Отрицательные комплексные степени классического двумерного телеграфного оператора в пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2017. № 4-1

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2017. No. 4-1

УДК 517.983 DOI 10.23683/0321-3005-2017-4-1-58-62

ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ КОМПЛЕКСНЫЕ СТЕПЕНИ КЛАССИЧЕСКОГО ДВУМЕРНОГО ТЕЛЕГРАФНОГО ОПЕРАТОРА В ПРОСТРАНСТВАХ Lp R2)

© 2017 г. А.П. Чеголин1

1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия

THE NEGATIVE COMPLEX POWERS OF CLASSICAL TWO-DIMENSIONAL TELEGRAPH OPERATOR IN Lp R2)-SPACES

A.P. Chegolin1

1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia

Чеголин Андрей Петрович - кандидат физико-математи- Andrei P. Chegolin - Candidate of Physics and Mathematics,

ческих наук, доцент, кафедра дифференциальных и инте- Associate Professor, Department of Differential and Integral

гральных уравнений, Институт математики, механики и Equation, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and

компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федераль- Computer Sciences, Southern Federal University,

ный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, Milchakovа St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail:

344090, Россия, e-mail: [email protected] [email protected]

Исследования данной работы относятся к теории комплексных степеней классических операторов математической физики и пространств дробной гладкости, связанных с такими операторами. По классическому двумерному телеграфному уравнению, которому удовлетворяют напряжение и сила тока в точке провода с заданными значениями емкости, активного сопротивления, самоиндукции и утечки для телеграфного оператора, построены комплексные степени с отрицательной действительной частью порядка. В частности - оператор типа потенциала, обратный к телеграфному. Построение такого оператора дает возможность находить решения телеграфного уравнения

в пространствах Lp R2). Отрицательные степени телеграфного оператора получены в виде операторов типа потенциала с обобщенной лоренцевой метрикой в ядрах, вырождающихся вне плоского сектора. Справедливость такого построения доказана в образах Фурье на «достаточно хороших» функциях из класса Лизоркина. На основании полученного явного представления для ядер таких операторов и равномерных по индексу оценок для модифицированных функций Бесселя доказана теорема о действии исследуемых операторов в Lp -пространствах. Кроме того, это закладывает основу для решения следующей естественно возникающей здесь задачи - построение положительных комплексных степеней телеграфного оператора как операторов, обратных к рассматриваемым в этой работе.

Ключевые слова: телеграфный оператор, отрицательные комплексные степени оператора, оператор типа потенциала.

The study of this work belongs to the theory of complex powers of classical operators of mathematical physics and fractional smoothness spaces associated with such operators. The complex powers of telegraph operator with negative real part of the order were constructed according to the classical two-dimensional telegraph equation, which satisfy the voltage and current at the point of wire with desired values of capacitance, resistance, self-induction and leakage. In particular, the potential-type operators which inverse the telegraph operator were obtained. The construction of such operator gives the possibility to find solutions of the telegraph equation in the spaces Lp (r2 ). Negative powers of the telegraph operator is obtained in

the form of potential-type operators with a generalized Lorentzian metric in degenerating outside of the plane-parallel one sector kernels. The justice of this construction is proved in the Fourier images on the "good enough" functions from a Li-zorkin-space. Based on the explicit representations for kernels of such operators and uniform index estimates for modified Bessel functions, the resulting theorem about the action of the studied operators in Lp-spaces. In addition, it lays the foundation for the solution of the following naturally occurring here the task of building of "positive " powers of telegraph operator, as the operators inverse to considered in this work.

Keywords: telegraph operator, negative powers of the operator, the potential-type operator.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 4-1

Введение

Исследования данной работы относятся к теории комплексных степеней классических операторов математической физики и пространств дробной гладкости, связанных с такими операторами ([1-4] и обзорная статья [5]). Обратимся к классическому двумерному телеграфному уравнению

^ = ЬС ^ + {ЯС + ОЬ+ ОЯд>,

сх2 а2 у ' а

которому удовлетворяют напряжение и сила тока в точке провода с координатой х в момент времени t, где С - ёмкость; Я - активное сопротивление; Ь - самоиндукция; О - утечка. Такое уравнение может быть переписано в виде

р =

1

CR

(

8P-LC8Р

-irc+gl )f

Л

Тр = 8(-LC 82P-(RC + GL )

В

8x2 работе

8t2

8р ~dt '

(1)

рамках

Lp = Lp (R2 ) =

(R2 Uf (x): Jj| f (x) pdx <J

своим символом функцию

1

aeC, Rea>0.

дх1 дС

\ у

В соответствии с этим определим телеграфный оператор

пространств

построены

комплексные степени этого оператора с отрицательной действительной частью порядка. В частности, построен оператор типа потенциала, обратный к телеграфному оператору (1). Построение такого оператора дает возможность описывать решения телеграфного уравнения в пространствах Ьр.

На «достаточно хороших» функциях можно в образах Фурье просчитать символ телеграфного оператора (1):

ш(^) = ) = ЬС^+{ЯС + ОЬ)^ . (2)

Отрицательные степени телеграфного оператора определим для таких функций естественным обра-

Га 1

с символами -—,

' * * ™ак) а е С, Яе а > 0. На функциях из пространства

Ьр (я2) Та представимы в виде операторов типа

потенциала с обобщенной лоренцевой метрикой в ядрах, вырождающихся вне плоского сектора. В работе явно найдены ядра таких операторов. На основании этого и равномерных по индексу оценок для модифицированных функций Бесселя получена теорема о действии операторов Та в Ьр-про-странствах. На функциях из класса Ф Лизоркина

Га «

действительно имеет

Для этого сначала доказывается соответствующая формула преобразования Фурье в слабом смысле, а затем основной результат достигается на основании критерия мультипликатора в соответствующем пространстве образов Фурье.

Получение явного вида для операторов Та закладывает основу для решения следующей естественно возникающей здесь задачи - построение «положительных» комплексных степеней телеграфного оператора как операторов, обратных к

операторам Та . Решение этой задачи представляет определенные трудности, связанные с тем, что

функция ша(£) имеет, вообще говоря, плохое поведение на бесконечности; кроме того, особенности на множестве нулей символа т{£) (2) локально несуммируемы. Реализация такого обращения планируется в рамках метода аппроксимативных обратных операторов в следующей работе.

Формальное восстановление отрицательных степеней телеграфного оператора

Для восстановления явного вида отрицательных степеней телеграфного оператора представим

функцию —, а е С , Яе а > 0, в виде

ma(#)'

1

(

-1

Y

ma(#) U(# )+A (#2 )у

где

(к\ ( ГГ^-с RC + GL^2 A (#1 )= -^LCJ#1 +

A

(#2 )=-

_ (RC + GL )2

4LC

24lc + #22.

Дальнейшая работа с функциями ) и /и2 (<£2) в терминах функции Бесселя

да

Jv(x)=T

(-1)"

=0 m\T(m + v + 1Д 2 ющему результату:

приводит к следу-

1 _ (-1)-a (RC + GL ^1-a

ma(#) 2(LC)aÄr(a) V 4lC

x üpa-1(yy ^ .Ц '(Ш+^Р(У) ^

e dy,

где р(у) У]2 - ЬСу22 - обобщенная лоренцева метрика. Интегрирование ведется по плоскому

в

2

R

x

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 4-1

симметРичному относительно оси Оу! сектору к++ = {(у, у2): у > 0, |у2| < у }, являющееся четвертью координатной плоскости, а сам гиперболический потенциал Рисса определяется по формулам

D = J(n72R2:--y= <72 <- yi

fc <p\x) = -

2

Г

m(x - У)

'(y)

dy2, Re а > 0.

4ьс 4ьс \'

Самостоятельный интерес представляет собой случай ЬС = 1. Тогда в представлении степени символа оператора возникает хорошо известное

лоренцево расстояние г(у1,у2)= ^у2 -У^ . В этой Утверждение о действии операторов I% в Ьр-ситуации интегрирование будет вестись по четвер- пространствах сформулируем применительно к ти плоскости: Б = {(у1, у2) е Я2: - у < у2 < у1}. Имеет нашему случаю.

1-а y1

J dyi J

о -yi

2

место равенство 1 _ (-1)-а ша(^)~ 2г(а)

1-а

CJJ Га-1(у)е 2LC 1Jа-1

(RC + GL)

y1T fi(RC+GL>(y)Uyey,.

Лемма 2. Пусть 0 < Rea< 2, 1 <p <

1 1 Re а

2

4 + Reа

В соответствии с представлением символа 1 , а е С , Яеа > 0, определим операторы Та следующим образом:

ша(§)

(т>)х )=

(-1)-

^JJp^y

2(LC)72 г(а)

RC+GL

f RC + GL

4lc

1-а

(3)

2LC y - y)dy.

Б V 2у[ЬС

Подчеркнем, что на данном этапе можно лишь ожидать, что операторы Та будут иметь своим

1

функция р из Lp такова, что

q p 2

(1"рР(х) < ж для почти всех x е R2. Тогда для гиперболических риссовых потенциалов справедлива оценка ЦТр| — A\НР, где постоянная A не зависит от функции р.

На основании лемм 1, 2 можно доказать теорему о действии операторов Ta (3), 0 < Re а< 3, в пространствах Lp (r 2).

Теорема 1: а) пусть 4 11 Rea +1 1 + Rea' q p 4

1 < p <

1 < < 3, Тогда для тех

символом функцию

m

. В дальнейшем нам

придется решить главную задачу - доказать соответствующую формулу преобразования Фурье для построенных таким образом операторов.

Действие операторов Та в пространствах Ьр (я2)

реL , для которых в R2 выполняется условие

ТЮм«*,

yra ,

< dl

справедливо

неравенство

б) пусть 0 < R7< 1, 1 1 Re а 1 1 Reа +1

1 <p <-

4

1 + Rea . Тогда для тех

Воспользуемся утверждением, которое дает равномерные оценки по индексу функций Бесселя.

Лемма 1 [5]. Пусть М , |1тк|< N, где ся условие а|р)(х)

М и N - произвольные положительные числа. Тогда справедлива оценка

q p 4 q2 p 4

реLp , для которых почти всюду в R2 выполняет-

( 1+ Re a \

х)<ж и h 2 Н (х)<ж,

\Jv(y)< C(M,N)•

e 2 • yRev, 0 < y < 1,

еУ14У, У > 1, где постоянная

С(М, N) не зависит от V .

Кроме того, будем использовать известное утверждение о действии в Ьр-пространствах гиперболических риссовых потенциалов [6]. В рассматриваемом нами двумерном случае световой конус будущего превращается в множество

справедливы неравенства

||Tар\г - c\\р\„, где

f (х): (1 + |х|2 f • f (х)

T m

< d m ;

imip

Lp,r ~ '

x)e Lr

Утверждение этой теоремы сначала доказывается на простых функциях. Последовательность таких функций, сходящаяся к функции ре Ьр, стро-

D

а

X

q

m

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 4-1

ится за счет характеристических функций шара с центром в начале координат и радиусом, совпадающим с индексом функции [3].

Отметим, что действие операторов Tа (3) из Ьр в алгебраическую сумму Ьч-пространств или в весовое пространство нас также устраивает, так как важен сам факт ограниченности рассматриваемых

операторов в пространствах Ьр (я2). Кроме того,

теорема 1 позволяет говорить о разрешимости телеграфного уравнения в таких пространствах.

Обоснование перехода к символу потенциала

Докажем, что введенные операторы Та (3) реализуют отрицательные комплексные степени телеграфного оператора, т.е. на «достаточно хороших» функциях имеют своим символом функцию

-^т. Для этого в качестве классов основных

та& Д

функций будем рассматривать пространства типа Лизоркина - Самко. Пусть V - произвольное замкнутое множество в Я2. Через ^ обозначим пространство тех функций из класса Л. Шварца я=я (я2 ) быстроубывающих гладких функций, которые исчезают вместе со всеми своими производными на множестве V:

^ = Ух)е Я: Окр{х) = 0 Ух е V, \к\ = 0,1,2,...}. Обозначим через ФV пространство прообразов Фурье функций из : ФV = ^ 1 (YV). Пространства ^ = и Ф = Ф0 были введены и изучены П.И. Лизоркиным [7]. В дальнейшем в работах С.Г. Самко они были распространены на общий случай замкнутых множеств V [8, гл. 1]. В настоящее время эти пространства широко используются в различных задачах теории дробного интегродиф-ференцирования. Докажем основное утверждение, которое, по сути, описывает комплексные степени с отрицательной действительной частью телеграфного оператора.

Теорема 2. Пусть реФ, Яеа> 0. Тогда справедлива формула преобразования Фурье

аУк)=. 2 , а.

(С2 - ^22 + (ЯС + ОЬ)^1)

Доказательство. Докажем вначале для функций (реФ формулу преобразования Фурье в слабом

и ь 1 г (рркУ

смысле: (Т рIх)=— —^ д д-.

ж Я2 (С2 -^22 +(ЯС + ОЬ)^1 а

Это представление для оператора Та нетрудно получить [9, формула 6.598], если ре ФV , где V -прямая %2 = 0. Пусть теперь р е Ф . Из результатов работы [10] следует, что для любой функции р е Ф существует последовательность функций рк е ФV , сходящаяся к р по норме пространства Ь , 1 < р <ю, такая что | (^р X?) < ,

^рк )(^) ^ , к ^ ю . Для функций (к е Фv

формула преобразования Фурье в слабом смысле выполнена. Для перехода к функции р е Ф воспользуемся равенством

Иш(Гр)^-^ |т-а(§\РрШ,

к

4^2 д2

которое выполняется в силу свойств аппроксимирующей последовательности функций рк (х).

С другой стороны, в силу пункта а) теоремы 1

получаем, что ||Тар-Тарк| < с|0, к ^ю,

если 1 < Rea< 3, 1 < p < Следовательно, равенство

4 11 Rea +1

1 + Rea' q p

4

""ФJm-aí

4ж R2

выполнено для функций реФ при 1 < Rea < 3 . Чтобы доказать эту формулу для всех Rea > 0, достаточно показать аналитичность левой и правой частей этого равенства в указанной полуплоскости. Последнее вытекает из следующей леммы об аналитичности интеграла по параметру.

Лемма 3 [8]. Пусть функция f (x, z) аналитич-на по z в некоторой области D с C для почти всех

ТуП

x е R и имеет суммируемую мажоранту |f(x, z)< F(x)е L1. Тогда интеграл Jf(x, z) анали-

Rn

тичен по z в области D .

На основании критерия мультипликатора в пространстве YF [10] нетрудно показать, что функция

m~a(g) является мультипликатором в пространстве Y. Соответственно, можно говорить о том, что m~a(£)Fv)(£)е Y для функций реФ . Тогда, применяя преобразование Фурье к формуле преобразования Фурье в слабом смысле, получаем требуемое равенство. Теорема доказана.

Тот факт, что функция m~a(g) является мультипликатором в пространстве Y , говорит о том, что пространство Y является инвариантным относительно отрицательных комплексных степеней телеграфного оператора.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 4-1

Отдельно отметим случай а = 1. Согласно теореме 2, оператор

КС+оь

Ю(х)= — 1

гЯ <

"Л

X J г

2yfIC'D

i(RC + GL^jy2 - LCy2 2уЦС

p(x — y)dy

10. Самко С.Г. О плотности в

Lp (Rn)

реализует оператор, обратный к телеграфному. Справедлива

Теорема 3. Пусть реФ, Rea>0. Тогда для телеграфного оператора справедлива формула обращения (т ~1Тф)(х )=р(х).

Литература

1. Chegolin A.P., Nogin V.A. Multidimensional potential integral transforms and description of L-characteristic of multiplier operators // Integral Transforms & Special Functions. 2002. Vol. 13. P. 193-197.

2. Чеголин А.П. Классы Lap r типа Лизоркина-

Самко, связанные с комплексными степенями телеграфного оператора // Известия вузов. Математика. № 7. 2002. С. 58-64.

3. Ногин В.А., Чеголин А.П. Комплексные степени телеграфного и близких к нему операторов в Lp-пространствах // Диф. уравнения. 2003. Т. 39, № 3. С. 402-409.

4. Чеголин А.П. Интегралы и производные дробного порядка в классах Гёльдера на прямоугольнике // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2015. № 1. С. 61-64.

5. Nogin V.A., Samko S.G. Method of approximating inverse operators and its applications to the inversion of potential type integral transforms // Integral Transforms and Special Functions. 1999. Vol. 8, № 1-2. Р. 205-228.

6. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и их приложения. Минск : Наука и техника, 1987. 688 с.

7. Лизоркин П.И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов в теории вложений классов дифференцируемых функций // Тр. МИАН СССР. 1969. Т. 105. С. 89-167.

8. Samko S.G. Hypersingular Integrals and There Applications. London ; New York : Taylor&Francis, 2002. 378 p.

9. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М. : Наука, 1971. 1100 с.

, пространств

Фу типа Лизоркина // Мат. заметки. 1982. Т. 31, № 6. С. 855-865.

References

1. Chegolin A.P., Nogin V.A. Multidimensional potential integral transforms and description of L-characteristic of multiplier operators. Integral Transforms & Special Functions. 2002, vol. 13, pp. 193-197.

2. Chegolin A.P. Klassy Lapr tipa Lizorkina - Samko,

sviazannye s kompleksnymi stepeniami telegrafnogo

operatora [Classes Lapr Lizorkin-Samko associated with

the complex degrees of Telegraph operator]. Izvestiia vuzov. Matematika. 2002. No. 7, pp. 58-64.

3. Nogin V.A., Chegolin A.P. Kompleksnye stepeni telegrafnogo i blizkikh k nemu operatorov v Lp-prostranstvakh [Complex powers of the Telegraph and adjacent operators in Lp-spaces]. Dif. uravneniya. 2003, vol. 39, No. 3, pp. 402-409.

4. Chegolin A.P. Integraly i proizvodnye drobnogo poryadka v klassakh Gel'dera na pryamougol'nike [Integrals and derivatives of fractional order in Holder classes on a rectangle]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2015, No. 1, pp. 61-64.

5. Nogin V.A., Samko S.G. Method of approximating inverse operators and its applications to the inversion of potential type integral transforms. Integral Transforms and Special Functions. 1999, vol. 8, no. 1-2, pp. 205-228.

6. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Integraly i proizvodnye drobnogo poryadka i ikh prilozheniya [Integrals and derivatives of fractional order and their applications]. Minsk: Nauka i tekhnika, 1987, 688 p.

7. Lizorkin P.I. Obobshchennoe liuvillevskoe differ-entsirovanie i metod mul'tiplikatorov v teorii vlozhenii klassov differentsiruemykh funktsii [Generalized Liou-ville differentiation and the multiplier method in the embedding theory of classes of differentiable functions]. Tr. MIAN SSSR. 1969, vol. 105, pp. 89-167.

8. Samko S.G. Hypersingular integrals and there applications. London; New York: Taylor&Francis, 2002, 378 p.

9. Gradshtein I.S., Ryzhik I.M. Tablitsy integralov, summ, ryadov i proizvedenii [Tables of integrals, sums, series and products]. Moscow: Nauka, 1971, 1100 p.

10. Samko S.G. O plotnosti v Lp (R") prostranstv

Фу tipa Lizorkina [On the density in Lp (r") spaces Фу

of Lizorkin type]. Mat. zametki. 1982, vol. 31, No. 6, pp. 855-865.

Поступила в редакцию /Received

3 июля 2017 г. / July 3, 2017

X