Комплексные степени одного дифференциального оператора, связанного с оператором Гельмгольца Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE.

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES

2017. No. 4-1

УДК 517.983.2 DOI 10.23683/0321-3005-2017-4-1-4-12

КОМПЛЕКСНЫЕ СТЕПЕНИ ОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА, СВЯЗАННОГО С ОПЕРАТОРОМ ГЕЛЬМГОЛЬЦА*

© 2017 г. А.В. Гиль1, В.А. Ногин1

1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия

COMPLEX POWERS OF A DIFFERENTIAL OPERATOR RELATED TO THE HELMHOLTZ OPERATOR

A.V. Gil1, V.A. Nogin1

1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia

Гиль Алексей Викторович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра дифференциальных и интегральных уравнений, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, e-mail: [email protected]

Alexey V. Gil - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Differential and Integral Equation, Vorovich Institute of Mathematics and Computer Sciences, Southern Federal University, Mil-chakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected]

Ногин Владимир Александрович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра дифференциальных и интегральных уравнений, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, e-mail: [email protected]

Vladimir A. Nogin - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Differential and Integral Equation, Vorovich Institute of Mathematics and Computer Sciences, Southern Federal University, Mil-chakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected]

Исследуются комплексные степени обобщённого дифференциального оператора второго порядка Qj (в Rn)

1 ё2

mi + Д—^ij—т ' J> 0 , с комплексными коэффициентами в главной части. Рассмотрено два случая: 1=\ dx1

\ < 1 < n и 1 = n.

Комплексные степени этого оператора с отрицательной вещественной частью реализованы в виде анизотропных потенциалов B" ф с нестандартной метрикой. Положительные степени, обратные к отрицательным, - как

аппроксимативные обратные операторы (АОО). Комплексные степени оператора Qj с отрицательными вещественными частями на «достаточно хороших» функциях ф(х) определяются как мультипликаторные операторы, действие которых в образах Фурье сводится к умножению на соответствующую степень символа рассматриваемого оператора F Qj"12^) = ^ m2 — + i ¿ j фФ£), где £ e Rn, Re a > 0.

Комплексные степени Q—"^ф, Rea> 0, понимаются в смысле обобщенных функций над основным пространством типа Лизоркина (Sj"'2V,Oj = (ф, Sjal, где а - функции из пространства Лизоркина Ф, преобразо-

* Работа первого соавтора выполнена в рамках совместного научного проекта международного конкурса «ГКН МОН РА - ЕГУ - ЮФУ РФ».

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2017. № 4-1

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2017. No. 4-1

вания Фурье которых исчезают вместе со всеми своими производными на совокупности координатных гиперплоско-

__/ ! \-al2

стей; S—"12 - оператор с символом I m2 —|| + i ^ jl

V 2=1

Указанные потенциалы обобщают хорошо известные параболические потенциалы Джонса - Сэмпсона, которые широко используются в различных задачах анализа и математической физики.

Получены оценки для оператора B" из Lp в Lp + Ls в случае l < n и из Ьр в Ьр в случае l = n (во втором случае показано, что b" {y) G L). В рамках метода АОО построено обращение потенциалов B" ф с плотностями из Lp . Дано описание образа B" {Lp ) в терминах оператора, левого обратного к B".

Ключевые слова: дифференциальный оператор, образ, потенциал, комплексные степени, аппроксимативные обратные операторы, мультипликатор.

i ё2

We study complex powers of the differential operator of the second order Gj (in Rn) m I + A — ^ ij —т > J > 0 >

2=1 cxk

with complex coefficients in the principal part. Reviewed two cases 1 < l < n and l = n .

Complex powers of this operator with negative real parts are realized as anisotropic potentials with nonstandard

metric. Positive powers, reverse negative - as of approximative inverse operators (AIO). Complex powers of the operator Gj with negative real parts on "sufficiently nice" functions ф(х) are defined as multiplier operators, whose action in the Fourier pre-images is reduced to multiplication by the corresponding power of the symbol of the operator under consideration: F{G—al2vU) = [m2 — I + i i Jl j $1), where |g Rn, Rea > 0.

Complex powers G—<х12ф, Rea > 0 are interpreted as distributions: {Sjal2$,Cj = Sj"12^ , where CO is the Lizorkin space of functions in S, whose Fourier transforms vanish on coordinate hyperplanes, and S—" 2 - operator with the

s J \-a!2

symbol m2 -|| +

V k=1

These potentials generalize well known Jones-Sampson parabolic potentials which are widely used in various problems of analysis and mathematical physics.

The estimates for the operator Ba are obtained from Lp to L p + L in the case l < n and from Lp to Lp in the case l = П (in the latter case it is shown that ba (y) G L ). Within the framework of the method of approximative inverse operators we construct the inversion of potentials Bap with densities in Lp . We also describe the range Ba(Lp ) in terms of the operator left inverse to Ba.

Keywords: differential operator, range, potential, complex powers, approximative inverse operators, multiplier.

Введение Л=(Л1,...,Л1 ), 0 <4< 1, 1 < l < n.

В работе исследуются комплексные степени Комплексные степени оператора Gl с отрица-

обобщенного оператора Гельмгольца в R" с тельными вещественными частями на «достаточно

комплексными коэффициентами в главной части хороших» функциях p(x) определяются как муль-

l г?-

^__2т л s^.q и_ „„-^п r^\ типликаторные операторы, действие которых в

Gx=ml + Л-^1Лк^ГТ ' m > 0 ' г ж

k=i ox2 образах Фурье сводится к умножению на соответ-

ствующую степень символа рассматриваемого

o2 О

где Л = —- + . + —- - оператор Лапласа; оператора

Ох, Ох,

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. -а/2,

) =

-а/2

f (^а/>Д#)=

NATURAL SCIENCE. 2017. No. 4-1

Вспомогательные сведения

-а /2

=|V-|2 + ¿gJ ,

(2)

Обозначения. (f, w) = J f (x Дw(xД^х ;

Rn

(WspXx) = (w(*, д)*фХх) - интеграл Гаусса - Вей- n/2 -I X 2/ M _

ерштрасса,

, где w(x, S) = (4\S) n 2e

ствующие дробные потенциалы имеют вид (В^\х) = Cl а (x) Jbaj (y)<р(х - y)dy,

Rn

Ks-a(mw! (y))

где

аy ) = ■

(3)

(4)

W! (y))2

Kn-а (mWx (у)) - функция Макдональда порядка

где Я", Яеа>0.

Получены интегральные представления для комплексных степеней (2) в виде интегралов типа потенциала с нестандартной метрикой. Соответ- ядро Гаусса - ВейершФасса; если А - оператор

свертки с символом т(^), то через А обозначается оператор с символом т(д); £ - класс Шварца быстроубывающих гладких функций;

Ц + Ц = {/: / = /1 + /2,/1 е Ьр,/2 е Ц },

\\А\ьр +Ц = ^ 1 Ц 41 II ц } где нижняя ^ань берется по всевозможным представлениям / в виде суммы Л + /2 ; - банахова алгебра преобразований Фурье интегрируемых функций в Я" ;

О) (Я" )={/" : Л ес(я"\/ (®) = 0}.

Через обозначается главная ветвь рассматриваемой многозначной функции, аналитическая в комплексной плоскости с разрезом по отрицательной вещественной полуоси.

Об аналитичности интеграла по параметру. Лемма 1 [1, лемма 1.31]. Пусть функция /(х, г) аналитична по г в некоторой области

п-а

w (y) =

-z-

к=1

2

I < n-1 , ~ =(Уп+1,^, Уп Д ,

1 + & к=11 + &

У2

-I ~2 - z

W(У) =

Е^Ч - Z

к=1 1 + \ к=1 1

\у1

+ 4

, l = п;

m 2 2 2 exp (-

(- ¥ ® )

--2-— , l < п .

\ 2 т(а )nV-i+ä

к=1

(5)

На функциях р(х)е L отрицательные степени ^ ^

-ту > р г dc для почти всех xеь2< R и имеет сум-

оператора Gx понимаются как потенциалы (3). мируемую мажоранту: f(x,z)<F(x)eф) .

Получены оценки для оператора Ва го Lp в Тогда интеграл J f (x , z)dx аналитичен по z в обла-

L + L в случае l < п; из L в L в случае l=n (во Q

р р \ стиD.

втором случае показано, что ba(y)£ L1). В рамках Равномерные оценки для функции Макдональда

метода АОО построено обращение потенциалов K(z). В дальнейшем нам понадобятся равномерные

оценки для функции Макдональда Kv(z).

Лемма 2 (см. [9]). Пусть |Re v|<M, |lmv|< N, где Ми N - произвольные положительные числа.

Щр > Ре Lp; дано описание образа ва L)

терминах оператора, левого обратного к Ва .

Таким образом, в работе получены явные выра- Тогда справедливы оценки

\Kv(z Д< exp

(

7я\I:

щ Imv

Л

2

(6)

жения для комплексн^1х степеней с положи-

я

тельными вещественными частями и описаны области определения этих степеней.

В настоящее время имеется ряд работ по теории комплексных степеней вырождающихся дифференциальных операторов 2-го порядка с постоянными коэффициентами [1, гл. 9, 11; 2-9]. Рассмотренный здесь случай оператора (1) является одним из наиболее трудных, что обусловлено нестандартным видом дробных потенциалов (3). Последнее, в

свою очередь, связано с наличием комплексных где 5 е (0,М) - фиксированное число; постоянные коэффициентов в главной части оператора ^ . ^(5^) и С(М) не зависят от V .

х <

A(S)\z|-Rev| , |Re v\ > S, |z| < 1, |z|-ReH (c(M) + ЬЛ), I Re v\ > 0, \z\ < 1, C (M ) exp (- Re z ) z14/2

, z > 1, -\< arg z <\,

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 4-1

О пространствах Ф, Т Лизоркина. Обозначим через Т класс функций из S, исчезающих вместе со всеми своими производными на совокупности координатных гиперплоскостей

I = 0,...,#и = 0 в Rn .

Пространство Т является счетно-нормиро-ванным, полным относительно набора попарно-согласованных сравнимых норм, определяемых равенствами

\H\N = sup {Mv(xY\D2v{x\ , N = 1 2,.,

Утверждение теоремы будет следовать из равенства

1 Г Ф{1 e-aldl _ {2x)n J '

i Л

R"'m2 442 + Ъ^

k=i у

а/2

:CiAÄ)i n" ^wif)v(x-y)dy =

(8)

где

M(x) = maxU1 + |x|2Л/P(x)| , p(x)= min

l ) j=1,..,n

V

n

= и 4, =0} -

совокупность координатных

гиперплоскостей в Я".

Обозначим через Ф пространство прообразов

Фурье функций из V : Ф = Р—1 (V). Пространства Ф и V были введены П. И. Лизоркиным [10].

Нам понадобится информация о плотности пространства Ф в Ьр.

Теорема 1 [1]. Класс Ф плотен в Ьр , 1 < р <ю, и в Со.

Замечание 1. Как показано в [1], для любой

функции и(х)е существует последовательность

5 (У))"2 где постоянная С[а(я^ определена в (5). Для доказательства (8) воспользуемся формулой [11] | ф(Ь)ехР_

^ + Е ГкЙ

к=1

а/2

An(a)ÜJn Rn

Kn

Л

z Ё ^

k=iYk

k=1

4

p(x - y )dy,

k=17k

где An (а) = (2ж)"'222-1r(f), pe S, Re z > 0, Imz >0, Rea >0, -<x>< Reyk < +x, Imyk > 0, k = 1,.,n.

функций wN {г)еФ , аппроксимирующая u{x) по П°л°жим z = т , ук = —1 + iJk для к =1,...,l;

норме Ьр, 1 < р < ю , и по норме Со .

Комплексные степени оператора О^

Комплексные степени оператора (1) с отрицательными вещественными частями на функциях феФ определим равенством (2). Заметим, что такое определение корректно, так как функция

( I \—а!2

Ш2 — ||| + является мультипликато-

V к=1 У

ром в пространстве V в силу [1, теорема 2.20].

Интегральное представление для комплексных степеней оператора (1). Интегральное представление комплексных степеней (2) дает

Теорема 2. Пусть Кеа>0 , феФ . Тогда справедливо равенство

(0Г>2фХх) = (вфХх), (7)

где В| — оператор (3).

Доказательство. Рассмотрим случай, когда 1<п в (1); доказательство в случае 1=п аналогично.

ук =—1 + is для l < к < n, где 0 <s< 1. Будем иметь

1 г ф l)e-^d!

(2я)п Rn

m

-42 + ¿42+H~2 ]

а/2

Cha(Ä,s)\ ^^^px-y)dy, (9)

Rn (wiAy)rr

где wi.e(y)=,

yk2

k=11 + 1 1 + s2

.- Щ+Ä'

k=11 + 12 1 + £2

Cl ,a(l,£)=-

m

(n-a)l 2

An (а)П (-1 + ilk f (-1 + is)

\(n-l)/ 2

к=1

Переходя в (9) к пределу при е ^ 0, получаем (8).

Обоснуем указанный предельный переход. В правой части (9) можно перейти к пределу под знаком интеграла на основании мажорантной теоремы Лебега, применимой с учетом вытекающих из (6) оценок

,=1

2

n

2

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 4-1

My )

< с-

w

Re a-n

i - ln

¿ JyL

k=ii + j

i,

Re a < n, Rea = n, Rea >n,

грирование ведется по ,..., йу1. Сделав последовательно замены

у1 = ^Ул/Г+Я2, ..., у, = (12)

и поменяв порядок интегрирования, будем иметь

I! л/Г+Я|"

к=1

если \w (y) < 1/т

exp

(- Re K, (W)11

Ы < сjf^d -dti flWRea+"dy . (13)

A (S3 (í 11 4 <1(m(S3 (t)f )

wj,(y)

(n - Re a+l)/ 2

<

(10)

Вычисляя внутренний интеграл в правой части

< ж .

если г е (у) > Г га .

Здесь через Ь^(у) обозначено ядро оператора свертки, содержащее функцию Макдональда (см. Ь II = с Г С(М) +1п,—1

(13), получаем ЬЛ < с7 Г ^ .

Применив затем оценку (6) для функции Макдональда при Кеа = п, имеем

/ Л

(9)). При этом второе неравенство в (10) вытекает из того, что Яе(г е(у))> 0 , а постоянные с и С в

приведенных оценках не зависят от 8 .

Возможность предельного перехода под знаком интеграла в левой части (9) очевидна для < е Ф. Из (8) вытекает (7). Теорема доказана.

W(y)\

dy <<

г я(у)| <г га V

(с учетом ограниченности множества

{у: К (у) < Г га}).

В случае Яеа>п ядро Ь|0(у) ограничено, как это видно из (6), откуда также получаем нужное.

Действие оператора Ва в Ьр-пространствах. Если 1=п в (4), то (?) = ^($ ))2 +(^2 ))2 > , откуда

Как отмечалось во введении, на функдиях < е Ьр также получаем, что Ьа 0 (у)е Ц . Лемма доказана. отрицательные степени (с^а/2<)х) будем понимать как потенциалы (ва<(х). Ядро (4) в виде Ьа(у ) = ьа,0 (у ) + Ьа(у), где

запишем

Из леммы 3 вытекает

Теорема 3. Пусть Яеа>0 . Тогда оператор Ва 0 ограничен в Ьр, 1 < р < ж .

ta (Л^М Wj (У) < Ут,

о, WM >Ут, bL(y )=ay)-J (y).

Оценим далее

щ

Лемма 4. Пусть 0<Rea<n + \. Тогда ядро

bj »о (у) принадлежит L , если q > -

2n -1

q, n — Re j + \ '

Доказательство. Используя оценку (6) для

Пусть В",, и B" - операторы свертки с ядра- функции Макдональда, получаем

ми b" 0(y) и b" x(y) соответственно.

Лемма 3. Ядро b" 0 (y) принадлежит L для Re" > 0.

Доказательство. Рассмотрим вначале случай, когда l<n в (4).

Обозначим S\(í, Si(t)=Z jtk >

fUq <

< с f

exp (- q Re Wj (y))dy

n-Re a+l У 2 '

j( y)| >\m |Wj ( y)| С помощью замена! (12) будем иметь

\\ЬЦ] <

k=1

k=1

< с f

dt dt i

(S (í ))q(n-Rea+iy 8

exP (t )-1-^(0 jdy

q(n-Rea+iy 2-l •

S3(t) = S1 (t)+S\2(t)+ 2S\(t)+\ . Воспользовавшись оценкой (6) для функции Макдональда, в случае 0 < Re"< n получим

dy

КГ*''" |~| >l(m(Si (t Г ) Производя далее в интеграле по dy замену

т

y =

используя равенство

bao <с f

(ii)

III 1 I / Ч|"-Ке а

Г (у )|<Гга \гя (у)|

Запишем интеграл в правой части (11) в виде повторного интеграла, в котором внутреннее инте-

-1 - Si (í):

^^ - 1 - Si(t1+Sl ^ (t) и обозначая

и

q

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 4-1

X(t) =

и

S3 (t)-1 - S1 (t)

<

получаем

exp (-

Из теорем 3 и 4 вытекает Теорема 5. Пусть 0 < Яеа< п + 1,

1 < p <

2n -1

n - Re а-1 +1

1<п. Тогда оператор Ва

ограничен из Ьр в сумму пространств Ц + Ц , где

< С\g(t)dt1 ...dt, J (:-Re а+1)/ 2-, - 1 , (14)

1 = 1 + 1 - 1

2n -1

< q < <x .

где g (t ) =

At )}M'

S (t ¡qn-Re а+1)- 2n v2 d4 .dt,

(S3 (t)

j(n - Re а+1У 8

+1+S1 (t)

(q(n-Re а+1)- 2n )/4 '

5 р д ' " — Яе а +1

Обращение потенциалов В^ф с Ьр-плотностя-ми. В рамках метода АОО левый обратный к оператор будем строить в виде

Учитывая, что %({) < 1, разобьем область интегрирования в интеграле по йт на две части:

ге Я"—[, 1 >||>*(г)} и |е Я"—[, || > ' Тогда I < с(Д + 12 ), где

ехр ( — д|г|)йг

где

¡1 = J g(t)dt1 . dt, J (n-Re а+1)/2-, ;

R+ {reR"-' ,1>|r|>^ )}||

Txf\x)= lim tifXx), S^ 0

T?,lf\x)= J Pli(t)f(x-t)dt

R

Pli(t ) = F1

(15)

(16)

A 2 , ^

m2 -4 + Ъ14

V k=1 У

¡2 = J g (t )Л1 ...dt, J

exp ((- q|r|/dr

leR r

l>1}|

i(n-Re а+1 У2-, '

4

4 + iS

,-s& 2

(t) , S>0, d >n-, l<n.

Re а

Рассмотрим I. Вычисляя внутренний интеграл, Предел в (15) понимается по Ьр-норме или почти будем иметь I < Л1 + Л2 — А3, где А1 = |g(/---й^,

eR+ J t| >1}

A2 = J g(t )dt1 .dt, , A3 =Jd.W ' {eR+ J t| <1} R+ (S3(t Г

Заметим, что подынтегральные функции в интегралах А1 и А3 непрерывных в Я[ и на бесконечности оцениваются через С(^ (/)) "2. Учитывая это, получаем, что А1; А3 <ю (при любом д > 1).

всюду.

Справедлива следующая Теорема 6. Пусть 0 < Яеа< п + 1,

1 < р < Яа+г, [ < ", Фе Ьр. Тогда

(тавфХх)=ф(х).

Доказательство. Заметим, что функция

(17)

m

-4 + ЪI42

k=1

\(

4

л

d

41 + iS

-Sil2

Легко видеть, что А2 < ю , если д >

2n -1

n - Re а +1

еХР ( — д||)]йг

с учетом оценКИ ] д("—Яе а+1)/2—[ <Ю

\теЯ"—[ ,||>1} |

будем иметь Д < А + А9 < ю при а > —2" — [—.

^ 212 р д " — Яе а +1

Лемма доказана.

Применяя теорему Юнга о свертках, с учетом леммы 4 получаем следующее утверждение. Теорема 4. Пусть 0 < Яеа< " + 1,

1 < p <

2n -1

n - Re а-1 +1

q >

2n -1

n - Re а +1

. Тогда опе-

принадлежит [1, теорема 3.5]. Следовательно,

(Р11/)е Ц.

Доказательство равенства (17) основано на представлении

(Тд в| ф)(х)=

= (М,Ж,ф)(х)+(Ж,ф)(х) ^ (И8<ф(х). (18)

Здесь 0<Rea<п+1 , фе Ьр , 1 < р <—2" — ^ , .

р " — Яе а — [ +1

Оператор М5 имеет вид

ратор В^ ограничен из Ьр в Ц , 1 = — +1 — 1.

(MspXx) = ]TCJ (-S) (ASp)(x),

j=1

q

q

R

reR" ,| >

X

d

X

R

+

e

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

Йр^Ь

sih+.-.+tjД

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 4-1

= J. J est1+-+tj^(x1 --. -,x2,xi,~

)dt1 ...dtj

0 0 j

F (Msg,Xx ) =

' I ^

| + iS

-1

P(l), Pe S.

(19)

Равенство (18) с учетом (19) проверяется переходом к образам Фурье для <еФ и распространяется по ограниченности на все Ьр,

1 < p <-

2п -1

, , , на основании теоремы 1 и п - Ке а -1 +1

ограниченности операторов в обеих частях (18) из Ьр в Ьp+Ьs (для оператора в левой части (18) это следует из теоремы 5).

(вместо оценок (6)) и неполной Г-функцией Т(р, z), через которую выражается внутренний интеграл в правой части (14) (вместо оценки экспоненты единицей). Однако использование этих средств вносит дополнительные технические трудности и не приводит к расширению интервала изменения q в формулировке леммы.

Описание образа Ва (Ь ) . Через Ва (Ь ) обозначим образ оператора Ва:

Ва (Ьр )= {/ (х): / (х)=(в- р)х),ре Ьр }. Положим ||/|Ва( ) = < , где / = ВЯ< , <е Ьр .

Основным результатом статьи является теорема, содержащая описание комплексных степеней опе-

В случае, когда <р е Ь, равенство (18) доказы- ратора (1).

Теорема 7. Пусть 0 <Re а <n + 1,

1 < p <

2n -1

n - Re а -1 +1

l < n. Тогда

Bf (Lp ) = if (x) e Lp + L,: p(x) = T- f e Lp },

вается вначале в смысле Ф':

{т^Ч! а) + ®) = {Н5р, а) , (20)

®еФ.

Пусть далее а(х)е , соы (х) - последовательность функций из Ф, аппроксимирующая а(х) по

т 2п — I г^ /

норме Ьq , q > п — Ке а +1 , и по норме С0 (см. (15); предел в (15) понимается по норме Ьр.

замечание 1). В силу (20) имеем

где 1 = 1 +1 -1 ; q > 2n -1

, p q n - Re а +1

, j - оператор

(WoP^N

) + (ThBiP, Vn) = {HsP, ®n). (21)

feBf P>®) = (.

1 "ЧУ/

Переходя в (21) к пределу при N , получаем

(22)

Соотношение (Т^-Щ^а^ ^(г--В%а-!,а) обосновывается применением неравенства Гёльде-ра, а соотношения ^ (та-В-0<,а^

Доказательство. Вложение

В а (Ьр )с{ /(х)е Ьр + Ц : р(х) = Т-/ е Ьр }

вытекает из теорем 5 и 6. Докажем вложение

В а (Ьр) з {/(х) е Ьр + Ь : р(х) = Т-а/ е Ьр }.

Пусть / = ¿1 + ¿2 . где ¿1 е Ц . /2 е Ь и <р = Та/ е Ьр. Справедливо равенство

и (НзР,®ы)^\Н§Р,®) - применением мажорантной теоремы Лебега.

Из (22) вытекает (18) для ре Ц.

В [7] показано, что если ^(х)е Ьр , 1 < р <ж , ниченности °перат°ра В- из Ьр в Ьр + Ц

то )(х) ^ 0 по норме Ь или почти всюду. занной в теореме 5.

Далее имеем

Учитывая это и переходя в (18) к пределу при 0 в указанном смысле, получаем (17). Теорема доказана.

Замечание 2. Заметим, что при оценке нормы

Ва р,®у = |, Ва а, аеФ, которое обосновывается применением теоремы Фубини с учетом огра-

дока-

(ва р, V = р, ва V = (й TSjf, ва Л =

Ъа можно использовать более «тонкие» сред-

= limfef,Bf а = lim(f,ТалвааЛ .

(23)

ства. Например, можно воспользоваться асимптотическим разложением функции Макдональда

Второе из равенств (23) вытекает из того, что сходимость в Ьр влечет сходимость в Ф' .

\

/

q

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 4-1

С учетом (3) и (18) будем иметь

а) = lim (f j Bsa) = lim {-Bsf j а):

S^0

=lim {Bsfi,a) + lim (BJ2,a) = ( fl,) + (f2,a).

5^-0 5^-0

Последнее из равенств этой цепочки обосновывается применением неравенства Гёльдера при p>1 и мажорантной теоремы Лебега при p=1. Таким образом,

(/>) + (f2)) = {BloV)) + (, ^ 6 Ф .

Используя рассуждения, аналогичные применявшимся при переходе от (20) к (22), будем иметь

(f= ^Bj-ф,) , )еФ, откуда вытекает, что f (x) = x) для почти всех x е Rn . Следовательно, f (x) е Bj (bp ). Теорема доказана.

Замечание 3. При доказательстве теоремы 7 получено равенство ||f||B|(^ )= Tjf

Случай l=n. Как отмечалось выше (см. лемму 3), bj о (у ) е L. Кроме того, справедлива

Лемма 5. Ядро bj^(y) принадлежит L1.

Доказательство. Используя оценку (6) для функции Макдональда, будем иметь

exp

< с, J

yeRn\ v( y)\ >-L

m

А'

v(y)

(n-Re а+1) 2

dy,

где v

(y)=ГъЪу2/ +fzkyl/ , С2 = с. От

V k=1 у V k=1 у k=1

сюда получаем < с2 J

dy

J 2 (n-Re а+1)

lyl >i y

К m К

< да.

Теорема 10. Пусть Е£а>0, 1 <p <да , l=n. Тогда B|(lp )={f (x)e Zp : TIf e Zp }.

fZf ■

Кроме того,

bi(^p Г

Лемма доказана.

Обращение потенциалов В^ф в случае 1=п

также строится в виде (15). Аналогично теоремам 5, 6 и 7 доказываются следующие утверждения.

Теорема 8. Пусть Яеа>0, 1=п. Тогда оператор Ва ограничен в Ьр, 1 < р < ю .

Теорема 9. Пусть Яеа>0 , 1 < р <ю , 1=п. Тогда (таВафХХ) = ф(Х).

Литература

1. Samko S.G. Hypersingular integrals and their applications // Analytical Methods and Special Functions. Vol. 5. London; New York : Taylor & Frances, 2002. 376 p.

2. Ногин В.А., Рубин Б.С. Оценки для потенциалов с осциллирующими ядрами, связанных с уравнениями Гельмгольца // Диф. уравнения. 1990. Т. 26, № 9. С. 1608-1613.

3. Nogin V.A., Abramyan A.V. Integral transforms, connected with fractional powers of nonhomogeneous differential operators in Lp-spases // Integral Transforms and Special Functions. 1994. Vol. 2, № 1. P. 1.

4. Nogin V.A., Abramyan A.V. Factional powers of differential operators of the second order with constant coefficients in Lp-spases // Докл. РАН. 1995. Т. 341, № 3. С. 295.

5. Гиль А.В., Ногин В.А. Описание функциональных пространств, связанных с обобщенными операторами Шредингера // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2014. № 1. С. 10-13.

6. Гиль А.В., Ногин В.А. Комплексные степени одного дифференциального оператора, связанного с оператором Шредингера // Владикавк. мат. журн. 2017. Т. 19, № 1. С. 18-25.

7. Karapetyants A.N., Nogin V.A. Complex powers of the second order non-homogeneous elliptic differential operators with degenerating symbols in the spaces Lp(Rn) // Bol. Soc. Mat. Mexicana. 2001. Vol. 7. P. 193-209.

8. Гиль А.В., Ногин В.А. Комплексные степени одного дифференциального оператора в lp-пространствах // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2014. № 5. С. 5-10.

9. Вожжов Д.В., Ногин В.А. Комплексные степени некоторых вырождающихся дифференциальных операторов, связанных с оператором Гельмгольца // Диф. уравнения. 2009. Т. 45, № 3. С. 382-390.

10. Лизоркин П.И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов в теории вложений классов дифференцируемых функций // Тр. МИАН. 1969. Т. 105. С. 89-167.

11. Вожжов Д.В., Ногин В.А. Обращение некоторых операторов типа потенциала с символами, вырождающимися на гиперболоидах или параболоидах // Мат. заметки. 2006. Т. 80, № 6. С. 814-824.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2017. No. 4-1

References

1. Samko S.G. Hypersingular integrals and their applications. Analytical Methods and Special Functions. Vol. 5. London; New-York : Taylor & Frances, 2002, 376 p.

2. Nogin V.A., Rubin B.S. Otsenki dlya potentsialov s ostsilliruyushchimi yadrami, svyazannykh s uravneni-yami Gel'mgol'tsa [Estimates for potentials with oscillating nuclei related to Helmholtz equations]. Dif. uravneni-ya. 1990, vol. 26, No. 9, pp. 1608-1613.

3. Nogin V.A., Abramyan A.V. Integral transforms, connected with fractional powers of nonhomogeneous differential operators in Lp-spases. Integral Transforms and Special Functions. 1994, vol. 2, No. 1, p. 1.

4. Nogin V.A., Abramyan A.V. Factional powers of differential operators of the second order with constant coefficients in Lp-spases. Dokl. RAN. 1995, vol. 341, No. 3, p. 295.

5. Gil' A.V., Nogin V.A. Opisanie funktsional'nykh prostranstv, svyazannykh s obobshchennymi operatorami Shredingera [Description of the functional spaces associated with generalized Schrodinger operators]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2014, No. 1, pp. 10-13.

6. Gil' A.V., Nogin V.A. Kompleksnye stepeni od-nogo differentsial'nogo operatora, svyazannogo s opera-torom Shredingera [Complex powers of a differential operator connected with the Schrodinger operator]. Vladi-kavk. mat. zhurn. 2017, vol. 19, No. 1, pp. 18-25.

7. Karapetyants A.N., Nogin V.A. Complex powers of the second order non-homogeneous elliptic differential operators with degenerating symbols in the spaces Lp(Rn). Bol. Soc. Mat. Mexicana. 2001, vol. 7, pp. 193209.

8. Gil' A.V., Nogin V.A. Kompleksnye stepeni od-nogo differentsial'nogo operatora v Lp-prostranstvakh [Complex powers of a differential operator in Lp-spaces].

Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2014, No. 5, pp. 5-10.

9. Vozhzhov D.V., Nogin V.A. Kompleksnye stepeni nekotorykh vyrozhdayushchikhsya differentsial'nykh op-eratorov, svyazannykh s operatorom Gel'mgol'tsa [Complex degrees of certain degenerate differential operators connected with the Helmholtz operator]. Dif. uravneniya. 2009, vol. 45, No. 3, pp. 382-390.

10. Lizorkin P.I. Obobshchennoe liuvillevskoe differ-entsirovanie i metod mul'tiplikatorov v teorii vlozhenii klassov differentsiruemykh funktsii [Generalized Liou-ville differentiation and the multiplier method in the embedding theory of classes of differentiable functions]. Tr. MIAN. 1969, vol. 105, pp. 89-167.

11. Vozhzhov D.V., Nogin V.A. Obrashchenie nekotorykh operatorov tipa potentsiala s simvolami, vyrozhdayushchimisya na giperboloidakh ili parabo-loidakh [Inversion of certain operators of potential type with symbols degenerating on hyperboloids or paraboloids]. Mat. zametki. 2006, vol. 80, No. 6, pp. 814-824.

Поступила в редакцию /Received_11 сентября 2017 г. / September 11, 2017