Комплексные степени некоторых вырождающихся дифференциальных операторов, связанных с оператором Клейна-Гордона-Фока Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.983

КОМПЛЕКСНЫЕ СТЕПЕНИ НЕКОТОРЫХ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ, СВЯЗАННЫХ С ОПЕРАТОРОМ КЛЕЙНА-ГОРДОНА-ФОКА

© 2008 г. Д.В. Вожжов, В.А. Ногин

д2

2 ^

The theory of complex powers of the generalized Klein-Gordon-Fock operator m — □ — iA —— , X > 0, is constructed. Negative powers of

dx{

the mentioned operator are realized as potentials with nonstandard metric, positive powers, inverse to negative, - as approximative inverse operators.

В настоящей работе исследуются комплексные степени дифференциального оператора

? д' Оя =m¿ -гЛ—- , Л >0,т>0,

dxf

(1)

где □ = -

д

2

д

2

д

2

Получены оценки для оператора В" из Ьр в Ь +Ьа. В рамках метода аппроксимативных обрат-

ных операторов (АОО) построено обращение потен-

дх} дХ'

2

дх

2

волновой оператор циалов lí"<р. <peLp. Дано также описание образа

Ч их2 ^п

Комплексные степени оператора D¿ с отрицательными вещественными частями на «достаточно хороших» гладких функциях <р(х) определяются в образах Фурье равенством

(FDÁ 2 (р)(£) = (г2 (£) + т2 + <р(£), Rea > О (2)

и реализуются в виде интегралов типа потенциала:

K„

:0д(>0)

(.В"(р){х) = спа{Л) J -

R"

(wÄ(y))

п-а 2

-(p(x-y)dy. (3)

Здесь

™Л(У) = -

У1

1 + Г

~у2 '

-Уп~1

Лу{

2 '"и,a

2-а п-а п—1 2 2 т 2 е 2

, Kr

1 + Л

(z) - функция Макдо-

р ■

В"(Ьр) в терминах обращающих конструкций. Таким образом, в работе получены явные выражения для комплексных степеней с положительными вещественными частями оператора и описаны естественные области определения этих степеней.

В настоящее время имеется ряд работ по теории комплексных степеней вырождающихся дифференциальных операторов 2-го порядка с постоянными коэффициентами [2-11]. Рассмотренный здесь случай оператора Бд является одним из наиболее трудных, что обусловлено нестандартным видом дробных по-

тенциалов £>д 2 [3]. Последнее в свою очередь связано с наличием комплексного коэффициента в главной части указанного оператора (такая ситуация ранее не рассматривалась).

(2я-)2гфл/1 + //1 2

п-а 2 ^ сч *-2 (-2 1-2

нальдапорядка —, г (с) = -с2 •

Показано, что потенциалы В"ср сходятся при Л->-ьО к дробным потенциалам Клейна-Гордона-

Фока (по К") Оа(р = (т2 - □ ) 2 (р, изученным в [1]. При этом потенциалы (3) существенно отличаются по своим свойствам от потенциалов и <р .

На функциях <р(х) е Ьр отрицательные степени оператора I); понимаются в виде (3).

О пространствах 'Р|.Ф|

Пусть V - произвольное замкнутое множество в Н". Через Ч'у обозначим класс шварцевых функций, исчезающих вместе со всеми своими производными наУ: Чу = {/(х) е :/)(х) = 0,хе.У,\к\= 0,1,2,...}.

Пространство Ч^ - является счётно-нормирован-ным, полным относительно набора согласованных сравнимых норм, определяемых равенствами

def

I\N,V

sup \Ml-(x)\

\k\<N хей"

N

лк

(D> )(x)

N = 0,1,2,....

где MV(x)= max{/l+\ x |2,1^(x, V)},

p(x,V) = min| у — xI.

y^V

2

п

Через Фу обозначим пространство прообразов Фурье функций из Ч*у .

Пространства -.Ф(• были введены и изучены С.Г. Самко [2].

Комплексные степени !)л 2 на «хороших» функциях

Пусть Ф1 - пространство типа Фу, построенное по

координатной гиперплоскости Г = ¡¿; е М" : ^ = 0}. Комплексные степени оператора (1) с отрицательными вещественными частями на функциях сре- Ф| определим равенством (2). Заметим, что такое определение

корректно, так как функция (г2(^) + т2 2

является мультипликатором в пространстве Ч^ в силу теоремы из работы [2, теорема 2.20]. Интегральное представление для указанных степеней даёт следующая Теорема 1. Пусть Яеа>0, ср е Ф|. Справедливо равенство

п-1

(

Dx2(P

(х) = Éf <р J) .

(4)

(FB%<p){£) = -

ср&Ф1. (5)

Ga,m(x) = e 2 ßn(a)\ — \ " Kn-a(mx)-.

n-a

m \ 2

1-

a n

ßn(a) = 2 2 (2л) 2Г"1|||.

Действие оператора В" в I.р -пространствах

Следующая теорема описывает действие оператора В" в Ьр -пространствах.

Теорема 2. Пусть 0 < Яеог < п +1, 2« -1

1 < р <-. Тогда оператор В" ограниченно

п + Яе а - 2

действует из Ь„ в сумму пространств /.„ + /,Л. где

1 1 1

-1,

2n -1

< q < со .

Из (4) вытекает формула для преобразования Фурье потенциалов В"<р :

5 р ц п - Яе а +1 Обращение потенциалов В"ф с Ьр -плотностями

Ориентируясь на (5), левый обратный к В® оператор Т" будем строить в виде

(7Т/)(х)= Ш(Т13Г)(х), (6)

где (Т1з/)(Х)= | (г&уХОАя-ОЛ,

(г ?(£) + т 2 + Щ2)2 Кроме того, пространство Ф| инвариантно для

оператора В" .

Замечание 1. Поступая аналогично тому, как это делалось выше, можно определить комплексные степени 2 ср формулой (2) для ср с Фу, где V - ги-2 2

перболоид т +г (£) = 0 . В этом случае равенство (4) также справедливо для Яе« > 0.

r"s(.t) = F-1

а

S Л

(г2(if) + т2 + iÄ^2) 2 е &

(0 •

Предел в (6) понимается по Ьр -норме или почти

всюду.

Справедлива следующая Теорема 3. Пусть 0 < Яесс < п +1, 2и-1

1 <р<----,<реЬ Тогда (Т%ВЧ<р)(х) = <р(рс).

п + Кеа-2

Описание образа Bf(Lp)

Связь с дробными потенциалами Клейна-Гордона-Фока

Для функций (р е Фу, где V - гиперболоид 2 2

т + г (с) = 0 , справедливо равенство

lim (В"ср)(х) = (Gacp)(x), Rea >п — 2, где G> -дробный потенциал Клейна-Гордона-Фока в Rn с

символом (r2(^) + m2 +/0) 2 :

1

Gacp(x)= J GaJ (r¿(y)+i0y2 I<p(x-y)dy,

R"

Положим B%(Lp) = {f-.f = Bf<p,<p<=Lp},

0 < Rear < n +1. Основным результатом статьи является следующая

Теорема 4. Пусть 0 < Rea < п+1,

\< р <

2« -1

. Тогда Bf(Lp) =

= {/е+/,л: У?/егде Г? - оператор (6);

предел в (6) понимается по норме Ьр .

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, проект № 06 - 01 - 00297а.

Литература

х

2

n

R

1. Ногин В.А., Сухинин Е.В. Обращение и описание гиперболических бесселевых потенциалов с Lp -плотностями.

Ростов н/Д, 1993. 88 с. Рукопись деп. в ВИНИТИ 07.12.93. № 3027-В93.

2. Samko S.G. // Hypersingular Integrals and their Applications. Analytical Methods and Special Functions. London; New York, 2002. Vol. 5.

3. Samko S.G. // Integral Transforms and Special Functions. 1993. Vol. 1. № 2. P. 145 - 163.

4. Nogin V.A., Samko S.G. // Integral Transforms and Special Functions. 1999. Vol. 6. № 2. P. 89 - 104.

5. Nogin V.A., Samko S.G. // Fractional Calculus & Applied Analysis. 1999. Vol. 2. № 2. P. 202 - 228.

6. Karapetyans A.N., Nogin V.A. // Bol. Soc. Mat. Mexicana. 2001. Vol. 7. P. 193 - 209.

7. Karasev D.N., Nogin V.A. // Proceeding of A. Razmade Math. Inst. 2002. Vol. 129. P. 29 - 51.

8. Ногин В.А., Чеголин А.П. // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39. № 3. С. 402 - 409.

9. Karapetyans A.N., Karasev D.N., Nogin V.A. // Fractional Calculus & Applied Analysis. 2005. Vol. 8. № 2. P. 155 - 172.

10. Карасёв Д.Н., Ногин В.А. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Приложение. 2006. № 5. С. 3 - 7.

11. Chegolin A.P., Nogin V.A. // Integral Transforms and Special Functions. 2006. Vol. 17. № 6. P. 409 - 420.

Южный федеральный университет_23 марта 2007 г.