выполняется неравенство:
Iu(x) - u(y)I < C(d(x,y))Y(u#(x) + u#(y)), (1.1.3)
где О К y < 1 и u#- уточненная максимальная функция порядка y, однозначно определенная во всех точках множества X равенством:
(x)
sup p
р>0
Iu uB(x,p)IdЛ.
B(x,p)
В формулировке теоремы и далее символ и^ означает среднее значение функции и на множестве П:
un
/udu = —f udu.
л(Щ J
Можно отметить, что в регулярных евклидовых областях О С Нп, в которых пространства М^(С, | * |, тп) и Ш^(О) совпадают, результат теоремы 1.1.1 для пространств М^(О, | * I тп) совпадает с результатом классической теоремы вложения для пространств Соболева Ш^(О). При этом теорема 1.1.1 является весьма универсальной, ее результат не зависит от структуры конкретного метрического пространства и полностью определяется показателем регулярности меры, который характеризует взаимосвязь метрики и меры.
Для пространств М1 (X, 3, л) вполне содержательная теория, включающая в себя различные варианты теорем вложения, получается в случае,
Таким образом, в отличие от общей ситуации, когда неравенство (1.1.1) лишь неявным образом определяет семейство допустимых функций, в данном случае появляется возможность конструктивного описания допустимых функций, что существенно упрощает технику доказательств и расширяет круг изучаемых вопросов.
Следующие описания пространств М1 (X, 3, л) получены в работе [32].
Лемма 1.1.2. (Р. Hajlasz, Л. Kinnunen)
При 1 < р < ж для функции и € Ьр (X, л) следующие условия эквивалентны:
1) и € МIX, 3, л);
2) и# € Ьр ^,л);
3) существует такая функция Н € Ьр^,л), что неравенство Пуанкаре:
- \а - uв(x,p)| dP < p - hdP
B(x,p)
(1.1.4)
B(x,p)
выполняется для произвольных x Є X и p > О.
Y
Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ
пространств (Х,й,л) на множествах "меньшей размерности".
Формулируемая ниже теорема получена в работе [17] и характеризует взаимосвязь пространств соболевского типа Ы^, определяемых разными ||ко | Ьр(Х,л)\\ ~ \\и# | Ьр(Х,л)\\ ~ ||и | В^(Х, й, л)\\.метриками. При этом термин "теоремы вложения
разных метрик" в данном случае можно понимать в буквальном смысле.
В силу равномерной выпуклости пространств Ьр при р > 1 существует функция ко, удовлетворяющая неравенству Пуанкаре (1.1.4) и имеющая наименьшую Ьр-норму, при этом
Выполнение для функций пространства М^(Х,в, л) неравенства Пуанкаре и результат теоремы 1.1.1 позволяют переформулировать в удобной для нас форме теорему 8.1 и теорему 8.3 работы П. Хайлаша и П. Коскелы [33].
Теорема 1.1.3. Hajlasz, P. Koskela) При
1 < р < ж произвольная последовательность функций, ограниченная в норме М^(Х,в, л), содержит подпоследовательность, сходящуюся в Ьч (Х,л) к некоторой функции и Є Ьч (Х,л), где
1) 1 < Я < аР-р при р < в;
2) 1 < Я < ж при р > в.
Поскольку строение пространств М^ (X, в, л) определяется метрикой в и мерой л, то и соответствующие теоремы вложения естественным образом можно разбить на два типа: теоремы вложения разных метрик и теоремы вложения разных мер.
1.2. Теоремы вложения разных метрик
Под теоремами вложения разных метрик обычно понимают вложения в пространства функций, имеющих гладкость меньшую, чем гладкость исходного пространства. При 0 < ^ < 1 в определении пространств соболевского типа расстояние в(х,у) можно заменить на (х,у) = (в(х,у))7 и получить соответствующие гельдеровы классы М£(X, в, л). Однако (х,у), в свою очередь, является метрикой, поэтому возникающие гельде-ровы классы М^(Х,в,л) относительно исходной метрики в часто оказывается более удобным рассматривать как пространства соболевского типа М^(Х,в7,л), т. е. как пространства с "единичной гладкостью" , но относительно новой метрики . Достоинство такого подхода заключается в том, что для пространств М^(Х, , л) не требуется новых доказательств теорем вложения, т. к. достаточно пересчитать показатель регулярности меры л относительно новой гельдеровой метрики и воспользоваться уже имеющимся результатом.
Само определение пространств М^(Х, , л) не совсем привычно, поскольку в евклидовом случае обычно рассматриваются другие гельдеровы классы функций. При этом заметим, что и в евклидовом случае пространства М^ относительно гель-деровых метрик использовались в работе П. Хай-лаша и О. Мартио [34] при описании следов соболевских функций на фракталах. В метрическом случае пространства такого типа, определяемые гельдеровыми метриками, оказываются удобным инструментом для изучения следов функций из
Теорема 1.2.1. ([17]) Пусть 1 < р < ж,
0 < ^ < 1. Тогда пространство Ы£ (X, й, л) непрерывно вложено в пространство Ы^(Х,й7,л), где
1) 1 - р = 7 - в при (1 - ч)р < в;
2) 1 < г < ж при (1 — 7)р > в.
1.3. Теоремы вложения "разных мер"
В евклидовом случае теоремы вложения разных мер (разных измерений) обычно связывают с задачей описания следов функций из соболевских классов на подмножествах, имеющих размерность меньшую, чем исходное евклидово пространство.
Для начала нам нужно смоделировать аналогичную ситуацию на метрическом пространстве. Пусть мера л удовлетворяет условию удвоения и является в-регулярной, в > 1, а подмножество Е С X и удовлетворяющая условию удвоения в'-регулярная мера V таковы, что для произвольного шара В(х,р) с центром х € Е верна оценка v(B(x,p)) < Ср-ал(В(х, р)), где а = в — в' > 0. В силу конечности диаметра множества Х и конечности меры л, получаем, что v(E) < ж. Вообще говоря, функция и из пространства Ы^(Х, й, л) изначально может быть определена лишь л-почти всюду в Х, и ее значения могут быть не заданы на множестве А С Е, для которого л(А) = 0 и v(A) > 0. Поэтому нужно вначале определиться -что мы будем называть следом функции и на множестве Е. Согласно работе [29], липшицевы функции плотны в пространстве Ы^(Х,й, л), поэтому можно рассматривать следы непрерывных функций. Однако в данном случае удобнее воспользоваться другим стандартным приемом - доопределить функцию в ее точках Лебега.
Согласно результатам работ [17,21], при р > а для произвольной функции и € Ы 1(Х,й, л), точками Лебега являются V - почти все точки множества Е, и в них функция и может быть доопределена равенством
и(х)
Р™ л(В(х,р))
и вл.
В(х,р)
Далее при р > а следом функции и € Ыр (X, й, л) на множестве Е будем называть сужение на множество Е функции
и(х) = Иш
1
р^о л(В(х,р))
и вл,
В(х,р)
Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ
определенной во всех точках х Є X и («-почти всюду совпадающей с исходной функцией и.
Теперь мы можем сформулировать условия, при которых оператор следа будет ограниченным.
Теорема 1.3.1. ([21]) Пусть 1 < р < ж,
0 < а < шт{в,р} и 0 < ^ < 1 — а/р. Тогда оператор следа
Тг : МІ(Х, й,р) ^ МІ (Е, й1, V)
непрерывен при
-, \ л ^ Р ($ — а) \
1) 1 < г < а — ^ — /)р, если (1 — 7)р < в;
2) 1 < г < ж, если (1 — 7)р > в.
1.4. О компактности операторов вложения и следа
Нас будут интересовать условия компактности оператора вложения пространства М^ (X, й,«) в пространства М^(Х,й7,р), определяемые гельде-ровыми метриками, и компактности оператора следа Тг : М^(Х, й, р) ^ М^(Е, , V).
Доказательство следующего утверждения основано на оценке максимальной функции дробного порядка через максимальную функцию порядка
1 и норму самой функции [21]:
u#(x) < C(т(1 y)u#(x)+ т
-(s+Y)
I|u | Li(X,p)\\.
(1.4.1)
Неравенство (1.4.1) напоминает оценку промежуточной производной через старшую производную и саму функцию.
Теорема 1.4.1. ([21]) Пусть 1 К p К ж,
0 К y К 1. Оператор вложения
І і Ml(X, d, р) ^ Ml(X, dY, р) будет компактным при
1) 1 <r К s — (p - Y)p, когда (1 — y)p К s;
2) 1 < r К ж, когда (1 — y)p = s;
3) 1 < r < ж, когда (1 — y)p > s.
Следствие 1.4.2. ([21]) Если p > s, то пространство Ml (X, d, р) компактно вложено в пространство M1 (X, dY, р) при всех y К 1 — s/p.
Используя результаты теоремы 1.4.1 и теоремы 1.1.1, представим оператор вложения
1 M l(X,d, р) ^ Lq (X,p) в виде композиции
I = I: о I2, где оператор
I2 і M 1 (X, d, р) ^ Ml (X, dY, p)
является компактным, а оператор
Ii і Ml(X,d7 ,p) ^ Lq (X,p)
является непрерывным. Последовательный пересчет показателей суммируемости позволяет получить утверждение, уточняющее теорему 1.1.3.
Теорема 1.4.3. ([21]) Пусть 1 К p К ж. Тогда оператор вложения
11 Ml(X,d,p) ^ Lq (X,p) является компактным при
1) 1 < q К sp— p, когда p К s;
2) 1 < q К ж при p = s;
3) 1 < q < ж при p > s.
Если подмножество E С X и мера v удовлетворяют условиям пункта 1.3, то условия компактности оператора следа описываются в следующем утверждении.
Теорема 1.4.4. ([21]) Пусть 1 К p К ж,
О К а К min{s,p} и О К y К 1 — а/p. Тогда оператор следа
Tr і Ml(X, d, p) ^ Ml(E, dY, v)
будет компактным при
1) 1 <r К s -s--^ когда (1 — y)p К s;
2) 1 < r К ж, когда (1 — y)p = s;
3) 1 < r < ж, когда (1 — y)p > s.
Следствием теоремы 1.4.4. и теоремы 1.1.1. является следующее утверждение о компактности оператора следа в пространствах Лебега.
Теорема 1.4.5. ([21]) Пусть 1 К p К ж и
О К а К min{s, p}. Тогда оператор следа
Tr і Ml(X, d, p) ^ Lq(E, v) будет компактным при
1) 1 < q К p(s— p^), когда p К s;
b p
2) 1 < q К ж, когда p = s;
3) 1 < q < ж, когда p > s.
2. Пространства Соболева в пиках с гельдеровыми особенностями
В этом разделе мы рассмотрим приложения результатов, полученных для пространств М^, к изучению свойств функций, принадлежащих классическим пространствам Соболева в евклидовых областях с нерегулярной границей. Нас будут интересовать различные теоремы вложения для пространств Соболева Ш ^(О\) в "нулевых" пиках 0\ С Еп с гельдеровыми особенностями в вершине, в том числе и вопрос о компактности вложения следов соболевских функций в лебеговские классы на границе пика, естественным образом связанный с постановкой краевых задач для эллиптических уравнений.
Непрерывность и компактность оператора вложения
I : Ш(О) ^ Ьч(О)
для областей с гельдеровыми особенностями даже более общего вида достаточно подробно изучены в работах О. В. Бесова, Д. А. Лабутина, В. Г. Мазьи
Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ
...[1,2,3,10,11,12]. При этом вопрос о компактности оператора следа
Тг : ШЦа) ^ Ьд(да)
для областей с нерегулярной границей исследован мало. Одна из причин этого связана техническими проблемами, возникающими при описании пространств следов соболевских функций даже для модельных областей с нерегулярной границей. Можно отметить лишь работу М. Ю. Ва-сильчика и В. М. Гольдштейна [5], согласно которой для "нулевого" пика а^ С Яп, определяемого функцией ^, пространство следов соболевских функций класса Ш2:(а^) компактно вложено в весовое пространство Лебега Ь2,^(да^) на границе пика.
Для получения интересующих нас теорем вложения мы хотим воспользоваться методами, существенно отличными от традиционно используемых в данной тематике. Рассматриваемая нами схема доказательств основывается на взаимосвязи пространств Соболева Ж1(ах) с пространствами Мр(а^, \ * \,тп) и последующем применении уже имеющихся теорем вложения для классов функций соболевского типа на метрических пространствах. Такой подход позволяет получить соответствующие результаты, не используя явного описания пространства следов, а точность получаемых в теоремах оценок легко проверяется на конкретном примере.
Точку пространства Яп будем обозначать через (х,у), где х Є Я, у Є Яп-1. Для 1 < А < то пик а\ С Яп определим условием:
ах = {(х, у) Є Яп \ 0 < х < 1,
0 <ук <хх, к = 1,...,п — 1}.
Обозначим через тп сужение п-мерной меры Лебега на пик ах, а через а сужение (п— 1)-мерной меры Хаусдорфа на границу пика ах.
Введем показатель Л = 1 + (п — 1)А. Поскольку для меры шаров с центром в вершине пика выполняется оценка \В(0, г)пах\ ~ Сгл, то в различных оценках показатель Л часто играет роль "асимптотической размерности" пика ах.
Свойства функций из пространств Соболева Ж^(О) существенным образом зависят от геометрической структуры области а. Известно, что наличие гельдеровой особенности в вершине пика ах является препятствием для существования ограниченного оператора продолжения функций класса Ж^(ах) из пика на все евклидово пространство, с условием принадлежности продолженной функции классу Ж 1(Яп). Поэтому изначально мы можем гарантировать лишь вложение
М1 (ах, \*\,тп) С Ж1(ах).
Существование обратного вложения удается показать лишь при дополнительном условии на
показатель суммируемости р. Согласно результатам работ [16,20], при: р > Л/п
ш1(ах) = м 1(ах, \*\,тп),
при этом функциональные пространства совпадают как множества функций, а их нормы оказываются эквивалентными. Поэтому интересующие нас теоремы вложения для пространства Соболева Ж ^(ах) могут быть получены как следствие результатов предыдущего раздела для пространства соболевского типа М^(ах, \ * \, тп).
Доказательство совпадения функциональных пространств в данном случае основано на специальной конструкции оператора продолжения "с ухудшением класса" , действующего из пространства Ж^(ах) в пространство Ж^(Яп), где ц < р. Такой оператор продолжения оказывается ограниченным лишь при р > Л/п, поэтому при меньших показателях суммируемости приходится использовать другой технический прием.
Введем в пике ах новую анизотропную метрику !, полагая:
4(х1,У1)] (х2 ,У2)) = \](хх — Хх)2 + \уі — У2 \2,
и весовые меры ^ и V, определяемые условиями:
= хр (х-1')!тп, ^ = хр (х-1^!а.
Как показано в работе [21], при всех показателях суммируемости р > 1 выполняется вложение:
ж1(ах) с м1р(ах,!,^).
Поэтому интересующие нас утверждения, касающиеся оператора вложения, являются следствием цепочки вложений:
ж'(ах) ^ м1(ах,!,р) ^ м^(ах,!1 ,^) ^
Ьs(ах,№i'), Ьд (ах,mn'),
а соответствующие утверждения для оператора следа являются следствием цепочки вложений:
ж1(ах) ^ м1(ах,!,р) ^ м1(д(ах),^V ^
^ Ьs(д(ах),v) ^ Ьд(д(ах),а).
При этом на каждом шаге вложение либо уже известно, либо является простым следствием неравенства Гельдера.
Как уже было отмечено, результаты для оператора вложения не являются новыми, просто в данном случае они получены новым способом. Поэтому мы ограничимся формулировкой окончательного результата о компактности вложения следов соболевских функций в пространства Лебега на границе пика.
Теорема 2.1. ([21]) Пусть л + 1 <Р<ГХ>, тогда оператор следа
Тг : Ж1(ах) ^ Ьд(дах,а)
Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ
является компактным при
1) 1 < д<р Л — р, когда Л -Л + 1 <Р< Л;
2) 1 < я < ж, когда р = Л;
3) 1 < я < ж, когда р> Л.
Ограничение снизу на показатель суммиру-
емости р в теореме 2.1 сязано с тем, что при меньших показателях суммируемости пространство следов не может быть вложено ни в какое пространство Лебега Ьч(дОх,а) при я > 1. В этом случае вложение возможно лишь в весовые пространства Лебега.
В ходе доказательства, кроме основного утверждения, автоматически получаются и другие результаты о компактности оператора следа в соответствующих функциональных пространствах, участвующих в цепочке последовательных теорем вложения. В результате получены условия компактности оператора следа для следующих случаев:
Тг : Ш^(Ох) ==Ф ИЦдОх, 37, у);
Тг : Ш^(Ох)=^ И1ч(дОх,31 ,а);
Тг : ШЦОх) ==Ф ЫЦдСх, | * Г,а);
Тг : Ш^(Ох) ==* О0’"'(дСх);
Тг : Ш1(СХ)=^ Ьг(дСх,и).
Вложения следов в пространства соболевского типа М1, определяемые гельдеровыми метриками, являются несколько непривычными, традиционно со следами соболевских функций связывают соответствующие пространства Бесова. Получить полное описание следов, оставаясь в рамках шкалы пространств М£, не удается, однако получаемые вложения оказываются вполне информативными и в некотором смысле точными. Построенный в работе [21] пример показывает, что, несмотря на некоторую экзотичность используемого метода, полученная в первом пункте теоремы
2.1 оценка на показатель суммируемости я является точной. Это означает, что и промежуточные оценки для теорем вложения, участвующих в цепочке, являются точными.
3. О непрерывности функций соболевского типа
Пусть О - область в евклидовом пространстве Кп. Функцию I : О ^ К называют п-абсолютно непрерывной, если для произвольного е > 0 существует такое 5 > 0, что для любого семейства непересека-ющихся шаров Вк = В(хк,гк) С О из условия
Е гП <5
к
следует:
Е (овсвк I)п < е,
к
где символом овсвк I обозначено колебание функции / на шаре Вк.
Согласно работе [40], всякая функция класса 1ОС(О), градиент которой принадлежит про-
странству Лоренца Ьп,\(О), эквивалентна некоторой п-абсолютно непрерывной функции. Это более тонкий результат по сравнению с классической теоремой о вложении соболевских классов функций Ш^(О) в пространство непрерывных функций при р > п. С одной стороны, условие п-абсолютной непрерывности сильнее, чем обычное условие непрерывности функции, с другой стороны, для произвольной ограниченной области О С Кп и любого р > п выполняется вложение Ьр(О) С Ьп,\(О) С Ьп(О). Из результатов работ [40,41] следует, что п-абсолютно непрерывное отображение Ь : О ^ Кп обладает ]М-свойством Лузина и является почти всюду дифференцируемым. Выполнение этих свойств часто оказывается полезным при изучении различных вопросов, связанных с заменой переменной.
Определение пространств М 1 легко модифицировать, заменяя принадлежность допустимых функций пространствам Лебега на принадлежность другим классам функций. Это позволяет ввести классы функций соболевского типа, связанные с пространствами Лоренца, полагая:
М1Л(Х) = {I е Ь1(Х) I Б(/) п Ьм = 0}.
Шкала пространств Лоренца включает в себя шкалу пространств Лебега и позволяет изучать более тонкие свойства функций. Введение в теорию пространств Лоренца можно найти в книге [23].
Вещественнозначную функцию I, определенную на метрическом пространстве (X, 3) с бо-релевской мерой р, будем называть в-абсолютно непрерывной, если для произвольного е > 0 существует такое 5 > 0, что для любого семейства непересекающихся шаров Вк С Х из условия
ЕР(Вк) <5
к
следует
Е (овсвь1 у <е.
к
Заметим, что в евклидовом случае показатель абсолютной непрерывности и размерность пространства совпадают. Поэтому и в метрическом случае мы будем рассматривать пространства, строение которых в некотором смысле однородно с точки зрения меры.
Полное метрическое пространство (X, 3) называют в-регулярным (в > 1), если существуют такие постоянные 0 < Ь\ < Ь2 < ж и такая боре-левская мера р, что для всякого шара В(х, г) С X при г < ЗгашХ выполняется оценка:
Ы < р(В(х,г)) < Ь2гв.
Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ
Полное метрическое пространство (X, 3) будем называть локально в-регулярным, если всякий шар В С X сам является в-регулярным метрическим пространством и постоянные Ь\, Ь2 в условии в-регулярности не зависят от выбора шара.
Приведем несколько примеров локально в-регулярных метрических пространств.
1. В евклидовом пространстве Нп шары и произвольные параллелепипеды являются локально «.-регулярными метрическими пространствами относительно стандартной евклидовой метрики.
2. Пусть (X, 3)- локально в-регулярное метрическое пространство и 0 < ^ < 1- На множестве X определим новую метрику, полагая
(х,у) = [3(х,у)]1. Тогда метрическое пространство ) является локально в/7-регулярным.
3. Несложно проверить, что локально в-регулярным будет всякое связное в-регулярное метрическое пространство, шары которого удовлетворяют условию Джона: существуют точка хо € В и постоянная С > 0, такие, что для всякой точки х € В найдется параметризованная длиной дуги кривая 7 : [0,1] ^ В, такая, что 7(0) = х, 7(I) = хо и
diвt(1(t),x \ В) > С г.
Теперь мы можем сформулировать основное утверждение этого раздела.
Теорема 3.1. ([22]) Пусть (X, 3) - локально в-регулярное метрическое пространство. Тогда для всякой функции / € Ы^Х) существует эквивалентная ей в-абсолютно непрерывная функция.
В довольно общей ситуации, включающей в себя евклидов случай, удается получить прямое доказательство в-абсолютной непрерывности функций, у которых "метрический аналог градиента" принадлежит соответствующему пространству Лоренца. Используемая в метрическом случае техника доказательств основана на оценках приращения функции, являющихся следствием соответствующего неравенства Пуанкаре, и существенно отличается от методов, используемых в работе [40] для евклидова случая.
4. Отображения соболевского типа на метрических пространствах
В евклидовом случае, говоря о соболевском отображении р : О ^ Нт, обычно предполагают, что у отображения все координатные функции р^ принадлежат некоторому пространству Соболева Ш^(О). С одной стороны, класс соболевских отображений оказывается весьма широким, он включает в себя диффеоморфизмы, квазиконформные отображения, квазиизометрические отображения, липшицевы отображения и другие классы отображений более общего вида. С другой сторо-
ны, принадлежность отображения определенному пространству Соболева позволяет сразу получить некоторую дополнительную информацию о свойствах отображения, являющуюся, к примеру, следствием соответствующих теорем вложения.
В метрическом случае определение отображений соболевского типа, действующих из одного метрического пространства в другое метрическое пространство, естественным образом должно отличаться от евклидова определения, поскольку в данном случае у отображения нет координатных функций. Возможны альтернативные подходы, позволяющие найти выход из этой ситуации.
Используя изометрическое вложение I метрического пространства (У,р), имеющего конечный диаметр, в пространство ограниченных функций ЬЖ(У), наряду с отображением р : (X, 3) ^ (У, р) можно рассмотреть и отображение Ф = I о р : Х,3) ^ ЬЖ(У), область значений которого принадлежит уже банахову пространству. По определению полагается, что отображение р принадлежит классу Ь(X,У), если отображение Ф принадлежит классу Ь(X, Ьж(У))- Такой подход, используемый, к примеру, в работах [35,39], предполагает доказательство независимости используемых определений от выбора изометрического вложения I : (У, р) ^ ЬЖ(У).
Мы же воспользуемся определением, основанным на модификации предложенного Ю. Г. Решет-няком весьма универсального подхода к определению соболевских функций с областью определения в евклидовом пространстве и областью значений в метрическом пространстве [13,14,15].
Будем говорить, что отображение р : (X, 3) ^
^ (У, р) принадлежит классу Ыp)(X,У), если:
1) для всякого у € У функция ру(х) = р(р(х),у) принадлежит функциональному пространству Ыp)(X, 3, р);
2) \\ру \ < К < ж при всех у € У.
Для отображений классов Ыl(X,У) можно доказать утверждения аналогичные теоремам вложения, выполняющимся для функциональных классов Ы^Х, 3, р).
Рассмотрим метрические пространства (X,d), (У, р) и конечную борелевскую меру р с носителем в множестве X. Как и в работе [13], принадлежность отображения р : X ^ У лебегов-скому классу Ьр(X, У) определим условием: функции ру(х) = р(р(х),у) принадлежат пространству Лебега Ьр(X,р) при всех у € У. Из неравенства
\ру1(х) - ру2 (х)\ < р(у1,у2)
и конечности меры следует, что отображение р принадлежит классу Ьр (X,У), если хотя бы для одного у € У функция ру € Ьр (X,р). Пусть р и ф - произвольные отображения класса Ьр(XX). Поскольку
р(р(x), ф(х)) < р(р(x), У)+P(Ф(x), у) = ру (х)+фу (x),
Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ
то функция р(ф(х),ф(х)) принадлежит пространству Лебега Ьр(X,р). Несложно проверить, что функция
1/
plv (ф,ф)
[p(f(x),ф(x))]P dp
является метрикой на множестве отображений класса Ьр (Х,У) [13].
Теорема 4.1. Пусть мера р является в-регулярной и 1 < р < в. Тогда для любого
1 < Ч < аР— р имеет место включение в Р
М 1(Х,У) с Ьч (Х,У).
При этом для всякого отображения Ф Є М 1(Х,У) и произвольной точки у Є У выполняется оценка:
\\фу \ ь(Х,р)\\< с\\?у \ М1 (Х,а,р)\\.
Доказательство этого утверждения является непосредственным следствием определения класса M£(X,Y) и первого пункта теоремы 1.1.1.
При дополнительных предположениях о структуре метрических пространств и свойствах меры можно получить аналоги и других теорем вложения.
Теорема 4.2. Рассмотрим полное локально s-регулярное метрическое пространство (X,d) и полное локально-компактное сепарабельное метрическое пространство (Y,p). Тогда при p > s для всякого отображения ф : X ^ Y класса M£(X,Y) существует эквивалентное ему непрерывное отображение ф* : X ^ Y, такое, что для колебания отображения на произвольном шаре B = B(a,r) С X выполняется оценка
oscB ф* = sup р(ф(х),ф(Ь)) <
x,teB
< Cr1-s/p sup \\фу | Slp(X,d,p)\\. (4.1)
yev
Поскольку пространство (X,d) является в-регулярным, то для меры всякого шара Вг = В (а, г) С X выполняется двухсторонняя оценка Ь\ГЭ < ц(В(а,г)) < Ь2гв. Это позволяет нам воспользоваться результатами первого раздела статьи.
Пусть Р - счетное всюду плотное множество в У. Для всякого у € У функция фу принадлежит пространству Мр (X, d, р). Согласно третьему пункту теоремы 1.1.1, для почти всех точек произвольного шара Вг С X выполняется оценка
\фу (х1) - фу (х2 ) \ < Сг1-8/р \\фу \ Я^(Вг ,!,р)\\ <
< Сг1-°/р\\фу \ Sl(X,d,р)\\. (4.2)
Равномерно непрерывная на всюду плотном множестве функция фу может быть продолжена до непрерывной функции ф*, определенной на всем множестве X и совпадающей с фу почти всюду. Дословное повторение доказательства теоремы
6.2 работы [13] позволяет по функциям ф* построить искомое непрерывное отображение ф* : X^У
и, используя неравенство (4.2), получить оценку
(4.1).
5. Отображения, сохраняющие при замене переменной функциональные пространства соболевского типа
Одним из методов изучения вопросов, связанных с различными дифференциальными соотношениями, является перенос задачи из исходной области в некоторую каноническую область при помощи замены переменной, сохраняющей дифференциальные свойства функций. В евклидовом случае дополнительный интерес к отображениям ф : О ^ О' (0,0' С Яп), индуцирующим по правилу замены переменной ф* / = / о ф изоморфизм пространств Соболева ф* : Ьр (О') ^ Ьр (О), объясняется тем, что при р = п класс таких замен переменной совпадает с классом квазиконформных гомеоморфизмов, а при р = п - с классом квазии-зометрий [6,9].
Рассмотрение на метрических пространствах аналогичного вопроса о заменах переменной, сохраняющих функциональные пространства соболевского типа, имеет свою специфику. Определение пространства Соболева Ш^(О) жестко связано с евклидовой метрикой и мерой Лебега, а функциональные классы соболевского типа М 1 могут быть определены на произвольном метрическом пространстве, снабженном борелевской мерой.
Рассмотрим произвольное метрическое пространство (X, !) с мерой р и произвольное взаимно однозначное отображение ф : X ^ У. На множестве У можно ввести метрику и меру, полагая р(у1,у2) = !(ф-1(у1),ф-1(у2)) и
V(Е) = р(ф-1(Е)). Вполне очевидно, что при таких условиях отображение ф является изометрией метрических пространств (X,!) и (У,р), сохраняющей меру множества, и индуцирует при замене переменной изоморфизм функциональных пространств
ф* : Мр (У, р, V) ^ М1^,!^).
В частности, мы можем применить это рассуждение к отображению ф : X ^ Е С X, где Е - произвольное подмножество множества X. При этом, в отличие от евклидова случая, на множестве Е оказываются заданы две различные метрики, для которых, вообще говоря, значения !(а, Ь) и р(а, Ь) никак не связаны между собой.
Изучение различных вопросов, связанных с заменами переменной для пространств соболевского
Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ
типа на метрических пространствах, в настоящий момент находится в начальной стадии и предоставляет широкий простор для исследований, как с точки зрения постановки задач, так и с точки зрения разработки новых методов, применимых в метрическом случае, и нахождения приложений получаемых результатов.
Отметим, что используемое в предыдущем разделе определение отображений соболевского типа хорошо согласуется заменой переменной в том смысле, что отображение, сохраняющее при замене переменной некоторый класс функций соболевского типа, само принадлежит классу того же типа. Рассмотрим метрические пространства (Х,й), (У, р) и конечные борелевские меры - р с носителем в множестве X и V с носителем в множестве У. Предположим, что отображение р : X ^ У индуцирует при замене переменной ограниченный оператор
р* : (У, р, V) ^ Б1р(Х,й,р). (5.1)
Несложно видеть, что при любом у € У функция /у ^) = р(Ь,у) принадлежит пространству Бр (У, р, V). Поскольку
Ну(^1) - !у(*2)\ = \р(Ь,у) - P(t2, у) \ <
< р(ь,ъ)(к2 + 2^,
то \ \Ну \ Бр\\ < 2 [V(У)]1/р . Из условия (5.1) следует, что функция р* Ну принадлежит пространству Бр(Х,3,,р) и \\р*Ну \ Бр\\ < С0 < ж. Поскольку
Р* !у(х) = р(р(х),У) = Фу(x),
то непосредственно из определения следует принадлежность отображения р классу Ы^(Х,У).
Далее рассмотрим вопрос о замене переменной для пространств Бр на в-регулярных метрических пространствах.
Пусть метрические пространства (X, й) и (У, р) являются в-регулярными, а отображение р : X ^ У квазиизометрией, т. е.
С1 й(х1,х2) < р(р(хр),р(х2)) < С2 й(х1,х2). Если функция Н € Бр(У, р, V) и допускает оценку
\Н(У1) - I(У2)\ < р(уъ У2)(д(У1) + g(У2)),
то для функции Н(х) = I(р(х)) выполняется оценка:
\Н(х1) - Н(х2)\ = Н(У1) - 1 (У2)\ <
< р(У1,У2)(д(У1) + д(У2)) <
< С2 й(хр,х2)(д(р(хр)) + д(р(х2))).
Следовательно, функция ш = С2 (д ◦ р) является допустимой для функции Н = р* I.
Поскольку отображение р является квазиизометрией, то образ шара Б(х,т) С X содержится в шаре Б(р(х),С2т) С У и содержит внутри себя шар Б(р(х),С1т) С У. Поскольку оба метрических пространства являются в-регулярными, то существуют такие постоянные 0 < К1 < К2 < ж, что для всякого шара Б(х,т) С X выполняется оценка:
К1 р(Б(х,т)) < V(р(Б(х,т))) < К2 р(Б(х,т)).
Эта оценка стандартным образом распространяется на все измеримые множества, и, следовательно, для всякого измеримого множества Е С X получаем:
К1 р(Е) < v(р(E)) < К2 р(Е).
Это, в свою очередь позволяет получить оценку для интегралов
К3 J шр йр < J др ^ < К4 J шр йр,
ХУ X
которая очевидна для простых функций, а следовательно, выполняется и для всех функций д € Ьр(У v).
Следствием оценки для допустимых функций является оценка для норм:
\\р*I \ Б^^р^К Со\Н \ Б1(У,р^)\\.
Поскольку для квазизометрии выполняются двухсторонние оценки, то отображение р : X ^ У при всех 1 < р < ж индуцирует по правилу замены переменной изоморфизм
р* : Бгр(У,р^) ^ Бр^^^).
В отличие от достаточности доказательство необходимости требования квазиизометричности замен переменной, сохраняющих пространства Б'р при р = в, как и в евклидовом случае, требует значительно больших усилий. В этой статье мы ограничимся рассмотрением более простого случая р > в > 1.
Предположим, что метрические пространства (X, й) и (У, р) являются локально в-регулярными, а отображение р : X ^ У по правилу замены переменной индуцирует изоморфизм
р* : Б1р(У,р^) ^ Бр^, й, р).
Как уже было отмечено, при этих условиях отображение р является отображением соболевского типа и принадлежит классу Ы р^,У). Поскольку р > в, то, согласно теореме 4.2, мы можем изначально считать, что отображение р является непрерывным. Используя теорему 4.2 в частном случае, когда метрическое пространство (У, р) является действительной прямой К, мы видим, что при р > в класс эквивалентности произвольной функции I € Ыр (X, й, р) содержит непрерывную функцию, однозначно определенную во всех
Вестник КемГУ №3/1 2011 Вещественный анализ
точках множества X. В первом разделе было от- Учитывая в-регулярность меры V, получаем:
мечено, что функциональные классы Мр(Х,3, л) и Яр (X, в, л) совпадают как множества функций, поэтому будем считать, что функции пространства Яр(Х, в, л) всюду определены и непрерывны. Непосредственно из неравенства (4.1) получается следующая оценка для нормы функций пространства Я1(Х, в, л).
Лемма 5.1. Рассмотрим локально в-регулярное пространство (Х,в). Пусть р > в, х1,х2 е X, / € Бр(Х,3,л) и \/(х1) — /(х2)\ > 1. Тогда
\\/ \ (Х,в,л)\\ > С [в(х1,х2)Г/Р-1. (5.2)
Теперь нам нужно получить оценку сверху для нормы пробной функции специального вида. Пусть а е У, 0 < г < ЗгашУ. Рассмотрим функцию:
^а,т (У) —
г7 - (Л(а, у)
г"I
если р(а, у) < г
0, если р(а, у) > г,
\К,т(У1) - К,т(У2)\ —
р(а уі) - р1 (а У2)\ — гі
\р(а,Уі) - р(а,У2)\ ,7-1
----,
г1
V ({др > 4}) < СЧр(т-1) г^-1.
Подставляя эту степенную оценку в (5.3), получаем \\д \ Ьр(У, V)\\р < СУ ■ г- и, следовательно,
\\ка,г \ Ьр(У, р, V)\\ < С2 г°/р-1. (5.4)
Теперь мы можем найти оценку искажения расстояний отображением р. Пусть х1 ,х2 е Х,У1 = р(х1),у2 = р(х2),г = р(у1,у2). Рассмотрим функцию НУ1 ,г е Ьр (У, р, V) и функцию / = р*НУ1,г, для которой /(х1) — /(х2) = 1. Учитывая, что для функции НУ1 ,г выполняется оценка (5.4), а для функции / оценка (5.2), получаем:
Сі[з(хі,х2)Г/р-і < \\і \ Бр(х,а,р)\\<
где 7 = . В рассматриваемой ситуации
0<7<1, Наг(а) = 1 и Наг(у) = 0 вне шара В (а, г). Покажем, что функция Наг принадлежит пространству (У, р, V) и найдем оценку для ее нормы. Пусть точки У1,У2 € В (а, г) и р(а,у\) < р(а,у2). Используя теорему Лагранжа о конечном приращении, получаем:
<\\р*\\-\К,т \ Ві(У,р,и )\\< С2 \\р*\\- г°/р-і.
Поскольку в/р — 1 < 0, то из предыдущего неравенства следует, что
р(р(хі),р(х2))\ < Ь3(хі,х2).
Оператор р* является изоморфизмом, поэтому, применяя аналогичные рассуждения к обратному оператору, получим оценку:
Ь-і 3(хі,х2) < р(р(хі), р(х2))\.
В результате получаем следующее утверждение о замене переменной для функций соболевского типа на локально в-регулярных метрических пространствах:
для того, чтобы отображение р : X ^ У индуцировало по правилу замены переменной при р > в изоморфизм пространств соболевского типа
где 4 е [р(а,у1), р(а,у2)]. Поскольку 7 < 1, то I1-1 < р1-1(а,у1). Положим:
р7-1(а,у) ( ) ^
д(у) = { —^—, если р(а,у) < г
0, если р( а, у) > г.
Учитывая неравенство треугольника для метрики, получаем, что для всех у1,у2 е У будет выполняться оценка:
\К,т(у1) — К,т(у2)\ < 1 р(у1,у2)(д(у1) + д(у2)),
т. е. функция 7 ■ д будет допустимой.
Остается оценить норму функции д. Отметим, что 1/г < д(у) < ж при у е В(а,г). Для оценки нормы воспользуемся интегрированием по множествам уровня:
I — J др 3,и — J др 3,и — J V ({др > і}) Зі.
В(а,т)
і/тР
необходимо и достаточно, чтобы р было квази-изометрией.
Рассмотрение необходимых условий при р < в и описание замен переменной при р = п основывается на иных технических приемах и требует отдельного изучения.
Литература
[1] Бесов, О. В. Теорема вложения Соболева для области с нерегулярной границей / О. В. Бесов // Докл. РАН. - 2000. - Т. 373, №. 2. - С. 151 -154.
[2] Бесов, О. В. Теорема вложения Соболева для области с нерегулярной границей / О. В. Бесов // Мат. сб. - 2001. - Т. 192, №. 3. - С. 3 - 26.
[3] Бесов, О. В. О компактности вложений весовых пространств Соболева на области с нерегулярной границей / О. В. Бесов // Труды МИАН.
- 2001. - Т. 232. - С. 72 - 93.
[4] Бесов, О. В. Вложения пространств дифференцируемых функций переменной гладкости /
Вестник КемГУ №3j1 2011 Вещественный анализ
О. В. Бесов // Труды МИАН. - 1997. - Т. 214. -С. 25 - 58.
[5] Васильчик, М. Ю. О разрешимости третьей краевой задачи для области с пиком / М. Ю. Васильчик, В. М. Гольдштейн // Мат. заметки. - 2005. - Т.78, №. 3. - С. 466 - 468.
[6] Водопьянов, С. К. Структурные изоморфизмы пространств и квазиконформные отображения / С. К. Водопьянов, В. М. Гольдштейн // Сиб. мат. журн. - 1975. - Т. 16, №. 2. -С. 224 - 246.
[7] Вольберг, А. Л. На любом компакте в Еп существует однородная мера / А. Л. Вольберг, С. В. Конягин // ДАН СССР. - 1984. - Т.278, №4.
- С.783 - 785.
[8] Вольберг, А. Л. О мерах с условием удвоения / А. Л. Вольберг, С. В. Конягин // Изв. Акад. наук СССР. - 1987. - Т.51, №3. - С. 666 - 676.
[9] Гольдштейн, В. М. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения / В. М. Гольдштейн, Ю. Г. Решетняк. - М.: Наука, 1983. - 284 с.
[10] Лабутин, Д. А. Интегральное представление функций и вложение пространства Соболева на областях с нулевыми углами / Д. А. Лабутин // Мат. заметки. - Т. 61, №2. - С. 201 - 219.
[11] Лабутин, Д. А. Неулучшаемость неравенства Соболева для класса нерегулярных областей / Д. А. Лабутин // Труды МИАН. - 2001. - Т. 232.
- С. 218 - 222.
[12] Мазья, В. Г. Пространства С. Л. Соболева / В. Г. Мазья - Л.: ЛГУ, 1985. - 416 с.
[13] Решетняк, Ю. Г. Соболевские классы функций со значениями в метрическом пространстве / Ю. Г. Решетняк // Сиб. мат. журн. - 1997. - Т.38, №3. - С.657 - 675.
[14] Решетняк, Ю. Г. Соболевские классы функций со значениями в метрическом пространстве,
II / Ю. Г. Решетняк // Сиб. мат. журн. - 2004. -Т. 45, № 4. - С. 855 - 870.
[15] Решетняк, Ю. Г. К теории соболевских классов функций со значениями в метрическом пространстве / Ю. Г. Решетняк // Сиб. мат. журн. - 2006. - Т. 47, № 1.- С. 146 - 168.
[16] Романов, А. С. Об одном обобщении пространств Соболева / А. С. Романов // Сиб. мат. журн. - 1998. - Т. 39, № 4. - С. 949 - 953.
[17] Романов, А. С. О теоремах вложения для обобщенных пространств Соболева / А. С. Романов // Сиб. мат. журн. - 1999. - Т. 40, № 4. -С. 931 - 937.
[18] Романов, А. С. Теоремы вложения для одного класса функций соболевского типа на метрических пространствах / А. С. Романов // Сиб. мат. журн. - 2004. - Т. 45, № 2. - С. 452 - 465.
[19] Романов, А. С. О вложениях классов функций с обобщенной гладкостью на метрических пространствах / А. С. Романов // Сиб. мат. журн. - 2004. - Т. 45, № 4. - С. 871 - 880.
[20] Романов, А. С. О следах соболевских функций на границе пика с гельдеровой особенностью / А. С. Романов // Сиб. мат. журн. - 2007. - Т. 48, № 1. С. 176 - 184.
[21] Романов, А. С. О следах функций, принадлежащих обобщенным классам соболевского типа / А. С. Романов // Сиб. мат. журн. - 2007. - Т. 48, № 4. - С. 848 - 866.
[22] Романов, А. С. О непрерывности функций соболевского типа на метрических пространствах / А. С. Романов // Доклады РАН. - 2008.
- Т. 418, № 5. - С. 599 - 602.
[23] Стейн, И. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах / И. Стейн, Г. ВейсГ. - М.: Мир, 1974. - 332 с.
[24] Bojarski, B. Remarks on some geometric properties of Sobolev mappings / B. Bojarski // Functional Analysis and Related Topics, ed. Shozo Koshi, World Scientific.-1991.
[25] Bojarski, B. Pointwise inequalities for Sobolev functions and some applications /
B. Bojarski, P. Hajlasz // Studia Math. - 1993. -V. 106, № 1. P.77- 92.
[26] Edmunds, D. E. Hardy Operators, Function Spaces and Embeddigs / D. E. Edmunds, W. D. Evans
- New York.: Springer, 2004. - 326 p.
[27] Gol’dshtein, V. M. Axiomatic Theory of Sobolev Spaces / V. M. Gol’dshtein, M. Troyanov // Expo. Math. - 2001. - V. 19, № 4. - P. 289 - 336.
[28] Franchi, B. Definitions of Sobolev classes on metric spaces / B. Franchi, P. Hajlasz, P. Koskela // Ann. Inst. Fourier. - 1999. - V. 49, № 6. - P. 1903 -1924.
[29] Hajlasz, P. Sobolev spaces on an arbitrary metric spaces / P. Hajlasz // Potential Analysis. -
1996. - V. 5, №. 4. - P. 403 - 415.
[30] Hajlasz, P. Sobolev spaces on metric-measure spaces / P. Hajlasz // Contemporary Math. - 2003.
- V. 338. - P. 173 - 218.
[31] Hajlasz, P. A new characterization of the Sobolev space / P. Hajlasz // Studia Math. - 2003. -V. 159. - P. 263 - 275.
[32] Hajlasz, P. Holder quasicontinuity of Sobolev functions / P. Hajlasz, J. Kinnunen // Rev. Mat. Iberoamericana. - 1998. - V. 14, № 3. - P. 601 - 622.
[33] Hajlasz, P. Sobolev Met Poincare / P. Hajlasz, P. Koskela// Memoirs AMS. - 2000. -V. 145, № 688. - 101 p.
[34] Hajlasz, P. Traces of Sobolev functions on fractal type sets and characterization of extension domains / P. Hajlasz, O. Martio // J. Funct. Anal. -
1997. - V. 143. - P. 221 - 246.
[35] Hajlasz, P. Density of Lipschitz mappings in the class of Sobolev mappings between metric spaces / P. Hajlasz // Math. Ann. - 2009. - V. 343. - P. 801 -823.
[36] Heinonen, J. Lectures on analysis on metric spaces / J. Heinonen. - Berlin: Springer-Verlag, 2001.
- 151 p.
Вестник КемГУ №3j1 2011 Вещественный анализ
[37] Heinonen, J. Quasiconformal maps on metric spaces with controled geometry / J. Heinonen, P. Koskela // Acta Math. - 1998. - V. 181. P. 1 -61.
[38] Heinonen, J. A note on Lipshitz functions, upper gradients and the Poincare inequality / J. Heinonen, P. Koskela // New Zealand J. Math.
- 1999. - V. 28. - P. 37 - 42.
[39] Heinonen, J. Sobolev classes of Banach space-valued functions and quasiconformal mappings / J. Heinonen, P. Koskela, N. Shanmugalingam, J. Tyson// J. D’Analyse Math. - 2001. - V. 85. -P. 87 - 139.
[40] Kauhanen, J. On function with derivatives in
a Lorentz space / J. Kauhanen, P. KoskelaP., J. Maly // Manuscripta Math. - 1999.-V. 100, №. 1. P. 87 -101.
[41] Maly, J. Sufficient Conditions for Change of Variables in Integral / J. Maly // Труды по анализу и геометрии. - Изд. ИМ СО РАН. - 2000. -
С. 370 - 386.
[42] Stromberg, J. O. Weighted Hardy Spaces / J. O. Stromberg, A. Torchinsky// Lecture Notes in Math.- Berlin: Springer, №.1381. - 1989. - 193 p.
[43] Vodopyanov, S. K. Foundations of the Theory of Mappings with Bounded Distortion on Carnot Groups /S. K. Vodopyanov// Contemporary Mathematics. - 2007. - V. 424. - P. 303 - 344.
УДК 519.63
ОБ АСИМПТОТИКЕ В ЦЕЛОМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ СИНГУЛЯРНО ЗАВИСЯЩЕЙ ОТ МАЛОГО ПАРАМЕТРА ДЛЯ ДВУСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
В. А. Шалаумов
ON ASYMPTOTIC AS A WHOLE SINGULAR PERTURBATION DIRICHLET’S PROBLEMS FOR BICONNECTED DOMAIN V. A. Shalaumov
Для решения сингулярно возмущённой задачи Дирихле, имеющего экспоненциально малый характер, с помощью функций типа пограничного слоя строится формальное асимптотическое разложение в целом. Приводится явное выражение первых членов разложения.
For exponential small solution singular perturbation Diroichlet’s problem global formal asymptotic expansion are constructed by means of function of boundary layer type
Ключевые слова: регулярная часть асимптотики, функции типа пограничного слоя.
Keywords: regular part asymptotic, function of boundary layer type.
Пусть С - ограниченная область в Кп с двусвязной гладкой границей дС = Гі и Г2. На С = С и дС рассмотрим краевую задачу:
Le[y] = ey + (B(x), Vy) + C(x)y = f (x), УІГі = Ф(x), y|r2 = ^(x), 0 <e < 1.
(І)
Предположим, что функции, входящие в (1), достаточно гладкие так, что существует единственное классическое решение и выполнено следующее основное предположение:
(А) Характеристики оператора = В(х), х(0) = Х0 Є С выходят на Гі за конеч-
ное время, не покидая при этом области С, причём(В(х), п(х)) > 0 Г1, (В(х),п(х)) < 0 на Г2, где п = п(х) вектор внешней нормали к области С (в дальнейшем эти характеристики выходят на Гіне особым образом).
При построении равномерного асимптотического разложения решения этой задачи методом пограничных функций вначале строится так называемое внешнее разложение (регулярная часть асимптотики) в виде формального ряда
К = К(х,е) = ^2 егуг(х), при этом задачи Коши,
г=0
определяющие однозначно функции уг(х), получаются подстановкой ряда К = К(х,е) = ^ егуг(х)
г=0
в уравнение с последующей группировкой слагаемых с одинаковыми степенями параметра £ и последующим сравнением правых и левых частей уравнения. Если выполнено условие (А), то регулярный ряд К = К(х, е) = ^2 егуг(х) асимптотиче-
г=0
ски удовлетворяет уравнению (1) и реализует граничное условие на границе Г1, в том смысле, что функции {уг(х)} г = 1, 2, ... являются решениями следующих задач Коши:
' Ь0[уо] = (В(х), Ууо) + С(х)уо = /(х),
Уо|г1 = ф(x), (2)
Ь0[ук] = (В(х), Ууи) + С(х)ук = -Аук-1,
ук |Г1 = к = 1, 2,...
Сингулярная часть разложения (пограничный слой), компенсирующая невязку в гранич-
