Оценки для операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами и символами и их приложения к описанию образов этих потенциалов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2016. № 4

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2016. No. 4

УДК 517.983 DOI 10.18522/0321-3005-2016-4-11-16

ОЦЕНКИ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ ТИПА ПОТЕНЦИАЛА С ОСЦИЛЛИРУЮЩИМИ ЯДРАМИ И СИМВОЛАМИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ОПИСАНИЮ ОБРАЗОВ ЭТИХ ПОТЕНЦИАЛОВ

© 2016 г. М.Н. Гуров, В.А. Ногин

ESTIMATES FOR THE POTENTIAL-TYPE OPERATORS WITH OSCILLATING KERNELS AND SYMBOLS AND THEIR APPLICATION TO THE DESCRIPTION OF THE RANGES OF THESE POTENTIALS

M.N. Gurov, V.A. Nogin

Гуров Михаил Николаевич - кандидат физико-математиче- Michail N. Gurov - Candidate of Physics and Mathematics, Re-

ских наук, научный сотрудник, Южный математический searcher, Southern Institute of Mathematics of Vladikavkaz Scien-

институт Владикавказского научного центра РАН, ул. Мар- tific Center, RAS, Marcus St., 22, Vladikavkaz, 362027, Russia, e-

куса, 22, г. Владикавказ, 362027, e-mail: [email protected] mail: [email protected]

Ногин Владимир Александрович - кандидат физико-матема- Vladimir A. Nogin - Candidate of Physics and Mathematics,

тических наук, доцент, кафедра дифференциальных и инте- Associate Professor, Department of Differential and Integral

гральных уравнений, Институт математики, механики и Equations, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and

компьютерных наук имени И.И. Воровича Южного феде- Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St.,

рального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia; Southern Institute of Mathe-

344090; Южный математический институт Владикавказ- matics of Vladikavkaz Scientific Center, RAS, Marcus St., 22,

ского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, Vladikavkaz, 362027, Russia, e-mail: [email protected] 362027, e-mail: [email protected]

Изучаются операторы типа потенциала Ka'P, ядра которых имеют особенность на единичной сфере и осциллируют на бесконечности. Такие операторы возникают в различных задачах анализа и математической физики, в частности, в теории комплексных степеней некоторых операторов математической физики: Гельмгольца, Лапласа и операторов Клейна - Гордона - Фока. В рамках метода аппроксимативных обратных операторов построено обращение потенциалов

f = K a'Pty с Ьр-плотностями в неэллиптическом случае, когда символы рассматриваемых потенциалов вырождаются на

множестве нулевой меры в Rn. В работе также описан образ Ka'P (Lp) в терминах оператора, левого обратного к j^a ' р

Ключевые слова: потенциал, метод аппроксимативных обратных операторов, обращение потенциала, образ оператора.

We study multidimensional potential-type operators Ka'P whose kernels have singularities on the unit sphere and oscillate at infinity. Operators of such a kind appear in various problems of analysis and mathematical physics, in particular, in the theory of complex power of second order differential operators: the Laplace operator, the Helmholtz operator and the Klein - Gordon - Fock operator. Within the framework of the method of approximative inverse operators, we construct the inversion of potentials

f = Ka'Рф with densities in Lp in the non-elliptic case when their symbols degenerate on a set of null measure in Rn. We also describe the range Ka'P (Lp ) in terms of the operator left inverse to Ka'P.

Keywords: potential, method of approximative inverse operators, inversion ofpotential, discription of the operators range.

Введение = lffl(0(1-1112 +10)р-\ 1 -S< |t| < 1 + 5' 0 < р <1;

^ л ap(t) Wy1! t \a-n' Itl > Т' 0 < Rea < n.

В работе изучаются операторы свертки I 4 у 11 11

(Kap<p)(x)= J kap(t)g(x - t)dt (1) Здесь ^' N >l + S' t' = t/!t\.

rn Однородные нулевой степени функции w(t') и

с ядрами Q^,) бесконечно дифференцируемы в Rn \{0}.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2016. No. 4

Вне указанных окрестностей ядро оператора ка^ (/) предполагается ограниченным.

Операторы вида (1) возникают в различных задачах анализа и математической физики, в частности, в теории комплексных степеней некоторых операторов математической физики: Гельмгольца, Клейна - Гордона - Фока и Шрёдингера (см. [1-3] и имеющуюся там библиографию).

В рамках метода аппроксимативных обратных операторов построено обращение потенциалов f = кре Lp , в неэллиптическом случае, т.е.

когда mes{%: кар(^) = 0} = 0 , где ка - символ оператора (1).

Обращение потенциала / = Kр, ре Lp ,

строится в виде

„ 1Lp, m\l2) „ H Pf = lim lim hfi * f, f < -

s^0 S^0

(n -1) P 2 '

(2)

где

hl P(t ) =

= F-

ka,P(#)(!# I2 -1)'e

( I kipp%)|2 +iS)(I % I 2 +(£+ i)2)'

(t). (3)

Вспомогательные сведения и утверждения

В работе будут использованы следующие обозначения: (A,B,...,K) - открытый многоугольник в R2 с вершинами в точках А, В, ... , К; [A,B,...,K] -его замыкание. Через L(A) обозначим L -характеристику оператора A, т.е. множество всех точек (1/p,1/q) -плоскости (1 < р < q <x¡) таких, что оператор A ограничен из Lp в Lq .

Пусть 0< Rea < n , ¡ >0. Введем в рассмотрение следующие точки (1/p,1/q) -плоскости:

A = I 1,1 -

Rea

A' = 1^,0

C =

I 3 2Rea 3 2Rea 2 n-1 '2 n-1

*=ci'0)' f=

(n-Rea)(n-1) , Rea G = I 1--,1--

2Rea 1 2Rea 1

n-1 2 n-1 2,

G =

n(n + 3)

Rea (n -Rea)(n -1) n n(n + 3)

Здесь I > п2/2 + 2п + 3 [4].

Дано также описание образа Каф{1р) в терминах обращающих конструкций в неэллиптическом случае.

Заметим, что при обращении и описании потенциалов Ка'^р с Ьр -плотностями существенно используется информация об ограниченности оператора (1) из Ьр в сумму пространств Lq^ + Lq^ (см.

замечание 1). Возникающие здесь принципиальные трудности связаны с вопросом о плотности в Ьр

пространства Самко — Лизоркина, построенного по множеству, которое является объединением множества нулей символа оператора (1) и единичной сферы (см. замечание 2). Эти трудности преодолеваются с помощью указанных Lp ^ Lq^ + Lq^ -

оценок.

Отметим также, что рассмотренная здесь задача описания образа Ка,р(Ьр) потенциала (1) в неэллиптическом случае является одной из наиболее трудных, поскольку символ потенциала и его производные одновременно имеют нули и особенности на сферах в Rn . Полученные здесь результаты (см. теоремы 3, 4) являются новыми, не имеющими аналогов.

i Rea Rea H = I 1--,1--

H' =

Rea Rea

O = (1,1), O' = (0,0),

K =

K' =

2(Rea +1) 1 1

n+1 2,2

1 3 2(Re a +1)

2 2

n +1

, (n - 1)(n - Rea) Rea B = I 1--,1--

B' =

n(n + 1)

Rea (n - 1)(n - Rea) n n(n +1)

T = (P,0) , T = (1,1 -P) ,

m = I n+p t1zp

n +1 n + 1 ,

Для формулировки основных результатов нам понадобятся следующие множества на (1/р,1^) -плоскости (рисунок): 4(Д п) =

1 1

p' q

0 < p < q < да : <

1 n „11,

---<P, — + -< 1,

p q p q

n 1 1 1

---< P + n -1, — + — > 1,

p q p q

—,0 1,0 < p < да,q = да : 0 < — < p, p ) p

n

n

n

n

n

n

n

n

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2016. No. 4

а / a

б / b

в / c

n — 1 n — 1

Множества L, на (1lp,1lq) -плоскости: а - Ц (¡, n), ¡ >0 ; б - L2 (a, n) , 0< Rea<—^~ ; в - L3 (a, n) , —< Rea < n /

n — 1 n — 1

The sets L,- on the (1lp,1lq) -plane: а - Ц(Дn) , ¡ >0; b - L2(a,n) , 0 < Rea < ; c - L3(a,n) , < Rea < n

L^ß,n) = [O',O,T,M,T' ]\{T }; ¿2 (a, n) =

[Л ',H',H, Л,E]\([ЛH'] и [Л,H]), 0 < Rea <

n(n -1) 2(n + 1),

(Л',G',С',C,G,Л,E) и (Л,E] и (Л',E) и (C',С), n(n 1) < Rea < n

2(n +1)

n-1

(Л',G',F,G, Л,E) и (Л,E] и (Л',E) и {F}, Rea = ——, Twa # 0,

(Л', G', F, G, Л, E) и (Л, E] и (Л', E), a =

n -1

2 ;

n-1 n

(Л',G',K',K,G, Л,E) и (Л,E] и (Л ',E) и [K',K], —^^ < Rea < —

n

(Л',B',B, Л,E) и (Л,E] и (Л',E), — < Rea < n, /да« Ф 0,

n

(Л', B', B, Л, E) и (Л, E] и (Л', E) и (B', B), — <a < n,

Ц (а, п) = [О, А, А', О ' ] \ ({А'} ^ {А}).

При доказательстве основных результатов будут использованы следующие определения.

Пусть V — произвольное замкнутое множество в Я". Через Чу обозначим класс всех функций из 5", исчезающих вместе со всеми своими производными на V:

= Мх) е £ : Ок^(х) = 0, х еУ, | к |= 0,1,2,...}.

символа кар(<%) оператора (1), а также

доказано, что кар(£,) является бесконечно дифференцируемой функцией вне _ 1 любой окрестности Sn-1.

Кроме того, в [5] доказан ряд следующих утверждений: Теорема 1. Пусть 0< Rea < n , 0< / <1. Тогда:

I. Справедливо вложение L(Ka3) з L1(/,n)n L2(a,n)n L3(a ,n).

II. Множество L( K a 3) не содержит точек:

1) лежащих вне множества Ll(/, n);

2) лежащих на отрезке [A, H ] и выше него, если 9(а) ф 0, а е Sn-1;

3) лежащих на отрезке [ A', H' ] и левее него при тех же условиях, что и в

пункте 2);

4) лежащих на отрезке [O',O], если a = (n -1)/2 ;

5) лежащих выше прямой B'B при тех же условиях, что и в пункте 2).

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоре-

Обозначим через Фу пространство прообразов мы 1 Т^а если g1 и q2 т-жсты что 1 < qu q2 < 2 и

Фурье функций из : Фу = F 1 (Чу).

(1/p,1/q1) е L2(a,n) mL3(a,n), (1/p,1/q2) e L1(ß,n),

В работе [5] получено явное представление для то оператор Ka'¡¡ ограничен го Цр в Ц +Ц .

p q\ q2

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2016. No. 4

Лемма 1. Ядро , определенное равен-

ством (3), принадлежит L1 .

Лемма 2. Пусть ре S. Тогда

(HajKa'ßp)( x) = (Ap)(x) + (B, sA\p)( x) , (4) где (HaJf)(x) = (haJ * f)(x),

Далее заметим, что

(L2 )

lim(B^A^)(x) = 0, ф e ,1 < р < 2. (8)

Действительно, применяя равенство Парсеваля, получим || В, 3Аф ||2 =

_ ( !%| 2 -1)le

= (2^)и J

52e

7

(5)

Rn|/T„p(#)| 4 +52

I A1p(4) I 2 0

(|#| 2 +(е + о2)' Здесь Л^р(^) получено из (5) заменой е-е| ^ на /2 ; 5е>8 - оператор с символом

- 5~е|^2/2/( 1каф( |£|)| 2 +5) .

Основные результаты

при 8 ^ 0 в силу мажорантной теоремы Лебега. Существование суммируемой мажоранты для подынтегральной функции следует из неравенства

2„

52e

I A1^(#)|2< )/2 I Asip(E¡) |2e Lv

I Lp(%)|4 +S2 S

(l2)

С учетом (8) lim (H^p Kapq>)(x) = (Ae<p)(x).

S^-0

Теорема 3. Пусть 0<Яеа < п, 0< 3 <1 и Используя равенство тах{ 1/2, Яеа/п} < 1/р < 1. Тогда справедлива формула

(На,рКа,рр)(х) = р(х), ре Ьр. (6)

та,р

lm(-s(2i + s))k(s + i)l-2k х

s^0

(9)

Здесь оператор H ' - оператор (2). Теорема 4. Пусть 0< Rea < n , 0< ¡ <1 и max{ 1/2, Rea/n} < 1/p < 1. Тогда

Ka¡(Lp) = {f e L^ + L^ : Ha¡ f e Lp },

где Ha,¡¡ - оператор (2); q1 и q2 - произвольные числа, для которых 1< q1, q2 < 2 и оператор Ka,¡ ограничен из Lp в L + L .

Доказательство теоремы 3. Заметим, что

\kt„ , -\l-2k

х (а2к((е + ■) | г \)*Шер)(х) = 0, к = 1,2,...,I [9],

где ре Ьр , 1 < р < 2п/(п-1), получаем (6) (предел в

(9) понимается в смысле Ьр ^ или почти всюду [7]).

Доказательство теоремы 4. Вложение

Ка'3 (Ьр ) с {/ е Ь^ + Ь^ : На3/ е Ьр } (10)

следует из теорем 2 и 3.

Докажем вложение, обратное к (10). Пусть

/ = / + /2, где / е Ь%, /2 е Ь^ и На'3/ е Ьр .

q2

Пусть функция u e S такова, что ü(£) = 0

некоторой

i

(AEp)(x) = (W»(x) + YCi (s(2i + s))k (s + i)1

k=1

окрестности

-чИ-1

множества

x(G2k ((s+ i) It I)*W»(x), <p e S,

где ядро G2k ((s + i)111) =

2(

(2-n-2k )/2

(7)

Kn/2-k ((S+ i)I t I)

V = {#: ka д(^) = 0} ^ S" 1 (следовательно, u еФг). Легко показать, что

(Ka,ßHa,ß f, u) = (Ha'ßf, Ka'Pü).

(11)

TTn/2T(k)((S+ i)I t I)n/2-k

Используя (11), получаем

принадлежит L1 [6]; Ку(г) - функция Макдональда

_п -IX2

порядка V [7]; Ш(х,е) = (4яе) 2 е 4е - ядро Гаусса -Вейерштрасса; Шер(х) = (Ш(•, е) * р)(х).

Формула (7) проверяется переходом к образам Фурье [8].

Равенство (4), доказанное на функциях ре Б, распространим по ограниченности на все пространство Lp, где p удовлетворяет неравенству тах{ 1/2,Яеа/п} < 1/р < 1. Такое распространение возможно ввиду теоремы 1. Оператор в правой части также ограничен из Lp в для некоторого (п -1) р

(Ka,ßH a,ßf, u) = lim lim (Ш,, HaEj Ka,ßu)). Пусть KE g - оператор с символом

(\ka,ß(#)|2 -g)(|#|2 +(e-i)2)1.

Тогда на основании равенства

(Hl gß Ka■ ßu)(x) = (ATU)( x) + ig(KE ^ gWä2 u)( x) , которое проверяется переходом к образам Фурье

[9], получаем < Ka PH a p f, u) = lim

s^0

T(f,, AsU)

\ j-

M

2

+ lim lim

£^0 5^-0

Y^ifj ,iSKs.W£2u)

V J-

в

+

1

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2016. No. 4

Докажем равенство

lim<fj,iSKssWä2u) = 0, j = 1,2.

S^-0

(12)

С учетом того, что символ оператора (1) является бесконечно дифференцируемой функцией вне любой окрестности Бп~1 [5], заключаем, что (Ке 8Ж^2и)(^) е ; следовательно,

</} = (2ж)-п </ ^(К^адх

где р/; понимается в смысле Чу; это преобразование Фурье совпадает с преобразованием Фурье,

понимаемом в смысле Ц - (в соответствии с тео-

41

ремой Хаусдорфа — Юнга). Применяя неравенство Гельдера, получаем

|</, 8Ке 8^2и) |< 8 \|/ ||?, X

(

2 Л1'9/

-eHrq,- - lq, q. '

fe K HI 2 ~1| J\(Fa)(g) |q

J . 2q ■ rn

/ qj

(13)

Заметим, что интеграл в правой части (13) конечен [4, теорема 4.7].

Переходя к пределу в (13) при 8 ^ 0, получим (12). Принимая во внимание (12) и (13), получим

< К а,р /, и) =

( _ „ е,2 А

-и(#))

= lim

ln„,-n, } ( HI 2 -1)'e

*(2*> <fj ,;(lrl2:-i-)2)'

J=i

= <fi, u) + (f2,u).

Таким образом, нами доказано равенство

< K a,ßH a,ßf, u) = f u) + < f2, u). (14)

Переходя к заключительному этапу доказательства теоремы 4, выберем для заданной функции р е S последовательность {um }, um е S, такую, что (Fum )(^) = 0 в некоторой окрестности множества

V и lim um = р, lim um = р . Существование такой

последовательности было доказано в [10]. На основании (14)

< кa,ßH a,ßf, um ) = <fi, um ) + < f2 , um ). Используя теорему 2 и переходя в этом равенстве к пределу при m ^ ж, получаем

< f,p) = <K a,ßH a,ß f,p), ре S. Следовательно, f (x) = (Ka,ßHa,ßf )(x) для почти всех x е Rn .

Последнее равенство означает, что f (x) е

Ka,ß(L ). Теорема

полностью доказана.

Замечание 1. Существование чисел q1 и q2, описанных в формулировке теоремы 4, вытекает из теоремы 2.

Замечание 2. Доказательство теоремы 4 существенно основано на возможности одновременной аппроксимации функции р е S по норме пространств Lp^ и Lp(p1; p2 > 2) функциями из ФV

(V — произвольное замкнутое множество Rn), преобразование Фурье которых обращается в нуль в некоторой окрестности множества V . Возможность такой аппроксимации была доказана в [10] (см. также [7]).

Литература

1. Вожжов Д.В., Ногин В.А. Комплексные степени вырождающихся дифференциальных операторов, связанных с оператором Клейна-Гордона-Фока // Изв. вузов. Математика. 2009. № 9. C. 3-12.

2. Stein E.M. Harmonic Analysis: Real-variable Method, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton, 1993. 355 p.

3. Strichartz R.S. A priori estimates for the wave equation and some applications // J. Funct. Anal. 1970. № 5. P. 218-235.

4. Karasev D.N., Nogin V.A. Description of the ranges of some potential-type operators with oscillating kernels in the non-elliptic case // Fractional Calculus and Applied Analysis. 2002. Vol. 5, № 3. P. 315349.

5. Гуров М.Н. Операторы свертки с осциллирующими ядрами или символами в пространствах Харди - Лебега и пространствах гельдеровских функций: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Ростов н/Д., 2016. 95 с.

6. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М., 1974. Т. 2. 296 с.

7. Samko S.G. Hypersingular integrals and their applications. L., 2002. Vol. 5. 376 p.

8. Karasev D.N., Nogin V.A. Inversion of some potential-type operators with oscillating kernels in the elliptic and non-elliptic cases // Integral Transforms and Special Functions. 2002. Vol. 13. P. 529-545.

9. Ногин В.А., Шевченко К.С. Обращение некоторых потенциалов Рисса с осциллирующими характеристиками в неэллиптическом случае // Изв. вузов. Математика. 1999. № 10. С. 77-79.

10. Samko S. G. A new approach to the inversion of the Riesz potential operator // Fractional Calculus and Applied Analysis. 1998. Vol. 1, № 3. P. 225-245.

x

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2016. No. 4

References

1. Vozhzhov D.V., Nogin V.A. Kompleksnye stepeni vyrozhdayushchikhsya differentsial'nykh operatorov, svyazannykh s operatorom Kleina - Gordona - Foka [Complex powers of degenerating differential operators connected with the Klein-Gordon-Fock operator]. Izv. vuzov. Matematika. 2009, no. 9, pp. 3-12.

2. Stein E.M. Harmonic Analysis: Real-variable Method, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton, 1993, 355 p.

3. Strichartz R.S. A priori estimates for the wave equation and some applications. J. Funct. Anal. 1970, no. 5, pp. 218-235.

4. Karasev D.N., Nogin V.A. Description of the ranges of some potential-type operators with oscillating kernels in the non-elliptic case. Fractional Calculus and Applied Analysis. 2002, vol. 5, no. 3, pp. 315-349.

5. Gurov M.N. Operatory svertki s ostsilliru-yushchimi yadrami ili simvolami v prostranstvakh Khardi - Lebega i prostranstvakh gel'derovskikh funktsii: dis. ... kand. fiz.-mat. nauk [Convolution operators with oscillat-

ing kernels or symbols in the Hardy spaces - spaces of Lebesgue and Holder functions]. Rostov-on-Don, 2016, 95 p.

6. Beitman G., Erdeii A. Vysshie transtsendentnye funktsii [Higher transcendental functions]. Moscow, 1974, vol. 2, 296 p.

7. Samko S.G. Hypersingular integrals and their applications. London, 2002, vol. 5, 376 p.

8. Karasev D.N., Nogin V.A. Inversion of some potential-type operators with oscillating kernels in the elliptic and non-elliptic cases. Integral Transforms and Special Functions. 2002, vol. 13, pp. 529-545.

9. Nogin V.A., Shevchenko K.S. Obrashchenie nekotorykh potentsialov Rissa s ostsilliruyushchimi kharakteristikami v neellipticheskom sluchae [Inversion of some Riesz potentials with oscillating characteristics in nonelliptic case]. Izv. vuzov. Matematika. 1999, no. 10, pp. 77-79.

10. Samko S.G. A new approach to the inversion of the Riesz potential operator. Fractional Calculus and Applied Analysis. 1998, vol. 1, no. 3, pp. 225-245.

Поступила в редакцию /Received

19 июля 2016 г. / July 19, 2016