Единственность ренормализованного решения задачи Коши для анизотропного параболического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 8. № 2 (2016). С. 44-58.

УДК 517.954+517.956.45+517.958:531.72

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕНОРМАЛИЗОВАННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ АНИЗОТРОПНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Ф.Х. МУКМИНОВ

Аннотация. Рассматривается задача Коши для некоторого класса анизотропных параболических уравнений второго порядка с двойными нестепенными нелинейностями. Уравнение содержит "неоднородность'^ виде недивергентного члена, зависящего от искомой функции и пространственных переменных. Нелинейности характеризуются У-функциями, на которые Д2-условие не накладывается. Методом удвоения переменных, предложенным С.Н. Кружковым, доказывается единственность ренормализован-ного решения в пространствах Соболева-Орлича.

Ключевые слова: анизотропное параболическое уравнение, ренормализованное решение, нестепенная нелинейность, У-функции, единственность решения.

Mathematics Subject Classification: 35D05; 35K55; 35B50; 35B45; 35B05

1. Введение

В слое DT = (0,Т) х Rn, п > 2 рассматривается задача Коши для уравнения вида

(ft(x,u))'t = diva(x,u, Vu) + b(t,x,u, Vu), a = (a\, ...,an). (1.1)

ft (x,u(0,x)) = ft (x,u0(x)), (1.2)

где ft(x,u) - неубывающая и непрерывная по и функция, измеримая по х. Модельным примером рассматриваемых уравнений служит уравнение вида

п

(ft (u))t = ^(В'г(иХг) + Уг(х))Хг + Ф(х), (1.3)

г=1

где Bi - У-функции (см. [1]).

В работе P. A. Raviart [2] впервые было доказано существование решения уравнения с двойной нелинейностью

п

(\u\a-2u)t = ^(\uXi\p-2uXi)Xi + f (t,x), a,p > 1, Vuo(x) E Lp, (1.4)

i=1

в ограниченной области DT = (0,T) х Q.

A. Bamberger [3] доказал единственность решения уравнения (1.4) в случае, когда a E (1, 2), в предположении (ft)'t E L1(DT), u0 > 0. Однако существование такого решения при a E (1, 2) доказать не удается.

H.W. Alt, S. Luckhaus [4] доказали существование и единственность решения уравнения (ft(u))'t = diva(ft(и), Vu) в случае а > 2 в предположении (ft)'t E L1 (DT). Похожие результаты для уравнения (1.1), записанного в другой форме, были установлены в [5, 6].

F.Kh. Mukminov, Uniqueness of the renormalized solutions to the Cauchy problem for an anisotropic parabolic equation. © Мукминов Ф.Х. 2016.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 13-01-00081-a). Поступила 6 февраля 2016 г.

Требование (ß)'t G L1(DT) было ослаблено до ß G L1(DT) в работе F. Otto [7] при доказательстве единственности решения.

В работе [S] авторы показывают необходимость расширения понятия решения в случае уравнения Лрu = F(х,и) с L1 данными: sup|M|<cF(х,и) G L1,¡oc(Q). А именно, они рассматривают энтропийное решение задачи Дирихле для эллиптического уравнения и доказывают его существование и единственность. Авторы указывают, что вместо энтропийного решения, введенного впервые С.Н. Кружковым [9] для уравнений первого порядка, можно рассматривать также ренормализованные решения. Понятие ренормализованного решения было впервые введено в работе R. J. DiPerna and P.-L. Lions [10] при изучении задачи Коши для уравнения Больцмана.

D. Blanchard and F. Murat [11] доказали единственность ренормализованного решения уравнения щ — diva(t,x, Vu) = f. A. Prignet [12] для этого же уравнения доказал единственность энтропийного решения и показал его эквивалентность ренормализованному решению.

Существенно более сильное утверждение — единственность ренормализованного решения эллиптико-параболической задачи для уравнения со степенными нелинейностями (ß(u))'t = diva(w, Vu) — сформулировано J. Carrillo, P. Wittbold в [13], однако в доказательстве имеется существенный пробел. Доказательство использует метод удвоения переменных, предложенный С.Н. Кружковым в [9].

В настоящей работе методом удвоения переменных доказывается единственность ренор-мализованного решения задачи Коши (1.1),(1.2) с нестепенными нелинейностями, определяемыми N-функциями.

В работе С.Н. Антонцева и С.И. Шмарeва [14] доказаны теоремы существования и единственности обобщенного решения задачи Дирихле для параболических уравнений вида (1.1) в частном случае ß = и, а = ul(t,x^Vu. Единственность ренормализованного решения первой смешанной задачи в ограниченной области для изотропного уравнения (1.1) c нестепенными нелинейностями доказана в работе H. Redwane [15] при сильном ограничении 0 < с < ß'u < С (К ), Vxß'u < С (К ), |и| < К. При тех же предположениях в работе [16] доказано существование ренормализованного решения. Существование и единственность ренормализованного решения первой смешанной задачи в ограниченной области для уравнения (1.1) c ß = и и переменными нелинейностями доказана в работах Ch Zhang, Sh Zhou [17] и M. Bendahmane, P. Wittbold [18].

В работах [19], [20] рассматривались уравнения вида (1.1) с нестепенными нелинейно-стями в цилиндрической области с неограниченным основанием, при условии принадлежности начальной функции некоторому пространству Соболева-Орлича. В [19] для модельного уравнения при b = 0, в предположении ограниченности функции ß'u в окрестности и G (—S, 5), доказано существование решения и установлены степенные (по t) оценки сверху и снизу скорости убывания решения при больших значениях t. В [20] доказано существование обобщенного решения первой смешанной задачи при условии сильной монотонности (то есть всего оператора в правой части уравнения). В случае степенных нелинейностей точные оценки скорости убывания решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью установлены в [21].

2. Функциональные пространства и основные предположения

Определим здесь используемые в работе функциональные пространства и приведем некоторые известные факты из теории пространств Соболева-Орлича [1] (см. также [22]). Введем следующие обозначения

( ^(о> = т = ¡т,Х)Ы,

П дт

где, как правило, П = Мга, но возможны и другие области. Значение обобщенной функции о на элементе ф Е С^°(От) будем записывать так: о(ф) = (о,ф)^т. Для выпуклых функций В (в), в > 0, следующая функция

В (г) = вир^ |г| - В(в)) «>о

называется дополнительной. Очевидно свойство дополнительных функций (неравенство Юнга)

^ В(г)+ В (в).

Выпуклая функция В (в), в > 0, называется Ж-функцией, если

Ит В(в)/8 = 0, Ит В(з)/в = ж.

Говорят, что Ж-функция В (в) удовлетворяет Д2-условию, если существуют такие числа в0, к> 0, что В(2в) ^ кВ(в), Ув > 80.

В настоящей работе не предполагается, что используемые N-функции удовлетворяют Д 2-условию.

Все постоянные, встречающиеся в работе, положительны.

Через Ьв(() обозначим пространство Орлича, соответствующее N-функции В(в), с нормой Люксембурга

|М|для которых = ЦиЦвя = ^{к > 0: ! В дх ^ 1}.

Я

Ниже в качестве ( могут выступать области Мга, Ит и другие, причем индекс ( = Е может быть опущен.

Через Ыро(() обозначим пространство липшицевых функций с компактным носителем, лежащим в (. Замыкание пространства Ыро(() в Ьв(() будем обозначать через Ев((). Определим анизотропные пространства Соболева-Орлича ^]1в(Кга), как множество тех элементов 9 = (ь1, ь2,..., ьп) Е Л™=1 Ыв1 (Ега), для которых существуют последовательности <рт Е Ыр0(Шп) такие, что У<рт ^ в слабо как последовательности функционалов над ПГ=1 Ев1 (Ега). Будем предполагать выполненным следующее условие на набор N-функций В¿: для каждого в Е Ж]1в(Ега) существует потенциал V Е Ы^о^Е"-) такой, что Уи = в. Достаточным условием для этого является существование N-функции С такой, что при всех < Е Ыр0(Шп) выполнено неравенство

1Мкс(к») Н^к». (2Л)

г=1

Действительно, как легко видеть, это неравенство в предположении слабой сходимости V срт ^ $ влечет *-слабую сходимость <т ^ V Е Ьс(Еп) и равенство Уи = в. Отметим, что неравенство вида (2.1) установлено в работе [23] в предположении, что сходится

следующим интеграл

1

9(*)

п

1

¿8, 9(8) = 8~Ц {В-Ч*))

0 ^

Пространство (Бт) с нормой

М^В(Ят) = ^ ^11в^Т

г=1

определяется аналогично описанному выше и в дальнейшем будет обозначаться через X.

Пусть х(Р) обозначает логическую функцию, равную 1, когда Р истинно, и 0, когда Р ложно.

Приведем теперь условия на функции, входящие в уравнение (1.1). Функция Р(х,и), [3(х, 0) = 0, удовлетворяет условию Каратеодори и не убывает по и. Функции йг(х,и,8,), в € Кга также удовлетворяют условию Каратеодори.

Потребуем существование непрерывной функции С (Я, N) такой, что

п

Ж(щ(х,г,р)) < С(П,М)(1 + 8(р)),8(р) = ^Вг(рг); (2.2)

г=1

(а(х, г,р) - а(х,г, д)) • (р - д) + С (К, N )(1 + в (р) + в (д))\г - г | > 0 (2.3)

при всех г,г € [-Х,Щ, р,д € Кга, |ж| < Я. Это условие аналогично условию из работы [13] с непрерывными функциями С(М) и вектор-функциями Г, Г:

(а(г,р) - а(г,д)) • (р - д) + С(М)(1 + |р|к + |д|к)|г - г\ > Г(г,г)р + Г(г,г)д,

при всех г, г € [-X, Щ,р,д € Кга.

3. Формулировка основных результатов Определим функции

к если V > к, Тк(ь) = < V если Н < к, — к если V < —к;

0 если г > 1, г)(г) = < 1 - г если 0 < г < 1,

1 если г < 0;

Н£(г) = 1 - ц(г/е).

Определение 1. Ренормализованным решением задачи Коши (1.1), (1.2) называется измеримая функция и : БТ ^ К такая, что

1) р(х,и) € ь1(о1), f (г,х) = ь(г,х,и,Чи) € ь1(о1)

2) Тк (и) € X при всех к > 0;

и функция A(t,х) = a(x,u, Vu) удовлетворяет при всех k,N > 0 условиям:

при всех h Е Lipo(R), £ Е С¿((—1,Т) х Rra) выполнено равенство

и

[&J h(r)dß(х, r)+Zfh(u)] = [A •V(h(u)0]; (3.1)

uq

[x(m — и — m + 1)|A • Vu|] ^ 0 при m ^ <x; (3.2)

[x(|u| — k)IA(t,x)lx(m < |х| < m +1)] ^ 0 при m ^ <x; (3.3)

i/i

lim l / (r](|x| - N)lß(x,u(t)) — ß(x, u)l)dt = 0. (3.4)

J

0

Замечание 1. Интеграл Стильтьеса в формуле (3.1) вычисляется при фиксированных х.

Замечание 2. Из условий (2.2) и 2) следует, что

B(at(x,u, Vu))x(H — к)х(Ы — R) Е L1(DT). (3.5)

Определим многозначную функцию sign+r = 1 при г > 0, sign+r = 0 при г < 0 и sign+r = [0,1] при г = 0; r+ = max(г, 0).

Теорема 1. Пусть выполнены условия (2.2) и (2.3). Пусть при г = 1,2 функции u^i : Rra ^ R таковы, что ß(х,щ^ Е L1(Rn). Пусть u - ренормализованные решения задачи Коши (1.1), (1.2) с uoi, h. Тогда существует функция G(t,х) Е sign+(u1 — u2) такая, что для всех a(t) Е Lip0(—1,T), а(0) = 1, а > 0 выполнено неравенство

— [«' (ß (х,щ(1)) — ß (х,щ(1)))+] — (3.6)

— ((ß(x,u0 1) — ß(x,u02))+) + [aG( fi — f2)],

где fi = bi(t,x,ui, Vu). В частности, если ß(x,Ui) = ß(х,щ), bi = b = b(x,u) и функция b(x,u) не возрастает по u, то ß(x,u1) = ß(x,u2).

Ниже приводится лемма 1, из которой легко следует, что обобщенное решение, удовлетворяющее условию (3.3), является ренормализованным.

Назовем обобщенным решением задачи Коши (1.1), (1.2) c ß(х,щ) Е L1(Mra) функцию u Е X такую, что

ß(x,u) Е L1(DT), f(t,х) = b(t,x,u, Vu), Bi(ai(x,u, Vu)) Е L1(DT),

удовлетворяющую условию (3.4) и тождеству

n

[(ß (x,u) — ß(x, uo ))ft + ftp] = ]

i=1

при всех p Е С1((—1,T) х Rn). Из последнего соотношения, в частности, следует, что ß(x,u)t ЕХ' + L1 (DT).

Следующая лемма близка к соответствующему утверждению из работы [13]. В настоящей работе, в отличие от [13], область П = R не ограничена, поэтому, ради полноты изложения, в приложении дается ее доказательство.

Лемма 1. Пусть u Е X - обобщенное решение задачи Коши (1.1), (1.2). Тогда

и

[(ß(x,u) — ß(х,щ))(h(u)p)t] = [pt I h(r)dß(x, г)] (3.7)

UQ

при всех h Е Lipo(R), ир Е С1((—1,Т) х Rra).

4. Вспомогательные утверждения

Приведем некоторые обозначения и факты, которые будут использованы ниже в методе удвоения переменных.

Положим X(f = 0 А е) := X((f = 0) А (f = е)), X(f = 0 V е) := X((f = 0) V (f = е)), где в качестве f могут быть различные функции, е > 0. Пусть рт - ядро осреднения в R, (рт) = 1, Ißml < Стп, рт(х) = 0 при т\х\ > 1. Для измеримой функции v положим Хт(Х, V ) := (Рт(х — у)Х(0 < v(y) < е))у, К(x,v) := lim Хт(х,ь). Предел существует почти

всюду в Rn и 0 < К(x,v) < 1. В тех случаях, когда зависимость функции К от аргументов несущественна, не будем их указывать.

Напомним, что х называется точкой Лебега суммируемой функции v, если

lim (т-пХ(т\х — yl < 1)\v(y) — ^(ж)\))у = 0.

т^х

Лемма 2. Если х - точка Лебега ограниченной в Rn измеримой функции v, то К(х, v)X(v(x) = 0 А е) = х(0 < v(x) < е), е > 0. Доказательство. Найдется 6(х) > 0 такое, что

х(0 < v(y) < e)X(\v(y) — v(x)\ < ö)X(v(x) = 0 А e) = = x(0 < v(x) < £)X(\v(y) — v(x)\ < ö), при всех у E Rn. Поскольку x - точка Лебега функции v, то

(Рт(х — у)х(\^(у) — v(x)\ > 6))у < (4.1)

Следовательно,

т — \ — \ > ) у

т^х

< lim (Рт(Х — y)\v(y) — V(x)\/5))y = 0. т^х

lim Хт(х, v)X(v(x) = 0 А е) < v(y) < £)X(\v(y) — v(x)l < lim (Рт(х — у)х(\Ф) — V(y)\ < i))X(0 < V(x) <£) = Х(0 < V(X) < £).

т

т^х

lim (Рт(Х — у)Х(0 < V(y) < £)x(\v(y) — v(x)\ < Ö))yX(v(x) = 0 А £) =

т^-х

т

т^х

□

В следующем утверждении П - произвольная область в Rn (допустимо П = Rn)

Лемма 3. Пусть vi,v2 - ограниченные в П измеримые функции и f E С0°(П), д E Li,\oc(n). Тогда

lim ((Рт(Х — y)f (У)9(Х)Х(0 < Vi(y) — V2(x) < £))у)х = = (К(х, Vi — V2(x))f (x)g(x)X(vi(x) — V2(x) = 0 V £)х + + (f (x)g(X)X(0 < Vi(x) — V2(X) < £))х.

Доказательство.

((Рт(Х — y)f (y)g(x)X(0 < Vi(y) — V2(x) < £))у)х =

= ((рт(х — y))(f (y) — f (Ж))Х(0 < Vi(y) — V2(x) < £))уд(х))х+

+ (Хт(х, Vi — V2(x))f (x)g(x))х = Ii + h.

Ввиду непрерывности и ограниченности функции f, по теореме Лебега о мажорированной сходимости,

lim \h\< lim ((Рт(х — y)\f(у) — f(х)\)у\д(х)\)х = 0.

т^х т^-х

Далее, полагая Д(ж) = vi(x) — v2(x), имеем

h = (Хт(X, Vi — V2(x))f (х)д(х)(х(Д = 0 А е) + Х(Д = 0 V е))) х = hi + I22.

Остается отметить, что по лемме 2,

Иш 121 = Иш (Хт(х, VI — У2(х)) ¡(х)д(х)(х(А = 0 Л е))х =

= {!(х)д(х)х(0 < Мх) — Мх) < е))х.

□

Замечание 3. Предельным переходом устанавливается справедливость леммы 3 также и для функций / Е Ев(П), д Е (П) при произвольной N-функции В.

Замечание 4. Лемма 3 остаётся справедливой при е = ж и П = (0,Т).

Лемма 4. Пусть иг, % = 1, 2 - ренормализованные решения задачи Коши с начальными функциями щг, и Аг = а(х,иг, Чиг), ¡г = Ьг(Ь,х,иг, Чиг). Тогда существует функция С(Ь,х) Е sign+(u1 — и2) такая, что

иг

— [х(щ > щ)6 У Ы(г)(3(х, г)] + [х(щ > щ)((Ы(щ)А1 —

и2

— Ы(щ) А2) • Ч£] + [х(и1 > щШЫ(щ)А1 • Чщ — Ы(щ)А2 • Ч^)] <

< [&(Ы(щ)Н — Ы(щ)¡2)] (4.2)

для всех неотрицательных Ы Е Ыр0(М) и неотрицательных £ Е Ыро((0,Т) х Ега).

Доказательство. Мы выбираем две различные пары переменных (Ь,х), (в,у) и рассматриваем и1,А1, /1 как функции от (в, у) и и2,А2, /2 - от (Ь, х). Пусть рт - ядро осреднения в Мга, д1 - ядро осреднения в М. Положим

Р1т(?) = Р1т&,х,8, у) = рт(х — у) 61^ — ^, &т(г) = , х) Рт(^).

Подставим в определение (3.1) ренормализованного решения и1 вместо Ы функцию Ы(г)Н£(г — и2(t, х)):

иг

[(&т)з ! Ы(г)Н£(г — , х))(13 (у, г) + ^1т11Ы(и1)Н£ (щ — , х))] 3,у =

йог

= [А1 • Чу (Ы(щ) Н£(и1 —щ(Ь ,х)) 8,у. Для и2 справедливо аналогичное соотношение

и,2

[(Ьт)1 J Ы(г)Н£(щ( в, у) — Г)(13 (х, Г) + £1т ¡2Ы(^) Н^щ( в, у) — щ)] 1,х =

ио2

= [А2 • Ч х(Ы(и2)Не(и1( 8, у) — щ) 6т)] 1,х.

Проинтегрировав эти соотношения по (Ь,х) и (в,у) соответственно, и взяв их разность, получим (с использованием обозначения {д} = $втхГ>т д(Ых(8(у )

иг и2

{(Ы./ Ы(т)НЕ(т — щ)(Р(у, г) — (&т)г У Ы(г)Н£(щ — г)(¡3(х, г)}+

ио1 ио2

+ {С1тН£(щ — щ)( ¡1Ы(щ) — ¡2Ы(щ))} = = {(Ы(щ)А1 — Ы(и2) А2) • (Ч х + Чу)(Н£(и1 — щ)6т)} +

+ {(Ы (щ) А1 • ЧуЩ — Ы (щ)А2 • ЧхЩ)Н£(щ — щ) 6т}. (4.3)

В последнем соотношении использованы равенства вида {Ы(и\)А1 •Чх(Н£(и1 — и2)&т)} = 0.

Два интеграла слева обозначим через Ii,I2, а справа через 13,14. Для этих интегралов совершим предельные переходы в следующем порядке: т ^ ж, £ ^ 0 и I ^ ж. В частности, для 12 имеем

т

limI2 = [ / С(t,x)gix(ui(s,x) > U2(t,x))(fih(ui) — f2h(u2))ds]t,х.

По лемме 3 с е = ж и интервалом (0,Т) вместо П получим

limI2 = [£(t,x)(Ki(t,x,Ui — U2)x(ui = щ) + хЫ > U2))(fih(ui) —

т, ,

— f2h(m))] г,х = m,x)G(fih(ui) — f2h(u2))] г,х. (4.4)

Здесь использовано обозначение G = Kix(ui = и2) + x(ui > и2), где Ki - функция из леммы 3.

Аналогично, с учетом того, что градиент равен нулю почти всюду на множестве уровня функции,

lim 1А = [х(щ > (h'(ui)Ai • Vui — h'(u2)Ä2 • Чщ)]. (4.5)

т,е,1

Перейдем к Ii. Рассмотрим интеграл

«1

J = {(^1т)з У h(r)Hs(r — U2)d(ß(у, Г) — ß(х, Г))} =

«01 «1

= {(&т)з У h(r)H£(r — U2)d(ß(y, г) — ß(X, Г))} +

«2 «2

+ {(&т)в i h(r)H£(r — U2)d(ß(У, Г) — ß(Х,Г))} = Jx + J2.

«01

Ясно, что 32 = 0, поскольку = 0 при достаточно больших /, а другой сомножитель

V

в этом интеграле от в не зависит. Положим Ф(у,у, к) = [ к(г)Не(г - k)dft(у, г). Тогда

к

<Ь ={(£1т) з(Ф(у,Щ,П2) - Ф(х,щ,щ))} =

= {(^1ш) з(Ф(У,и1(8,у),и2(1,х)) - ф(у,и1(8,у),и2(1,у)))} + + Шш) з(Ф(у,щ(з,у),и2(г,у)) - Ф(х,и1(з,х),и2(Ь,х)))}+ + {(£1т) з(Ф(х,и1(з,х),щ) - Ф(х,щ(з,у),и2))} = + ^2 + ^3.

Ввиду ограниченности и непрерывности функции Ф по второму и третьему аргументам

lim Jii = lim Ji2 = lim Ji3 = 0.

т т т

Поскольку (ds + dt)pim = 0, то

lim h = lim(h - J) = lim ({(&m)s / h(r)H£(r - u2)dß(x, r)}-

m,e,l m,e,l m,e,l J

U2

U2

- {(Cim)t j h(r) H£(Ul - r)d ß (x, r)}) =

Ui

Ui

= [Х(щ > U2)CtJ h(r)dß(x, r)]ttX. (4.6)

U2

Остается рассмотреть I3. Имеем

h = {QipmH£(ui - u2)(h(ui)Ai - h(u2)A2) • vx£(t,x)}+ + 1/e{x(0 <ui -U2 < e)&m(h(ui)Ai - h(u2)A2) • (VyUi - vx^)} =

= hi + 132.

Очевидно, что

lim hi = [x(ui > U2)(h(ui)Ai - h(u2)A2) •V^(t,x)]. (4.7)

m,£,l

Пользуясь теоремой Фубини и леммой 3, устанавливаем, что

т

lim 132 - 1/е / ds[x(ui( s,x) - u2(t,x) = 0 V e)K(x,ui -u2)x

m^x I

0

т

x £Qi(h(ui) Ai - h(u2)A2) • V x(ui - U2)]t,x = lim I32 = 1/e / dsx

m^x J

0

x [x(0 < Ui(s, x) - U2(t, x) < e)£Qi(h(ui)Ai - h(u2)A2) • vx(ui - щ)}.

Обозначим через M последнее выражение. Ввиду (4.3)-(4.7) достаточно показать, что

liminf M > 0. Для этого отметим равенство

£,i

т

M = 1/e J <is[x(0 < ui(s ,x) - u2(t ,x) < e)£ Qi ((h(ui) - h(u2 ))Ai + 0

+ h(u2)(Ai - A2)) • vx(uI - U2)]t,x = Mi + M2,

в котором оба интеграла справа определены: действительно, поскольку функции ui,u2 близки на множестве интегрирования, срезка одной из функций влечет срезание другой.

Пусть, далее число N > 0 - таково, что supph С (-N, N). Тогда, при достаточно малых е, пользуясь (2.2), получаем

т

Mi < J ds [x(0 <1^(3 ,x) - n2(t ,x) < e)£ Qix

0 n

xLh ^ В-i(C(R,N)(1 + S(VTN(ui))))(\TN(щ)хг \ + \TN(щ)х,|)]t,x,

i=i

где Lh = sup h', R - радиус носителя функции £. При фиксированных /, пользуясь неравенством Юнга, устанавливаем, что интегранд последнего интеграла принадлежит

Ь1((0,Т) х Ит), и поэтому интеграл М1 стремится к нулю при е ^ 0. Для оставшейся части, ввиду условия (2.3), имеем т

1/е I ds[x(0 < щ(з) - щ(Ь) < е)£в1 Чщ)^ - А2) • Чх(щ - 42)} > 0

т

>-1/е ^ ds[x(0 <и1(в,х) - и2(Ь,х) < е)£б1 Ь,(и2)С(Н,М)х 0

х (1 + 5(ЧХТМ(щ)) + в(ЧХТМ(щЩщ - и2\]= М21.

Рассуждая, как и выше, получаем, что lim M2i = 0. Утверждение доказано.

£^0

□

5. Доказательство теоремы единственности

Пусть ui,u2 — ренормализованные решения задачи (1.1),(1.2) с начальными функциями u0i,u02 и функциями bi,b2 в правой части. Подставим в (4.2) функцию £(t,x) = alit)rqi\xl — N), ai(t) Е Lip0(0,Т), h(r) = rqi\rl — m). Полученное неравенство условно запишем в виде

h + I2 + Is < I4. (5.1)

Положим ai(t) = a(t)(1 — rj(lt)), a(t) Е Lip0(—1,T), 0 < a(t) < 1, a(0) = 1. Перейдем к пределу в (5.1) при I ^ ж, N ^ ж, m ^ ж в каждом из интегралов. Для второго интеграла слева имеем

1Ы < ЫЫ <rn +1)1А11 + х(Ы < т +Ш2 l)x(N< N <N +1)]. Пользуясь (3.3), устанавливаем, что lim 12 = 0. Для Is имеем

Ш = ШхЫ > U2)(h' ЫЛ ■ Vu± — h' (U2)Ä2 ■ VU2)]I <

< [x(m < luil < m + 1)IAi ■ V«i|] + + [x(m < IU2I <m +1)IÄ2 ■ VU2I]. Ввиду (3.2), два интеграла справа стремятся к нулю при т ^ ж. Итак, Is ^ 0.

Рассмотрим теперь интеграл 11. Предположим сначала, что a(t) = 1 при Щ < 5. Тогда при 15 > 1 имеем

«1

h = —[x(ui > щ)а'(t)(1 — — N) j h(r)dß(x,r)] —

U2

1/i U1

—ljix(ui > U2)v(I%I — N) j h(r)dß(x, r))dt = Iii — I12.

0 «2

v

Введем обозначение Фм(x,v) = rq(IxI — N) f h(r)dß(x,r). Тогда

0

i/

Ii2 = lj {(Фм (x,Ui) — Фм (х,щ ))+)dt. 0

Очевидно, что

(Фм(x,ui) — Фм(х,щ))+ < (Фм(х,щ) — Фм(x,Uio))++

+ (Фм (х,ию) — Фм (х,и2о))+ + (Фм (х,и2о) — Фм(х,щ)) + .

Следовательно,

"я>м (х,и10) — Фм

1/1

112 — {(Фм (х,и10) — Фм(х,и2о)) + ) <

< I J {(Фм(х,щ) — Фм (х, и 10))+ + (Фм (х,и20) — Фм(х,и2)) + )&. 0

Далее,

1/1 1/1 иг

I J{(Фм(х,щ) — Фм(х,ию))+)М <1 У^(|х| — N J Ы(г)(3(х, г) )(И <

0 0 иго

1/

< I У {Г1 (|х| — N)13(х,щ) — 3(х,ию)1)а. 0

Поэтому, в силу (3.4), переход к пределу при I ^ ж, N ^ ж в интеграле Д дает

иг

Им Л >ъ)Ы «)[ Ы№ г)ь

и2

иго

—{ х( и10 > и20) Ы( ) ¡ ( х, )).

и2о

Таким образом, тройной предельный переход в (5.1) завершает доказательство неравенства (3.6) теоремы. Предельный переход к функции а общего вида очевиден.

Докажем теперь, что из (3.6) следует единственность ренормализованного решения задачи Коши. Действительно, условие невозрастания функции Ь(х,и) по и влечет неравенство С(¡1 — f2) < 0, поэтому из (3.6) при а(1) = гц(Ь/Т)г](—Ь) получаем, что [(¡3(х,и1) — 3(х,и2))+\ < 0, или 3(х,и1) < 3(х,и2) почти всюду в Тт. Переставив и1 и и2, получим противоположное неравенство, то есть 3(х,щ) = 3(х,и2), что завершает доказательство единственности.

Легко видеть, что единственность имеет место и при более слабых требованиях на ре-нормализованное решение:

3 (х, и) Е Ь1,1ОС(От), ¡(г, х) = Ь(г ,х,и, Чи) Е Ь1М,(От).

6. Приложение

Доказательство леммы 1 легко выводится из следующего утверждения.

Лемма 5. Пусть V Е X, 3(х, у) - каратеодориева функция, неубывающая по V, 3(х, 0) = 0, 3(х, V) Е Ь11ос(ТТ) и и0 : М ^ М, 3(х, ь0) Е Ь1>1ос(Жп). Пусть т Е X' + Ь11ос(0Т), и выполнено неравенство

[(3(х, V) — 3(х, Ьо))щ] > (гевр. <)(т,р)вт (6.1)

при всех неотрицательных р Е С^((—1,Т) х Еп). Тогда

V

[LPt J Ы(г)(3(х, г)] > (гевр. <)(т,Ы(ь)рр)0т (6.2)

vо

при всех неотрицательных Ы Е (М) и р Е С¿((—1,Т) х Еп).

Доказательство леммы 5. Поскольку |J h(r)d[3(х, r)| < ||h||œ|3(х, v) — /(x,Vq)I, то

vo

v _

J h(r)d/(х, r) E Ll,\oc(DT), и интегралы в (6.2) определены. Достаточно доказать одно

vo

из неравенств леммы, так как если v удовлетворяет первому неравенству в (6.1), то —v удовлетворяет другому с заменой /(х, г) = —/(х, — r), vo = —Vq и w = —w соответственно.

Если справедливо первое из неравенств (6.1), то оно справедливо также и для неотрицательных функций p EY,

У = Ы х> = /* ,х^Е, OL.(DT ), _ „граничен,

- это легко установить соответствующим предельным переходом. Сначала предположим, что h > 0 не убывает, h Е W^ (R). Ясно, что

h( ) / ( х, ) < h( )( / ( х, ) — / ( х, ))

при всех r, s Е R и почти всех х Е Rn. Следовательно, при всех t > 0

v(t)

j h(r)d3(х, r) < h(v(t))(/(x, v(t)) — /(х, v(t — rj))), (6.3)

v( t — Tj)

v(t)

j h(r)d/(x, r) > h(v(t — î]))(/3(x, v(t)) — /(х, v(t — r]))) (6.4)

v(t — Tj)

почти всюду в Rn, где полагаем v(t) = Vq при t < 0. Пусть p E С^((—ж,Т) x Rn), p > 0,

t+Tj

тогда ( = h(v)p E X . Отметим, что при любом малом г] > 0 функция (v(t) = 1/r] f ((s)ds,

(v(Т) = 0 лежит в пространстве У. Поэтому (v можно подставить в (6.1). Согласно (6.3), запишем цепочку соотношений

(w, (v) DT < [((v)t(3(х, v) — 3(X, Uo))] = (6.5)

= i ~(C(t + v) — C(t))(3(x,v(t)) — 3(x,v0))dxdt =

D-

= I -<(t)(3(x, v(t — ri)) — 3(X, v(t)))dxdt =

D-x

D-x

v(t—T))

< J — J h(r)d3(x, r)dxdt D* v(t)

^h(v(t))(3(x, v(t — v)) — 3(x, v(t))) <

v (t)

P(t + V) — P^I h(r)d3(x, r)

vo

Так как функции (v ^ ( = h(v) p в X, (p(t + rj) — p(t))/r] ^ pt(t) в L^(DT ) при r] ^ 0

и

[С v, f] = [(, f—v ] ^ [(, f], V f E Li,ioc(DT ),

после предельного перехода в (6.5) получим (6.2).

Теперь предположим, что Ы > 0 не возрастает. Пусть у0т Е X, 3(х, У0т) ^ 3(х, У0) в Ь^М) при т ^ ж и пусть т фиксировано в следующих выкладках. Подставляя Ы = —Ы(г) в (6.4), будем иметь

Ы(г)(3(х, г) < Ы(у(г — т]))(3(х, у(г)) — 3(х, у(г — г])))

(6.6)

v(t — ))

для п.в. > 0, при > 0, где в этот раз при < 0 мы определяем ( ) = 0 т. Как и ранее,

t

С = Ы1(у)р. Следовательно, при малых г] > 0 функция (—Г)(1) = 1/г] / ((в)(в, (—))(Т) = 0

— )

лежит в пространстве V. Поэтому (—Г) можно подставить в (6.1). Используя (6.6), запишем следующие соотношения

(т, (—))вт < [((—))г(3(х, ь(1)) — 3(х, ЗД))] = = [-Ш — — г]))(3(х, у(1)) — 3(х, г*,))] =

= [^ — 'П)(3(х, ь(1 — п)) — 3(х, ь(т — )

--{С (I — л)(3 (х, Кот) —3 (х, Уо))(г <

0

<

Ф — V) V

v(t — r))

Ы1(г)(3(х, г)

v(t)

—1 I {р(г)Ы1(Уот)(3(х, Уот) —3(х, Ьо)))& = — )

'и № "1 о V0ЭТ

^ — ф [ Ы1(г)(3х г) 1

vо

+ - ф) у Ы1(г)(3(х, г)) а—

—) vо

Отметим, что

— - I {(р(Ь)Ы1 (Ьот)(3(х, Уот) —3(х, Ьо)))(И. — )

о V0m

V0m

{ ф)] Ы1(г)(3(х, г))а = {р(0) у Ы1(г)(3(х, г))+

—) vо vо

о vоm

+-I{(ф) — р(0))1 Ы1(г)(3(х, г))(И,

—) vо

о

о

где последний интеграл стремится к 0 при г/ ^ 0. Аналогично, имеем

1 ( p(t)h1(v0m)(ß (x,V0m) —ß (x,V0)))dt = -v

= (p(0)h1(Vom)(ß(x,Vom) — ß (x,V0))) +

+ - ((p(t) — p(0))h1(Vom)(ß(x,Vom) — ß (x,V0)))dt, -v

где последний интеграл стремится к 0 при г/ ^ 0. Теперь, пользуясь тем, что функция (-v ^ h1(v)p в X и (p(t + rj) — p(t))/rj ^ pt(t) в Lro(DT) при г] ^ 0, получаем

V DQm

(w,h1(v)p)DT — [ptJ h1(r)dß (x, r)] + (p(0) J h(r)dß (x, r)) —

Q Q

— (p(0)h(v0m)(ß(x,V0m) — ß(x,V0))).

Поскольку ß(x,Vom) ^ ß(x,Vo) в L1,\oc(Rn), то после предельного перехода m ^ <х, пользуясь ограниченностью функции h1, получаем (6.2) в случае невозрастания h1. Перепишем (6.2) в виде

(W^)dt — [<pt(ß(x, v) — ß(x,v0))], (6.7)

s

где W = wh1(v), ß(x, s) = f h1(r)dß(x, г). Неравенство (6.7), установленное для

о

ф Е СК(—1,Т) х Rn), предельным переходом распространяется и на функции ф Е Y. В частности, как было показано выше, для неубывающей неотрицательной функции h2 из (6.7) следует соотношение

V

(W,h2(v) p) dt — [pt J h2(r)dß(x, r)],

VQ

при любой функции p Е СК(—1,Т) х Rra), p > 0, равносильное (6.2) с h = h1h2. Любая неотрицательная функция h Е W^ (R) может быть приближена выпуклой комбинацией таких произведений. Поэтому лемма верна для таких функций.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. Москва: 1958, Гос. издательство физ.-мат. лит.-ры, 268c.

2. P.A. Raviart Sur la resolution de certaines equations paraboliques non lineaires // J. Funct. Anal., 5 (1970). P. 209-328.

3. A. Bamberger Etude d'une equation doublement non lineaire // J. Funct. Anal., 24 (1977). P. 148155.

4. H.W. Alt, S. Luckhaus Quasilinear elliptic-parabolic differential equations // Math. Z., 183 (1983). P. 311-341.

5. Иванов А.В., Мкртычян П.З., Ягер В. Существование и единственность регулярного решения первой начально-краевой задачи для некоторого класса дважды нелинейных параболических уравнений // С.-Петербургское отделение института математики им. В.А. Стеклова РАН, 359 (1993). C. 209-328.

6. Мкртычян П.З. О единственности решения второй начально-краевой задачи для уравнения политропической неньютоновской фильтрации // Записки научных семинаров ПОМИ, 200 (1992). C. 110--117.

7. F. Otto L1-Contraction and uniqueness for quasilinear elliptic-parabolic equations // J. of Differenutial Equations, 131(1996). P. 20-38.

8. Ph. Benilan, L. Boccardo, Th. Galluet, M. Pierre, J.L. Vazquez An L1-theory of existence and Uniqueness of solutions of nonlinear elliptic equations // Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze, 22:2 (1995). P. 241-273.

9. Кружков С.Н. Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными // Матем. сб. 81(123):2(1970). C. 228-255.

10. R.J. DiPerna and P.-L. Lions On the Cauchy problem for Boltzmann equations: global existence and weak stability // Ann. of Math., 130 (1989). P. 321-366.

11. D. Blanchard, F. Murat Renormalised solutions of nonlinear parabolic problems with L1 data: existence and uniqueness // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 127 A(1997). P. 11371152.

12. A. Prignet Existence and uniqueness of entropy solutions of parabolic problems with L1 data // Nonlinear Analysis Th. Math. Appl., 28 (1997). P. 1943-1954.

13. J. Carrillo, P. Wittbold Uniqueness of renormalized solutions of degenerate elliptic-parabolic problems // J. Differential Equations, 156 (1999). P. 93-121.

14. Антонцев С.Н., Шмарeв С.И. Существование и единственность решений вырождающихся параболических уравнений с переменными показателями нелинейности // Фундамент. и прикл. матем., 12:4(2006). C. 3-19.

15. H. Redwane Uniqueness of renormalized solutions for a class of parabolic equations with unbounded nonlinearities // Rendiconti di Matematica, Serie VII, Roma,28(2008). P. 189-200.

16. H. Redwane Existence results for a class of nonlinear parabolic equations in Orlicz spaces // Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, http://www.math.u-szeged.hu/ejqtde/ , 2(2010). P. 1-19.

17. Chao Zhang, Shulin Zhou Renormalized and entropy solutions for nonlinear parabolic equations with variable exponents and L\ data //J. Differential Equations, 248(2010). P. 1376-1400.

18. M. Bendahmane, P. Wittbold, A. Zimmermann Renormalized solutions for a nonlinear parabolic equation with variable exponents and L\ data //J. Differential Equations, 249 (2010). P. 14831515.

19. Андриянова Э.Р. Оценки скорости убывания решения параболического уравнения с нестепенными нелинейностями // Уфимск. матем. журн., 6:2(2014). C. 3-25.

20. Андриянова Э.Р., Мукминов Ф.Х. Существование решения параболического уравнения с нестепенными нелинейностями // Уфимск. матем. журн., 6:4(2014). C. 32—49.

21. Кожевникова Л.М., Леонтьев А.А. Убывание решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью в неограниченных областях // Уфимск. матем. журн., 5:1 (2013). C. 63-82.

22. Кожевникова Л.М., Хаджи А.А. Существование решений анизотропных эллиптических уравнений с нестепенными нелинейностями в неограниченных областях // Матем. сб., 206:8 (2015). C. 99-126.

23. Королев А.Г. Теоремы вложения анизотропных пространств Соболева-Орлича // Вестн. Москов. ун.-та, 4(1983). C. 32-36.

Мукминов Фарит Хамзаевич Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112 450000, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]