Вложение весовых пространств Соболева в весовые пространства Орлича и в пространство непрерывных функций на анизотропно нерегулярных областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518.23

Б. В. Трушин

Московский физико-технический институт (государственный университет)

Вложение весовых пространств Соболева в весовые пространства Орлпча и в пространство непрерывных функций на анизотропно нерегулярных областях

В работе рассматривается построенная ранее автором классификация областей с условием гибкого ст-конуса то параметру анизотропности А. На этих классах областей изучается вложение весовых пространств Соболева (в «предельном» случае) в весовое пространство Орлича и в пространство непрерывных функций.

Ключевые слова: теорема вложения, пространство Соболева, пространство Орлича, нерегулярная область.

1. Введение

1.1. История вопроса

В 1938 г. С. Л. Соболев установил [1], что для областей с условием конуса при

---Ъ- ^ 0, 8 е N 1 <р<д< ж (1)

Р Я

пространство Шр(О) вложено в пространство Ьд(О). Это утверждение носит название теоремы вложения С. Л. Соболева.

В 1980 г. Ю.Г. Решетняк перенес [2] результат С.Л.Соболева о вложении Шр(С) С Ьд(С) на области с условием Джона, а в 1983 г. О. В. Бесов - на области с условием гибкого конуса (см, например, [3]) с теми же ограничениями на параметры суммируемости и гладкости.

В 2000 г. Килпелайнен и Малы для максимально возможного ц установили [4] неравенство Соболева-Пуанкаре для областей с ст-условием Джона при в = 1. В 2001 г. О. В. Бесов установил [5] теорему вложения Соболева с максимально возможным показателем ц при 8 е N для областей с условием гибкого ст-конуса. В 2008 г. Б. В. Трушин установил [6] теорему вложения Соболева с максимально возможным показателем д при в е N для областей с А-анизотропным условием гибкого ст-конуса, а в 2010 г. распространил [7] этот результат на случай пространств со степенными весами. В 2011 г. О. В. Бесов обобщил [8] теорему вложения Соболева с максимально возможным показателем ц при 8 е N на области с обобщенным А-анизотропный условием гибкого ст-конуса.

Более подробную историю вопроса можно найти в недавней монографии [9].

1.2. Известные результаты о вложении пространства Соболева в пространство Орлича

Хорошо известно, что в предельном случае (если в неравенстве (1) заменить ц на ж) пространство те вложено в пространство Ь^(С). В 1965 г. С. И. Похожаев доказал

[10] в случае ограниченной области С с границей, локально удовлетворяющей условию Липшица, вложение пространства Шр(О) в пространство Орлича Тф(С), соответствующее

функции Ф(£) = е|4|Р — 1 при в--= 0. Ранее, в 1961 г., В. И. Юдович получил [11] оценки

интегралов типа потенциала, приводящие к этому вложению.

В 2003 г. Б. В. Трушин установил [12,13] вложение пространства Шр(О) в пространство Орлича Ьф(О) в передельном случае соответствующей теоремы вложения (в том числе и в случае весовых пространств).

Также следует отметить работы Трудингера [14], Эванса и Эдмундса [15] и Сианчи [16], в которых рассматривались некоторые вопросы, связанные с вложениями в пространства Орлича.

1.3. Известные результаты о вложении пространства Соболева в пространство непрерывных функций

Если в предельном случае неравенства (1) нестрогое неравенство заменить на строгое, то пространство Соболева вложено в пространство непрерывных функций. Для области с условием конуса это утверждение содержится в монографии [17], а для открытого множества с условием А-рога - в книге [3].

1.4. Полученные результаты

В настоящей работе устанавливаются теоремы вложения пространства Соболева в пространство Орлича и пространство непрерывных функций для областей с А-анизотропным условием гибкого ст-конуса. Результаты распространяются также на случаи вложений весовых пространств Соболева. Тем самым результаты работ [12,13] переносятся на более общие области, введенные в работах [6,7].

2. Основные определения и обозначения

Везде далее область С С Мга, С = Мга, п ^ 2, (х, й) = х + (-й, d)n,

п

A = (Ai,A2,...,A„) е (0, ^)га, |А| = V \i, Ас = min А*.

¿—* 1 <А.</п.

1

i=1

При |А| = п, d > 0 A-кубом А-диаметра d называют [6] открытый параллелепипед вида Qx (x,d) = ж + (—dXl ,dx^ х (—dX2 ,dx2) x ... x (-dx" ,dx"^j ,

А-длиной вектора x е Mra называют величину

jl

|ж|д = max |ж^| A¿ = inf {d : x е Qa(0, d)} .

г

При x е G через

px(x) = min 1, inf |ж - ylx \

[ yeRn\G J

определяют A-расстояние до границы области G. Обозначим

Gs = {ж е G : dist (ж, Rn\G) >5} = 0,

где dist^,Rra\G) = inf{|ж — y| : у е Rra\G} - евклидово расстояние от точки ж е G до границы области G, 5 > 0 достаточно мало.

Пусть % и ХаО, d) - характеристические функции соответственно интервала (0,1) и А-куба Qx(0, d). Весовыми будем называть п.в. положительные локально суммируемые функции. Для измеримого множества Е обозначим | = dx лебегову меру множества Е П G.

EnG

Через р1 обозначают показатель, сопряженный показателю р, то есть —|—- = 1.

р р

2.1. Пространство Соболева

В работе изучается весовое пространство Соболева Wp V.r (G), определяемое [5] как совокупность функций с конечной нормой

IIfiw;,v;r(G)|| = I £ \\DafILP,V(G)\\ + \\/|Lr(GS)\\ \H=S

при некотором 5 > 0.

2.2. Пространство Орлича

Вещественную функцию Ф называют N-функцией, если она непрерывна на всей оси, выпукла, четна и удовлетворяет условиям:

Ф( ) Ф( )

lim ———- = 0, lim ———■ = ж. t^ü t t

Весовое пространство Орлича Lф,w (G) с ^^^ртцией Ф определяют [12] как совокупность функций с конечной нормой

(G)|| = i>f Vi +[ Ф(г]lwf |) dx). V>ü ] \ Jg J

Определение 1. Будем говорить, что N-функция Ф принадлежит классу Ne с показателем q > 0, если для некоторого натурального kü > Q-1 найдется последовательность {а кlfc=fc0 такая, что

lim ktyäk < ж,

и справедлива оценка

те

Ф(*) < Е акЩкв.

к=ко

В качестве примера N-функции Ф, принадлежащей классу Ng, в вопросах, связанных с вложениями в пространства Орлича, обычно рассматривают [10,12,13] функцию вида

ко —1 i

Ф(*)= e|i|e - Е ^Щкв, kü е N, kü > q—1. к=0 '

Но в настоящей работе мы не будем ограничиваться лишь этим случаем.

2.3. Области с А-анизотропным условием гибкого а-конуса Определение 2 ( [6]). Пусть область G С Мп,

а ^ 1, 0 < t* < i, к > 0, А = (0, ж)п, |А| = п, Xü ^ а-1.

x е G

7: [0, t*] ^G, 7(0) =x, Qx(-y(t), xta) С G,

dn(t)

dt

< K—1px(l(i))Ai—Ло для п.в. t е [0, t*].

Тогда будем говорить, что область С является областью с Х-анизотропным условием гиб-ст

3. Основные результаты

3.1. Вложение пространства Соболева в пространство Орлича

Теорема 1. Пусть О - область с условием \-анизотропного гибкого а-конуса, а ^ А0 — п, Ъ^ 0; и выполнены условия

п Ь а(п + а — Ао) + 1

1 < р,г< ж, ее N Аоз — - ^ 0, в + --------^ 0.

Р Ао р

р г

Тогда, для любой N-функции Ф; принадлежащей классу N„1, к0 > —-, к0 ^ —, имеет

р' р'

место вложение (О) С (О) и справедлива, оценка,

У\Ьф,.ш(О)|| < С | £ (О)\\ + \\f\LrО)||

при ад = р\, V = рХ и некоторых С, 5 > 0, не зависящих от /.

3.2. Вложение пространства Соболева в пространство непрерывных функций

Теорема 2. Пусть О - область с условием А-анизотропного гибкого а-конуса, а ^ А0 —п, Ъ^ 0; выполнены, условия

п Ь а(п + а — А0) + 1

1 < р,г< ж, ее М, А08 — - > 0, в + --------^ 0,

р А0 р

и имеет место хотя бы одно из неравенств

, а(п + а — А0) + 1

о > 0 ми --= 0.

р

Тогда каждая, функция f е (О) эквивалентна непрерывной на О функции f и

справедлива, оценка,

\\ад ¡\С(О)\\ ^ С I £ \lDOf(О)\\ + \\f\LrО)\\

при ад = р\, V = рХ и некоторых С, 5 > 0, не зависящих от /.

4. Некоторые вспомогательные результаты 4.1. Регуляризация А-расстояния

Лемма 4.1. [6] Пусть О С Мга; О = Мга - произвольное открытое множество, А е (0, ж)п, \А\ = п. Тогда существует такая регуляризация, А-расстояния р\ е С^(О), что для, всех х еО

дрх(х)

С\р\(х) ^ рх (х) ^ С2 р\(х),

дхг

^ Сзрх(х)

1-

где константы, с1; с2, с3 зависят, лишь от, раз мерности пространства, п и параметра А0.

4.2. Слабые оценки интегральных операторов

Рассмотрим оператор

Kf (х) =

k(x, у) f(y)dy, х е G,

с

где измеримое множество С С Мп, к : С хб ^ М - ядро оператора - измеримая неотрицательная функция.

Введем при 1 ^ р < с[ < сю, х £ Е С С, у £ Мп, $ > 0

к(х, у, = (1 - хл (х - у, $)) к(х, у),

G = |||K|||p,^;g;G = SUp SUp xeGd>0

k(x,-,d)v(-)-p \Lp/(G) |Qa (x,d) |*

Лемма 4.2. [7]. Пусть область G С Rn, 1 ^ p < q < ж, v - весовая функция. Тогда, для, интегрального оператора K с ядром k существует постоянная С > 0; зависящая лишь от размерности п, такая, что справедлива оценка, слабого типа

.р

1 /1 л-«

впрг? |{х £ С : К/(х)| > 1 < С - - - |||к|||с \\ПЬР{и(С)У . ч>0 \р Я/

4.3. Сильные оценки интегральных операторов

Лемма 4.3. Пусть область С С Мп; 1 ^ р < ж, V ~ весовая функция, а для интегрального К к >

С = |||к|||р>„< Сд

для некоторых С > 0 и Р ^ 0 не зависящих от, д. Тогда имеет место оценка, сильного типа

||K f \Lq (G)|| < Ci maJ 1,-Ц+Л q* ||/|LP,„ (G)||,

I ( q - P) 9 J

где С} не зависит от д.

В работе [13] доказан изотропный аналог данного утверждения. Его доказательство базируется на изотропном аналоге леммы 4.2 (см. [18-20]), и поэтому дословно переносится на анизотропный случай леммы 4.3.

4.4. Интегральные оценки функций через производные Лемма 4.4. [7]. Пусть область С С Мп,

ее (0,1), Р > 0, С ^ 1, А £ (0, ю)п, |А| = п,

7 : [0, ¿ж] ^ С - кусочно гладкий путь, г : [0, ^ (0, ю) - непрерывная кусочно гладкая, функция со свойствами

0 < r(t) < £РаШ),

(r(i)Ao)'

^ С для п. в. t е [0, ix], r(tx) ^ е

7(0) = х, Ра(7(tx)) ^ £, tx ^ R, W(t) I ^ С для п. в. te [0, tx].

U

х е О

\Дх)\ | £ \ I (х)+С^2 I £ \ ) (х) + САз/(х),

М=э / \И=«

С х

А1 ( х) =

А2 ( х) =

1- —

^ 1 Л0

д (у) йу <М,

0

^ + г(0)л^5 1 г(г)-

( ) ,

Я\Ш,г(*))

Аз/(х)=

Я\Ы*х),г(гх)) Запишем операторы А^ в виде

\/ (У)\<у.

Аг д(х) =

ь(х, у)д(у)йу, 1 = 1,2,3.

с

О А а

функция у(х) = рл(х)а, и выполнены условия

п

1 ^ р,г < ж, ее М, А08--^ 0.

р

Тогда имеют место оценки

1 ( < \ " ЦЛ1 (х,■,<)<)-р(О)\\ < Са ^щ) рл(х)-

где

1п

г(0) \ р' . п

___ —— при А08--= 0,

п1(х,й) = { V < у п

г(0)Ло«- р ПрИ а0£--> 0,

0

\\Й2(х,р^(О)\\ «ь(\Х(-<-—

\0 \Сз тах{г(0), ^ }

)

/ . \(з-1)»' /, \р' а/ \ р'

х^ + г(0)л^ г(Ь)(Ло-п)р рл(7(¿))-,

ЦЛз(х, ■, (О)\\ ^С4

(1 — Хл (х — у,й))х

<

при некоторых Сг > 0, не зависящих от х и й.

0

х

5. Оценки норм операторов А^ из леммы 4.4 5.1. Оценка нормы оператора А}

Лемма 5.1. Пусть С - область с условием \-анизотропного гибкого о-конуса, а ^ Ао — п, Ъ^ 0, и выполнены, условия

п п + а 1 < Р< ю, N \о8 -- ^ 0, \о8 + Ь--^ 0.

Тогда для, всех конечных д > р справедлива оценка,

| | | ик} | | | с = | | | ик} | | ^ С/,

( 1 п

ПрИ до5--= 0,

Р = \ р х п

I 0 при А0,§--> 0

р

при и = р\, V = рЛ и некотором С, не зависящем от функции д и показателя д. Доказательство. Из леммы 4.5 имеем

(d \ _а к —

—— ра(х) рпi(x,d)ра(х)Ч* ^ (0)

— ^_а

^ С2 sup sup d^n1(x,d)pA(x) р,

xeG 0<d^r(0)

где

_ r(0) \р' . п . . in —— при A0s--= 0,

ni(x,d)H V xds_ — п

r(0) oS p при A0s--> 0.

0

Воспользуемся тем, что

1 1 np \ и —

w < (п^п

п

Поэтому при A0S--= 0 имеем

Р

\\\wk1\l\G ^ С4др' sup sup pA(x) р ^ С4др'.

xeG 0<d^r(0)

п

Если же A0s--> 0, то

llkMIg ^ С5 sup sup Ра(х)Аоs+b р ^С5. xeG 0<d4r(0)

5.2. Оценка нормы оператора А2

Лемма 5.2. Пусть G - область с условием A-анизотропного гибкого а-конуса, а ^ A0 —п, Ъ^ 0, и выполнены, условия

^ m \ п ^ п b а(п + а — A0) +1 ^ _

1 ^р < ж, s е N, A0s--^ 0, s + --------^ 0.

р A0 р

n + а

Тогда для всех конечных д > р справедлива оценка,

\\\ ™к2 \ \\ С = \ \ \ Wk2 \\\тС < С/,

{1 , п а(п + а — А0) + 1

при 0 = 0, 8--= 0,

р' р

П 7 . п а(п + а — А0) + 1

0 при О > 0 или 8--= 0

р

при ад = рЬл, V = рл и некотором С, не зависящем от функции д и показателя д.

А

а 7

А

рл

( )

г(1) = срл(7(*)) ^ сс1рл(7(*)) ^ СС1КГ = С0Г, рл(7(*)) ^ —.

СС2

Из леммы 4.5 имеем

\ \ \ к2 \ \ \ С <С1 8ПР8ПР (рл(х)ло + йло ) йЦ\х[-й-— ) X

у \0 \С2 тах{г(0)^ло}/

х + г (0)л°)("-1)Р г(г)(ло-п)£' рл(7(¿))-.

Тогда при а ^ Ло — п, Ь^ 0 получаем к2с ^ С3 sup sup(I1(х, d) + I2(x, d)), где

xeG d>0

h(x, d) = r(0)b+n*

1 p'

h(x,d)= [px (х)Ло + dAo )л°( J^^r )

f г(0)Ло 1 = min < tx, 2C f •

Ho

/i(x,d) < C6r(0)6+ ?+(5-1)Ло+^+ЛР0 = C6r(0)ло^ < C6 <C

\ I А п + а при А01§ + о--^ 0.

п + а

Заметим, что (п + а — А0)(аА0 — 1) ^ 0 ми а(п + а — А0) + 1 ^ —-—, откуда

А0

п + а , ( b п + а\ , ( Ь а(п + а — Ло) + 1\

Лоз + Ь--= Л о s + ------ ^ Ло s -------- ^ 0. 2

р V Ло Лор J V Ло р J

г(0)ло

12(х, й) = 0 при г(0)ло ^ 2С£Ж, а при тх = оГ < Ъх имеем следующее.

2 С

а(п + а — А0) + 1 _ Если в--> 0, то

12(х,й) Ло р Лод ^С7^+Ло- Р < С7.

а(п + а — Ao) + 1 _ Если s--< 0, то

h(x, d) ^ Свх

dx

1 x

Ao(s -"(n+a;Ao)+^ +b+

„I b g(n+a-Ao) + 1

< CsCA0 R ло P < С9.

при s + ---

A0

С5 tx'

b а(п + а — A0) + 1

^ 0.

P

а(п + а — A0) + 1 n , n Если s--= 0 и b = 0, то

(in С5А^)

- СА0/ h(x, d) < С10d£ ( in С5-^ ) ^ Cwd:

(

V

пр' \ d-0 )

—P \ p'

Л0<г

= Сц(? г

1

-Ло

где dx = max| d, С5Tx0j.

а(п + а — Ao) + 1 n , _ Если s--= 0 и b > 0, то

I2(x, d) ^ C10dX in

(in С5А^)

^ С10 dx I T~,

1 (са^ \

4 d-o )

bp'

bp' \ d:

= C12.

5.3. Оценка нормы оператора

Лемма 5.3. Пусть С - область с условием \-анизотропного гибкого о-конуса, Ь ^ 0; 1 ^г < ю 5 £ N Тогда для всех коне нных д ^ г справедлива оценка,

G =

r,u;g

;q;G ^ С\

при w = рАА, и = 1 и некотором С, не зависящем от функции g и показателя q. Доказательство. Из леммы 4.5 имеем

\l\wMlG <

^ C1 sup sup

xe G d>0

(1 — Ха (х — y,d))x

\gs

dy

PA(x)bdn < (d)

< C1 sup supx(d) (<ГГ') r' pA(x)bdn = C1 supХ () dn+b = CC+d.

xe G d>0 С2 d>0 2

6. Доказательство основных результатов 6.1. Доказательство теоремы 1

Из леммы 4.4 следует, что для почти всех х е G справедлива оценка

\w(x)/(x)\ <

< C1w(x)^1 ( Е \Daf \ ) (х) +C1w(x)^2 ( £ \Daf \ ) (x) + C1w(x)^3f(x).

ч

p

p

1

Поэтому из леммы 4.3 для всех к ^ к0, в силу лемм 5.1, 5.2 и 5.3, получаем

Цад/^кр1(О)\\ < С2(кр')¥\\№Р,ь;г(О)\\.

Условие

п + а А08 + Ь--^ 0

леммы 5.1 выполнено в силу справедливости оценки (2).

Оценим теперь при фиксированном г] > 0 интеграл функции Ф, принадлежащей классу Ирг.

Ф(г]\1Л/!) йх для некоторой N

с

с

Ф("П/\) йх ^ ак \\кр'йх ^

и— ^ &

к=ко

<

ОО 1 / *-, / / 1 \кр

^акЛкр {С2(кр') ^Ц/\ЖР>„;Г(О)^ .

к= ко

Обозначим для удобства Р = С2р р' Ц/г(О)\\, тогда

с

Ф( г]\гю/\) йх < ^ аккк(г]Р)кр'.

к= ко

Получили степенной ряд по (г]Р)р'. Его радиус сходимости

К = -=-

Нт к уак

к

> 0.

Яр'

Выберем произвольно К1 < К и возьмем г] = г/р = ——. Тогда

Р

с

Ф(чр^/\)йх ^^2акккКк = Сз.

к= ко

Поэтому

1

\\/\LФ,W( О)\\ = 1>0 - 1 +

Г!>0 Г/ \

С

) ^ 1 (]

Ф( фV /\)йх < — 1 +

с

Ф( Г]р\т }\) йх) ^

< С3р = С4Р = С5 \ \ f\Жр>„;г(О)Ц.

Кр'

Тем самым доказано утверждение теоремы 1.

6.2. Доказательство теоремы 2

Пусть х еО,е = ё18^х, дО). Тогда f е Шр (^В (х, ^^. По классической теореме вложения Соболева (см., например, [17]) функция / в шаре В ^хэквивалентна непрерывной

О

Для всех д > р + 1 из лемм 5.1, 5.2 и 5.3 имеем

ц^ } ^ (О)\^С1\\№Р,Щ Г(О)Ц.

1

Теперь утверждение теоремы 2 следует из очевидного соотношения

IMWGQII < Îim MLq(G)у.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 11-01-0074), гранта Президента РФ «Ведущие научные школы» (проект НШ-

65772.2010.1), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на

2009-2013 годы (контракты 16.740.11.0128, 16.740.11.0568).

Литература

1. Соболев С.Л. Об одной теореме функционального анализа // Мат. сб. - 1938. - Т. 4, № 3. - С. 471-497.

2. Решетняк Ю.Г. Интегральные представления функций в областях с негладкой границей // Сиб. мат. журнал. - 1980. - Т. 21, № 6. - С. 108-116.

3. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. - М.: Наука, 1996.

4. Kilpeläinen Т., Maly J. Sobolev inequalities on sets with irregular boundaries // Z. Anal. Anwendungen. - 2000. - V. 19, N 2. - P. 369-380.

5. Бесов O.B. Теорема вложения Соболева для области с нерегулярной границей // Мат. сборник. - 2001. - Т. 192, № 3. - С. 3-26.

6. Трушин Б.В. Теоремы вложения Соболева для некоторого класса анизотропных нерегулярных областей // Тр. МИАН. - 2008. - Т. 260. - С. 297-319.

7. Трушин Б.В. Непрерывность вложений весовых пространств Соболева в пространства Лебега на анизотропно нерегулярных областях // Тр. МИАН. - 2010. - Т. 269. - С. 271 289.

8. Бесов О.В. Теорема вложения Соболева для анизотропно нерегулярных областей // Труды МФТИ. - 2011. - Т. 3, № 1. - С. 18-27.

9. Трушин Б.В. Пространства Соболева на нерегулярных областях. Непрерывность и компактность вложения. - Saarbrücken: Lap Lambert Academic Publishing, 2010.

10. Похожаев С.И. О теореме вложения С.Л. Соболева в случае pi = n // Докл. научно-технической конференции Московского энергетического ин-та. - 1965. - С. 158-170.

11. Юдович В.И. О некоторых оценках, связанных с интегральными операторами и решениями эллиптических уравнений // Докл. АН СССР. - 1961. - Т. 138, № 4. - С. 805-808.

12. Трушин Б.В. Вложение пространства Соболева в пространства Орлича и ВМО со степенными весами // Труды МИАН. - 2003. - Т. 243. - С. 334-345.

13. Трушин Б.В. Вложение пространства Соболева в пространства Орлича для области с нерегулярной границей // Мат. заметки. - 2006. - Т. 79, № 5. - С. 767-778.

14. Trudinger N.S. On imbeddings into Orlicz spaces and some applications //J. Math. Mech. - 1967. - V. 17, N 5. - P. 473-483.

15. Edmunds D.E., Evans W.D. Orlicz and Sobolev spaces on unbounded domains // Proc. roy. soc. London. Ser. A. - 1975. - V. 342. - P. 373-400.

16. Cianchi A. A sharp embedding theorem for Orlicz-Sobolev spaces / /Indiana Univ. Math. J. - 1996. - V. 45. - P. 39-65.

17. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1950; 2-е изд. — Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962; 3-е изд. — М.: Наука, 1988.

18. Кокилашвили В.М., Габидзашвили М.А. О весовых неравенствах для анизотропных потенциалов и целых функций // Докл. АН СССР. - 1985. - Т. 282, № 6. - С. 13041306.

19. Габидзашвили М.А. Весовые неравенства для анизотропных потенциалов // Тр. Тбилисского матем. института. - 1986. - Т. 82. - С. 25-36.

20. Бесов О.В. Вложение пространств дифференцируемых функций переменной гладкости // Тр. МИЛИ. - 1997. - Т. 214. - С. 25-58.

Поступила в редакцию 11.01.2012.