Поведение решений эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 8. № 3 (2016). С. 99-112.

ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С НЕСТЕПЕННЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

Р.Х. КАРИМОВ, Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ХАДЖИ

Аннотация. Для некоторого класса эллиптических уравнений с нестепенными нели-нейностями установлены оценки, характеризующие скорость убывания при |ж| ^ те решений задачи Дирихле в неограниченных областях.

Ключевые слова: анизотропное эллиптическое уравнение, нестепенные нелинейности, пространство Соболева-Орлича, неограниченная область.

Mathematics Subject Classification: 35J62

Введение

Пусть П — произвольная неограниченная область пространства R = {х = (х\, х2,..., хп)}, П С Mn, п > 2. Для анизотропных квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка рассматривается задача Дирихле

"Y^(aa(x,u, Vu))Xa - ао(х,и, Vu) = 0, х Е П; (0.1)

= 0. (0.2)

а= 1

и

дП

Предполагается, что функции аа(х,80,8), а = 0,...,п, измеримы по х € П для б = (во, в) = (во, ... , вп) € Мп+1, непрерывны по б € Кга+1 для почти всех х € П. Пусть существуют положительные числа а, А и измеримые неотрицательные функции ф(х), Ф(ж), такие, что для п.в. х € П и б = (з0,в), 1 = (Ь0,1) € Кга+1, б = 1 справедливы неравенства:

п п

^2аа(х,зо,з)за > а^Ва(ва) - ф(х); (0.3)

а=0 а=0

п п

J2Ba(aa(x,so,s)) ^ Ba(sa) + ^(x); (0.4)

а=0 а=0

п

"Y^(aa(x, so, s) - аа(х, to,t))(sa - ta) > 0. (0.5)

(aa\

a=0

Здесь B0(z),Bi(z), ...,Bn(z) — Ж-функции удовлетворяющие Д2-условию, а B0(z),Bx(z), ...,Bn(z) — дополнительные к ним (см. §1).

R.Kh. Karimov, L.M. Kozhevnikova, A.A. Khadzhi, Behavior of solutions to elliptic equations with non-power nonlinearities in unbounded domains. © каримов Р.Х., кожевникова Л.М., хаджи А.А. 2016.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 16-31-50034/16). Поступила 19 ноября 2015 г.

В качестве примера можно рассмотреть уравнение

п

£(К (иХа ) + fa(x))Xa - В> (и) - fo(x) = 0 (0.6)

а= 1

с непрерывно дифференцируемыми Ж-функциями B0(z), B1(z), ...,Bn(z) (см. лемму 4).

Начиная с 70-х гг. прошлого столетия (см. [1]-[4]) и по настоящее время ведутся интенсивные исследования качественных свойств решений эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями как второго, так и высокого порядков. Решения краевых задач для уравнений вида (0.1) с функциями а0 (х, s),a1(x, s),...,an(x, s), имеющими не обязательно полиноминальный рост по переменным So, Si,... , sn, рассматривались, в основном, в ограниченных областях. Так, в работе [5] в ограниченной области Q исследовалась задача Дирихле для нелинейного эллиптического включения с вектор-функцией a(x, s) = (а1(х, s),... , ап(х, s)), удовлетворяющей нестандартным условиям роста, описанных в терминах N-функций, зависящих от х. Доказано существование ренормализован-ного решения, а при условии строгой монотонности установлена его единственность.

Краевые задачи в неограниченных областях для квазилинейных эллиптических уравнений со степенными нелинейностями также исследовались в многочисленных работах [6], [7]. Следует отметить, что решение эллиптической задачи в неограниченной области с несуммируемыми данными принадлежит соответствующему пространству локально сумммируемых функций. Как правило, для обеспечения единственности решения соответствующей краевой задачи в неограниченной области необходимо наложить условие на рост решения на бесконечности, а для существования решения из выделенного класса единственности обычно требуются ограничения на рост входных данных [8].

В 1984 г. Х. Брезис [9] на примере полулинейного уравнения

-Au + \и\Р0-2и = f (х), х е М„, р0 > 2,

показал, что имеются эллиптические уравнения, для которых существуют единственные решения краевых задач без предположений на их поведение и рост входных данных на бесконечности. А именно, Х. Брезис установил существование и единственность обобщенного решения и е Lpo-1,loc(Rn) при f е L1,ioc(Mn). Обобщение результатов Х. Брезиса на уравнения высокого порядка было проведено Ф. Бернисом [10].

В работе [11] Ж.И. Диаз и О.А. Олейник, пользуясь методом интеграла энергии и устанавливая априорные оценки решения, доказали существование и единственность решения краевой задачи с однородными граничными условиями первого и второго типа (в частности задач Дирихле и Неймана) для полулинейных уравнений с переменными коэффициентами

п

- К(Ф^)Л4 + ao(x)\u\Po-2u = f (х), х е Q, po > 2, (0.7)

i,j=1

aij(ж) е L^,loc(Q), а0(х) е L1,loc(Q), а0(х) > а0 > 0, без условий на бесконечности. Кроме того, в [11] авторы исследовали асимптотическое поведение решения уравнения (0.7) на бесконечности. При условии, что f (ж) = 0, х е Q \ Q(r0), Q(r0) = {х е Q \ \ж\ ^ г0}, г0 > 0, для решения уравнения (0.7) получена оценка:

\и(х)\ ^ С1\ж\-2/(р0-2), ж е Q \ Щг-0). (0.8)

А при дополнительном требовании на геометрию неограниченной области Q установлено неравенство:

\и(х)\ ^ С2е-а1х\ х е Q \ Щг0), а> 0. (0.9)

В работе [12] М.М. Бокало, Е.В. Доманская исследовали краевые задачи в неограниченных областях для эллиптических анизотропных уравнений с переменными показателями нелинейности. При этом корректность постановки краевых задач доказана без ограничений на рост решений и данных задач на бесконечности.

Авторам настоящей работы удалось выделить некоторый класс эллиптических уравнений, имеющих не обязательно степенные нелинейности, и получить результаты, близкие к процитированным выше. Так, в работе [13] Л.М. Кожевниковой, А.А. Хаджи для уравнения (0.1) c функциями аа(х, s), удовлетворяющими условиям (0.3)-(0.5), установлено существование решений задачи Дирихле в неограниченных областях без ограничений на рост данных на бесконечности. А при дополнительных требованиях на структуру уравнения в [14] доказана единственность без ограничений на рост решений задачи (0.1), (0.2) на бесконечности.

Здесь получены оценки, характеризующие поведение решений задачи (0.1), (0.2) при ^ ^ ж в неограниченных областях Q. Оценка степенного характера установлена для решений анизотропных уравнений в произвольных неограниченных областях (теорема 2). А для «нешироких» неограниченных областей получена экспоненциальная оценка решений изотропных уравнений (теорема 3).

1. N-функции и пространства Соболева-Орлича

Приведем необходимые сведения из теории Ж-функций и пространств Соболева-Орлича [15]. Неотрицательная непрерывная выпуклая вниз функция М(z),z е R, называется Ж-функцией, если она четна и lim М(z)/z = 0, lim М(z)/z = ж. Отметим, что

М(ez) ^ еМ(z), при 0 < е ^ 1. Для Ж-функции М(z) имеет место интегральное представление М(z) = /0^1 m(9)d9, где т(9) — положительная при 9 > 0, не убывающая и непрерывная справа при 9 > 0 такая, что т(0) = 0, lim т(9) = ж.

в^-ж

Для Ж-функции М(z) и дополнительной к ней Ж-функции

М(z) = sup(y\z\ - М(у)) у>0

справедливо неравенство Юнга:

\zy\ ^ М(z) + М(у), z,y е R (1.1)

[15, гл. I, §2, неравенство (2.6)].

Для Ж-функций Р(z),M(z) записывают Р(z) — М(z), если существуют числа I > 0, z0 > 0 такие, что

Р(z) ^ М(lz), \z\ > z0. Ж-функции Р(z),M(z) называются сравнимыми, если имеет место одно из соотношений Р(z) — М(z) или М(z) — Р(z). N-функции Р(z) и М(z) называются эквивалентными, если Р(z) — М(z) и М(z) — Р(z).

Ж-функция Р(z) растет медленнее Ж-функции М(z) (Р(z) —— М(z)), если для любого числа I > 0

lim Р(z)/М(lz) = 0.

N -функция М (z) удовлетворяет А2-условию при больших значениях z, если существуют такие числа с > 0, z0 > 0, что М(2z) ^ сМ(z) для любых \z\ > z0. A2 - условие эквивалентно выполнению при \z\ > z0 неравенства

М(lz) ^ c(l)M(z), (1.2)

где I — любое число больше единицы, с(1) > 0.

В каждом классе эквивалентных Ж-функций, подчиняющихся Д2-условию, имеются N-функции, удовлетворяющие неравенству (1.2) при всех г. В дальнейшем в работе предполагается, что Д2-условие для рассматриваемых Ж-функций выполняется при всех значениях г € К (т.е. = 0).

Для Ж-функции М(г), ввиду выпуклости и оценки (1.2), справедливо неравенство

М(у + г) ^ сМ(г) + сМ(у), г,у € К. (1.3)

Пусть ( - произвольная область пространства Мп. Классом Орлича Км ((), соответствующем Ж-функции М(г), называется множество измеримых в ( функций V таких, что:

Iм (Мх,)(Ь:<

Я

Пространством Орлича Ьм (() называется линейная оболочка Км((). Будем рассматривать пространство Орлича Ьм (() с нормой Люксембурга

Ь\\ьм (Я) = \Мм,д = тЦк> 0

J М (ь(х)/к)йх ^ 1 Я

Класс Орлича Км(() совпадает с пространством Орлича Ьм(() тогда и только тогда, когда М(г) удовлетворяет Д2-условию [15, гл. II, §8, теорема 8.2]. Для функции V € Ьм(() справедлива оценка

Ым,я ^/м(у)(1х + 1 (1.4)

Я

[15, гл. II, §9, неравенство (9.12)]. Для функций и € Ьм((), V € Ь-^(() имеет место неравенство Гельдера [15, гл. II, §9, неравенства (9.24), (9.27)]:

/ и(х)у(х)йх 'Я

^ 2\\и\\м,яЬ\\м^ (1.5)

Пусть В1(х), ...,Вп(х) - Ж-функции, определим пространство Соболева-Орлича Йд(() как пополнение по норме

п

\M\Hjj(Я) = ^ \\^\\Б

а=1

Нормы в пространствах Ьх((), Ь^(() будем обозначать \\ • \|х,^, \\ • соответственно.

Положим

/ п \1/п

кг) = г1/п1 Пв-1^)!

1

и предположим, что интеграл / Цг)/г<а сходится. Тогда можно определить Ж-функцию

о

В * (г) по формуле

N

(В*)-1(г) = J Ь^/ЫЬ. о

Приведем теорему вложения А.Г. Королева [16], доказанную для ограниченных областей

Лемма 1. Пусть V Е Нд 1) Если

то Н1В(д) С Ьв* (Я) и

2) если

то Н1В^) С Ь^) и

J ь,(г)/г<и = ж, 1

Ы\в*,д < Л1М1я1

сю

У к(г)/гш < ж, 1

:1.б)

Здесь Д = ^ ,А2 = / ^¿г.

Ввиду справедливости Д2-условия, сходимость по норме равносильна сходимости в среднем [15, гл. II, § 9, теорема 9.4]. Кроме того, в [17] доказана следующая

Лемма 2. Если N-функция М(г) удовлетворяет Д2-условию, ь(х), иг(х) Е Ьм((^), г = 1, 2,..., иг(х) ^ ь(х) в Ьм (О), то

\М(V*) - М(и)\дх ^ 0, г ^ ж.

:1.8)

'Я

2. Формулировка теорем

Пусть Ж-функции В0(г), В1(г),..., Вп(г) и дополнительные к ним Ж-функции В0(х), В1 (г),...,Вп(г) удовлетворяют Д2-условию. Через Ьв(О) обозначим пространство ЬВо (О,) х (О) х ... х Ьёп (О) с нормой

\\g\LBCn) = \ЫЬо,п + \\91\\в1 ,п + ... + \\9п\\вп^ g = (90,д1,...,дп) Е ЬВ(О).

Определим пространство Соболева-Орлича ШВ (О) как пополнение пространства С0С°(О) по норме

(П) = \Мк,П + \М\^ ь (П). В случае выполнения условия (1.6), будем считать, что

В0(г) X В*(г), (2.1)

а при выполнении (1.7) Во (г) — произвольная N-функция.

Определим Ь11ос(О), ^¿^(О) как пространства, состоящие из функций ь(х), определенных в О, для которых при любой ограниченной Q С О найдется функция из пространства Ь1 (О), УУ^(О), соответственно, совпадающая с функцией ь(х) в Q. Будем считать, что неотрицательные функции ф(х), Ф(ж) Е Ь1;1ОС(О). Аналогично определяется пространство

Ь

В,1ос

(О).

Определим оператор В : 1ос(О) ^ Ь11ос(О) формулой:

п

В(и) = Во (и) + ^ Ва(иХа), V Е ^ 1ос(О).

Обозначим

a(x, s) = (а0(х, s), а\(х, s),..., ап(х, s)).

Из условия (0.4), пользуясь (1.4), для и G W^ ioc(^) и любой ограниченной Q С Q выводим оценку

п

\\a(x,U Vu)||lb(Q) = Vи)\\ва,я ^ (2.2)

а=0

^ ^ В*Ых,и, Vu))dx + п + 1 ^ Ä\\B(u)\\ltQ + \\V\\i,Q + п +1.

«=° Q

Далее, по элементу а(х,и, У и) € Ьз1ос(П) для ь(х) € Vй1 (П) с ограниченным носителем определим функционал А (и) равенством:

J ^^ ^avXa +

(А(и), ь) = ^У^аауХа +аоь\ йх. (2.3)

п

Используя неравенство Гельдера (1.5), для функций и(х) € ,1ос(П), ь(х) € (П) (вирр V = (Г1)) выводим неравенства:

п

\(А(и), ь)\ ^ 2 ^ \\аа\\^\\\\ва,д„ + 2\Ы\в0,я„ ^ЬсА ^ (2.4)

«=1

^ 2\\а(х,Щ Ч'иЦь^)\М\^1 (П).

Таким образом, из оценок (2.2), (2.4) следует ограниченность функционала А(и) в пространстве функций Vй1 (П) с ограниченными носителями.

Определение 1. Обобщенным решением задачи (0.1), (0.2) назовем функцию и(х) € Vй1 ,1ос(П), удовлетворяющую интегральному тождеству

(А(и), ь) = 0 (2.5)

для любой функции ь(х) € Vй1 (П) с ограниченным носителем.

Будем считать, что существует такое 0 < е < 1, что выполнены условия

Ва(г1+е) <В0(г), а = 1, 2,...,п. (2.6)

В работе [13] доказано существование решения задачи (0.1), (0.2) в произвольных неограниченных областях П. А именно, установлена следующая

Теорема 1. Пусть выполнены условия (0.3) - (0.5), (2.6), тогда существует обобщенное решение и(х) задачи (0.1), (0.2).

Степенная оценка скорости убывания решения получена при условии, что:

Ва(г) = са\г\Ра, \;г\ < 1, ра > 1, са > 0, а = 0,1,...,п. (2.7)

Заметим, что для произвольной Ж-функции В (г) такую Ж-функцию легко построить:

{

( ' л B(z), и > 1, " в(1)

При этом функции B(z),B(z) эквивалентны.

Считаем, что показатели ра, а = 1,... ,п упорядочены: р1 > р2 > ... > рп и подчиняются условиям:

п 1

Ро>Р1, 1. (2.8)

Тогда числа аа = Р0Ра , а = 1,...,п, также упорядочены: а1 > а2 > ... > ап. Будем

Р0 Ра

дп > п. (2.9)

Р0Р,

предполагать, что

Теорема 2. Пусть выполнены условия (0.3)—(0.5), (2.6)-(2.8). Тогда существует положительное число М1 такое, что для обобщенного решения задачи (0.1), (0.2) справедлива оценка

\\В(и)\1,п(г/2) ^ м1 (гп~я" + и + Ф\\1,пм) , Г > 1, (2.10)

в которой О(г) = {х Е О \ \ж\ < г}.

Условия теоремы 2 выполнены, например, для уравнения (0.6) с функциями

\г\Ра, \г\ < 1;

Ва(г) ^ \г\Ра~1(!п\г\ + 1), \г\ > 1

при подходящем выборе ра > 2, а = 0,1,... ,п (см. пример 1).

Для неограниченных областей, расположенных вдоль выделенной оси, в терминах специальной геометрической характеристики в работах [17], [18] авторами установлены экспоненциальные оценки скорости убывания решения задачи (0.1), (0.2) с финитными данными. Здесь удалось получить экспоненциальную оценку для изотропного случая:

Ва(г) = В (г), а = 1, 2,...,п, (2.11)

для неограниченных областей, подчиняющихся лишь условию

¿(г) = 7(г) ^ И, Б> 0, 7(г) = {х Е О \ \х\ = г}, г > г1. (2.12)

Теорема 3. Пусть выполнены условия (0.3)-(0.5), (2.6), (2.11), (2.12). Тогда существуют положительные числа к, М2, г0 такие, что решение и(х) задачи (0.1), (0.2) при всех г > г0 подчиняется оценке

\\В(и)\\1;П(,/2) ^ М2 (ехр(-кг) гп~1 + \\ф + Ф\\1,П(2г)) . (2.13)

Следует отметить, что полученные в работе оценки (2.10), (2.13), согласуются с результатами статьи [11].

3. Подготовительные сведения

Лемма 3. Пусть N-функции В0(х),В1(х), ...,Вп(х) подчиняются условиям (2.6), тогда

Ва(г) XX В0(г), а = 1, 2,...,п. (3.1)

Доказательство леммы см. [13, замечание 6].

Лемма 4. Если функции Ьа(8а) = В'а(ва), 8а > 0, а = 0,1,... ,п, непрерывны и строго монотонны, ¥ = (¡0, ¡1,..., ¡п) Е Ев1ос(О), 'то функции

аа(х,8а) = В'а (ва) + /а(х) = &«(\з«\^п + /а(х), а = 0,...,п,

удовлетворяют условиям (0.3) - (0.5).

Доказательство леммы см. [13, замечание 5].

В этом параграфе и ниже через Сг будем обозначать положительные константы.

Лемма 5. Пусть N-функции B0j(z),B1(z), ...,Bn(z) подчиняются условиям (2.6), тогда для N-функций Ta(z) = Ba (Ma(z)) , (Ma(z) = B-1 (B0(z)) существуют числа с > 0,r > qn такие, что справедливы неравенства

Ta (z) ^ ф|г, И > 1, а = 1, 2,...,п. (3.2)

Доказательство леммы см. [14, лемма 3.3] .

Лемма 6. Пусть N-функции B0>(z),B1{z),...,Bn(z) подчиняются условиям (2.7), (2.8), тогда для N-функций Ta(z) = Ba (Ma(z)) существует число с > 0 такое, что справедливы неравенства

Ta(z) ^ ф1да, Izl ^ 1, а =1, 2,...,п. (3.3)

Доказательство леммы см. [14, лемма 3.4] .

Лемма 7. Пусть £r^ — сферический сегмент диаметра d на поверхности сферы радиуса R, d ^ R/8 в пространстве Мп, п > 2. Если N-функция B(z) удовлетворяет, А2-условию, то существует число с(п) > 0 такое, что для функции v(x) Е С0?(Шп), v\£ Е C^(£Rd) справедливо неравенство

'£ R, d '

J B(v)dS ^с J B(d\Vv\)dS, (3.4)

£ R,d £ R, d

V' — градиент по касательному направлению. Доказательство леммы см. [19].

4. Доказательство теоремы 2

Доказательство. Пусть £ — абсолютно непрерывная неотрицательная функция с компактным носителем. Полагая в тождестве (2.5) v = £ри, р > т (см. лемму 5), получаем неравенство

/ I aa(x, и, Vu)uXa + ao(x, и, Vu)u I dx ^

n I

n „

^ P^ Iaa(x,u, Vu)||u||(x)le-1dx = p • Jx. (4.1)

«=in

Применяя (1.1), для e Е (0,1) выводим

Ji < itje(B*(£aa(x,u, Vu))+Ba(^udx ^ (4.2)

n

n

< it I çp£ в *(а* (х,-, Vu))dx+è I çpb<*( -fy)dx=jn+ji2.

«=1q «=!n V£ ^ J

Оценим интеграл J12. Поскольку, согласно лемме 3, имеют место соотношения (3.1), то справедливы представления Ж-функции В0(z) = Ba(Ma(z)) в виде композиций двух Ж-функций Ma(z),Ba(z), а = 1,... ,п. Применяя (1.1), (1.3), устанавливаем

Oi

п

£ у ева{ма(£и) + ма( 12 М)}

J12 I ева{ ма(£и) + Ма[ ) \dx ^ (4.3

а=1

]С /V (е °1В0(и) + С1Ва(ма

О ] е СгВ0(и) + С\Ва(ма(^ 1М) ) ](Ь = С1 | еп / ?В0(и)<Ь + 32

П

Т

"=1 П

где

Л = 1 (Их, Та(г) = Ва (Ма(г)) . (4.4)

П

Далее, соединяя (4.2), (4.3), используя условие (0.4), выводим

/) + (Ст + А)В0(и)^

Л ^ у ее [ А? , Ва(иХа) + (Ст + А)В0 (и) ) ¿х+

П

+ У £рФ(1х + С^Ь ^ еС2^ ев(и)дх ^ ^¿х + С^. (4.5)

П П П

Из (4.1), (4.5), применяя (0.3), получаем оценку

а У еВ(и)дх ^ epC2J ^рВ(и)дх + р ^ ^ {Ф + ф} <1х + Схр32.

П П П

Выбирая достаточно малым, имеем неравенство

\ \ ерВ(М) \\ 1 е {Ф + ф} дх + С,32. (4.6)

П

Пусть г0 — произвольное положительное число. Зафиксируем г > г0, рассмотрим срезающую функцию £(х) = 1 (г2 — \ж\2) для \ж\ < г, £(х) = 0 для \ж\ > г. Обоснуем конечность интеграла 32. Очевидно, что ^^ ^ 2, применяя (3.2), (3.3), выводим неравенства

32 ^ ¿у ета(у) (Их у е~9п(Их + с7 у е~т<1х. (4.7)

°=1П(г) П(г)П{ж | Сь/(,(х)<1] П(г)П{ж | Сь/(,(х)>1]

В итоге имеем

32 ^ С8гП~1-+Р, г > 1, г > Г0. (4.8)

Очевидно, £(х) > г — г0 при \ж\ ^ г0, поэтому из (4.6), (4.8) выводим неравенство

\ \ В(«)\\ 1,п(го) ^ сА-^-У 01 Ф + Ф\\1,П(г) + г^") . (4.9)

— 0

Полагая в (4.9) г0 = г/2, устанавливаем оценку (2.10). □

Следствие 1. Пусть выполнены условия (0.3)-(0.5) с ф = Ф = 0 в О, (2.6)-(2.9), тогда обобщенное решение и(х) задачи (0.1), (0.2) и = 0 в О. Действительно, полагая в (4.9) ф(х) = Ф(ж) = 0, х Е О, и устремляя г к бесконечности, устанавливаем, что \\В(м) \\ 1,П(г0) = 0 для любого г0 > 0. Отсюда следует, что В0(и) = 0 в О, поэтому и = 0 в О.

5. Доказательство теоремы 3

Доказательство. Зафиксируем г > тах(2г1, г2, 32Б) (г1 из условия (2.12), г2 будет определено ниже). Пусть в(х), х > 0, — абсолютно непрерывная функция, равная единице при х < г/2, нулю при х > 2г, линейная при х Е [г, 2г] и удовлетворяющая уравнению

0'(х) = —80(х), х Е (г/2, г), (5.1)

(постоянную 8 определим позднее). Решая это уравнение, находим

в(х) = ехр (—8(х — г/2)), х Е (г/2, г),

тогда

0(г) 1

в'(х) = -у- = -ехр(—8г/2) , х Е (г, 2г). (5.2)

Полагая в (4.1) £(х) = вр(1х\),гр > г, применяя (5.1), (5.2), получаем

У Уи)иХа + а0(х,и, Ъи)иих ^ Р^^ ^ 1иЦаа(х,и, Vи)18Вр(1х+

П ' а=1П(г)\П(г/2)

п „

Е /

рУ I вр 1|и|| аа(х,и, Vи)| ¿х = рЬ + р12. (5.3)

1П(2г)\П(г)

Далее, пользуясь (1.1), при помощи (0.4), (2.11), оценим первый интеграл (е 1 Е (0,1))

л < ± I г + В <

а=1П(г)\П(г/2)

I (и*. ) + *)

< ] 9Р\ £1АУ , В(иХа) + Ъ)dх + /12, (5.4)

П(г)\П(г/2)

8

/12 = J вРВ[ и— ¿х.

П(г)\П(г/2)

Выберем е1 ^ -, а также 8 так, чтобы 8 ^ £1.

Ввиду вложения ^(р) С для и(х) Е справедливо неравенство

г

/12 ^ ^ У 0р(р) У В(и)dSdр.

г/2 2р,2<1(Р)

Применяя неравенство (3.4) и условие (2.12), пользуясь (1.2), выводим

г г

/12 ^ ^-су ер(р) у в(2d(р)|v'и|)dSdр ^ сД у ер(р) у в(^^¿р.

г/2 2рМ(р) г/2 1(р)

Далее, с помощью (1.3) устанавливаем неравенство

8 п Г

/12 у ер(1х\)В(иХа ^х.

(5.5)

П(г)\П(г/2)

Пользуясь леммой 2, выполняя предельный переход, выводим неравенство (5.5) для функции и(х) Е ,1ос(О). Соединяя (5.4), (5.5), выбирая 6С2 ^ , получим

/1 ^ 4р I 9РВ(и)Лх + \\Ф\\ 1>П(г)\П(г/2). (5.6)

П(г)\П(г/2)

Оценим интеграл /2. Применяя (1.1), для е2 Е (0,1) выводим

к ^ V [ дрВ(е2аа(х,и, Чи))с1х + п [ врВ (--Ц^) ^х = + (5.7) ] ] \£2гв(\х\);

" 1П(2г)\П(г) П(2г)\П(г)

Оценим интеграл 122. Поскольку имеют место соотношения (3.1), то справедливо представление Ж-функции В0(г) = В(М(г)) в виде композиций двух Ж-функций М(г),В(г). Далее, применяя (1.1), (1.3), устанавливаем

122 I врВ{м(е2П) + М^ 1 ^Гщ)^ ^ ^ (5.8)

П(2г)\П(г)

( \

£ 2 ! 9рВ0(и)дх + 1з \ П(2г)\П(г) /

^ / вр [в2СзВ0(и) + СзВ^М ( 1 = °зп

П(2г)\П(г)

где

1 д(т) 12

П(2г)\П(г)

Далее, соединяя (5.7), (5.8), используя условие (0.4), выводим

/з = дртх 2 пп

А г0(\х\)

(^^т(^ = в (М. (5.9)

/ ) + (пСз + А)В0 (и)^

Ь ^ £2 j ер ( А > У Ва(иХа) + (пСз + А)В0(и) ) йх+

П(2г)\П(г)

+ J 0рФ(1х + пСз1з < £2СА ! ерВ(и)дх + J Фдх + СДз. (5.10)

П(2г)\П(г) П(2г)\П(г) П(2г)\П(г)

Выберем е2 ^ —, в итоге получим

12 ^ \ ^ дрВ(и)дх + I Фдх + С-1з. (5.11)

П(2г)\П(г) П(2г)\П(г)

Подставляя в (5.3) оценки (5.6), (5.11), применяя условие (0.3), выводим

\ \ В(и) \ \ 1,П(г/2) I {Ф + Ф}Лх + С51з. (5.12)

П(2г)

Оценим интеграл 1з. Положим г2 = 1/£2, тогда при г > г2, ввиду выпуклости функции т( ) , справедливо неравенство

4 < ? /

П(2г)\П(г)

При \ж\ Е (г, 2г) имеет место неравенство 0(\:е\) ^ 0(т), поэтому, применяя лемму 5, получаем оценку

1з ^ У вР~Т(И)(г)Лх ^ С7гП-1 ехР (—йрг/2). (5.13)

П(2г)\П(г)

Соединяя (5.12), (5.13) выводим (2.13). □

6. Примеры

Пример 1. Пусть п = 3, р1 = 11/33, р2 = 11/4, рз = 11/5,

( \х\Ра \z\ < 1

Ва(г) = < „ \ п , , , ^ . , а = 1,2,3. ау ' \ \г\Ра 1 (1п \г\ + 1), \г\ > 1, ' ' '

Поскольку \г\Ра-1 ^ Ва(г) ^ \г\Ра при \г\ > 1, то 11/(Ра-1) > В~ 1(1) > Ь1/Ра при Ь > 1, а = 1, 2, 3. Отсюда получаем

к(г) = ь1/33, 0 <г< 1, [ г1к(г)<и< ж,

0

с

1131/504 > к(1) > 11/33, 1> 1, / Г1к(1)<И = ж

1

поэтому можно определить функции (В*)-1^), В*(х), при этом справедливы неравенства:

(в*)-1(г) = 33ь 1/33, 0 <к 1, 504/13И1з1/504 > (в*)-1(г) > 33ь 1/33, г > 1,

В*(г) = (\z\/33)33 , И < 33, (131/504\г\)504/131 ^ В^И) ^ (\z\/33)33 , И > 33. Возьмем В0(г) = \г\42/11, такой выбор функций Ва(г), а = 0,1, 2, 3, обеспечивает выполнение условий (2.1), (2.6).

Рассмотрим функции а0(х, г) = \г\20/11г + /0(х),

аа(х, х) = ¡а(х) + В'а(г) = ¡а(х) + |

\Ра~2г, ^ < 1

\г\р«~зг ((ра — 1)1п И + ра), \г\ > 1

Ра\^

¡а Е Ь-да1ос(О), а = 0,1, 2, 3. Согласно лемме 4, выполнены условия (0.3)-(0.5). Таким образом, по теореме 1, существует обобщенное решение задачи (0.1), (0.2).

Поскольку 1/р 1 + 1/р2 + 1/рз = 12/11 > 1, дз = = 462/89 > 3, то условия (2.8), (2.9) также выполнены. Согласно теореме 2, обобщенное решение задачи (0.1), (0.2) подчиняется оценке

\\В(И)\\1 ,П(г/2) ^М (г~195/89 + и + Ф\\1,П(г)) , Г > 1. (6.1)

Пример 2. Пусть п > 2, 2 < р < п,

в {Х) = (И-1 (- 1пИ + й), и< 1 I Д + (ь и + 1), и > 1.

Поскольку В (г) > ^\г\р-1 при ^ < 1, то В-1(г) ^ ^ ^ при 0 <г< ^. Кроме . . , . . „,-,. . . . / \1/р ...... „

1/р

^ в-1(г) ^ г1/(р-1) при

t > . Отсюда получаем

1

п-р+1 V + 1 I 1

Ш) ^ с^"--1, 0 <г<-—, г1к(г)(И < ж,

р— 1 Л

п-р п-р+1 Г) + 1 I ,

C2t пр ^ h(t) ^ ^(р-1), t — , t-lh(t)dt = ж,

pro

-Р+1 V + 1 I

n(. ,

P —^ л

l

можно определить функции (В*) 1(Ь), В*(г), при этом справедливы неравенства:

СэИ^ ^ (в*)-l(z) ^ C4\z\пР^), \z\ >

п-Р+1 | , ^ Р + 1

Р — 1 '

п( р-1) п р

Сб\2;\п—+1 ^ в*(z) ^ СаИп-Р, \z\ > С7.

Возьмем ро = п(р ,1),

г0 п-р+1 '

rw ч f \^\Р0-1 (— 1п N + *+) , N < 1 в(z) = < \ \ V \ \ Р0-1Г \ \

( ) I Л + N*0-1 OnN + 1) , к\> 1.

Р0-1

такой выбор функций В0(г),В(г) при р > (1 + ^/T+4п)/2 обеспечивает выполнение условий (2.1), (2.6).

Рассмотрим функции

аа(х, г) = Iа(х) + В' (г) = /а(х) + \г\р-3г ((р — 1)| 1п\г\ \ + р), а = 1,...,п,

а0(х, г) = /о(х) + В'0(г) = \г\Р0-3г ((р0 — 1)\ 1п\г\\ + р0). Согласно лемме 4, выполнены условия (0.3)-(0.5). Таким образом, по теореме 1, существует обобщенное решение задачи (0.1), (0.2).

Согласно теореме 3, обобщенное решение задачи (0.1), (0.2) в областях, удовлетворяющих условию (2.12), подчиняется оценке

||В(и)||1>П(г/2) ^ М2 {ехр( — КГ) ГП-1 + + Ф|| 1>П(2г)) , г> Го.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. T. Donaldson Nnlinear elliptic boundari value problems in Orlicz-Sobolev spaces //J. Diff. Eq. 1971. V. 10. № 3. P. 507-528.

2. Климов В.С. Теоремы вложения для пространств Орлича и их приложения к краевым задачам // Сиб. матем. журн. 1972. Т. 13. С. 334-348.

3. A. Fougeres Operateurs elliptiques du calcul des variations a coefficients tres fortement №n lineaires // C. R. Acad. Sei. Paris Ser. A-B. 1972. V. 274. P. 763-766.

4. J.P. Gossez Nnlinear elliptic boundary value problems for equations with rapidly (or slowly) increasing coefficients // Trans. Amer. Math. Soc. 1974. V. 190. P. 163-206.

5. P. Gwiazda, P. Wittbold, A. Wroblewska, A. Zimmermann ReNrmalized solutions of Nonlinear-elliptic problems in generalized Orlicz spaces. PhD programme: Mathematical methods in natural sciences (MMNS). 2011. Preprint №. 2011-013. 32 p.

6. Кожевникова Л^., Каримов Р.Х. Поведение на бесконечности решений квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях // Уфимск. матем. журн. 2010. Т. 2. № 2. С. 53-66.

7. Кожевникова Л^., Хаджи A.A. Решения анизотропных эллиптических уравнений в неограниченных областях // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2013. № 1. C. 90-96.

8. Гладков А.Л. Задача Дирихле для некоторых вырожденных эллиптических уравнений в неограниченных областях // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29. № 2. C. 267-273.

9. H. Brezis Semilinear equations in Rn without condition at infnity // Appl. Math. Optim. 1984. V. 12. № 3. P. 271-282.

10. F. Bernis Elliptic and parabolic semilinear problems without conditions at infnity // Arch. Rational Mech. Anal. 1989. V. 106. № 3. P. 217-241.

11. J.I. Diaz, O.A. Oleinik №nlinear elliptic boundary-value problems in unbounded domains and the asymptotic behaviour of its solution // C. R. Acad, Sci. Paris Ser. I Math. 1992. V. 315. № 1. P. 787-792.

12. M. Bokalo, O. Domanska On well-posedness of boundary problems for elliptic equations in general anisotropic Lebesgue-Sobolev spaces // Mathematychni Studii. 2007. V. 28. № 1. P. 77-91.

13. Кожевникова Л.М., Хаджи A.A. Существование решений анизотропных эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях // Матем. сб. 2015. Т. 206. № 8. C. 99-126.

14. Кожевникова Л.М., Хаджи А.А. Единственность решений анизотропных эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях // Проблемы математического анализа. 2016. № 85. С. 153-163.

15. Рутицкий Я.Б., Красносельский М.А. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физ-матлит. 1958. 587 с.

16. Королев А.Г. Теоремы вложения анизотропных пространств Соболева-Орлича // Вестн. Моск. унив. 1983. Сер. 1. № 1. C. 32-37.

17. Кожевникова Л.М., Хаджи A.A. О решениях эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2015. № 19. C. 44-62.

18. Кожевникова Л.М., Каримов Р.Х., Хаджи A.A. О поведении решений эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 9. C. 13-17.

19. Хаджи A.A. О неравенстве типа Фридрихса // Научно-технический вестник Поволжья. 2015. № 9. C. 30-33

Руслан Халикович Каримов,

Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета, пр. Ленина, 37,

453103, г. Стерлитамак, Россия E-mail: [email protected]

Лариса Михайловна Кожевникова,

Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета, пр. Ленина, 37,

453103, г. Стерлитамак, Россия

Елабужский институт Казанского федерального университета, ул. Казанская, 89,423600, г. Елабуга, Россия, E-mail: [email protected]

Анна Александровна Хаджи, Тюменский государственный университет, ул. Володарского, 6, Тюмень, 625003, г. Тюмень, Россия E-mail: [email protected]