О решениях эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2015. T. 19, № 1. С. 44—62

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1386 УДК 517.956.25

О РЕШЕНИЯХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕСТЕПЕННЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ* *

Л. М. Кожевникова, А. А. Хаджи

Башкирский государственный университет, Стерлитамакский филиал,

Россия, 453103, Стерлитамак, ул. Ленина, 47 a.

Аннотация

В работе выделен некоторый класс анизотропных эллиптических уравнений второго порядка дивергентного вида с младшими членами с нестепенными нелинейностями

n

^^(aa(x, U, Хи))жа a0(x Vu) = 0.

a= 1

На каратеодориевы функции, входящие в уравнение, накладывается условие совокупной монотонности. Ограничения на рост функций формулируются в терминах специального класса выпуклых функций. Эти требования обеспечивают ограниченность, коэрцитивность, монотонность и семинепрерывность соответствующего эллиптического оператора. Для рассматриваемых уравнений с нестепенными нелинейностями исследованы качественные свойства решений задачи Дирихле в неограниченных областях Q С Rn, n ^ 2. Установлены существование и единственность обобщённых решений в анизотропных пространствах Соболева—Орли-ча. Кроме того, для произвольных неограниченных областей обобщены теоремы вложения анизотропных пространств Соболева—Орлича.

Это позволило доказать глобальную ограниченность решений задачи Дирихле. Использована оригинальная геометрическая характеристика для неограниченных областей, расположенных вдоль выделенной оси.

В терминах этой характеристики установлена экспоненциальная оценка скорости убывания на бесконечности решений рассматриваемой задачи с финитными данными.

Ключевые слова: анизотропное эллиптическое уравнение, пространство Соболева—Орлича, нестепенные нелинейности, существование решения, неограниченная область, ограниченность решения, убывание решения.

doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1386

© 2015 Самарский государственный технический университет.

Образец для цитирования

Кожевникова Л. М., Хаджи А. А. О решениях эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки,, 2015. T. 19, № 1. С. 44-62. doi: 10.14498/vsgtu1386.

Сведения об авторах

Лариса Михайловна Кожевникова (д.ф.-м.н., доц.; kosul@gmail.ru; автор, ведущий переписку), профессор, каф. математического анализа.

Анна Александровна Хаджи (anna_5955@mail.ru), старший преподаватель, каф. общенаучных дисциплин.

* Настоящая статья представляет собой расширенный вариант доклада [1], сделанного автором на Четвёртой международной конференции «Математическая физика и её приложения» (Россия, Самара, 25 августа - 1 сентября 2014).

44

О решениях эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями ...

Введение. Пусть Q — произвольная неограниченная область пространства Rn = {x = (x\,x2,... ,xn)}, Q C Rn, n ^ 2. Для анизотропного квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка рассматривается задача Дирихле

n

^(aa(x, u, Vu))Xa - ao(x, u, Vu)

a=1

u\dn 0

0, x e Q;

(1)

(2)

Предполагается, что функции aa(x,p0,p), a = 0,..., n, измеримы по x e Q для p = (po,p) = (po,pi,...,pn) e Rn+1, непрерывны по p e Rn+1 для почти всех x e Q. Ограничения на нелинейные функции aa(x,po,p), a = 0,... ,n, формулируются в терминах N-функций, они будут приведены ниже.

В работе исследуются вопросы существования, ограниченности и убывания на бесконечности решений задачи (1), (2) в неограниченных областях Q.

Существование решений для уравнений вида (1) в ограниченных областях изучалось в работах [2-5]. В нашей работе на каратеодориевы функции, входящие в уравнение, наряду с условием монотонности наложены требования, которые позволяют установить существование единственного обобщённого решения задачи (1), (2) в произвольной неограниченной области Q C Rn.

После нового доказательства теоремы Э. де Джорджи [6] при помощи итерационной техники, данного Ю. Мозером в работе [7], вопросы ограниченности и непрерывности по Гёльдеру обобщённых решений различных классов линейных и квазилинейных эллиптических уравнений с изотропными степенными нелинейностями исследовались в работах С. Н. Кружкова [8], Дж. Сер-рина [9], Е. М. Ландиса [10] и других авторов.

И. М. Колодий [11] установил ограниченность решений некоторого класса анизотропных эллиптических уравнений со степенными нелинейностями в ограниченных областях. При этом требование ограниченности области является существенным условием в его доказательстве. Для неограниченных областей этот результат был получен в работе [12]. Попытка А. Г. Королёва [13] осуществить дальнейшее распространение техники Мозера на эллиптические дифференциальные уравнения с анизотропными нестепеными нелинейностями содержит досадную ошибку.

Развивая метод априорных оценок для срезок [14, гл. II, § 5, лемма 5.1], В. С. Климов в работе [15] для некоторого вида изотропных эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями доказал глобальную ограниченность решений в ограниченных областях. А. Г. Королёв [16] получил интегральный вариант теоремы вложения для функций из пространства Соболе-ва—Орлича, на его основе он доказал ограниченность решений для некоторого класса анизотропных эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в ограниченных областях. Авторы настоящей статьи наложили требования на структуру уравнения, позволившие установить ограниченность решений в неограниченных областях.

Изучению поведения на бесконечности решений линейных эллиптических уравнений в неограниченных областях посвящены работы О. А. Олейник, Г. А. Иосифьяна [17], Е. М. Ландиса, Г. П. Панасенко, В. А. Кондратьева, И. Копачека, Д. М. Леквеишвили, О. А. Олейник [18], Л. М. Кожевнико-

45

Кожевникова Л. М., Хаджи А. А.

вой [19], Ф. Х. Мукминова, В. Ф. Гилимшиной [20] и других авторов. В работе [21] Л. М. Кожевниковой, Р. Х. Каримовым для решений квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка установлены оценки сверху и доказана их точность. Л. М. Кожевниковой, А. А. Хаджи [22] этот результат обобщён на некоторый класс анизотропных эллиптических уравнений второго порядка. Для уравнений с нестепенными нелинейностями исследование скорости убывания решений на бесконечности в неограниченных областях ранее не проводилось.

1. Пространства Соболева—Орлича. Приведём необходимые сведения из теории N-функций и пространств Соболева—Орлича [23]. Неотрицательная непрерывная выпуклая вниз функция M(z), z £ Ri называется N-функцией, если она чётна и

M(z) M(z)

lim-----= 0, lim -------= те.

z^0 Z z^-ж z

Отметим, что M(eu) ^ sM(u) при 0 < e ^ 1. Для N-функции M(z) имеет место интегральное представление

r|z|

M (z) = / m(t)dt,

J 0

где m(t) — положительная при t > 0, не убывающая и непрерывная справа функция при t ^ 0 такая, что

m(0) = 0, lim m(t) = те.

N-функция

M(z) = sup(y|z| - M(y))

y>0

называется дополнительной к N-функции M(z). Известно следующее неравенство Юнга:

|zy| < M(z) + M(y), z,y £ R. (3)

Кроме того, имеет место равенство

|z|m(|z|) = M(m(|z|)) + M(z), z ^ z0 z £ R. (4)

Для N-функций P(z), M(z) записывают P(z) -< M(z), если существуют числа l > 0, z0 ^ 0 такие, что

P(z) < M(1z).

N-функции P(z), M(z) называются сравнимыми, если имеет место одно из соотношений: P(z) -< M(z) или M(z) -< P(z). N-функции P(z) и M(z) называются эквивалентными, если P(z) -< M(z) и M(z) -< P(z).

N-функция M (z) удовлетворяет Д2-условию при больших значениях z, если существуют такие числа c > 0, z0 ^ 0, что M(2z) ^ cM(z) для любых z ^ z0. Д2-условие эквивалентно выполнению неравенства

M(1z) ^ c(1)M(z), z ^ z0, (5)

46

О решениях эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями ...

где l — любое число, большее единицы, c(l) > 0.

N-функция M(z) удовлетворяет Д2-условию тогда и только тогда, когда существуют положительные числа c > 1, z0 ^ 0 такие, что при z ^ z0 справедливо неравенство

zm(z) < cM(z). (6)

В каждом классе эквивалентных N-функций, подчиняющихся Д2-условию, имеются N-функции, удовлетворяющие неравенству (5) при всех z ^ 0. В дальнейшем в работе предполагается, что Д2-условие для рассматриваемых N-функций выполняется при всех значениях z ^ 0 (т. е. zo = 0).

Для N-функции M(z) ввиду выпуклости и неравенства (5) существует c > 0 такое, что справедливо неравенство

M(y + z) ^ cM(z) + cM(y), z,y ^ 0. (7)

Пусть Q C Rn. Классом Орлича Km(Q), соответствующем N-функции M(z), называется множество измеримых в Q функций v таких, что

/ M(v(x))dx < те.

JQ

Пространством Орлича Lm(Q) называется линейная оболочка Km (Q) с нормой Люксембурга

'Hlm(Q) = IIvIIm,q = inf jk > 0 J M^V(X^)dx < ^ .

При Q = Q будем использовать обозначение || ■ ||м,п = || ■ ||м. Класс Орлича Km(Q) совпадает с пространством Орлича Lm (Q) тогда и только тогда, когда M(z) удовлетворяет Д2-условию.

Для функций v G Lm (Q), u G L^ (Q) имеют место неравенство Гёльдера

u(x)v(x)dx

2|v|m,q

U|M,Q

(8)

и неравенство

||v||m,q ^ / M(v)dx + 1. (9)

Q

Кроме того, если N-функция M(z) удовлетворяет Д2-условию, то для v G Lm (Q) справедливы неравенства

dx ^ M l jj—т;---

|vIIm,q/ Jq V IIvIIm,q

dx ^

/ M(v)dx = M ( ||v|M,Q-j JQ JQ VI

^ c(l) / M ( — n~—J dx = c(l), l = max (||v||m,q, 1). (10) ./q VIIvIIm,q/

/q VI|vl|M,Q,

Лемма 1. Если N-функция M(z) удовлетворяет Д2-услови,ю, v(x), v*(x) G Lm(Q), i = 1,2,..., v*(x) ^ v(x) в Lm(Q), то

/ M(v*)dx ^ / M(v)dx,

,/q Jq

.

(11)

47

Кожевникова Л. М., Хаджи А. А.

Доказательство. Ввиду справедливости Д2-условия сходимость по норме равносильна сходимости в среднем [23, гл. II, § 9, теорема 9.4], следовательно, для любого е > 0 существует номер io такой, что

/ М(vi — v)dx < е, i ^ i0. JQ

(12)

Сходимость vi(x) ^ v(x) в Lm(Q) влечёт ограниченность множества Hv^Imq i = 1,2,.... В свою очередь, из неравенства (10) следует существование числа C1 > 0 такого, что

M(vi) < Ci, i = 1,2,.... (13)

Далее, пользуясь формулой Лагранжа, неравенствами (3), (5), для любого е £ (0,1] и фиксированного в £ [0,1] выводим

Q

(M (vi) — M (v))dx

^ |vi — v|m(|evi + (1 — e)v|)dx ^

Q

{m( 1(vi — v)) + M (em(|evi + (1 — e)v|))j dx ^

^ / {C2M(vi — v) + eM (m(|evi + (1 — e)v|))} dx. (14) Q

Применяя (4), (6), (7), устанавливаем цепочку неравенств

M (m(|evi + (1 — e)v|)) ^ |evi + (1 — e)v|m(|evi + (1 — e)v|) ^

< cM(evi + (1 — в)v) < Сз(М(vi) + M(v)). (15)

Соединяя (14), (15), (13), (12), при i ^ i0 получаем неравенства

Q

(M(vi) — M(v) ) dx

^ C2 / M(vi — v)dx + eCW (M(vi)+ M(v))dx ^ C4e.

QQ

Таким образом, сходимость (11) доказана. □

Пусть B1(z),..., Bn(z) — N-функции, определим пространство Соболева—

о i

Орлича HB(Q) как пополнение C0"(Q) по норме

Положим

lvHHB(Q) ^ Н^“ Hb“,Q.

а=1

1/n

h(t) = * "(ПB-i(t)

'o=1

и будем предполагать, что

/ t-1h(t)dt < те.

o

48

О решениях эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями ...

Тогда можно определить N-функцию B*(z) по формуле

(|z|

(B*) l(z) = t 1h(t)dt

о

Теоремы вложения для пространства H B(Q) установлены в [15,24]. Приведем теорему вложения А. Г. Королёва [24], доказанную для ограниченных областей Q.

◦ ..

Лемма 2. Пусть v GHB(Q). 1) Если

то

2) если

то

Здесь

/ГО

t-1h(t)dt = ж,

П

M|b*,Q ^ A1 ^ iv*“ llBa,Qi

a=1

/ГО

t-1h(t)dt < ж,

sup |v| < A2 V Ilvx„ ||Ba,Q. Q

Ai =

a=1

n-i, a2 = Г rndt.

n J о t

(16)

(17)

(18)

(19)

Замечание 1. Лемма 2 справедлива также и для произвольных неог-

◦1

раниченных областей Q С Rn. Действительно, пусть v(x) GH B(^), тогда существует последовательность vz(x) G Cq°(0) такая, что vz(x) ^ v(x) в

H B(^). Записывая неравенства (17), (19) для функций vl и выполняя пре-

◦1

дельный переход при i ^ ж, установим их и для функции v GHB(^).

Пример 1. Возьмём n = 2, B1(z) = z[5/4,3/2], B2(z) = z[5/3,2]. Здесь использовано обозначение

>,b] = / zB z < 1, z = \ zb, z > 1.

Поскольку

h(t) = t[1/5,1/12],

1

t-1h(t)dt

о

< ж,

1

t 1 h(t)dt

ж,

можно определить функции

(B*)-1(z) =

о

|z| t[1/5,1/12]

t

dt

5|z|1/5, z < 1

12|z|1/12 - 7, z > 1,

49

Кожевникова Л. М., Хаджи А. А.

B *(z)

(z/5)5, z < 5,

((z + 7)/12)12, z> 5.

При этом справедливо неравенство (17).

Пример 2. Положим n = 3, B1(z) = z[3/2,7/2], B2(z) = z[3,7], B3(z) = z[3,7/3]. Поскольку

h(t) = t[1/9,—1/21], / t-1h(t)dt < ж,

J 0

справедливо неравенство (19).

Если N-функция B*(z) удовлетворяет Д2-условию, то из (5) следует, что определена и конечна функция

Л^) = sup

t>0

B*(zt)

B*(t)

и при всех значениях t, z £ R справедливы неравенства

B*(tz) ^ B*(t)Л(z), Л(zt) ^ Л(z)Л(t).

Приведём еще одну теорему вложения А. Г. Королёва [16], доказанную также для ограниченных областей Q.

О 1

Лемма 3. Пусть v £H B(Q), выполнено условие (16) и функции Ba(z), a = 1, 2,...,n, B *(z) удовлетворяют Д2-условию, тогда справедливо неравенство

/ B *(v(x))dx ^ x(A3 Ba(vxa )dx) . (20)

JQ \ a=1JQ J

Здесь A3 зависит от n, x(z) = zЛ(z1/n), z ^ 0.

Замечание 2. Лемма 3 справедлива также и для произвольных неограниченных областей Q С Rn. Действительно, пусть v(x) £HB(^), тогда суще-

◦ 1

ствует последовательность v*(x) £ Сц°(П) такая, что v*(x) ^ v(x) в HB(^). Применяя лемму 1, имеем

/ Ba(uXa)dx Jn

I Ba(uxa )dx, n

a = 1,..., n,

/ B*(ul)dx ^ B*(u)dx, i ^ ж.

nn

Записывая неравенство (20) для функций иг, пользуясь непрерывностью функции x(z), выполняя предельный переход при i ^ ж, устанавливаем его и для

О 1

функции и £H B (^).

2. Формулировка основных результатов. Пусть существуют неотрицательные функции ^1(x),^(x) £ L1(Q), ^>-1(x), <^(x), ^1(x) £ L^(Q) такие, что для

50

О решениях эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями ...

п. в. x е Q, p = (p0,p), q = (q0,q) e Rn+i, P = q, справедливы следующие неравенства:

n n

^aa(x,po,p)p« ^ p(x)^ Ba(pa) - ф(х); (21)

a=0 a=0

nn

^B«(aa(x,po,p)) ^ ¥>i(x)£ Ba(pa) + ^i(x); (22)

a=0 a=0

n

^(a«(x,p0,p) - aa(x,q0,q))(pa - qa) > 0. (23)

a=0

Здесь B0(z), B1(z),..., Bn(z) — N-функции, удовлетворяющие Д2-условию. В случае выполнения условия (16) будем считать

B0(z) X B*(z),

а при выполнении (18) B0(z) —произвольная N-функция.

О i

Определим пространство Соболева—Орлича W B(Q) как пополнение Co°(Q) по норме

u

w B (П)

= IMIbo + l|u|

HB (П)

Определим оператор B : W B(Q) ^ L1(Q) формулой

B(v) = B0(v) + ^ Ba(vxa), v ею B(Q).

a=1

О

Пусть Q C Q (Q может совпадать c Q), для v eWB(Q) определим функционал A(u) (u еюB(Q)) равенством

(A(u),v)Q

/ Eaa(x,u, Vu)vxa JQK=i

+ a0(x, u, Vu)v

dx.

(24)

Если Q = Q, то будем писать (A(u),v)n = (A(u),v). Через || ■ ||m,Q будем обозначать норму в пространстве Lm(Q), 1 ^ m ^ те, при Q = Q индекс Q будет опускаться.

Определение 1. Обобщённым решением задачи (1), (2) назовём функцию

О i

u(x) eWB(Q), удовлетворяющую интегральному тождеству

(A(u), v) = 0

(25)

О

для любой функции v(x) eWB(Q). Пусть N-функции

Ba(z)

r\z\

I ba(t)dt

0

51

Кожевникова Л. М., Хаджи А. А.

кроме Д2-условия удовлетворяют требованию

lim inf

Л^те z>0 ba(z)

ж, a = 0,1,... ,n.

(26)

Пример 3. Легко проверить, что функция

B(u) = |u|a(| ln |u|| + 1), a> 1, удовлетворяет Д2-условию и (26).

Теорема 1. Пусть выполнены условия (21)-(23), (26), тогда существует единственное решение u(x) задачи (1), (2) и Ml > 0 такое, что справедлива оценка

||B(u)||i < MiUWi. (27)

При дополнительном требовании, согласно которому

П

функция £« a (x,p0,p)pa

a=1

доказана ограниченность решения задачи (1), (2).

монотонно не убывает при монотонно не возрастает при

Ро Ф 0,

Ро < 0 J ,

(28)

Теорема 2. Пусть выполнены условия (21)-(23), (28), (26), ция B*(z) удовлетворяет Д2-условию и

(16), N-функ-

ф е Ll/(l-l)(Q), I ^ 1,

(29)

где l такое, что t1/l M(t1/(ln)) ^ 0 при t ^ 0. Тогда для обобщённого решения задачи (1), (2) u(x) существует М2 > 0 такое, что справедлива оценка

sup |u| ^ M2. (30)

п

Замечание 3. В случае выполнения условия (18) ограниченность решения задачи (1), (2) следует из неравенств (19), (27).

Далее приведём результат для областей, расположенных вдоль выделенной оси Oxs, s е {1, 2,..., n} (область Q лежит в полупространстве xs > 0, сечение yr = {x е Q | xs = r} не пусто, связно и ограничено при любом r > 0). Ниже будет использовано следующее обозначение:

Qf[s] = {x е Q | c < xs < d},

при этом значения c = 0, d = ж опускаются.

C целью изучения поведения решения задачи (1), (2) при xs ^ ж определим функции

Vi(r)

inf sup

vecg°(n)

z

Bi(zv)dx's ^ Bi(vxi)dx's

Yr

>Yr

(31)

52

О решениях эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями ...

v s(x) = min щ(х),

i=1,n,i=s

где x's = {X1,X2, . . . ,Xs-1,Xs+1, ... ,Xn}.

Пусть существуют числа в ф 0, i = 1,... ,n, i = s, 0 < z* ф то такие, что

n

Bs(z) ^ ^ fiiBi(z), 0 ^ z ^ z*. (32)

i=1,i=s

Предположим, что

supp фь ф C {x G Rn | Xs < R0}, R0 > 0. (33)

В следующей теореме установлена оценка, характеризующая скорость убывания решения при Xs ^ то.

Теорема 3. Пусть область Q расположена вдоль оси Oxs, s G {1, 2,..., n} и выполнены условия (21)-(23), (26), (32), (33). Если z* = то, то решение задачи (1)-(2) предполагается ограниченным. Тогда существуют положительные числа к, M такие, что при всех r ф 2R0 справедлива оценка

В(и)У1,пг ^ M exp( — к v* (p)dp

\ J2Rq

(34)

где v**(p) = min{vs(p), z*}.

3. Существование и единственность обобщённого решения. Обозначим ||<р||те = а, ||1/<р||те = 1/а, = а1. Покажем, что определение обоб-

щённого решения задачи (1), (2) корректно. Из условия (22) и неравенства (9) следует оценка

Y1 ||aa(x,u, Vu)lba <

а=0

n «

^ S Ba(aa(x,u, Vu))dx + n + 1 ^ a1|B(u)|1 + |ф111 + n + 1. (35)

a=0Jo

Используя неравенство Гёльдера (8) и оценку (35), для функций u(x),

О 1

v(x) G Wb(^) выводим

|(A(u),v)| ^ X(s |aa(x, и, Vu)||vxa | + |ao(x,u, Vu)||v|^ dx ^

a=1

< 2Y1 U, Vu)|Ba IKa II Ba + 2||a0(x,U Vu)|B0 IMB <

a=1

< C1IMUi (0) < то. (36)

w B(0)

Таким образом, интегралы, входящие в (25), конечны.

53

Кожевникова Л. М., Хаджи А. А.

Замечание 4. Из условий (26) следует существование Ао > 0 такого, что для любых А ^ Ао и любых z ^ 0 справедливы неравенства

ba(Az) ^ 2ba(z), a = 0,1 ,...,n.

Последние неравенства обеспечивают выполнение для любых z G R условий

B«(z) ^

1

2А

Ba(Az),

А ^ Ао, a

0, 1, . . . , n.

Тогда, согласно [23, I, § 4, теорема 4.2], N-функции Ba(z), a = 0,1,...,n, удовлетворяют Д2-условию.

Доказательство теоремы 1. Единственность следует из условия строгой монотонности (23). Полагая в равенстве (25) v = u, применяя (21), получаем неравенство (27). Точно так же выводится неравенство

a||B(u)||i ^ ||^||i + (A(u),u). (37)

По элементу u GWB(^) определим элемент A(u) G (wB(^)/ равенством (24). Оператор A определён (см. (36)), проверим условия теоремы Ж. Л. Ли-онса [25, гл. II, § 2, теорема 2.1].

1) Из неравенств (36), (35), согласно (9), следует слабая ограниченность

О i

множества {A(u),u G 0} на ограниченном множестве 0 CW B(^). Тогда {A(u),u G 0} ограничено в ^WB(^)) , т. е. оператор A ограничен.

2) Монотонность оператора A обеспечивается условием (23).

3) Докажем коэрцитивность оператора A. Пользуясь (37), выводим

(A (u),u)

||u|| о,

VB(Q)

u

(a||B(u)||i - Н^НО =

twB(h)

\uН 001 /о\ + IIu|Bo

hB (П)

r- J Ba(Uxa) + Bo(u)j dx - C2

1

1

(38)

Далее из условий (26) следует, что для любого R > 0 найдётся А0 > 0 такое, что при достаточно больших ||u||b0 > А0, ||uXa||ва > А0, a = 1,...,n, справедливы неравенства

bo(|u|) > Rbo(, ba(|uxa |) > Rba(.. ^1 ), a = 1,..., n. (39 4u Bn' V Ux„ '

uxa 1

Пусть Hu1

V0B(Q)

I Bo' 4|uxn l|Ba

A ж при i ^ ж, можно считать, что

|uX1 ||в1 +... + lluXn IIb„ + IHk > (n + 1)Ao, i ^ io.

При каждом i ^ iо найдётся хотя бы одно слагаемое больше Ао. Пусть для определённости при фиксированном i ^ зд наибольшим является первое слагаемое:

|uX1 ||в1 > Ао.

54

О решениях эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями ...

Соединяя (38), (6), получаем

(A(ul),ul) > a 1

c(n + 1)»“Х.Ив,

I \игХ1 \bi(\ulxi |)dx -п

C2

(n + 1)Ao ’

Далее, применяя (39), выводим

(А(иг), иг)

^ R-.

Сз

uk

Wв(П)

uXi IIв, Jn

/ |uXiк iiU^xi B)dx - C4 >

Jn ' |ux, Ив,'

> RC3 f В A.. uX1 )dx - C4 = RC3 - C4 . Jq 4luXi IIbi'

Таким образом, ввиду произвольности R и i, i ^ io, установлена коэрце-тивность оператора А.

4) Семинепрерывность оператора А вытекает из непрерывности функций aa(x,p0,p), a = 0,1,..., n, по (p0,p) G Rn и теоремы Лебега.

Согласно теореме Ж. Л. Лионса [25, гл. II, § 2, теорема 2.1] существует

О i О 1

u GW B(Q) такая, что A(u) = 0. Таким образом, для любого v GW B(Q) справедливо тождество (25). □

4. Ограниченность решения. Доказательство теоремы 2 основано на применении следующей леммы [16].

Лемма 4. Пусть N-функция B*(z) удовлетворяет А2-условию, p(t) — неотрицательная невозрастающая функция на [а, ж) такая, что

p(h) ^ cg0(p(k))/В* (h - k), h> k > а,

где g0(t), t ^ 0 — функция, удовлетворяющая условиям

go(zt) ^ g0(z)g0(t), t/g0(t) ^ ж при t ^ 0.

Тогда существует число g > 0 такое, что р(а + g) = 0.

Доказательство теоремы 2. Для k > 0 определим функцию

u(k) = sign u max(\u\ - k, 0).

Из принадлежности u gWB(Q) следует принадлежность u(k) gWB(Q), кроме

того, uXa = uX} на множестве Ek = {x G Q \ \u(x)\ ^ k}. Пользуясь (27), выводим

mesEkB0(k) ^ B0(u)dx ^ B0(u)dx ^ Ci,

J Ek J П

откуда следует

mes Ek ^

Ci

B0(k).

v

Из определения множества Ek имеем u(k)(x) =0 в Rn\Ek. В (25) положим u(k), тогда получим

(A(u), u(k'))Ek = 0.

55

Кожевникова Л. М., Хаджи А. А.

Из условия (23) следует неравенство

(ao(x, u, Vu) — a0(x, u(k), Vu(k)))(u — u(k)) ^ 0 для x e Ek, из которого несложно установить

a0(x,u, Vu)u(k) ^ a0(x, u(k), Vu(k))u(k).

Кроме того, из (28) вытекает

aa(x,u, Vu(k))uk ^ aa(x, u(k), Vu(k))u!

(k)

la '

a=1

a=1

Таким образом, справедливо неравенство

(A(u(k)),u(k))Ek < 0. Далее, применяя (21), выводим соотношение

a||B(u(k))||i,Ek ^ ИВУi,Ek, из которого, согласно (29), получаем

Л Ю

/ £Ba(uXr)dx < |B(u(k))|i,Ek <

7Ek a=1

^ C2H^Hi/(i-i)(mesEk)1/l = C^mesEk)1/l. (40 Имеет место следующая цепочка неравенств: Vh > k Eh С Ek и

B*(h — k) mesEh B*(| u | —k)dx =[ B*(u(k))dx B*(u(k))dx.

JEh J Eh J Ek

Тогда из (40), применяя (20), выводим

B*(h — k) mes Eh ^ x(C4(mes Ek)1/l) ^ C5x((mes Ek)1/l).

Утверждение теоремы вытекает из леммы 4, применённой к функциям y(t) = = mes Et и g0(t) = x(t1/l) = t1/lЛ^1/(1п)). □

5. Убывание решения. Далее будем предполагать, что область Q располо-

О 1

жена вдоль выделенной оси Oxs, s e {1, 2,..., n}. Для функций v(x) eH B(И) имеет место аналог неравенства Фридрихса:

[ Bs(V(x)) dx ^ [ Bs(vxs (x))dx, r > 0, (41)

JQr \ r / JQr

(см. [26, неравенство (57)]).

56

О решениях эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями ...

Доказательство теоремы 3. Пусть 0+(х), х > 0 — абсолютно непрерывная функция, равная единице при х ^ г, нулю при х ф Ro, линейная при х € [Ro, 2R0] и удовлетворяющая уравнению

0+ (х) = 5v*(х)0+(х), х € (2R0,r), (42)

(постоянную 5 определим позднее). Решая это уравнение, находим

0+(х) = exp ( —5 1 v*(p)dp) , х € (2R0,r),

тогда имеем

0+ (х) = ^+^2Ro) = -Lexp f—5 / v*(p)dp^ , х € (Ro,2Ro). R0 Ro у J2R0 J

Ro R0 \ J2R0

Подставив в (25) v = п0+(х3), получим

(43)

r

+ a0(x, п, Vn)n

0+(х3) +

+ as(x,n, Vn)n0+ (х3 ) > dx = 0.

Используя (21), (42), (43), (33) и учитывая, что носители функций 0 и ф, ф\ не пересекаются, получим

a / 0+(х3)B(u)dx ф / |n||as(x,n, Vn)|5v*(xs)0+(xs)dx+

JQ JQ2 r

2R0

+ / ,n |n| |as(x,n, Vn)|

JqIRo

0+(2Ro) dx = h + /2. (44)

Ro

Далее, пользуясь неравенством v*(х3) ф z* и ограниченностью функции n(x) (см. (30)), при помощи (22), (32) в предположении |M2 ф 1 оценим первый интеграл:

Qr

Q2Ro

/1 Ф I 0+(х*) ( Bs(eas(x,n, Vn)) + B^nv*s(х3)-JJ dx ф

f ( n 5 \

Ф 0+(хзД-aiB(n) + ^ вгB^nvг(xз)-jjdx.

■'q2r„ \ „—1 ,• -/c - /

i=1,i=s

Выберем теперь - = a/(4a1), а также 5 так, чтобы

5 , .__1 5 a

- ф max{ 1, M2 }, - max pi ф —.

- - i=1,n,i=s 4

0

57

Кожевникова Л. М., Хаджи А. А.

Тогда, воспользовавшись определением (31) функций получим

Ii ^ (4 d+(xs)( B(u) + ^ Bi(uvi)) dx ^

' П2Л0 ' i=1,i=s '

^ \i °+(xs)(B(u) + ^ Bi(uXiЛdx ^ |/ 0+(xs)B(u)dx.

^ П2Л0 ' i=1,i=s ' •* П2Л0

Теперь, используя условие (22) и неравенства (41), (5), выводим

/2 ^ в+(2Ео) J 2Ro ^Bs(RR) + Bs(as(x, u, Vu)) j dx ^

Л0

^ 9+(2Ro) [ (Bs(2uxs) + aiB(u))dx ^ 0+(2Ro)CiyB(u)yi П2Л0.

7п2Л0

Подставляя в (44) оценки для /1Д2 и применяя (27), выводим (34). □

Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 13-01-00081-a).

ORCID

Лариса Михайловна Кожевникова: http://orcid.org/0000-0002-6458-5998 Анна Александровна Хаджи: http://orcid.org/0000-0003-0979-5893

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кожевникова Л. М., Хаджи А. А. О решениях эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях / Четвертая международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: материалы конф.; ред. чл.-корр. РАН И. В. Волович; д.ф.-м.н., проф. В. П. Радченко. Самара: СамГТУ, 2014. С. 199-200.

2. Вишик М. И. О разрешимости первой краевой задачи для квазилинейных уравнений с быстрорастущими коэффициентами в классах Орлича // ДАН СССР, 1963. Т. 151, №4. С. 758-761.

3. Дубинский Ю. А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях// Матем. сб, 1965. Т. 67(109), №4. С. 609-642.

4. Donaldson T. Nonlinear elliptic boundary value problems in Orlicz-Sobolev spaces // J. Diff. Eq., 1971. vol. 10, no. 3. pp. 507-528. doi: 10.1016/0022-0396(71)90009-x.

5. Климов В. С. Краевые задачи в пространствах Орлича-Соболева / Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений. Ярославль: Ярославский государственный университет, 1976. С. 75-93.

6. De Giorgi E. Sulla differenziabilita e l’analiticita delle estremali degli integrali multipli regolari // Mem. Acad. Sci. Torino, Serie III, 1957. vol. 3. pp. 25-43 (In Italian) ; De Giorgi E. On the differentiability and the analiticity of extremals of regular multiple integrals / Selected papers; eds. Luigi Ambrosio, Gianni Dal Maso, Marco Forti, Mario Miranda, and Sergio Spagnolo. Berlin, New York: Springer-Verlag, 2006. pp. 149-166.

7. Moser J. A new proof of de Giorgi’s theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations// Comm. Pure Appl. Math., 1960. vol. 13, no. 3. pp. 457-468. doi: 10. 1002/cpa.3160130308.

8. Кружков С. Н. Априорные оценки и некоторые свойства решений эллиптических и параболических уравнений// Матем. сб., 1964. Т. 65(107), №4. С. 522-570.

58

О решениях эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями ...

9. Serrin J. Local behavior of solutions of quasi-linear equations // Acta Math., 1964. vol. Ill, no. 1. pp. 247-302. doi: 10.1007/BF02391014.

10. Ландис Е. М. Новое доказательство теоремы Е.Де Джорджи/ Тр. ММО, Т. 16. М.: Издательство Московского университета, 1967. С. 319-328.

11. Колодий И. М. Об ограниченности обобщенных решений эллиптических дифференциальных уравнений// Вестн. Моск. унив., Сер. 1, 1970. №5. С. 45-52.

12. Кожевникова Л. М., Хаджи А. А. Ограниченность решений анизотропных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях // Уфимск. матем. журн., 2014. Т. 6, №2. С. 67-77.

13. Королев А. Г. Об ограниченности обобщенных решений эллиптических дифференциальных уравнений с нестепенными нелинеиностями// Матем. сб., 1989. Т. 180, №1. С. 78-100.

14. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 578 с.

15. Климов В. С. Теоремы вложения для пространств Орлича и их приложения к краевым задачам// Сиб. матем. журн., 1972. Т. 13. С. 334-348.

16. Королев А. Г. Об ограниченности обобщенных решений эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями// Матем. заметки, 1987. Т. 42, №2. С. 244-255.

17. Олейник О. А., Иосифьян Г. А. О поведении на бесконечности решений эллиптических уравнений второго порядка в областях с некомпактной границей// Матем. сб., 1980. Т. 112(154), №4(8). С. 588-610.

18. Кондратьев В. А., Копачек И., Леквеишвили Д. М., Олейник О. А. Неулучшаемые оценки в пространствах Гельдера и точный принцип Сен-Венана для решений бигармонического уравнения / Современные проблемы математики. Дифференциальные уравнения, математический анализ и их приложения: Сборник статей. Посвящается академику Льву Семеновичу Понтрягину к его семидесятипятилетию / Тр. МИАН СССР, Т. 166, 1984. С. 91-106.

19. Кожевникова Л. М. Поведение на бесконечности решений псевдодифференциальных эллиптических уравнений в неограниченных областях// Матем. сб., 2008. Т. 199, №8. С. 61-94. doi: 10.4213/sm4235.

20. Гилимшина В. Ф., Мукминов Ф. Х. Об убывании решения неравномерно эллиптического уравнения// Изв. РАН. Сер. матем., 2011. Т. 75, №1. С. 53-70. doi: 10.4213/im3292.

21. Кожевникова Л. М., Каримов Р. Х. Поведение на бесконечности решений квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях // Уфимск. матем. журн., 2010. Т. 2, №2. С. 53-66.

22. Кожевникова Л. М., Хаджи А. А. Решения анизотопных эллиптических уравнений в неограниченных областях// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013. Т. 1(30). С. 90-96. doi: 10.14498/vsgtu1163.

23. Рутицкий Я. Б., Красносельский М. А. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматлит, 1958. 587 с.

24. Королев А. Г. Теоремы вложения анизотропных пространств Соболева-Орлича // Вестн. Моск. унив., Сер. 1, 1983. №1. С. 32-37.

25. Лионс Ж. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 596 с.

26. Андриянова Э. Р. Оценки скорости убывания решения параболического уравнения с нестепенными нелинейностями// Уфимск. матем. журн., 2014. Т. 6, №2. С. 3-25.

Поступила в редакцию 15/XII/2014; в окончательном варианте — 13/II/2015; принята в печать — 25/II/2015.

59

Кожевникова Л. М., Хаджи А. А.

Vestn. Samar. Gos. Techn. Un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki

[J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2015, vol. 19, no. 1, pp.44—62

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1386

MSC: 35J62, 35J25, 35J15

ON SOLUTIONS OF ELLIPTIC EQUATIONS WITH NONPOWER NONLINEARITIES IN UNBOUNDED DOMAINS*

L. M. Kozhevnikova, A. A. Khadzhi

Sterlitamak Branch of Bashkir State University,

47 a, Lenin st., Sterlitamak, 453103, Russian Federation.

Abstract

The paper highlighted some class of anisotropic elliptic equations of second order in divergence form with younger members with nonpower nonlinearities

n

^ Vu))xa «0(Х, U, Vu) 0.

a= 1

The condition of total monotony is imposed on the Caratheodory functions included in the equation. Restrictions on the growth of the functions are formulated in terms of a special class of convex functions. These requirements provide limited, coercive, monotone and semicontinuous corresponding elliptic operator. For the considered equations with nonpower nonlinearities the qualitative properties of solutions of the Dirichlet problem in unbounded domains 0 C Rn, n ^ 2 are studied. The existence and uniqueness of generalized solutions in anisotropic Sobolev-Orlicz spaces are proved. Moreover, for arbitrary unbounded domains, the Embedding theorems for anisotropic Sobolev-Orlicz spaces are generalized. It makes possible to prove the global boundedness of solutions of the Dirichlet problem. The original geometric characteristic for unbounded domains along the selected axis is used. In terms of the characteristic the exponential estimate for the rate of decrease at infinity of solutions of the problem with finite data is set.

Keywords: anisotropic elliptic equations, Sobolev-Orlicz space, nonpower nonlinearity, the existence of solution, unbounded domains, boundedness of solutions, decay of solution.

doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1386

© 2015 Samara State Technical University.

How to cite Reference

Kozhevnikova L. M., Khadzhi A. A. On solutions of elliptic equations with nonpower nonlinearities in unbounded domains, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2015, vol. 19, no. 1, pp. 44-62. doi: 10.14498/vsgtu1386. (In Russian)

Authors Details

Larisa M. Kozhevnikova (Dr. Phys. & Math. Sci.; kosul@gmail.ru; Corresponding Author), Professor, Dept. of Mathematical Analysis.

Anna A. Khadzhi (anna_5955@mail.ru), Senior Teacher, Dept. of Scientific Disciplines.

*This paper is an extended version of the paper [1], presented at the Mathematical Physics and Its Applications 2014 Conference.

60

О решениях эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями ...

Acknowledgments. This work has been supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 13-01-00081-a).

ORCID

Larisa M. Kozhevnikova: http://orcid.org/0000-0002-6458-5998 Anna A. Khadzhi: http://orcid.org/0000-0003-0979-5893

REFERENCES

1. Kozhevnikova L. M., Khadzhi A. A. On solutions of elliptic equations with nonpower nonlinearities in unbounded domains, The fnd International Conference “Mathematical Physics and its Applications”, Book of Abstracts and Conference Materials; eds. I. V. Volovich; V. P. Radchenko. Samara, Samara State Technical Univ., 2014, pp. 199200 (In Russian).

2. Vishik M. I. Solvability of the first boundary value problem for quasilinear equations with rapidly increasing coefficients in Orlicz classes, Sov. Math., Dokl., 1963, vol. 4, pp. 1060-1064 (In Russian).

3. Dubinskii Yu. A. Weak convergence for nonlinear elliptic and parabolic equations, Mat. Sb. (N.S.), 1965, vol. 67(109), no. 4, pp. 609-642 (In Russian).

4. Donaldson T. Nonlinear elliptic boundary value problems in Orlicz-Sobolev spaces, J. Diff. Eq., 1971, vol. 10, no. 3, pp. 507-528. doi: 10.1016/0022-0396(71)90009-x.

5. Klimov V. S. Boundary value problems in Orlicz-Sobolev spaces, Kachestvennye i priblizhennye metody issledovaniia operatornykh uravnenii [Qualitative methods for investigating operator equation]. Yaroslavl, Yaroslavl State Univ., 1976, pp. 75-93 (In Russian).

6. De Giorgi E. Sulla differenziabilita e l’analiticita delle estremali degli integrali multipli regolari, Mem. Acad. Sci. Torino, Serie III, 1957, vol. 3, pp. 25-43 (In Italian) ; De Giorgi E. On the differentiability and the analiticity of extremals of regular multiple integrals, Selected papers; eds. Luigi Ambrosio, Gianni Dal Maso, Marco Forti, Mario Miranda, and Sergio Spagnolo. Berlin, New York, Springer-Verlag, 2006, pp. 149-166.

7. Moser J. A new proof of de Giorgi’s theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations, Comm. Pure Appl. Math., 1960, vol. 13, no. 3, pp. 457-468. doi: 10. 1002/cpa.3160130308.

8. Kruzhkov S. N. A priori bounds and some properties of solutions of elliptic and parabolic equations, Mat. Sb. (N.S.), 1964, vol. 65(107), no. 4, pp. 522-570 (In Russian).

9. Serrin J. Local behavior of solutions of quasi-linear equations, Acta Math., 1964, vol. 111, no. 1, pp. 247-302. doi: 10.1007/BF02391014.

10. Landis E. M. A new proof of E. De Giorgi’s theorem, Tr. Mosk. Mat. Obs., 16. Moscow, MSU, 1967, pp. 319-328 (In Russian).

11. Kolodij I. M. The boundedness of generalized solutions of elliptic differential equations, Mosc. Univ. Math. Bull., 1972, vol. 25, no. 5-6, pp. 31-37.

12. Kozhevnikova L. M., Khadzhi A. A. Boundedness of solutions to anisotropic second order elliptic equations in unbounded domains, Ufa Math. Journal, 2014, vol. 6, no. 2, pp. 66-76. doi: 10.13108/2014-6-2-66.

13. Korolev A. G. On boundedness of generalized solutions of elliptic differential equations with nonpower nonlinearities, Math. USSR-Sb., 1990, vol. 66, no. 1, pp. 83-106. doi: 10.1070/ SM1990v066n01ABEH001166.

14. Ladyzhenskaya O. A., Ural’tseva N. N. Linear and quasilinear elliptic equations, Mathematics in Science and Engineering, vol. 46. New York, London, Academic Press, 1968, xviii+495 pp.

15. Klimov V. S. Imbedding theorems for Orlicz spaces and their applications to boundary value problems, Sib. Math. J., 1972, vol. 13, pp. 231-240. doi: 10.1007/BF00971611.

16. Korolev A. G. Boundedness of the generalized solutions of elliptic equations with nonpower nonlinearities, Math. Notes, 1987, vol. 42, no. 2, pp. 639-645. doi: 10.1007/BF01240452.

61

Кожевникова Л. М., Хаджи А. А.

17. Oleinik O. A., Iosif’yan G. A. On the behavior at infinity of solutions of second order elliptic equations in domains with noncompact boundary, Math. USSR-Sb., 1981, vol. 40, no. 4, pp. 527-548. doi: 10.1070/SM1981v040n04ABEH001849.

18. Kondrat’ev V. A., Kopacek J., Lekveishvili D. M., Oleinik O. A. Sharp estimates in Holder spaces and precise Saint-Venant principle for solutions of the biharmonic equation, Proc. Steklov Inst. Math., 1986, vol. 166, pp. 97-116.

19. Kozhevnikova L. M. Behaviour at infinity of solutions of pseudodifferential elliptic equations in unbounded domains, Sb. Math., 2008, vol. 199, no. 8, pp. 1169-1200. doi: 10.1070/ SM2008v199n08ABEH003958.

20. Gilimshina V. F. On the decay of solutions of non-uniformly elliptic equations, Izv. Math., 2011, vol. 75, no. 1, pp. 53-71. doi: 10.1070/IM2011v075n01ABEH002527.

21. Karimov R. Kh., Kozhevnikova L. M. Behavior on infinity of decision quasilinear elliptical equations in unbounded domain, Ufimsk. Mat. Zh., 2010, vol. 2, no. 2, pp. 53-66 (In Russian).

22. Kozhevnikova L. M., Khadzhi A. A. Solutions of anisotropic elliptic equations in unbounded domains, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2013, vol. 1(30), pp. 90-96 (In Russian). doi: 10.14498/ vsgtu1163.

23. Krasnosel’skij M. A.; Rutitskij Ya. B. Convex functions and Orlicz spaces. Groningen, P. Noordhoff Ltd., 1961, ix+249 pp.

24. Korolev A. G. Embedding theorems for anisotropic Sobolev-Orlicz spaces, Mosc. Univ. Math. Bull., 1983, vol. 38, no. 1, pp. 37-42.

25. Lions J. L. Some methods in the mathematical analysis of systems and their control. Beijing, China, Science Press; New York: Gordon and Breach, Science Publishers, Inc, 1981, xxiii+542 pp.

26. Andriyanova E. R. Estimates of decay rate for solution to parabolic equation with non-power nonlinearities, Ufa Math. Journal, 2014, vol. 6, no. 2, pp. 3-24. doi: 10.13108/2014-6-2-3.

Received 15/XII/2014;

received in revised form 13/II/2015;

accepted 25/II/2015.

62