Комплексные степени одного дифференциального оператора, связанного с оператором Шредингера Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2017, Том 19, Выпуск 1, С. 18-25

УДК 517.983

КОМПЛЕКСНЫЕ СТЕПЕНИ ОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА, СВЯЗАННОГО С ОПЕРАТОРОМ ШРЕДИНГЕРА1

А. В. Гиль, В. А. Ногин

Изучаются комплексные степени дифференциального оператора второго порядка 5—, с комплексными коэффициентами в главной части. Отрицательные степени этого оператора реализованы как потенциалы с нестандартной метрикой. Положительные степени, обратные к отрицательным, — как аппроксимативные обратные операторы. Описан также образ Н-^(ЬР) в терминах оператора, левого обратного к Н^-.

Ключевые слова: дифференциальный оператор, образ, мультипликатор, комплексные степени, метод аппроксимативных обратных операторов.

1. Введение

В работе исследуются комплексные степени дифференциального оператора в Жп+1 с комплексными коэффициентами в главной части:

д п д2

^=т2/+ *&- + £( (1)

к=1 к

где т > 0 Ь = 0, А = (А1,..., Ап), А к > 01 ^ к ^ п. Комплексные степени оператора с отрицательными вещественными частями на функциях <(ж,г) £ Ф(Жп+1), где Ф(Жп+1) — пространство Лизоркина (см. п. 2.2), определяются в образах Фурье равенством

--^ / п \ -а/2

(¿—2 <)(£,т) = (т2 + Ьт-|£' |2 + {к=1 Ак ^2) Ж,т). (2)

Здесь £ = (£ь ... ,£п) £ Жп, т £ Ж1, Яеа > 0.

Получены интегральные представления комплексных степеней (2) в виде интегралов типа потенциала с нестандартной метрикой. Соответствующие дробные потенциалы имеют вид:

г

(Н <)(ж,г) = / 1%1 (у,в)<( ж - у,г - в) йуйз, ж £ Жп, г £ Ж1, (3)

Кп+1

где

НЦу,8) = <а(А)(.)Г^ехр - Е^+л!)!} ' (4)

© 2017 Гиль А. В., Ногин В. А.

1

курса «ГКН МОН РА - ЕГУ - ЮФУ РФ» № ВнГр-07/2017-31.

- _ &(га"а)/2ехр(^^тгг)

"га,а (А) —

(4тг)«/2Г(|) П VT^iX^ k=l

Установлены оценки для оператора И^ нз Ьр в Ья. В рамках метода аппроксимативных обратных операторов, построено обращение потенциалов И^р, р £ Ьр. Дано также описание образа И^ (Ьр) в терминах обращающих конструкций.

Таким образом, в работе получены явные выражения для комплексных степеней й1^2 р с положительными вещественными частями и описаны области определения этих степеней.

В настоящее время имеется ряд работ по теории комплексных степеней дифференциальных операторов второго порядка с постоянными коэффициентами (см. [4, гл. 9, 11]), обзорную статью [2], а также работы [3-9]). Рассмотренный здесь случай оператора (1) является одним из наиболее трудных, что обусловлено анизотропностью соответствующих дробных потенциалов (т. е. комплексных степеней оператора (1) с отрицательными вещественными частями). Последнее, в свою очередь, связано с наличием комплексных коэффициентов в главной части оператора.

Ранее, в статье [10], был исследован дифференциальный оператор + ^^=1(1 ~~ представляющий из себя оператор Шредингера

к

д ^ д2

возмущенный комплексными коэффициентами в главной части. Далее, в статье [11], был изучен дифференциальный оператор т21 + г-щ

:1(1 — гХк)д~2, связанный с опера-к

торами Шредингера (5) и Гельмгольца т21 + В данной работе рассмотрен

наиболее общий случай.

2. Вспомогательные сведения

2.1. Обозначения. (f,w) = /R„+i f(x,t)w(x,t) dx dt; (W§(p)(x,t) = (w(-,d)*ip)(x,t) — интеграл Гаусса — Вейерштрасса, где w(x, t, 5) = (4n5)-n/2e(-|x|2-i2)/(45) — ядро Гаусса — Вейерштрасса; S — класс Шварца быстро убывающих гладких функций; R0 — банахова алгебра преобразований Фурье функций, интегрируемых в Rn; Co (Rn+l) = {f : f G C(Rn+l), f (to) =0} — пространство непрерывных функций, исчезающих на бесконечности.

Лемма [4, лемма 1.31]. Пусть функция f (x, z) аналнтпчна по z в некоторой области D С C для почти всех x G Rn+l и имеет суммируемую мажоранту: |f (x,z)| ^ F(x) G Ll(Rn+l). Тогда ннтеграл JRn+i f (x, z) dx аналитичен no z в области D.

2.2. О пространствах Лизоркина Ф, Ф. Через Ф обозначим класс функций из S, которые исчезают вместе со всеми своими производными на совокупности координатных гиперплоскостей в Rn+l: yl = 0,..., yn+l = 0.

Пространство Ф является счетно-нормированным пространством, полным относительно набора попарно-согласованных норм, задаваемых равенствами

IMIn = sup (M (u))N |Dk ^(u)|, N = 0,1,2,...,

|k|<N,

n+1

ueKn+1^ {y€Kn+1:yl = 0} 1=1

где и = (ж,£), М(и) = тах{д/1 + \и\2,1 /р(и)}, р(и) = тт^^...^!

Обозначим через Ф = Ф(Жп+1) пространство прообразов Фурье функций из Ф: Ф = р-1 (ф), Пространства Ф и Ф были введены П. И. Лизоркиным (см., например, [13]). Нам понадобится информация о плотности класса Ф в Ьр.

Ф плотен в ^р, 1 < р < ^о, и в Со(Жп+1). Как показано в [4, глава 2, §4], для любой функции ш(ж,г) £ Б существует последовательность функций (ж, г) £ Ф, аппроксимирующая ш(ж) то норме Ьр , 1 < р < то, и то норме С0.

3. Основные результаты

3.1. Интегральные представления для комплексных степеней Б^а/2< < £ Ф.

Комплексные степени < £ Ф, определим равенством (2). Интегральное представ-

ление для указанных степеней дает следующая Теорема. Пусть 0 < Яе а < п + 2, < £ Ф- Тогда

Б-а/2<) (ж,г) = (н«<) (ж,г),

(6)

где Н^ — оператор (3).

< Утверждение теоремы будет следовать из равенства

1

(2п)п+1

(гI

<(£, т) ехр(-гж£ — ггт)

т2 + Ьт + £ (гАк - 1)£2

к=1

/2 = J (у,в)<(ж - у, г - в) (у (в,

(7)

Мп+1

где Н^ (у, в) — ядро (4). Для доказательства (7) установим вначале формулу

(2п)п+1

(т,

,<?(£, т) ехр -е £ 7к£к - гж£ - ггт ) к=1

т2 + Ьт - £ 7к+ ге

к=1

Здесь Яе а > 0 7к = 1 - гАк,

а , , б(га"а)/2ехр(-^) Ц ЛУ,8) =

(еЬ+гв)-п/2 ехр

а/2

J Ь^£(у,8)(р(х-у,г-8)<1у<18. (8)

Мп+1

2

т2 г — е

(4тг)»/2Г(§) П у^ к=1

7к > 0 к = 1,..., п.

Заметим, что /ъ^е(у,8) £ Ь\. С помощью формулы Бохнера (в Жп) получаем:

Ь

в

Е

Ьу

= 47к (Ье + гв)

-2 + Яео!

М + 2 :

2ехр(-^) Г (щ>(-£р + И)тр + гт2())

г(§) у р1~а/2{£ + 1р)п/2 о

(р

А

1-п/2

г з ехр

к=1

г ' | 2г е + гр / 2

\

&кI

к=1

1

X

где /п-2 (г) — функция Бесселя порядка Применив к внутреннему интегралу в правой части формулу 6.631.4 из [14], имеем

( ЧА\°°Г -£Р + Мга2 + ЬТ I Р Г^Г ч ехр (—«7П/4) / V_V_/ / л

М^>т) =-й^т- / -^-ч-¿р.

Ы I Р1~а'2 ехр ъЦ)

Используя далее формулу 3.381.4 из [14], будем иметь:

_ ( п \ ( п \-а/2

ЛГ г) = ехр ( -е ) Ы2 + Ьт - ^ + ге\ . (9)

Умножив обе части (9) на р(£, т) и применив обратное преобразование Фурье, получаем (8).

Заметим, что обе части (8) аналитичны по 71 в области В = {Ие 71 > 0,1т 71 < 0}. Аналитичность правой части этой формулы обосновывается применением леммы 1 с учетом равномерной (в области ^1) оценки

\^£(у,з)\ ^ С(е2Ь2 + 82)-п/4е-£^\з)-1+Ь^. (10)

Аналитичность левой части (8) очевидна.

Анализ доказательства граничной теоремы единственности И. И. Привалова, приведенного в [1, с. 413-415], показывает, что равенство (8) справедливо для 71 £ В1, 72 > 0,..., 7п > 0.

Далее, зафиксируем 71 £ В и распространим по аналитичности формулу (6) для 71 £ ^ и 72 £ В2 = {Ие72 > 0,1т72 < 0}.

Продолжая процесс последовательного аналитического продолжения (по переменным 7з,..., 7п), убеждаемся в справедливое!и (8) для 7к £ В = {Ие 7к > 0,1т 7к < 0}, к = 1,..., п.

Полагая в (8) 7к = 1 — ¿Ак, к = 1,..., п, Ак > 0, будем иметь:

п 0

£ -1)?к-^-Ит

1 [ (1т [ Ш, т) • ехр"=1

(2п)п+1 У У / п \«/2

к+ «п (га2 + 6т + ^ (¿Ак — 1)£2 + ¿е)

= У ^>е(у,в)р(ж — у, 4 — в) йу^в, р £ Ф, (11)

Кп+1

где

/2 ^Ше« [(гтА-ф ™ 5(гбе + 5)(Лк - %)у\ \ Н-х>е(у,з) = (1ща(\)(еЪ+гз) п'2(з)+ 2 ехр -~ Е 4(1 + Л2)(е2&2 + ,2) | •

Переходя в (11) к пределу при е ^ 0, получаем (7). Предельный переход в правой части (11) обосновывается мажорантной теоремой Лебега, применимой с учетом оценки

[ 11еа<п + 2.

N

2

Возможность предельного перехода под знаком интеграла в левой части (11) очевидна. Применяя к обеим частям (7) преобразование Фурье, получаем (6). >

3.2. Действие оператора Я^ в ^-пространствах. Действие оператора Я^ из

в (Мга+1) описывается следующей теоремой.

Теорема 2. Оператор Я^ ограничен из Гр в Lq! 0 Р^ео; < я + 2, 1 ^ р <

= (п+2)р у п+2-рЛеа-

Утверждение теоремы 2 легко выводится из [15, теоремы 28.2, с. 412], содержащей

— )-оценки для параболических потенциалов Джонс а — Сэмпсона в Мга+1.

3.3. Обращение потенциалов / = Я^^ с Ьр-плотностями. В рамках метода аппроксимативных обратных операторов, левый обратный к й- а/2 оператор будем строить в виде:

a (Lp (КП+1)) „

(Т, f )(x,t) = lim (Т., f )(x,t),

0

где

(Т^)(М)= / r^(y,s)f (x - y,t - s) dyds,

(12)

(13)

r? ,(y,s) = F-1

5>0, d> n + 1- Щ^.

/ n \ a/2 ^

U2+ьт -iei2+¿ g Afce2j (

6 +

Справедлива следующая

Теорема 3. Пусть 0 < 11е а; < п + 2, 1 ^ р < (р £ Тогда

(тхаяа<жм) =

Предел по норме Ьр в (12) можно заменить пределом почти всюду. < Заметим, что функция

(14)

принадлежит согласно теореме 3.5 из [4]. Следовательно, г^ £ Доказатель-

ство равенства (14) основано на представлении

(ТдЯ, <¿)(x,í) = (W M5 ^)(x,í) + (W ^)(x,í). Здесь 0<Rea;<n + 2, </?eLp, 1 ^ р < Оператор М5 имеет вид

(15)

(M <¿)(x,t) = E Cd (-5)j (Aj V)(x,i), j=i

где

oo oo

(Aj <p)(x,i) = J ...je j(y1V(xi - yi - ... - y ,X2 ,...,Xn,t) dyi... dyj

0 0 j

d

Равенство (15) проверяется переходом к образам Фурье для р £ Ф, с учетом формулы

Это равенство распространяется по ограниченности на все Ьр, 1 < р < с учетом того, что операторы в обеих частях (15) ограничены из Ьр в д = а •

Ограниченность оператора в правой части (15) из Ьр в Ьд вытекает из теоремы Юнга о свертках, с учетом очевидной оценки ||М§р||р ^ С||р||р и ограниченности оператора из Ьр в Ь? для 1 ^ р ^ д < то.

Оператор Т^дИД ограничен из Ьр в Ь? по теореме 2, в силу того, что — оператор свертки с интегрируемым ядром.

В случае, когда р £ Ь1; равенство (15) доказывается вначале в смысле Ф' :

(Т5дНар,ш) = М5р + р,ш), ш £ Ф. (17)

Пусть далее (ж,£) — последовательность функций из Ф, аппроксимирующая о>(ж,£) £ й" по норме Ьч, д = и по норме Со (см. замечание 1). В силу (17)

имеем

(Т5^#а р,шм) = (^5 М5 р + ^5 р,шм). (18)

Переходя в (18) к пределу при N ^ го, получаем (15) для р £ Ь1. В [2] показано, что если д(ж,4) £ Ьр, 1 ^ р < то, то

(^5М5д)(М) ^ 0 (19)

по норме Ьр или почти всюду.

Переходя в (15) к пределу при 5 ^ 0 в указанном смысле, получаем (14). >

3.4. Описание образа Иа(Ьр). Через И^ (Ьр) обозначим образ оператора И^:

Иа(Ьр) = {/(и) : /(и) = (Нар)(и), р £ Ьр}.

Основной результат статьи составляет следующая

Теорема 4. Пусть 0 < 11еа; < п + 2, 1 ^ р < д = • Тоща

на (Ьр) = {/ £ Ь, : Т£/ £ Ьр}.

< Вложение

На (Ьр) С {/(и) £ Ь, : Т*/ £ Ьр} (20)

вытекает из теорем 2 и 3. Докажем вложение

на (Ьр) Э {/(и) £ Ь, : т£/ £ Ь4,

обратное к (20).

Пусть / £ Обозначим р = ТД/. Справедливо равенство

{Н-Хср,ш) = {ср,Н-ш), ш£Ф,

которое обосновывается применением теоремы Фубини с учетом (Lp — Lq)-оценок оператора H^, приведенных в теореме 3. Здесь Hа — оператор с символом

/ n Ч а/2

m2 + 6т + — 1)^2 .

^ k=i '

Далее имеем

(Н-Х<р, ш) = (<р,Щш) = (ш^Щш}

= Й Щ = Й (/> ЩЩ- (21)

Последнее из равенств (21) вытекает из того, что сходимость в Lp влечет сходимость в Ф'.

С учетом (21) и (15), будем иметь:

{Н-хср,ои) = \\m(f,(WsMs + Ws)oj) = \im{(W5M5 + Ws)f,oj) = (f,oj). (22)

Второе из равенств (22) обосновывается применением неравенства Гёльдера при p > 1 и мажорантной теоремы Лебега при p =1.

Используя рассуждения, аналогичные применявшимся при переходе от (15) к (17), получаем:

= (H ш G S,

откуда вытекает, что f (x,t) = (H^<)(x, t) ^^я почти всех x G МП t G R1- Следовательно, f (x,t) G на (Lp) >

Литература

1. Samko S. G. Hypersingular integrals and their applications // Internat. Ser. Analytical Methods and Special Functions.—Vol. 5.—London-N. Y.: Taylor & Frances, 2002,—376 p.

2. Nogin V. A., Samko S. G. Method of approximating inverse operators and its applications to the inversion of potential-type integral transforms // Integral Transforms and Special Functions.—1999.— Vol. 6, № 2.—P. 89-104.

3. Ногин В. А., Сухинин E. В. Обращение и описание гиперболических потенциалов с Ьр-илотнос-тями // Докл. АН.—1993.—Т. 329, № 5.-С. 550.

4. Abramyan А. V., Nogin V. A. Integral transforms, connected with fractional powers of nonhomogeneous differential operators in Lp-spases // Integral Transforms and Special Functions.—1994.—Vol. 2, № 1,— P. 1.

5. Ногин В. А., Сухинин E. В. Дробные степени оператора Клейна —Гордона // Докл. АН.—1995.— Т. 341, № 2.-С. 166.

6. Abramyan А. V., Nogin V. A. Factional powers of differential operators of the second order with constant coefficients in Lp-spases // Докл. AH.—1995.—Vol. 341, № 3.—P. 295.

7. Karapetyants A. N., Nogin V. A. Complex powers of the second order non-homogeneous elliptic differential operators with degenerating symbols in the spaces Lp(Rn)) // Bol. Soc. Mat. Mexicana.— 2001.—Vol. 7.-P. 193-209.

8. Karasev D. N., Nogin V. A. On the boundedness of some potential-type operators with oscillating kernels // Mathematische Nachrichten.—2005.—Vol. 278, № 5.—P. 554-574.

9. Гиль А. В., Ногин В. А. Обращение и описание образов потенциалов с особенностями ядер на сфере // Владикавк. матем. журн.—2012.—Т. 14, № 4.—С. 10-18.

10. Гиль А. В., Ногин В. А. Описание функциональных пространств, связанных с обобщенными операторами Шредингера // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки.—2014.—№ 1.—С. 10-13.

11. Гиль А. В., Ногин В. А. Комплексные степени одного дифференциального оператора в Ьр-прост-ранствах // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки.—2014.—№ 5.—С. 5-10.

12. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного.—М.: Наука, 1966.— 630 "с.

13. Лизоркин П. И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов в теории вложений классов дифференцируемых функций // Тр. МИЛН.—1969.—Т. 105.—Р. 89-167.

14. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.—М.: Физмат-гиз, 1971.—1108 с.

15. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения.—Минск: Наука и техника, 1987.—688 с.

Статья поступила 16 мая 2016 г.

Гиль Алексей Викторович Южный федеральный университет, ассистент кафедры дифференц. и интегр. уравнений РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: [email protected]

Ногин Владимир Александрович Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН, старший научный сотрудник отдела мат. анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22; Южный федеральный университет, доцент кафедры дифференц. и интегр. уравнений РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: [email protected]

COMPLEX POWERS OF A DIFFERENTIAL OPERATOR RELATED TO THE SCHRÖDINGER OPERATOR

Gil A. V., Nogin V. A.

We study complex powers of the generalized Schrodinger operator in Lp (Rn+1) with complex coefficients in the principal part

d n d2

5* = m2/ + + " tXk)d^ (1) dXn+i k=1 °xk

where m > 0 b > 0 A = (A1;..., An), Ak > 0 1 < k < n. Complex powers of the operator S x with negative real parts on «sufficiently nice» functions p(x) are defined as multiplier operators, whose action in the Fourier pre-images is reduced to multiplication by the corresponding power of the symbol of the operator under consideration:

/ n \ -a/2

F ((S-a/2 ^ (C)=i(m2 + bCn+i - |C'|2 + i kC AkdJ m, (2)

where £ £ Rn+\ £' = (£i,..., £n), 0 < Re a < n + 2. We obtain integral representations for complex powers (2) as potential-type operators with non-standard metric. The corresponding fractional potentials have the form H£ Complex powers S-a/2ip, 0 < Re a <n + 2, are interpreted as distributions:

(S-Q!/V,u) = (p, p e

where $ ^s ^te ^^^^^^^n space of functions in S, whose Fourier transforms vanish on coordinate hyperplanes. Within the framework of the method of approximative inverse operators we describe the range H^ (Lp), 1 < p < . Recently a number of papers related to complex powers of second order degenerating differential operator was published (see survey papers [1-3J, and also [6-llJ). The case considered in our work is the most difficult, because of non-standard expressions for the potentials H P-

Key words: differential operator, range, multiplier, complex powers, method of approximative inverse operators.