Комплексные степени одного дифференциального оператора в Lp-пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.983.2

КОМПЛЕКСНЫЕ СТЕПЕНИ ОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

В Lp-ПРОСТРАНСТВАХ

© 2014 г. А.В. Гиль, В.А. Ногин

Гиль Алексей Викторович - кандидат физико- Gil Alexey Viktorovich - Candidate of Physical and

математических наук, доцент, кафедра дифференциаль- Mathematical Science, Associate Professor, Department

ных и интегральных уравнений, факультет математики, of Differential and Integral Equations, Faculty of Mathe-

механики и компьютерных наук, Южный федеральный matics, Mechanics and Computer Sciences, Southern

университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don,

344090, e-mail: gil-alexey@yandex.ru. 344090, Russia, e-mail: gil-alexey@yandex.ru.

Ногин Владимир Александрович - кандидат физико- Nogin Vladimir Alexandrovich - Candidate of Physical and

математических наук, доцент, кафедра дифференциаль- Mathematical Science, Associate Professor, Department of

ных и интегральных уравнений, факультет математики, Differential and Integral Equations, Faculty of Mathematics,

механики и компьютерных наук, Южный федеральный Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal Uni-

университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, versity, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia,

344090, e-mail: vnogin@math.sfedu.ru. e-mail: vnogin@math.sfedu.ru.

д n~V .л \ d2

Исследуются комплексные степени дифференциального оператора (в Rn) m2I + i--h — iXk

дхп к=1 дх2 '

Xк > 0. Комплексные степени этого оператора с отрицательной вещественной частью реализованы в виде анизотропных потенциалов Н—ф с нестандартной метрикой. Указанные потенциалы обобщают хорошо известные параболические потенциалы Джонса - Сэмпсона, которые широко используются в различных задачах анализа и математической физики. Получены Ьр — Ьц -оценки для оператора H—. В рамках метода аппроксимативных обратных операторов построено обращение потенциалов Н—ф с плотностями из Ьр. Дано также описание образа Н- [Ьр ) в терминах оператора, левого обратного к Н- .

Ключевые слова: потенциал, комплексные степени, аппроксимативные обратные операторы, мультипликатор.

2 S n\ d2

We study complex powers of the differential operator (in Rn ) m I + i--+ — iXk )—tt , Xk > 0. Complex powers

Sxn k=1 dxt

of this operator with negative real parts are realized as anisotropic potentials H- 9 with nonstandard metric. These potentials generalize well known Jones - Sampson parabolic potentials which are widely used in various problems of analysis and mathematical physics. We obtain Lp — Lq -estimates for the operator H-. Within the framework of the method of

approximative inverse operators we construct the inversion of potentials Hj ty with densities in Lp . We also describe the range Hj(Lp ) in terms of the operator left inverse to Hj.

Keywords: potential, complex powers, approximative inverse operators, multiplier.

В работе исследуются комплексные степени g n-1 g2

" + i~—+

xn k=1 ' dxk2

дифференциального оператора ( в Rn ) X g^ k' gx2

о О n-1. . g-

% = m2I + i — + E(1 - iXk )— , (1)

где m >0, Х = (ХЬ...,Хп-1), Xk >0, 1 <k<п_1, п > 2. Комплексные степени оператора с отрицательными вещественными частями на функциях ф(х)еф(йп), где ф(йп) - пространство Лизоркина (см. ниже), определяются в образах Фурье как мультипликаторные операторы

е £т/2фЬ)=

= \m2 + ^2 + ^ k Ф®

k=1

-а /2

(2)

где £ = (!;',^), = &,...,^п-1), Reа > 0.

Получены интегральные представления комплексных степеней (2) в виде интегралов типа потенциала с нестандартной метрикой. Соответствующие дробные потенциалы имеют вид

(^аф)(х)= 1 йа(у)ф(х _ У, х е Я" , (3)

где

щ(у )=dn,a^bn )+-2"

г

х exp

i m Уп - Z

- (^ k - i),

k=14( + XZk )Уп )

2exp(^a-n+l я i)

(4)

(4.)(n-1)/2 г(а j^V^ 2 k=1

Вейерштрасса, где м>(х, б) = (4лб) п/2е _Х /(45) -ядро Гаусса - Вейерштрасса; если А - оператор свертки с символом т(^), то через А обозначается

оператор с символом да(|); £ - класс Шварца бы-

строубывающих гладких функций; - банахова

алгебра преобразований Фурье интегрируемых

функций в Я". Через га обозначается главная ветвь рассматриваемой многозначной функции, аналитическая в комплексной плоскости с разрезом по отрицательной вещественной полуоси.

Об аналитичности интеграла по параметру

Лемма 1 [1, лемма 1.31]. Пусть функция / (х, г) аналитична по г в некоторой области О с С для почти всех хеПс Я" и имеет суммируемую мажоранту: /(х, 2) < Е (х) е ¿1 (□). Тогда интеграл | /(х, 2У^х аналитичен по г в области О.

О пространствах Ф, Т Лизоркина. Через Т обозначим класс функций из £ , исчезающих вместе со всеми своими производными на совокупности координатных гиперплоскостей ^ = 0,., £,п = 0 в

Я".

Пространство Т - счетно-нормированное, полное относительно набора попарно согласованных сравнимых норм, определяемых равенствами

Получены оценки для оператора На из Lp в Lq.

В рамках метода аппроксимативных обратных операторов (АОО) построено обращение потенциалов

Нар, реЬр . Дано описание образа На(ьр) в

терминах обращающих конструкций.

В настоящее время имеется ряд работ по теории комплексных степеней дифференциальных операторов второго порядка с постоянными коэффициентами [1, гл. 9, 11; 2-11]. Рассмотренный здесь случай оператора (1) является одним из наиболее трудных, что обусловлено анизотропностью соответствующих дробных потенциалов (т.е. комплексных степеней оператора (1) с отрицательными вещественными частями). Последнее, в свою очередь, связано с наличием комплексных коэффициентов в

главной части оператора £-.

Вспомогательные сведения Обозначения. /, ^ = 1 /(х^(х)ёх;

Я"

(^5ф)(х) = (^(«, б)*ф)(х) - интеграл Гаусса -

llN ,V

sup

|k| < N, xeRn\ JJ |eRn =ö}

(Mv (x))N|ßk v(x),

N = 0, 1,2,..

где

MV (x) = max {^, V p(x, V )|,

р(х, V) = шш| х _ У .

уеУ

Обозначим через Ф пространство прообразов Фурье функций из Т : Ф = Е_1 (т) . Пространства Ф и Т были введены П. И. Лизоркиным [1].

Нам понадобится информация о плотности пространства Ф в Ьр.

Теорема 1 [1]. Класс Ф плотен в Ьр , 1 < р < да,

и в Се (я" )=/: / е с(я" ) /(да) = 0}.

Замечание 1. Как показано в [1], для любой функции и(х) е £ существует последовательность функций wN (х)еФ, аппроксимирующая и(х) по норме Ьр , 1 <р < да, и по норме С0.

n

R

х

п

d

Основные результаты

Преобразование Фурье и инвариантное пространство. Интегральное представление для потенциалов Б—а/2ф, феф[ли), дает

Теорема 2. Пусть 0 < Яе а < п +1, феФ. Тогда

где Jп—з [г) - функция Бесселя порядка п—. При-

2 2

менив к внутреннему интегралу в правой части формулу из [12, 2.12.9.3], получим

справедливо равенство

(¿Х-/2ф)х)=Наф)[х) ,

где Н- - оператор (3).

X

(5)

следовать из равенства

Ы« Rn

п-1 /2

+«¿(% -

k=i )

Rn | 2 m

= J hf(y)p(x - y)dy, x e Rn .

(6)

где

h^(y) - ядро (4).

Для доказательства (6) установим вначале формулу

n—1

(2я)

Ф(;) expl-S2ykI2 — ix;

1 j V k=1

я) Rn | 2

n—1

m2 +;n - 2 УkU + 'S

k=1

а/2

= J ha»p(x — y)dy , x e Rn ,

Rn '

(7)

где Re а > 0, уk = 1 - iXk;

2exp(-^^)

h£s(y )=

(4.)(n-1)/2 r(|

2 k=1

^— (s + y)-(n-1)/2 :

n-1

yk

Xехр<!т2^ — ,уи£— У, у* 2 \[УпХ-2 ; [ к=14[£ + iyn И \

ук > 0 , к = 1,...,п — 1. Легко видеть, что к— [у) е ¿1.

С помощью формулы Бохнера (в Rn 1) получа-

ем

* ( hL(Ф) =

4expl-

(ая i I / 2 1

4 )?exp(-sT + i;nт + im т)

г®

- st + /;„т + im т), «-;—ИТх

.1-а/2/ , ; ч«-1

0 т1 а '2 (s + /t) 2

(«-1 2у

v k=1

1-«

Xl Syk4 I r«-e-rV(s+/t)J«=3 ,n-1

2^/ s yk

k=1

dr,

* (h?,( y)|(;)=

ая i

4

( «-1 9

e 4 -sl syk —M-e v k=1

г®

x Jt-1+а/2e

st +i| m2 +;« - SS уk|t

Ит .

Используя далее формулу из [13, 2.3.3.1], будем

Доказательство. Утверждение теоремы будет иметь

(«-1

*( \а>Ш = e

1 I

-si zy.^1

n-1

2 2 х 1 m + - S yk+iS k=1

-а /2

(8)

Умножив обе части (8) на ф(^) и применив обратное преобразование Фурье, получаем (7).

Заметим далее, что обе части (7) аналитичны по У1 в области £ = {Яеу1 > 0,1т у1 < 0}. Аналитичность правой части этой формулы обосновывается применением леммы 1 с учетом равномерной (в области £1) оценки

h£s(y)

< 42+y«2Г

2 V(n-1)/4 -:

Sy,

(y«)

i 1 Re а

-1+— . (9)

Аналитичность левой части (7) очевидна.

Анализ доказательства граничной теоремы единственности И. И. Привалова, приведенного в [14, с. 413-415], показывает, что равенство (7) справедливо для У1 е £1, у2 > 0,..., уп—1 > 0.

Далее фиксируем у1 е £1, ук > 0 , к = 3,.,п — 1. Аналогично тому, как это делалось выше, доказывается аналитичность правой части (7) в области £2 = {Яеу2 > 0,1т у2 < 0} по у 2 с учетом той же самой равномерной оценки (9). Аналитичность левой части по у2 очевидна.

Таким образом, равенство (7) справедливо для у1 е А, у2 е £2, ук > 0 , к = 3,.,п — 1.

Продолжая описанный процесс последовательного аналитического продолжения (по переменным уз,..., у п—1), убеждаемся в справедливости (7) для ук е £к = {Яе у к > 0,1т ук < 0}, к = 1,., п — 1.

Полагая в (7) у к = 1 — /X к, Хк > 0, к = 1,., п —1, будем иметь

ф(;) e

s| "sfak-1);2 |-ix|

и;

(2я)« Rn

«-1

+;«+ -1);2 + i

k=1

а/2

= J h^Mx - У)ИУ , ФеФ,

Rn '

(10)

X

k=1

0

X

1

n

R

k=1

1

2

m

2

0

где

Предел по норме Ьр в (11) можно заменить

пределом почти всюду.

Доказательство. Заметим, что функция

х exp<¡ (m2i - e)y

— ti/ —

n¿1 (i4+ Уп )(k - i)У

k=1 4(1 + Л| le2 + У2

m2 +^n 2 + iZbk k=1

§1

§1 + iS

2

Переходя в (10) к пределу при £ ^ 0, получаем щжадюжит «о [1, теорема 3.5]. Следcшательда,

■ ^

(6). Предельный переход в правой части (10) обосновывается мажорантной теоремой Лебега, применимой с учетом оценки

1 ,|ф(х+__уе? ^ , Яеа <П +1.

к" |Уп| 2

Возможность предельного перехода под знаком интеграла в левой части (10) очевидна.

Применяя к обеим частям (6) преобразование ратор М§ имеет вид Фурье, получаем (5). Теорема доказана.

fe f >

Доказательство равенства (13) основано на представлении

= (*МфХХ)+(»8ФХХ). (14)

n +1

Здесь 0<Reа <n +1, феLp , 1 <p <-. Опе-

p Re а

Действие оператора На в Lp -пространст-

х p

вах. Справедлива

Теорема 3. Оператор Hа ограничен из Lp в

(М8ф)(х)= í Cd(-8У(¿S'tp)*)

j=1

A p)(x)

=í. í *

0 0

-S(í! +...+íj )p(x

ф(Х1 - '1

ф(х1 - '1 -... -1 j , Х2,..., x¡)х

n +

Lq , 0 < Rea < n +1, 1 < p <-, q =

1 _ (n +1) p

х d'1. dtj.

Очевидно, что

Rea n +1 - p Rea Утверждение теоремы 3 легко выводится [15, теорема 28.2, с. 412]. Там содержатся Lp - Lq -

оценки для параболических потенциалов Джонса - где C не зависит от 8 .

IM5ф|| p * Cф||p , 1 < p <да ,

(15)

Сэмпсона в R

n+1

В образах Фурье имеем

Обращение потенциалов / = Н^ф с Ьр -

К р

плотностями. В рамках метода АОО левый обратный к £_а 2 оператор будем строить в виде

К

F (M 8фХ|) =

§1

§1 + i8

,d Л -1

F Ш, феФ.

Ta f )x)=(Lí| W f)(x), fef)^ í/a,^ - t)dt,

где

(11)

(12)

8, Л

(t ) = F

-1

n-1

;+^n 2 + i 2Лk§2

k=1

r §1 y

(t), 8 > 0 , d > n -

Re a

Равенство (14) распространяется по ограничен-

Г П + 1

ности на все Ьр , 1 < р <-, с учетом того, что

р Яе а

операторы в обеих частях (14) ограничены из Ьр в

ья , я = (п +1)р .

п +1 - р Яе а

Ограниченность операторов в правой части (14) из Ьр в ¿я вытекает из теоремы Юнга о свертках с

учетом (15) и ограниченности оператора Щ из Ьр

в Ьа для 1 < р < я < да . Оператор Та-Н^ ограни" О, К К

чен из Ьр в Ья по теореме 3 с учетом того, что

Ta- - оператор свертки с интегрируемым ядром.

8, Л.

+

Справедлива

Теорема 4. Пусть 0 < Rea< n +1, 1 < p <-ф е Lp . Тогда

(TaНаФ)х) = Ф(х). (13) ность функций из Ф , аппроксимирующая ю(х) по

В случае, когда ф е Ь1, равенство (14) доказыва-П +1 ется вначале в смысле Ф':

(ТТх Н£ф, ю) = (ЩМбф + Щф, ю), юеФ. (16)

Пусть далее ю(х)е £, ИN(х) - последователь-

Re a

х

a

d

2

да да

a

m

х

2

х

норме Lq , q =

n +1

n +1 - Rea

и по норме Cq (замеча-

ние 1). В силу (16) имеем

^Т Hacp, = (WM5p +W5p, .

5, К К

Переходя в (17) к пределу при N ^да, получаем (14) для фе Ь1.

В [2] показано, что если ^(х)е Ьр, 1 < р <да, то

(ЩМоg)(х)^ 0 по норме Lp или почти всюду.

Переходя в (14) к пределу при 5 ^ 0 в указанном смысле, получаем (13). Теорема доказана.

Описание образа На (ьр )• Через На (ьр ) обо-

значим образ оператора На:

К

На(Ьр )= Д(х): / (х)=(НКаф)(х), фе Ьр }.

Положим Д(ь )=||ф||р , где

К ^ р' г

фе Ьр.

Основной результат статьи составляет Теорема 5. Пусть 0 < Яеа < п +1, 1 < р <

q = —(n + 0 p— . Тогда

n +1 - p Re a

f=Ha> =

n +1 Rea

Ha(lp)={f e Lq : Taf e LP}.

Кроме того,

HH a(Lp):

WfW

Доказательство. Вложение (lp )c{f e Lq : TT f e LP }

HTa(Lp )-вместе с оценкой

na .

(18)

Taf

llH aL

(Lp )

(Hap, *) = (*, h *«D

юеФ,

которое обосновывается применением теоремы Фубини с учетом Ьр _ Ья -оценок оператора На,

приведенных в теореме 3. Далее имеем

(НКаф, = (ф, = (¿¿Ш ТГк /, ^ =

=limfëf,Haro)=f,%hH . (19)

Второе из равенств (19) вытекает из того, что

(17) сходимость в Lp влечет сходимость в Ф'.

С учетом (19) и (14)

H p, Ю= lim( f, Ks®) =

8^0

(20)

вытекает из теорем 3 и 4. Докажем вложение

На(ьре Ья : / е Ьр}

обратное к (18).

Пусть / е Ья; обозначим ф = Та/ . Тогда

я К

феЬр . Справедливо равенство

= lim( /, ю) = ( /, ю).

8^0

Второе из равенств (20) обосновывается применением неравенства Гельдера при p > 1 и можа-рантной теоремы Лебега при p = 1.

Используя рассуждения, аналогичные применявшимся при переходе от (14) к (17), получаем

/, ю) =(Hj Ф' , юе S,

откуда вытекает, что / ( x) = Hj ф( x)

для почти всех x е Rn .

Следовательно, H j {bp / е Lq : т j/ е Lp j. Теорема доказана.

Литература

1. Samko S.G. Hypersingular Integrals and Their Applica-

tions. Analytical Methods and Special Functions. L.; N.Y., 2002. Vol. 5. 376 p.

2. Nogin V.A., Samko S.G. Method of approximating in-

verse operators and its applications to the inversion of potential-type integral transforms // Integral Transforms and Special Functions. 1999. Vol. 6, № 2. P. 89-104.

3. Ногин В.А., Сухинин Е.В. Обращение и описание ги-

перболических потенциалов с Lp-плотностями // Докл. РАН. 1993. Т. 329, № 5. С. 550.

4. Abramyan A.V., Nogin V.A. Fractional power of differen-

tial operators of the second order with constant coefficients in LP-spaces // Докл. РАН. 1995. Т. 341, № 3. С. 295.

5. Ногин В.А., Сухинин Е.В. Дробные степени оператора

Клейна - Гордона // Докл. РАН. 1995. Т. 341, № 2. С. 166.

6. Karasev D.N., Nogin V.A. On the boundedness of some

potential-type operators with oscillating kernels // Mathematische Nachrichten. 2005. Vol. 278, № 5. S. 554-574.

7. Заволженский М.М., Ногин В.А. Аппроксимативный

подход к обращению обобщенных потенциалов Рис-са // Докл. РАН. 1992. Т. 324, № 4. С. 738.

8. AbramyanA.V., Nogin V.A. Integral transforms, connect-

ed with fractional powers of nonhomogeneous differential operators in L_p-spases // Integral Transforms and Special Functions. 1994. Vol. 2, № 1. P. 1.

9. Betilgiriev M.A., Karasev D.N., Nogin V.A. L_p-L_q-

estimates for some potential type operators with oscillat-

ing kernels // Fractional Calculus & Applied Analysis. 2004. Vol. 7, № 2. P. 213-241.

10. Chegolin A.P., Nogin V.A. Integral transforms related to

complex powers of the generalized Schrodinger operator // Integral Transforms and Special Functions. 2006. Vol. 6, № 17. P. 409-420.

11. Вожжов Д.В., Ногин В.А. Комплексные степени не-

которых вырождающихся дифференциальных операторов, связанных с оператором Гельмгольца // Диф. уравнения. 2009. Т. 45, № 3. С. 382-390.

Поступила в редакцию_

12. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Инте-

гралы и ряды. Специальные функции. М., 1983. 800 с.

13. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегра-

лы и ряды. Элементарные функции. М., 1983. 752 с.

14. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций ком-

плексного переменного. М., 1966. 630 с.

15. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и

производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, 1987. 688 с.

_22 сентября 2014 г.