Об одном способе построения оператора продолжения Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Эл № ФС77 - 48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408

электронный научно-технический журнал

Об одном способе построения оператора продолжения

# 02, февраль 2014

Б01: 10.7463/0214.0697588

Попова Е. М.

удк 517.518

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана ElmipogyandEX.ru

Введение

Теоремы о продолжении функций из изотропных пространств Соболева Ж!р (О) с О на Я п

с сохранением дифференциальных свойств доказывались многими авторами [1] - [10], [14]. Для областей с липшицевой границей оператор продолжения был построен в работе Кальдерона [1] при 1< р <ю, в работах Стейна [2], В.И. Буренкова [3] при 1 < р < ю ; для более общих областей - в работе Джонса [4]. С.К. Водопьянов и В.М. Гольдштейн [5] получили необходимые условия на О, при которых построение такого оператора возможно ( совпадающие при р = 2, 1 = 1, п = 2 с достаточными ).

В работе Буренкова [3] для областей с липшицевой границей был построен оператор продолжения Т, обладающий тем свойством, что продолженная функция бесконечно дифференцируема вне О, и такого, что он является наилучшим в смысле скорости роста производных Ва (Т/)(х), Н> I, при подходе к границе области. Более точно, для областей с

липшицевой границей был построен оператор продолжения Т: Ж'р (О) ^ Ж'р (Я"), для которого

Т/ е Сш (Я" \ О) и для любого мультииндекса а , |а\ > I, выполняется неравенство

0а(Т{)р\ " < ф\\

ьр (я"\о) 11 шр(о)

где С1 не зависит от Г и О. В этой же работе было показано, что показатель \а\-1 нельзя заменить на а -1 -8 с 8 >0.

В случае анизотропных пространств Соболева вопрос о построении операторов продолжения изучался в работе В.П. Ильина [6] для областей, удовлетворяющих сильному условию рога, для более общих областей — в работах Б.Л. Файна [8]. Наилучшие в смысле скорости роста производных высокого порядка от продолжающей функции операторы продолжения построены в работе В.И. Буренкова и Б.Л. Файна [9].

В работах [3], [9] оператор продолжения, наилучший в смысле скорости роста производных

высокого порядка от продолжающей функции строился непосредственно. В [10], [14] было

Ext: Wp" 'In (Q) ^ w'p" '1" (Rn) можно превратить в

показано, что любой оператор продолжения

оператор продолжения T: Wlp"'"ln (Q) ^ wlp"'"ln (Rn), наилучший в смысле скорости роста

производных высокого порядка, применив к нему оператор приближения с сохранением граничных значений.

В настоящей работе получено обобщение результатов [10], [14].

Пусть Q1 cQ и Z (Q1) — некоторое банахово пространство функций, заданных на Qi.

Оказывается, что все определяется лишь тем функциональным пространством, в которое

осуществляется продолжение, т.е. произвольный оператор продолжения Ext: Z(Q1 w^''"'1" (Q)

можно сделать наилучшим в смысле скорости роста производных высокого порядка с помощью оператора приближения с сохранением граничных значений.

Предварительные сведения и результаты

Пусть Rn- n-мерное евклидово пространство точек x = (x1,x2,..,xn), QcRn — открытое множество, a = (a1,...,an), I = (I1,...,In) — целочисленные неотрицательные мультииндексы,

i \ 1 ( 11 ^ n

A = (A1,...,An) — неотрицательный мультиндекс, 1 = (1,...,1), -= —,...,— , \a\ =

1 VI1 In ) !

i'

n da f

(a,A) = \aiAi, D\ f =- — обобщённая производная порядка ai (в смысле обобщенных

dxaJ

i =1

функций), Эа = Б?... .

Носителем 8иррф назовем замыкание множества таких х, для которых ф(х) ф 0 . Определим С (О) как множество функций ф е Сш (О), для которых 8иррф с О.

Определение 1. Изотропное пространство Соболева Ж1р (О), 1 < р < го, — это класс функций, характеризующихся конечностью нормы

II/II =V|\па f

Ik Wwi(□) ¿—t\\ J

\\W'p (Q)

\a\<l

L„ (Q)

Анизотропное пространство Соболева Шр""" (О), 1 < р — это класс функций, характеризующий конечностью нормы

11/11 =| /|| +у1 \в1' /II

II-7 Шр.....'"(О) \\Ьр(О) ^11 ^ (О) •

Обозначим р = р(х) евклидово расстояние от точки х до границы дО множества О, р I = Р\ I (х) анизотропное расстояние от точки х до границы дО, т.е. расстояние в метрике

Г п \/г

1

р.Л (^ У) = I Z I^ - Уг\ 1 , ГДе 1 = ™ax l i '

№

V i=i У

Для изотропных пространств Соболева при построении оператора приближения используется евклидово расстояние до границы области, а для анизотропных пространств Соболева — анизотропное расстояние до границы области.

Обозначим

Qs = jx eQ : р Л (x) >s\.

Пусть Q1 ^ Q и Z (Q1) — некоторое банахово пространство функций, заданных на Q1.

Определение 2. Назовем линейный оператор Tr : wp^'"'1" (Q) ^ Z(Qj) оператором следа, если выполнено следующее свойство: если f е Wp''"'1" (Q) и существует последовательность рк е Cq (q \ Qj) такая, что

о I рк, x е Q \ Q, , ,

рк =Гк'_ _J ^ f в WУ" (Q), к ^х, (1)

[о, xeQ\Q1

то Trf = 0.

Оператор Ext: Z (Q1) ^ w1p'"'J" (Q), такой, что для любой f е Z (Q1) TrExt f = f, назовем оператором продолжения.

Докажем следующее вспомогательное утверждение.

Лемма 1. Пусть Ос Я" — открытое множество, 1 < р < да, / е шР1''"'1" (О). Тогда если

1|/1,(о ,О»,= °(е'). е-0,

то существует последовательность функций (, 5 = 1,2,..., таких что

фs е С0° (О) , 5 = 1,2,..., и НшУ -/|К....."(О) = 0

(3)

Доказательство. Пусть сначала Ос Я" — ограниченное открытое множество.

Положим

/^ (х) = ^ \ ^У (у )У е С (О),

где * удовлетворяет условиям

* еС0°({г : (г,0) < 1});

| *( г )йТ = 1.

(4)

(5)

Докажем, что

И™ II/ - /

5^0 II ■>«■

шр.....'" (О)

= 0.

(6)

Прежде всего,

/ •/еЛ №р.....'" (О) / шр.....(О35) + / шр.....'" (О\О3е) + •/5Л шр.....(О\О3е)

(7)

В [14] было показано, что если / е шР1''"'1" (о) и для любого компакта

1/1

4(5 п(О\О5))

)(е')е

= 0 е е^ 0,

то

Г/ (х), х еО; 1 , ч Ф(х) = Г _ е^ "'" (R"). 10, хеО; Р V '

(8)

5

Вернёмся к оценке слагаемых в правой части неравенства (7). Так как х е О3е функция /' л (х) является усреднением функции /(х) или Ф(х) (см. (8)), то есть / л (х) = [/(х)]ел = [ф(х)]ел и

Ф(х) е WP1,■■■,/" (Я") (см. (8)),

то

/ - /е

шр.....'" (О3е)

\\Ф -[Ф]

е\\шр.....'" (о)

Ф-[ФЦ ^.....1" (яо 0 при 0

на основании свойств средних функций (см. [11]).

В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега /

<.....'" (О\О3е)

^ 0 при е^ 0

Оценим теперь

/е

шр.....'" (О\О3е)

/е

К.....'" (Ое\О3е)'

Так как

УеО2е

«1....." (х,У)<е

то

<

1

Ьр (Ое\О3е) д

Л\+1,

I / (х - г Уг

<

р.....I" (°,г )<е

г

<

Ьр (Ое\О 3е)

;|л|+1

1

Й1.....1" (0,г )<е

Ьрх (Ое\О3о)

^ II-71

Ьр (О \О3е)

*)( г )| й

12 <

р....." (0,г )<1

< Щ А

е'' ^ "Ьр(О\О4е )

^ 0

при е^ 0, так как по условию ||Г||Ь (О\О ) = 0(е' ), где Г = тах1 .

1<г<и

Если О — неограниченное множество, то вместо /ел(х) нужно рассмотреть функции

/s*(x)■Xsя{x), где Хел(х) = х{еЛх\ Xе С0°(Я") Х(и) = 1 при Рхъ.,1п (и,0) < 1 и х(и) = 0 при Рх 1 (и,0) > 2 . Лемма доказана.

1

Основной результат

Теорема. Пусть Q е Rn — открытое множество, 1 < p < х, Q1 с Q, Z(Q1) — некоторое банахово пространство функций, определённых на Q1, и пусть существует ограниченный оператор продолжения (см. Определение 2)

Ext: Z(Q1 Wp;,''Jn (Q). Тогда существует ограниченный оператор продолжения

T: Z(Q1 Wp1"'',ln (Q),

такой что

1) T: Z(Q1 CX(G), где G = Q\Q1;

2) если существует такой индекс i, что ai > l, то

Da(Tf )р

:,X)-i

••,ln

< C II fll

Lp (G )< J^Z (Q.) "

где С3 не зависит от / и О .

Доказательство. Разобьём множество О на "слои" в соответствии с расстоянием рх 1 (х) :

О я ={х еО: 2-™-1 < р^ (х) < 2-т }.

Обозначим через От объединение трёх "слоёв", через От — пяти:

~ т+1 ~ т+2

о = ii о , о = м о .

5=т-1 5=т-2

Согласно лемме о разбиении единицы [12] существует последовательность неотрицательных функций у/т е Сго(я"), т = 0,±1,±2,..., таких, что

1) Z^m(x) =1, x еQ;

m=-x

2) Qm с SUPP ¥m cQm;

3) О = М Бирр у/т , причём кратность покрытия (вирр у/т } равна 2;

т=-го

4) для любого мультииндекса а = (а1,..., ап)

|Я>т(х) < СаА,..Л • 2т(аД) .

С помощью этой последовательности функций (^т} построим усреднение с переменным шагом следующим образом

(Е/)(х) = £ ¥т (х) |/(х + (2-т ) г)йг,

т=-го я"

где G( 2) — ядро усреднения, описанное в книге О.В. Бесова, В.П. Ильина, С.М. Никольского [13] гл.2 п.7. С помощью G(2) строятся усреднения в интегральных представлениях функций. G(г) имеет вид

G( г) = Б

у)в(г - №

(9)

Здесь к = (кр...,кп), где к. — достаточно большие натуральные числа; 1 = (1,...,1),

п

в( х) = П#( х1), в(г) — функция Хевисайда, w — какое-либо ядро усреднения, удовлетворяющее

1=1

условиям (4), (5).

Пусть / е 2 (Ох) . Докажем, что оператор продолжения, определяемый равенством

(Т/)(х ) =

(Ехг)( х), х еО1\ дО; (Е,Ех1)(х), х е G = О \ О",

удовлетворяет условиям теоремы.

Докажем, прежде всего, что ТгТ/ = ТгЕх/ = / . Рассмотрим разность

, ч/ ч |0, хеО, \дО;

(Т/ -Ех/)(хЫ 1 (10)

^ 1(Е1Ех/)(х)-(Ехг)(х), х е G.

< да,

(О)

Согласно теореме 1 из [15]

(Е1 Ех/ - Ех/ )рк1,1п откуда следует, что при 8 ^ 0

11(Е Ех# -Ех/)|^(О\О8) < 8 |р-;;л [Е1 ЕхЦ -ЕхЦ|^(о о8) = 0(8'),

так как р г (х)1 <8 . Следовательно, в силу леммы (1) существует последовательность функций р5, 5 = 1,2,..., таких, что

р, е С0°(О), рs ^ Е, Ех/ -Ех/ в О). (11)

о

Построим функции р, в соответствии с (1). В силу (10) и (11)

рх ^ Т/ - Ех/ в (О), , ^ да.

Следовательно, по определению 2 Тг (Т/ - Ех/) = 0. Из линейности оператора Тг следует, что ТгТ/ = ТгЕхг/ = / .

Свойства 1), 2) следуют из теоремы 1 (см. [15]). Теорема доказана.

След часто определяется следующим образом (см., например, книгу С.В. Успенского, Г.П. Демиденко, В.Г. Перепёлкина [16]). Пусть Ок = ПпЯк .

Определение 3. Функцию у е Ьр (О ,) будем называть следом функции / еШр".'1" (О), /\п = У, если для любой последовательности гладких функций р5 е Сда(п), 5 = 1,2,..., такой, что ¡™1р. - Л^^-п = 0, выполняется

"И,,(О,) = (12)

Нетрудно видеть, что для следа, определённого подобным образом, выполняется условие определения 2. В самом деле, пусть р, е С0да(О \ О, ) и

Ф = {?" х^О\О;^/ в (о), ,^да. (13)

I0, х еО,,

Тогда из (12) и (13) следует, что у = 0. Таким образом, линейный оператор

Тг : / еЖр}'"'''1" ^уе Ьр (Ок) является оператором следа в смысле определения 2. Пусть далее О удовлетворяет сильному условию I -рога, 1 < р < да, / е ^р1' "'1" (О). Тогда (см. [16]) существует след /\ Ок =уе БгГг (О к )' где

Г = l

1 1 Л 1

1—х—+—X—

p j=1 lj p j=1 ll

J=i" j

, i = 1,..., к, 1 < p < x

Таким образом, справедливо следующее следствие.

Следствие. Пусть О ^ — открытое множество, удовлетворяющее сильному условию I -рога, 1 < р < да. Тогда существует оператор продолжения

t: bp1'""* (пп r ц (п), где

r = l

1 1 ^ 1 1 Л 1

1—X_X_

Р j=1 li Р j=1 lj

i = 1,..., к,

такой что

1) T : Вр'-Гк (ПпR) ^ С°°(п\ПпR);

2) если существует такой индекс i, что ai > l, то

(Tf )р&

л)-г'

L„ [ПюП^Л - CA\J\\bPp.....Гк (ПпЯк),

причём С4 не зависит от f и П.

Заключение

В работе показано, что функцию из банахова пространства, заданную на О1, можно продолжить в О так, что результат принадлежит анизотропному пространству Соболева. При этом продолженная функция бесконечно дифференцируема вне О \ О1, а построенный оператор продолжения является наилучшим в смысле скорости роста производных высокого порядка при подходе к границе области.

Список литературы

1. Calderon A.P. Lebesque space of differentiable functions and distributions // Proc. Sympos. Pure Math. Vol. 4. American Mathematical Society, Rhode Island, 1961. P. 33-49.

2. Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций: пер. с англ. М.: Мир, 1973. 342 с.

3. Буренков В.И. Об одном способе продолжения дифференцируемых функций // Труды МИАН СССР. 1976. Т. 140. C. 27-67.

4. Jones P.W. Quasiconformal mappings and extendability of functions in Sobolev spaces // Preprint Univ. of Chicago, 1980. P. 1-30.

5. Водопьянов С.К., Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. О геометрических свойствах функций с первыми обобщенными производными // Успехи математических наук. 1979. Т. 34, № 1. С. 17-62.

6. Ильин В.П. Интегральные представления дифференцируемых функций и их применение к вопросам продолжения классов Соболева // Сибирский математический журнал. 1967. Т. 8, № 3. С. 573-586.

7. Буренков В.И. Продолжение функций с сохранением определенной гладкости и компактность вложений для пространств дифференцированных функций // Труды МИАН. 2005. Т. 248. С. 74-85.

8. Файн Б.Л. О продолжении функций из анизотропных пространств Соболева // Труды МИАН СССР. 1984. Т. 170. С. 248-272.

9. Буренков В.И., Файн Б.Л. О продолжении функций из анизотропных пространств с сохранением класса // Труды МИАН СССР. 1979. Т. 150. С. 52-66.

10. Буренков В.И., Попова Е.М. Об улучшении операторов продолжения с помощью операторов приближения с сохранением граничных значений // Труды МИАН СССР. 1986. Т. 173. С. 50-54.

11. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1950. 255 с.

12. Буренков В.И. О разбиениях единицы // Труды МИАН СССР. 1979. Т. 150. С. 24-30.

13. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функции и теоремы вложения. М.: Наука, 1996. 480 с.

14. Попова Е.М., Келдыш Е.П. Об улучшении операторов продолжения с помощью операторов приближения // Математические методы решения инженерных задач: сб. науч.-метод. матер. М.: Мин-во обороны РФ, 2013. C. 89-95.

15. Попова Е.М. О плотности бесконечно дифференцируемых функций в анизотропных пространствах Соболева для произвольного открытого множества // Дифференциальные уравнения и функциональный анализ. М.: Изд. УДН, 1984. C. 76-87.

16. Успенский С.В., Демиденко Г.В., Перепёлкин В.Г. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям. Новосибирск: Наука, 1984. 224 с.

SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE BAIJMAN MS TU

SCIENCE and EDUCATION

EL № FS77 - 48211. №0421200025. ISSN 1994-0408

electronic scientific and technical journal

About one method of extension operator construction

# 02, February 2014

DOI: 10.7463/0214.0697588

E.M. Popova

Bauman Moscow State Technical University, 105005, Moscow, Russian Federation

elmipogyandex.ru

This article examines S.L. Sobolev anisotropic spaces. It proposes a method to construct the operator extension T from the banach space of functions to Sobolev anisotropic space. The operator T is the best one in terms of growth rate of high order derivatives from extension function, and its construction is based on any extension operator Ext. The construction method is to apply the approximation operator saving boundary values to the operator Ext. V.I. Burenkov offers this method in the isotropic case while E.M. Popova's proposal is to use it in the anisotropic one.

Publications with keywords: banach space, anisotropic Sobolev space, extension operator, derivative growth

Publications with words: banach space, anisotropic Sobolev space, extension operator, derivative growth

References

1. Calderon A.P. Lebesque space of differentiable functions and distributions. In: Proc. Sympos. Pure Math, vol. 4, American Mathematical Society, Rhode Island, 1961, pp. 33-49.

2. Stein E.M. Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1970. (Russ. ed.: Stein E.M. Singulyarnye integraly i differentsial'nye svoystva funktsiy. Moscow, Mir, 1973. 342 p.).

3. Burenkov V.I. [A way of continuing differentiable functions]. Trudy MIAN SSSR - Trudy Mat. Inst. Steklov, 1976, vol. 140, pp. 27-67. (in Russian). (English translation: Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 1979, vol. 140, pp. 27-70).

4. Jones P.W. Quasiconformal mappings and extendability of functions in Sobolev spaces. Preprint Univ. of Chicago, 1980, pp. 1-30.

5. Vodop'yanov S.K., Gol'dshteyn V.M., Reshetnyak Yu.G. [On geometric properties of functions with generalized first derivatives]. Uspekhi matematicheskikh nauk, 1979, vol. 34, no. 1, pp. 17-62. (in Russian). (English translation: Russian Mathematical Surveys, 1979, vol. 34, no. 1, pp. 19-74. DOI: 10.1070/RM1979v034n01ABEH002871 ).

6. Il'in V.P. Integral'nye predstavleniya differentsiruemykh funktsiy i ikh primenenie k voprosam prodolzheniya klassov Soboleva [Integral representations of differentiable functions and their application to issues of continuing of Sobolev classes]. Sibirskii matematicheskii zhurnal, 1967, vol. 8, no. 3, pp. 573586. (in Russian)

7. Burenkov V.I. [Extension of Functions Preserving Certain Smoothness and Compactness of Embeddings for Spaces of Differentiable Functions]. Trudy MIAN - Trudy Mat. Inst. Steklov, 2005, vol. 248, pp. 74-85. (in Russian). (English translation: Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2005, vol. 248, pp. 69-80).

8. Fain B.L. [Continuation of functions from anisotropic Sobolev spaces]. Trudy MIAN SSSR - Trudy Mat. Inst. Steklov, 1984, vol. 170, pp. 248-272. (in Russian). (English translation: Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 1987, vol. 170, pp. 285-311).

9. Burenkov V.I., Fain B.L. [Extension of functions from anisotropic spaces with preservation of class]. Trudy MIAN SSSR - Trudy Mat. Inst. Steklov, 1979, vol. 150, pp. 52-66. (in Russian). (English translation: Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 1981, vol. 150, pp. 55-70).

10. Burenkov V.I., Popova E.M. [Improvement of extension operators by means of approximation operators that preserve boundary values]. Trudy MIAN SSSR - Trudy Mat. Inst. Steklov, 1986, vol. 173, pp. 50-54. (in Russian). (English translation: Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 1987, vol. 173, pp. 51-56).

11. Sobolev S.L. Nekotorye primeneniya funktsional'nogo analiza v matematicheskoy fizike [Some applications of functional analysis in mathematical physics]. Leningrad, LSU Publ., 1950. 255 p. (in Russian)

12. Burenkov V.I. [Partitions of unity]. Trudy MIAN SSSR - Trudy Mat. Inst. Steklov, 1979, vol. 150, pp. 24-30. (in Russian). (English translation: Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 1981, vol. 150, pp. 25-31).

13. Besov O.V., Il'in V.P., Nikol'skiy S.M. Integral'nye predstavleniya funktsii i teoremy vlozheniya [Integral representations of functions and embedding theorems]. Moscow, Nauka, 1996. 480 p. (in Russian)

14. Popova E.M., Keldysh E.P. [On the improvement of extension operators using approximation operators]. Matematicheskie metody resheniya inzhenernykh zadach: sb. nauch.-metod. mater. [Mathematical methods for solving engineering problems: a collection of scientific and methodological materials]. Moscow, Publ. of Ministry of Defence of RF, 2013, pp. 89-95. (in Russian)

15. Popova E.M. [The density of infinitely differentiable functions in anisotropic Sobolev spaces for an arbitrary open set]. In: Differentsial'nye uravneniya i funktsional'nyy analiz [Differential equations and functional analysis]. Moscow, Publ. of Peoples' Friendship University, 1984, pp. 76-87. (in Russian)

16. Uspenskiy S.V., Demidenko G.V., Perepelkin V.G. Teoremy vlozheniya i prilozheniya k differentsial'nym uravneniyam [Embedding theorems and applications to differential equations]. Novosibirsk, Nauka, 1984. 224 p. (in Russian)