Описание функциональных пространств, связанных с обобщенными операторами Шредингера Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.983.2

ОПИСАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ, СВЯЗАННЫХ С ОБОБЩЕННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ ШРЕДИНГЕРА

© 2014 г. А.В. Гиль, В.А. Ногин

Гиль Алексей Викторович - кандидат физико-математических наук, доцент, факультет механики, математики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8А, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: gil-alexey@yandex. ru.

Ногин Владимир Александрович - кандидат физико-математических наук, доцент, факультет механики, математики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8А, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: vnogin @math. sfedu. ru.

Gil Alexey Viktorovich - Candidate of Physical and Mathematic Science, Associate Professor, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakov St., 8A, Rostov-on-Don, Russia, 344090, e-mail: gil-alexey@yandex. ru.

Nogin Vladimir Alexandrovich - Candidate of Physical and Mathematic Science, Associate Professor, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakov St., 8A, Rostov-on-Don, Russia, 344090, [email protected].

Изучаются комплексные степени обобщенного оператора Шредингера с комплексными коэффициентами в главной части. Отрицательные степени этого оператора представлены в виде потенциалов /2ф с нестандартной метрикой.

В рамках метода аппроксимативных обратных операторов получены описания функциональных пространств функций из Ьг, представимых такими потенциалами с плотностями из Ьр .

Ключевые слова: свёртка, комплексные степени, аппроксимативные обратные операторы, мультипликатор, оператор Шредингера.

We study complex powers of the generalized Schrodinger operator with complex coefficients in the principal part. Negative powers of this operator are represented as potentials S-a/2ф with non-standard metric. Within the framework of the method of

approximative inverse operators, we describe function spaces of function in Lr represented as such potentials with densities in Lp . Keywords: convolution, complex powers, approximative inverse operators, multiplier, Schrodinger operator.

В работе исследуются комплексные степени обобщенного оператора Шредингера в Ьр (я11+1) с комплексными коэффициентами в главной части:

St = А + /-

д

сК,

1 . д2 ■- S ^ k тт

n+1 k=1

дк2к

(1)

где

д

д

А = —- +... +--- - оператор Лапласа;

дк дк\

Хк > 0, 1 < к < 1, 1 < I < п . Комплексные степени оператора ^ с отрицательными вещественными частями на «достаточно хороших» функциях

2

ф(х) определяются как мультипликаторные операторы, действие которых в образах Фурье сводится к умножению на соответствующую степень символа рассматриваемого оператора:

i

-а /2,

F(*=«/2Ф^) = ^Й+1 2 + ДА*^2] ф(*), (2)

где \ е Яп+1, £' = (*ь...,^), Яеа> 0.

Получены интегральные представления комплексных степеней (2) в виде интегралов типа потенциала с нестандартной метрикой. Соответствующие дробные потенциалы имеют вид

Ы*)= ' \(у)ф(х - У)^У , (3)

где

hX(y) = di (Xk п+1)+ exp

хкУ(

+i

2

l у2 | y

к=14(1 + Х2к )уп+1 4 Уп+1

~ = (yi+1,-, Уп ), dl,a(x) =

к=141 + Х2к )Уп+1

l < п -1, (4)

exp (а—п л i)

(4л)п/2г(а)п

2 к=1

На функциях ф(х)е Ьр, 1 < р <■», интеграл (3)

при I < п, вообще говоря, расходится. Комплексные

степени 2ф, Яе а> 0, понимаются в смысле

обобщенных функций над основным пространством типа Лизоркина Ф :

(s—<x/2ф,ш)f ф,S—a/2^ , шеФ

(5)

где /2 L М2 ' е 2

оператор с символом

-а /2

|Д+1 - 'ДА * ^ J . Корректность этого определения поясняется ниже. Описать образ 5"-а 2 (ьр) в данном случае не представляется воз-

можным.

—а / 2

Мы рассматриваем комплексные степени S- /

х

Rea > 0, в пространствах S—a/2 Lp ) n Lr = L

a

'r = Lp,r ,

(6)

llr +1 ЛЬ-a/2 (Lp ) •

В рамках метода аппроксимативных обратных операторов (АОО) дано описание пространств Ьар г и получены явные выражения для комплексных степеней 5а /2/, Г е Ьарг.

В настоящее время имеется ряд работ по теории комплексных степеней вырождающихся дифференциальных операторов второго порядка с постоянными коэффициентами [1, гл. 9, 11], обзорные статьи [2, 3], а также работы [4-10]. Рассмотренный здесь случай

операторов (1) является наиболее трудным, что обусловлено нестандартным видом дробных потенциалов (3). Последнее, в свою очередь, связано с наличием комплексных коэффициентов в главных частях оператора S- • х

Вспомогательные сведения Обозначения: (/, w

Rn

= (w(«, 8)*ф)(х) - интеграл Гаусса-Вейерштрасса, где

w(x, 8)=(4лб)-п/2e — Х /(45) - ядро Гаусса-Вейерштрасса; если A - оператор свертки с символом , то через A обозначается оператор с символом ; S - класс Шварца быстро убывающих гладких функций; Ro - банахова алгебра преобразований Фурье функций, интегрируемых в

Rn+1. Через

za обозначается главная ветвь рассматриваемой многозначной функции, аналитическая в комплексной плоскости с разрезом по отрицательной вещественной полуоси.

Нам понадобится следующее утверждение. Лемма 1 [1, лемма 1.31]. Пусть функция /(x, z) аналитична по z в некоторой области D с C для почти всех x eüc Rn и имеет суммируемую мажоранту / (x, z) < F (x) е L1 (q) . Тогда интеграл

J /(x, z)dx аналитичен по z в области D .

q

О пространствах Ф, Т типа Лизоркина

Через Т обозначим класс функций из S, исчезающих вместе со всеми своими производными на совокупности координатных гиперплоскостей

= 0,-, ^ = 0 в Rn .

Пространство Т является счетно-нормированным, полным относительно набора попарно согласованных сравнимых норм

IHI n = sup Mx))^ v(x),

|к|<N,xeRn\ Uf;eRn:i;m =o}

m=1

N = 0, 1, 2,-,

M(x) = maxj^i+jxj2,1/p(x)j , p(x) = min

Обозначим через Ф пространство прообразов Фурье функций из Т : Ф = F_1(т) .

Пространства Ф и Т введены и изучены П.И. Ли-зоркиным [11].

Теорема 1 [1]. Класс Ф плотен в Lp, 1 <p < да, и

в Q(Rn)=/: / е cR)/(да) = 0}.

Замечание 1. Как показано в [1, глава 2, §4], для любой функции u(x)e S существует последовательность функций Wn ^)еФ, аппроксимирующая u(x) по норме Lp , 1 < p < да, и по норме С0.

где

R

2

i

а

- I

X Lp,r

Комплексные степени дифференциального оператора S-

Комплексные степени оператора

х

на «хороших функциях»

Комплексные степени £-а 2ф, феФ, определим

х

равенством (2). Заметим, что такое определение корректно, так как функция

-а/2

(s-1/2ф)(х)=(яаф)(х)

(2л)

n+1

R

, ,2 1 7

§n+1 -|§'12 + i ZXk§2 k=i

а/2

= J Щ(у)ф(х - У)dy,

(8)

ф(§)

-s[z У k §1 +| 2

n+1

R

§n+i - Z Уk§2 -1~|

d§

2

+ i6

а/2

= J Ааб(у)ф(х - уd'

(9)

Rn

где Rea > 0,

ьа,б(у )=

exp

(-T)

(4*)n/2 r(f)n JTk

(6 + /Уп+1

,-n /2

X exp<|- Уп+16- 2

k=1

У2

k=14(6 + iyn+1 )y k 4(6 + /yn+1)

(yn+11

-2+a 2

+

У k

> 0 , k = 1,...,l. Заметим, что ä|6(y)e ¿1. Применяя формулу Бохнера (в Rn), получаем

F Й>б(у ))§) =

2 exp (-a*i )^T-1+a /2g-sx+/§n+1^

(tT

l k=1

r(f

n-2 n

2 1 4 ж r2

0 (б + ix)

f

dxx

x| 2Уk+ |§|2| 4 J ' Jn-2

0 e'

V(6+/x)'

2

l 2 ~2

2rj 2Уk§2 + k=1

dr,

где /п-2 (^) - функция Бесселя порядка п— . Приме-

2 2

нив к внутреннему интегралу формулу из [12, 2.12.9.3], имеем

F кб(у ))§) =

ал / 4

-б^е у k §1 +| §2

г(|Т'

x Jx-1+a /2e 0

-6X+/(§n+1 -Z У k -| § 2 )x

dx .

является мультипликато-

|§n+1 -|§'|2 + i i Xk§1 l k=1

ром в пространстве Лизоркина Т = F(®) [11]. Интегральное представление для указанных потенциалов дает

Теорема 2. Пусть Re a< n, феФ. Тогда справедливо равенство

"" (7)

Используя далее формулу из [13, 2.3.3.1], будем иметь

(10)

i , \ s -б| Уk§2 +|§

x[§n+1 -ZYk-~2 + .

где Н а - оператор (3).

х

Доказательство. Утверждение теоремы будет следовать из равенства

1 , ф® _

где Щ(у) - ядро (4). Для доказательства (8) получим вначале формулу

Умножив обе части (10) на ф(^) и применив обратное преобразование Фурье, получаем (9).

Заметим далее, что обе части (9) аналитичны по У1 в области £ = {ЯеУ1 > 0,1т У1 < 0}. Аналитичность правой части этой формулы обосновывается применением леммы 1 с учетом равномерной (в области £1) оценки

^ ^ + уП+1)-П/4 ^ Уп+1 (Уп+1 )-1+ Г (11)

Аналитичность левой части (9) очевидна.

Анализ доказательства граничной теоремы единственности И.И. Привалова, приведенного в [14, с. 413-415], показывает, что равенство (9) справедливо для У1 е £1, у2 > 0,..., у/ > 0 .

Далее фиксируем у1 е £1, у к > 0 , к = 3,., /. Аналогично тому, как это делалось выше, доказывается аналитичность правой части (9) в области £2 ={Яе у2 > 0,1т у2 < 0} по у 2 с учетом той же самой равномерной оценки (11). Аналитичность по у2 левой части очевидна.

Таким образом, равенство (9) справедливо для

у1 е £1> у2 е £2 > ук > 0 > к = 3,., 1 .

Продолжая описанный процесс, убеждаемся в справедливости (9) для

ук е £к = {Яе у к > 0,1т ук < 0}, к = 1,..., 1.

Полагая в (9) у к = 1 - г'Хк, X к > 0, к = 1,., /, будем иметь

1

ф(§) e

-6 |§'|2 -i ZXk§|

J

> n+u „ l

d§

(2Л) Rn+1 '§n+1 2 + i ZXk§2 + i6

a/2

k=1

= J ^(УМ*-y)dy, феФ,

Rn+1 где

АУ|6(:у) = dl,a(X)(6 + ^уи+1 )"И/2 (Уи+1)+ 2

e

x

R

1

2

x

х exp

-

£ (к+ k- 'Щ , (s +Щ+i

k=i 4(1 +X| L2 + y2n+1

л2

4(e2 + У2+1)

Переходя в (12) к пределу при е^ 0, получаем (8). Предельный переход в правой части (12) обосновывается мажорантной теоремой Лебега, применимой с учетом оценки

|ф(х - У Л

J

Rn+1 |У,

n+1

n+2-Re а 2

■ dy < ж, Re g < n .

Возможность предельного перехода под знаком интеграла в левой части (12) очевидна.

Применяя к обеим частям (8) преобразование Фурье, получаем (7).

Теорема доказана.

Описание пространств Ьр г

Здесь методом АОО будет дано описание пространств Ьар г (6).

Пространства

S-

-g/2

'X

(Lp).

/ = 5-р/2ф, фе Ьр, 1 < р < ж, будем в соответствии

X

с (5) трактовать в смысле Ф':

юеФ.

(13)

Обозначим

S-g/2 (Lp )=f еФ': f = Sx"g/2Ф, фе Lp }

и положим

115 ;

2 (Lp ):

где / = 5_р/2ф, фе Ьр .

Для доказательства корректности такого введения

_р / 2

нормы нужно показать, что если / = 5- ф = 0, то

А

ф(х) = 0 почти всюду. Для юеФ имеем

0 = ( /, ю) = ^ф, 5_а/2Ю.

(14)

_а / 2

Так как 5- ю пробегает все Ф , когда ю пробегает Ф (класс Ф инвариантен относительно оператора 5_р/2 ), то из (14) получаем (ф, ю) = 0, юеФ.

Пусть далее и(х) е 5, wN (х) - последовательность функций, аппроксимирующих и(х) по норме Ьр, 1 < р < ж, и по норме С0 (см. замечание 1). Тогда (ф, = 0 . (15)

Переходя в (15) к пределу при N ^ж, получаем (ф,и^ = 0, и е 5, откуда следует, что ф(х) = 0 для

почти всех х е Я п+1.

При этом предельный переход (ф, ^(ф, и) при N ^ ж обосновывается применением неравенст-

ва Гельдера, если р > 1, и мажорантной теоремы Лебега при р = 1.

Пространства Ьр г (я п+1) и их описание. Здесь

будут описаны пространства Ьр,г = Ьр г(яп+1), определяемые равенством (6), и получены явные выраже-

ния для комплексных степеней 5р 2/, / е Ь

p,r •

Введем оператор

Та/2. / )(х)=(Ьр^' г )(х).

5^0

где

fö2f>)= Lpg,x2 f - *)*

(16)

(17)

а/2Л\ J7-1

"n+1 2 + '¿X k "2 JT

и-5"1

,|2

(t),

5>0,d>n+1-

Re а

Потенциал

Справедлива следующая

Теорема 3. Пусть 0<Яеа<п, 1 <р,г < ж. Тогда

т<Р т ■ та/2 г т > т а /2

Ьр, г = {/ е Ьг : Т- / е Ьр где Т-

опера-

тор (16). Кроме того,

гра /2 J-X f

Доказательство. Докажем вложение Ьдг с{/ е Ьг : ТАр/2/ е Ьр },

а/2 . "

'X

p JSx:/2 (Lp )•

(18)

Пусть / е Ьрг, тогда / е Ьг и / = 5_р/2ф

Фе Lp.

p r

Заметим,

1

"n+1 -"12 + i ZXk k=1

2 Г "1

-1r что

,"1 + i5

X

функция принадле-

жит ^0 [1, теорема 3.5]. Следовательно,

[Чх/ > )е Ь1.

При доказательстве (18) будем основываться на равенстве

Та2/)') = (^5^5ф)(х)+(^5ф)(х) - (Я8фХх), (19)

где оператор М8 имеет вид

(м5ф)(*)= Z Cd(-5У (^х),

j =1

ж ж

б7 Ф)х)= i ^J

ж ж ф(х, - t -- tiX..... х„)

Цф)х)= J . J V 1 1 5k +.j.)2--Ч... dtj .

0 0

Очевидно, что < С1 ф|р ' 1 < р < ж, где С

не зависит от 8 . В образах Фурье имеем

F (M 5ф)(") =

"1 ^ '

"1 + '"5.

-1

F(ф)("), феФ .

d

а

2

+

а

L

r

p.r

2

e

Докажем (19). Имеем ^Г^ 2f,ю^ = 0, юеФ. Так

как f = S-a/2ф, фе Lp, то с учетом (13) и инвари-

X

антности пространства Ф относительно оператора

Ta^2 будем иметь

о, Л

тах2/' ю)=( / 5х-а/2 тах/2^=

=(ф, та/2 к/2ю)=(ф, ню=нф, ю.

Таким образом, мы пришли к равенству

(та/Г, ю) = (Н8ф, ю) , ®еФ. (20)

Используя замечание 1 и рассуждения, аналогичные применявшимся выше, из (20) выводим (19). В [9] показано, что если ф(х) е Ьр, 1 < р < ж, то

(м5^дф)(х)—5~— > 0 по норме Ьр или почти всюду. С учетом этого, переходя в (19) к пределу при 8 ^ 0 по норме Ьр , получаем (18). Докажем вложение

т . гр<х/2

еLr .

f е Lp LPr

Ь /2 (Lp ):

j^a /2 у-

X f

(21)

Пусть f е Lr и T^ 2f е Lp . Рассмотрим функ-

ционал {Ta/2 f, /2ю), юеФ.

Имеем

La/2^ e-a/2 \ /(Lp^a/2^ o-a/2 \

\Tx f, Sx ю \ Ä Ta X f, Sx V =

= ТЙ2 f, Sx-a/2^ =

= й(7 ^ 5^/2^ = Й<7'Н 8^ = = Нт( Н 8 /, ю) = ( /, ю). 8^0

Второе из равенств этой цепочки вытекает из того, что сходимость в Ьр влечет сходимость в Ф', последнее обосновывается применением неравенства Гельдера. Таким образом, мы пришли к равенству

/,а)=(та'2/,5-а/2ю^, юеФ, из которого с учетом (13) вытекает, что / = /2Тха/2 /.

Следовательно, f е L*p,r и

IL-a/2 (Lp ):

rpa /2 г-

X f

' л v р _

Из (18) и (21) вытекает утверждение теоремы. Теорема доказана.

Литература

1. Samko S.G. Hypersingular Integrals and their Applications.

Analytical Methods and Special Functions. L.; N.Y., 2002. Vol. 5. 376 p.

2. Samko S.G. Inversion theorems for potential-type integral

transforms in Rn and on Sn 1 // Integral Transforms and Special Functions. 1993. Vol. 1, № 2. P. 145-163.

3. Nogin V.A., Samko S.G. Method of approximating inverse

operators and its applications to the inversion of potentialtype integral transforms // Integral Transforms and Special Functions. 1999. Vol. 6, № 2. P. 89-104.

4. Ногин В.А., Сухинин Е.В. Обращение и описание гипер-

болических потенциалов с LP-плотностями // Докл. РАН. 1993. Т. 329, № 5. С. 550.

5. Ногин В.А., Сухинин Е.В. Дробные степени оператора

Клейна-Гордона // Докл. РАН. 1995. Т. 341, № 2. С. 166.

6. Karasev D.N., Nogin V.A. On the boundedness of some

potential-type operators with oscillating kernels // Mathematische Nachrichten. 2005. Vol. 278, № 5. P. 554-574.

7. Заволженский М.М., Ногин В.А. Аппроксимативный

подход к обращению обобщенных потенциалов Рисса // Докл. РАН. 1992. Т. 324, № 4. С. 738.

8. Abramyan A.V., Nogin V.A. Integral transforms, connected

with fractional powers of nonhomogeneous differential operators in Lp-spases // Integral Transforms and Special Functions. 1994. Vol. 2, № 1. Р. 1.

9. Chegolin A.P., Nogin V.A. Integral Transforms related to

complex powers of the generalized Schrodinger operator // Integral Transforms and Special Functions. 2006. Vol. 6, № 17. P. 409-420.

10. Карасев Д.Н., Ногин В.А. Комплексные степени одного

неэллиптического дифференциального оператора в Lp -пространствах // Диф. уравнения. 2013. Т. 49, № 10. С. 1316-1320.

11. Лизоркин П.И. Обобщенное лиувиллевское дифферен-

цирование и метод мультипликаторов в теории вложений классов дифференцируемых функций // Тр. МИАН. 1969. Т. 105. С. 89-167.

12. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегра-

лы и ряды. Специальные функции. М., 1983.

13. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегра-

лы и ряды. Элементарные функции. М., 1983.

14. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций ком-

плексного переменного. М., 1966.

Поступила в редакцию

15 ноября 2013 г.