CC BY
40
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 4 (2011). С. 64-86.
УДК 517.946
ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ АНИЗОТРОПНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ДВОЙНОЙ
НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ЛЕОНТЬЕВ
Аннотация. Для некоторого класса анизотропных параболических уравнений второго порядка с двойной нелинейностью в цилиндрической области И = (0, те) х О рассматривается первая смешанная задача с однородным краевым условием Дирихле и финитной начальной функцией. Установлены оценки сверху, характеризующие зависимость скорости убывания решений при £ ^ те от геометрии неограниченной области О С М„, п > 3. Существование сильных решений доказывается методом галеркинских приближений, способ построения которых для модельного изотропного уравнения ранее был предложен Ф.Х. Мукминовым, Э.Р. Андрияновой. На основе галеркинских приближений получена оценка допустимой скорости убывания решения в неограниченной области, доказывающая точность оценки сверху.
Ключевые слова: анизотропное уравнение, параболическое уравнение с двойной нелинейностью, существование решения, скорость убывания решения.
1. Введение
Пусть П — неограниченная область пространства Кга = {х = (х\,х2,...,хп)}, п > 3. В цилиндрической области И = {Ъ > 0} х П для анизотропного квазилинейного параболического уравнения второго порядка рассматривается первая смешанная задача
п
(|u\k-2u)t = ^(aa(ula)иХа)Ха, к > 2, (t, x) е D;
а=1
u(t, x) =0, S = {t> 0} x дÜ;
и(0, х) = <р(х), <р(х) е ьк(П), рХа (х) е ЬРа (П), а = 1,п. (3)
Предполагается, что неотрицательные функции аа(в), в > 0, а = 1,п, подчиняются условиям: а«(0) = 0, аа(з) е С*(0, те),
аз(Ра-2)/2 ^ аа(з) ^ аз^-2^2, (4)
—аа(в) ^ аа(з) + а'а(з)з ^ Ъаа(з), (5)
с положительными константами а > а, 2Ь > р\ > к (р\ ^ р2 ^ ... ^ рп). Например, аа(в) = в(Ра-2)/2, а = 1, п, Ъ = рп.
Работа посвящена изучению скорости стабилизации при £ ^ те решения задачи (1)-(3) с финитной начальной функцией <^(х).
L.M. Kozhevnikova, A.A. Leotiev, Estimates of solutions of an anisotropic doubly nonlinear parabolic equation.
© Кожевникова Л.М., Леонтьев А.А. 2011. Работа поддержана РФФИ (грант 09-01-00440-а). Поступила 15 июля 2011 г.
Начало изучению скорости убывания при больших значениях времени решений смешанных задач для параболических уравнений в неограниченных областях с начальной функцией, ограниченной в одной из Lp-норм, было положено в работах [1], [2]. В широком классе неограниченных областей в терминах простой геометрической характеристики v(r) = mes Q(r), Q(r) = {x G Q | |x| < г} А.К. Гущиным установлены точные оценки решений второй смешанной задачи для линейного параболического уравнения второго порядка в дивергентной форме.
Исследованию поведения решений смешанных задач для линейных и квазилинейных параболических уравнений второго и высокого порядков при t ^ ж посвящены работы В.И. Ушакова [3], [4], Ф.Х. Мукминова [5], [6], А.Ф. Тедеева [7] - [9], И.М. Биккулова, Ф.Х. Мукминова [10], Л.М. Кожевниковой, Ф.Х. Мукминова [11], [12], Л.М. Кожевниковой [13], [14], Л.М. Кожевниковой, Р.Х. Каримова [15] и др. Обзоры соответствующих результатов можно найти в [11], [13], [15].
В изотропном случае, т.е. когда все ра равны между собой и равны р, р > 2, при к = 2 задача (1)-(3) исследовалась в работе [15]. Анизотропный случай для смешанных задач является малоизученным. Оценки скорости убывания решения задачи Коши для параболического вырождающегося уравнения с анизотропным р-лапласианом и двойной нелинейностью установлены в работе С.П. Дегтярева, А.Ф. Тедеева [16] .
Ради простоты ограничимся рассмотрением областей, расположенных вдоль выделенной оси Oxs, s G 2,п — 1 (область Q лежит в полупространстве R+[s] = {x G Rn | xs > 0}, сечение 7r = {x G Q | xs = г} не пусто и ограничено при любом г > 0). Ниже будет использовано обозначение: Qba = {x G Q | a < xs < b}, при этом значения a = 0, b = ж опускаются.
Для изучения убывания решения задачи (1) - (3) при xs ^ ж будем пользоваться геометрической характеристикой, которую определим следующим образом. Положим
va(r) = mî{\\дХа ||Ьрв (7г ) | g(x) G Co°°(Q), \\g\\Lva ы = l} , r> 0, v(r) = min{u\(r), un(r)}. Будем считать, что область Q удовлетворяет условию
6)
J V(г)¿г = то. (7)
1
Предполагается, что начальная функция имеет ограниченный носитель так, что
вирр р С ПКо, До > 0. (8)
Теорема 1. Пусть к > 2 и выполнены условия (7), (8). Тогда найдутся положительные числа п(р3,к), М(рв ,к) такие, что обобщенное решение и(Ь, х) задачи (1)-(3) при всех Ь > 0, г > 2К0 удовлетворяет оценке
\\иШЬк(пг) ^ М ехр ! и(р)ф^ Ьк(п). (9)
На основе оценки (9) устанавливаются результаты об убывании решения задачи (1)-(3) при Ь ^ то.
Допустимая скорость стабилизации решения изотропного квазилинейного параболического уравнения высокого порядка при к = 2 изучалась А.Ф. Тедеевым [17] для первой смешанной задачи и N. АНкакоэ, И.. Иоз^ашап [18] для задачи Коши. В следующей теореме получена оценка снизу для решения задачи (1)-(3).
Теорема 2. Пусть 2 ^ к < р1 и выполнены условия (7), (8). Тогда существует положительное число С(р,к,р1, а,Ь) такое, что обобщенное решение и(Ь, х) задачи (1)-(3)
при всех t > 0 подчиняется оценке
\ж\к(п) > IMk(п) (С(<p)t + 1)-l/(l1-k. (10)
Определим функцию
Mr) = inf{\\gxi\LpiП) | g(x) е С~(П), \\д\\Ыаг) = 1} , г > 0. (11)
Будем исследовать убывание в областях, для которых выполнено условие
lim ßl(r) = 0. (12)
Показано, что если это условие не выполнено, то достигается максимальная скорость убывания решения, т.е. справедлива оценка
\Ht)\\Lk(П) ^ Mt-l/(pi-k), t> 0, (13)
(см. следствие 2).
Пусть r(t) — произвольная положительная функция, удовлетворяющая неравенству
i Г(Р \
(ßP1 (r(t))t)-l/(p1-k] exp I к и(p)dp I > 1, t> 0. (14)
Существование такой функции следует из (12).
Теорема 3. Пусть 2 ^ k < pl и выполнены условия (7), (8), (12). Тогда найдется положительное число М(ps,pl, \Мк(П)) такое, что для решения u(t, x) задачи (1)-(3) справедлива оценка
\ж\к(п) < м Ы1 (r(t)))-l/(P1-k) , t> 0. (15)
Если для г > 1 выполнены условия:
г
J v(p)dp > b ln г, (16)
l
ßl(r) > Cr-a (17)
с положительными постоянными а,Ъ,С, то можно положить
r(t)= tl/(aP1+Kb(P1-k)), t> 0,
и оценка (15) принимает вид
\\u(t) \k (п) ^ МГк/( ? l1+^(l1-k)), t> 0. (18)
Если же вместо неравенства (16) выполнено условие:
г
lim -— v(p)dp = те, (19)
ln Г J l
то можно выбрать
r(t) = ts/(ap1), t> 0, е е (0,1), (20)
и оценка (15) принимает вид
\Ht)\\Lk(П) < Mt-(l-£)/(p1-k), £ е (0,1), t> 0. (21)
Выбор функции r(t) формулой (20) является удовлетворительным, поскольку оценка (21) имеет показатель степени близкий к показателю 1/(pl — к) оценки снизу (10). Рассмотрим область вращения
Ü(f )[s] = {x е | ж, > 0, |xM < f (ж,)} , s е 2,n — 1, (22)
x's = (х1,... ,xs-1,xs+1,... ,хп), с положительной функцией f (xs) < ж. От функции f требуется только, чтобы множество П(/)[s] было областью.
Для таких областей справедливо соотношение
и (г) = , г > 0, (23)
поэтому условие (19) принимает вид
г
lim Т"- f ~77~\ = ж. (24)
ln rj f (р) 1
Для областей вращения вида (22) выразим оценки (9), (15) через функцию f (х). Соединяя (9), (23), получаем следующую оценку
IK*)|k(пг) ^ М exp ^-к I J?) j IMk(q), t > 0, г > 2Д0. (25)
Для областей вращения, удовлетворяющих условию (24), выбор функции r(t) формулой (20) оправдан и справедлива оценка (21). Однако, для таких областей можно получить более тонкие оценки.
Следствием теоремы 3 для областей вращения вида (22) является следующая оценка (см. утверждение 1)
IK*)Ik(п(/)) ^ Mt-1/(pi-^g(t), t > 1, (26)
где функция g(t) растет медленнее любой степенной функции t1,7 > 0.
В области Q(/a)[s] с функцией fa(x) = ха, 0 ^ а < 1, х > 0, для решения задачи (1)-(3) оценка (26) принимает вид (см. пример 1 §5)
1Ж1к(п(/)) ^ Ш-1/(р1-к) (ln t)*/(1-a\ t > е,
Р1 , п — 11 (27)
X = а-г + а—— + 7.
р1 — к к к
В области П(/)[s] с функцией f (ж) = е, 0 < х < е, f (ж) = х/ ln х, х > е, для решения задачи (1)-(3) оценка (26) принимает вид (см. пример 2 §5)
IKi)Ik(п(/)) ^ Mi-1/(pi-k)(lnt)-°/2 exp (e(lni)1/2) , t > e,
P1 n — 1 (28)
p1 — к к 2. Вспомогательные утверждения
Пусть II • HP,Q — норма в Lp(Q), р > 1, (•, •)q — скалярное произведение в L2(Q), причем значения р =2, Q = П опускаются. Через Dba = (a,b) х П обозначим цилиндр, значения а = 0 и b = ж могут отсутствовать.
о
Банахово пространство W к Р(П) определим как пополнение пространства С^(П) по норме
п
w = Y1IIux- ^ + м к.
к,Р(
a=1
Банаховы пространства IV ), IV ) определим как пополнения пространства
С^(ВТ_+1), соответственно, по нормам
п
N1 ш0к^т) = N1 к,+ ^ \\иХа \\Ра, Вт,
а=1
(Мк11 (ОТ) = \\и\\к,ОТ + \\щ\\к,от + ^ |
а=1
Определение 1. Обобщенным решением задачи (1)-(3) назовем функцию
о о 1
и(Ь, х) е Ц?кр(От), удовлетворяющую интегральному тождеству
/ -1и1к 2ищ + ^аа(и1а)ихаУха
п Л а=1 )
к-2 2
оТ
к 2 к 2
а(^Ха )^ха иха I сЫ-С^ — (29)
= -у 1и(Т, х)1 и(Т, х)ь(Т, х)йх + у 1^(х)1к-2р(х)у(0, х)с1х,
п п
о 11 т
для любой функции ь(Ь, х) еШ кР(О ) при всех Т > 0.
Определение обобщенного решения корректно, поскольку входящие в (29) интегралы конечны. Действительно, ввиду неравенства Гельдера, благодаря (4), для функций
оо
и(г, х) еw¿(От), у(г, х) еwкР(^Т) имеем
п п
^ К(и2ха)11иха ^ ^хМ ^ а ^ 1иха Г-1^ха Их¿1 ^ а=1А а=1А
1£)Т а=1рТ
п
< \\их«\\T~dtК«\\Ра,от,
а=1
I нк-1ыёхх^ ^ ыкк—т ы\к>вт.
ОТ
Из условий (5) следуют неравенства
(р1 — 1)аа(з) ^ аа(в) + 2о!а(з)з ^ саа(з), с = 2Ь — 1, в > 0, а = 1,п, (30) которые можно переписать в виде
0 ^ (аа(г2)г)' ^ саа(г2), г е М, а = 1,п. (31)
.5
Положим Аа(з) = / аа(т)йт, тогда, пользуясь условиями (5), выводим неравенства о
^Аа^) ^аа(з)з ^ ЬАа(з), 8 > 0, а = 1^,. (32)
Лемма 1. Любое ограниченное множество рефлексивного банахова пространства слабо компактно (см. [19, гл. V, §19.7, теорема 1]).
о о о' 1
Замечание 1. Пространства Р(П), Ш к Р(Б) являются рефлексивными сепара-
бельными банаховыми пространствами. Действительно, пространство IV к'1р(-0Т) является замыканием образа отображения I : , х) е С0?(В—+[1) м- (у, ьх1, ьх2,..., ьхп) е е Ьк(БТ) фЬР1 (Бт) ф ... фЬРп (Бт). Поскольку пространства Ьк(БТ), ЬР1 (Бт),..., ЬРп (Бт)
рефлексивны, то подпространство IV (к'1р(0Т) рефлексивного пространства Ьк(БТ) ф ЬР1 (Бт) ф ...ЬРп(Бт) также является рефлексивным.
Замечание 2. В дальнейшем, чтобы избежать громоздкости в рассуждениях, вместо утверждения типа "из последовательности им можно выделить подпоследовательность им*, сходящуюся в Ь2(П) при г м те будем говорить просто "последовательность им выборочно сходится в Ь2(П) при М м те". Соответственно, будем использовать термин "выборочно слабо сходится" и т.п.
Лемма 2. Пусть дм(t, x), М = 1, ж, g(t, x) — такие функции из Lp((0,T) х Q), 1 < р < ж, что
\\дм||р,(о,t)xq ^ С, дм ^ д при М ^ ж почти всюду в (0,Т) х Q, тогда дм ^ д при М ^ ж слабо в Lp((0,T) х Q) (см. [20, гл. I, §1.4, лемма 1.3]).
Лемма 3. Пусть система функций фг(х) е С»°(П), г = 1, ж, линейно независима, и
о
её линейная оболочка является всюду плотным множеством в пространстве Шк, р(П).
ь
Через Рь обозначим совокупность функций ¿Оф^х), где ¿О е С»[0,Т]. Тогда мно-
г=1
о 0 1т1
жество Р = и Рь плотно в пространстве Шк р(ЕТ) (см. [21, гл. II, §4, лемма 4.12]). ь=1 ,
Лемма 4. Пусть последовательность {им(¿,х)}^=1 ограничена в пространстве РО01р(ДТ), к ^ р1. Тогда найдется счетное плотное множество {Ъ^}°=1 С [0,Т] такое, что {им(Ь^, х)}»=1 выборочно сильно сходится в пространстве Ьк((^) для любой ограниченной области Ц С П с гладкой границей при М ^ ж для каждого фиксированного , ] = 1, ж.
Доказательство проведем по схеме, предложенной Ж.-Л. Лионсом [20, гл. I, §12.2, теорема 12.1]. Из условия леммы следуют неравенства
п
\\им\\inr + £ ||<\\ЦВТ ^ с, М = 1ГЖ. (33)
«=1
Рассмотрим множество Е точек Ь е [0,Т], для которых
м^ (\\«мrnt + £ К(«) = ж.
Мера Е равна 0, так как иначе
т
¿jm J ^ \ \ им (t) \ \ t + it \ \ има (t) \ \ dt >
> м™»/ ( \ \ иМ (*) \ \ к+£ \ \ < (*) \ \ & = ж,
что противоречит неравенствам (33). Тогда для почти всех £ е [0,Т] справедливы неравенства
п
\\им(г)\\к + £ \\ има(г)\\ц ^ 01(1), м = тж,
«=1
из которых, ввиду условия к ^ р1, для любой ограниченной области Q С П с гладкой границей вытекают неравенства
\ \ Vм(ь) \\^ м ^ С2(Ь), м =1,ж.
Из компактности вложения №^¡.(0) С Ьк(^) следует, что для любого Ь е [0,Т] \ Е последовательность им (¿, х) выборочно сильно сходится к и(Ь, х) при М ^ ж в Ьк^).
Пусть последовательность {tj }°=1 плотна на отрезке [0,Т] и tj е Е .С помощью диагонального процесса можно выделить подпоследовательность им такую, что им (tj) ^ u(tj) сильно сходится при г ^ ж в Ькдля любого ]. □
Вопросы существования и единственности решения изотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью рассматривались в работах P.A. Raviart [22], Ж.Л. Лионс [20], A. Bamberger [23], O. Grange, F. Mignot [24], H.W. Alt, S. Luckhaus [25], F. Bernis [26] и других. В основном рассматривались задачи в ограниченных областях. Сильное решение задачи в ограниченной области было установлено P.A. Raviart путем замены эволюционной производной разностным отношением. A. Bamberger установил единственность сильного положительного решения задачи. F. Bernis доказал существование слабого решения задачи в неограниченной области предельным переходом от решений, построенных в ограниченных областях O. Grange, F. Mignot. Слабое решение задачи Коши для анизотропного уравнения при к = 2 было построено M. Bendahmane, K.H. Karlsen [27]. Однако для получения оценки снизу убывания решения при t ^ <х нужна его дополнительная гладкость.
Ф.Х. Мукминов, Э.Р. Андриянова[28] предложили обычный способ построения сильного решения для модельного изотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью сразу в неограниченной области на основе галеркинских приближений. Здесь этот метод адаптирован на некоторый класс анизотропных параболических уравнений вида (1).
о
Теорема 4. Пусть <p(x) EW k,p№)> Pi > 1, к > 2, тогда существует обобщенное решение u(t, x) задачи (1)-(3), для любого Т > 0, удовлетворяющее условиям
о
u EL^((0,T),Wl,p(m (34)
lul(k-2)/2ut EL2(DT), \\u(t)\\k EC([0,T]);
(35)
lulk-2ut ELk'(DT), к' = ---. (36)
к — 1
При этом справедливы неравенства
t
П г.
(к — 1)\\u(t)\\kk + ка \Ка(r)\\^dr ^ (к — 1)Мk, t > 0; (37)
а=1
0
А п
(к - 1)^\\иЦ)\\к + ка£ Квтц ^ 0, 1> 0. (38)
а=1
Доказательство. Выберем линейно независимую систему функций -ф^ (х) Е С^(0>), г = 1, те, такую, что ее линейная оболочка является всюду плотным множеством в про-
о
странстве Шк р(^). Будем считать, что эта система является ортонормированной в Ь2(&).
Зафиксируем произвольное Т > 0. Приближенные решения им (Ь, х) будем искать в виде
м _
им(Ь, х) = с^(Ь)-фг(х), М =1, те. При этом функции с^(Ь), Ь Е [0,Т], определяются из
г=1
системы обыкновенных дифференциальных уравнений
((^ + luMlk-2uM^ + g (aa((uZ)2)u£, (ipj)Xa) =0, j = i;M (числа bM > 0 выберем позже) и начальных условий
cM (0) = cM, 1=1,M, (40)
подобранных так, что
м
им(0, х) = £ с^фг(х) ^ <р(х) в IVк,р(П) при М ^ ж. (41)
г=1
Отсюда сразу следует, что
\ \ им(0) \\ ^,Р(П) М1^,р(п)), М = т;ж. (42)
Убедимся, что уравнения (39) разрешимы относительно производных — см (¿). Очевидиц
но, что уравнения (39) имеют вид
^г( см (!),..., °м (^))Т7 Ч ( <- ) = Ч ((Ч,..., ^м
м л _
см (*),..., ^ (*)) ^ см (*) = (< (*),..., $ (*)), ^ = 1,М, (43)
г=1
.•. , см)= | | ^м + (к - 1)
к-2^
м
1=1
фг, Фз I = (Фг,Фj)м, г,] = 1,М,
Fj (С1,..., см) =
п м ( //м
п м I I / м
ЕЕ Сг ( ^ ( Е
а=1 г=1 \ \ \г=1
Сг | аа (IV См (^ )х 1 I (фг)Ха, (Фз )Ха I , 3 = 1,М.
Нетрудно проверить, что (д,К)м, 9,Ь е С»(П), является скалярным произведением. Следовательно, матрица коэффициентов Аз^см(¿),..., см(¿)) при каждом Ь является матрицей Грама системы линейно независимых векторов фг, г = 1,М, и имеет обратную. Поэтому, систему (39) можно переписать в виде
И м
I ^ (*) = ЕА-1( < (*),..., смм (№ (см (I),..., смм (*)), * = ЬМ. (44)
3=1
Установим теперь оценки для галеркинских приближений. Умножим -е уравнение (39)
на смм (¿), и затем все уравнения сложим по ] от 1 до М, в результате получим равенства
[{^м + 1им 1к-2им),,им) + £М«)2Х,<) = 0, м=^
* 7 «=1 которые можно переписать в виде
| (V"\\пм(*)\\к + 2м\\им(')\^ + ^ (°в((^^)2)И^^} =0, М = 1, ж. (45)
^ ' а=1
После интегрирования от 0 до Ь е [0,Т] будем иметь
1 ■ \ \ им(*)\\2 + ^\\ Пм(*)\\к + Е (М«)2)<,<)J
Н Н ^ £ Н Н к^ /^У^аУУ^Ха) ) "х^ "ха>/ —
а=1
1 и _ 1 _
= ^ \\ ^(0) \\ 2 + — \\«м(0)\\к, М =1, ж. (46)
Учитывая (4), полагая Ьм = М\\мм(0)\\2, соединяя (46) и (42), выводим неравенства
1 п _
— т,ах \\ им(*) \\2 + т,ах \\ им(*) \\кк + Е \ \ < \\Ц^т ^ Е2, М = 1, ж. (47)
' ' а=1
Здесь и ниже постоянные Ег зависят только от а, а, Ь, р, \\^||(п).
Неравенства (4), (47) позволяют установить оценки
£ \ \ аа((иI)2)и£ \\ра/(ра-1),вт < ¿Е \\и£ \\^ ^ Е3, М = 1, те. (48)
а=1 а=1
Покажем, что все возможные решения решения задачи (40), (44) равномерно ограничены на [0,Т]. Действительно, пользуясь (47), выводим
м
Ми\ |2 ^ V1 „,„„ \„Ми\ |2 Н„.м и\ II2 ^ тл иМ
max I cM (t)l2 < V max | cM Ш2 = max \ \ uM (t) \ \2 < E2 bM, t=1,M.
[0,T] г wl _ ^ [0,T] ' j Wl [0,T] u y ; u ~ j=1
Ввиду непрерывности правой части уравнений (44), существуют абсолютно непрерывные функции cM(t), t E [0,T], г = 1,M, которые почти всюду удовлетворяют системе (44) и начальному условию (40) (см. [29, с. 120]).
d
Умножим теперь j-е уравнение (39) на — c^f (t), и затем все уравнения сложим по j от
dt j
1 до M, в результате получим равенства
((uM + IuMIk-2uM)t ,uM) + it ЫК)2)uM,uMa) =0, M = L«,
которые можно переписать в виде
-M\\uM\\2 + (к — 1) \\ IuMI(k-2)/2uM\\2 + 11 ¿/a,((uMa(t))2)dx = 0, M =1^. (49)
a=1 n
После интегрирования от 0 до t E [0,T], пользуясь (32), будем иметь
1 п 2b
bM\\uM\\Ь + (к — 1)\\luMi(k-2)/2uM\\Ъ + ЫК(t))2)uMa(t),uMa(t)) ^
^ ^E ЫК (0))2 )uMa (0),uMa (0)) , M = 1, «.
Pi a=1
Применяя (4), пользуясь (42), выводим
\ \ IuM I(k-2)/2uM\\lT \\uMa (t)\\£ ^E3, M = 1, «. (50)
Н \ \ ГМ I / \ \ \Ь I \ \ п
ь 11 ^ [0 ^^_^ иРа
' а=1
Из неравенств (47), (50) следует ограниченность последовательности {им=1 в пространствах С ([0,Т],]У 1р(П)), IV к,р (От) и Цим 1(к-2)/2и™ в Ь2{ВТ). Кроме того, из неравенств (48), следует ограниченность последовательностей аа((и1^а)2)и1^а в пространствах LPa/(Pa-1)(Dт), а = 1,п. Установленные факты обеспечивают выборочную слабую сходимость указанных последовательностей при М ^ те в соответствующих пространствах:
иМ -и в ж),
"а(( иХа) ) иха ' " ' ......^^
к
a»((u^a?)uMa ^ b» в LPa/(Pa-1)(dT), « = 1,n,
уМ = ^У2^^ = | 1иМ\(к-2)/2^ -д в Ь2фТ).
Ниже докажем, что им выборочно почти всюду в Dт сходится к и, это позволит установить, что д = VI = (1и1(к-2"'/2и)1.
О _
Последовательность им Е С([0,Т],Ш кР(П)), М = 1, те, ограничена в этом пространстве. Для каждой ограниченной области Q С П с гладкой границей имеем компактность
вложения С ^11(<5). Поэтому диагональным процессом можно установить выбо-
рочную сильную сходимость им(Ьз, х) ^ Н(Ьз, х) в Ь]^^) на счетном плотном множестве 1 С [0,Т]. Можно также считать, что им(Ьз, х) ^ к(Ьз, х) выборочно почти всюду в Q при каждом 1з, ] = 1, ж. Совершенно аналогично, при к < р1 можно также считать, что последовательность им(Ьз, х) ^ Н(Ьз, х)) сильно в Ьк (<5) при каждом Ьз, 2 = 1, ж.
Следуя Ж.Л. Лионсу [20, гл. I, §12.2], докажем выборочную сильную сходимость последовательности Vм в пространстве С([0,Т], Ь]^^)). Сначала установим равностепенную непрерывность по Ь последовательности Vм = |мм|(к-2)/2им в Ь2(П):
I | Vм (t2) - Vм (t1) I | =
Í2
/ ,.м<
Í2
I I ^ (t) 11 dt ^
il
(t) dt
ti
1/2
^ |Í2 - íi|1/2 I y || v^(t) II 2dt\ ^E4lt2 - íl|1/2, ti, t2 G [0,T], M = 1^. (51)
i
Из неравенств (47) заключаем равномерную по t G [0, T] ограниченность последовательности vм (t, x) в L2(n):
I I Vм(t) I | = |I им(t) 11 f ^E5, M = 1^.
Ввиду ограниченности последовательности Vм(t, x), M = 1, ж, в пространстве
С([0,T], L2(Q)) она выборочно слабо сходится в Ь2(П) при тех же tj, что и выше. Из устам
новленной выше выборочной сходимости им(tj, x) ^ h(tj, x) почти всюду в Q при каждом tj следует выборочная сходимость vм(tj, x) ^ v(tj, x) = |h(tj, x)|(fc-2)/2h(ij, x) почти всюду в Q. Далее, на основе теоремы Егорова для любого S > 0 устанавливается равномерная сходимость vм(tj, x) ^ v(tj, x) на Qs, mes(Q\Qs) < ô. Отсюда, ввиду справедливости неравенств
| I Vм(tj) - v(tj) 11 1>Q ^ mes Qmax lvM(tj, x) - v(tj, x)| + ||vM(tj) - v(tj)|^
xe Qs
^ mes Q max |v M (t,, x) - v(t,, x)| + ¿1/2|| vM (t, ) - v(t, )| ,
xeQs
м
следует сильная сходимость v (tj, x) ^ v(tj, x) в L1(Q) при каждом tj.
Для ограниченной области Q из (51) нетрудно установить равномерную фундаментальность последовательности vм (t, x) по норме L1(Q):
| | vN (t) - Vм (t) 11 1,Q = | | vN (t) - vN (tn ) + vN (tn ) - vM (tn ) + vM (tn ) - Vм (t)||1,Q ^
^ (mes Q)1/2E6 lt - tn |1/2 + || vN (tn ) - Vм (tn )| Kq Выбрав конечный набор чисел tjt с малым шагом и затем увеличивая N, M, добиваемся равномерной по малости правой части.
Итак, установлена выборочная сильная сходимость Vм ^ v в С([0, T], L1(Q)). Сходимость будет также и в L1((0,T) x Q), поэтому Vм ^ v выборочно сходится почти всюду в (0,T) x Q. Благодаря произвольности Q последовательность Vм выборочно сходится к v почти всюду в DT. Тогда и последовательность им(t, x) выборочно сходится к h(t, x) почти всюду в DT. Согласно лемме 2 им(t, x) ^ h(t, x) в Lk(DT), в силу единственности предела h( , x) = и( , x) почти всюду в D T. Таким образом, м выборочно сходится к V = |ир-2)/2и почти всюду в DT.
Согласно лемме 2 vм ^ v слабо в L2(DT). Далее, (Vм,w)dt = -(vм,wi)dt для любой функции w G С0°°(Dt), переходя к пределу при M ^ ж, получим
(g ,w)dt = -(v ,wt)DT.
Отсюда следует, что д = VI = ~2>/2и)1. Отметим, что принадлежность V, VI Е Ь2^т)
влечет V Е С([0,Т], ^(П)). _
Покажем, что последовательность (1им \к-2им)t = (к — 1)1им 1к-2и^, М = 1, те, ограничена в Ьу ). В самом деле
/ \ (к-1)/к
\\ 1им 1к-2и^\\к',вт = П 1им \к(к-2)/(2(к-1))(1им\(к-2)/2\и™\)к/(к-1)АхАИ I ^
^ 2 \ \ иМ \ \ V2 \ \ ^ \ \ 2,пт .
Из ограниченности \\\им\к-2и^\\к',от следует, что (\им\к-2им)t — Ьв Ьу ). Из леммы 2
лтттптт |„,М|к-2„,М |„,| к-2„, _ г {Г)Т\ „т„гатт„ {{|„, Мi к-2„. М \ „.л _ (\„,М\к-2„,М „,, ^
следует \и \ и — \и\ и в Ьу^ ), отсюда ((\и \ и )1 ,т)^т — —(\и \ и ,т1)от, для любой функции т Е ), переходя к пределу при М ^ те, получим
(Ь ,т)вт = —(\и\к-2и,т1 )пт,
значит, Ь = (\и\к-2и)1. Тогда, можно считать, что (\им\к-2им)t — (\и\к-2"и)1 слабо в Ьк').
Докажем, что функция и(Ь, х) удовлетворяет интегральному тождеству (29). Из (39) следуют тождества
'/и1
((^ + \им\к-2им)t^ + £М«)2)и£,тХа)вт = 0, М = т;те,
■м+^Ы(иЬ2)и^ ,тХа)^ = 0, М = 1, те, (52)
* / ВТ а=1
справедливые для любой функции т(т, х) Е Р = и°^=1 Рь. Отметим, что
^ {и™,т)вт = ± { — (им,т)вт + (им(Т),т(Т)) — (им(0),т(0))} ^ 0,
благодаря ограниченности им в С([0,Т],Ьк(П)), и тому, что Ьм ^ те при М ^ те. В (52) можно перейти к пределу при М ^ те, в результате придем к тождеству
п
{(\и\к-2и)г,т)вт + £ (Ъа,тХа)„т = 0, (53)
а=1
которое справедливо для любой функции т Е Р. Ввиду плотности Р в пространстве IV) (лемма 3) тождество (53) справедливо для произвольной т ЕЮ). При этом, пользуемся тем, что (\и\к-2и)1 Е Ьк), Ьа Е ЬРа/(Ра-1)^т), а = 1,п. В частности,
для т = и, выводим
п
£( Ьа,иХа )0Т + ((\и\к-2и)г ,и)0т
у а, иха, а=1
к - 1 ^
к--- (IIи(Т)\\к — \\и(0)\\к) + £(Ъа,иХа)вт = 0.
а=1
(54)
о 0 1
Докажем, что для любой функции V ЕЮ кр^т) справедливо равенство
п п
ba, = Т.(а*((и*« )2)и*«, )от. (55)
а=1 а=1
Вычтем из (46) при Ь = Т равенства (52), для т Е Р получим соотношения
— (+ \иМ\к-2иМ)г ,т)вт + Т, Ы«)2)има, (иМ — т)Ха)оТ +
1
+" \ \ им ® \ \ к
= Т
+
=0
2 м
\ \ им (*) \ \ 2
= Т
=0
0, М = 1, ж,
из которых, используя условие монотонного неубывания функций аа(г2)г, г е К, а = 1, п, (см. (31)), выводим неравенства
и
м
41 ъм + 1«м1
м\к-2им
) ,и) + £ {й»((иха )2 )^ха , (им — и)ха )вт + 'ъ ' от а=1
+
1
к
\\им ткк
= Т
+
1
=0
2 м
\ \ им (*) \ \ 2
= Т
^ 0, М = 1,оо.
=0
Далее, перейдем к пределу по М ^ ж для фиксированного и е Р, при этом используем установленную выше сходимость.
Таким образом, для произвольной w е Р справедливо неравенство
- ((|«|к ,и)вт + £ {а*((^а )2)^а , (и — и)ха)вт +
«=1 к- 1
к
\\ и® \ \ к
= Т
(56)
^ 0.
=0
Согласно лемме 4 множество Р плотно в пространстве IV °р(-^Т). Тогда для про-
о 0, 1
извольной функции w еШ кр(ЕТ) найдется такая последовательность и1 е Р, что \ \ и1 — и\0,1 (ВТ) ^ 0 при I ^ ж. Запишем (56) для и = , затем перейдем к пределу при I ^ ж.
Обоснуем предельный переход при I ^ ж в интегралах
(аа((иХа)2)иХа, (и — и)ха)вт ^ (аа((иха)2)иха, (и — и)ха)вт , а = М.
о 0,1
Для произвольной функции ^ еж к р(^Т) найдутся 0 \ е [0,1] такие, что
(57)
1 (М(иХа)2)иХа — аа((иха )2)иха , Уха)вт 1 ^ ^ (К((иХа)2)иХа — аа((иха)2)иха 11 Уха\)ВТ <
^ \иХа —иха\\Уха\(аа(г2)г)'\,=^+(1-^^Шг. оТ
Применяя условия (31), (4), выводим
(аа((иХа)2)иХа — аа((иха)2)иха, Уха)вт \ ^
^ с / \иХ — иХ IIьХ \аа(г )\ , йх(И ^
^ \ ха ха\\ ха\ ) \ х = ( +(1-в1)'ш)ха ^
от
^ са \иХа — иха \\УХа1
\ + К.\)Ра-2 ^
ДТ
(58)
^ са||\иХа \ + \иха \ \\ рр1вт \\ иХа — иха \\Ра,дт \\Ьха \\Ра,дт ^ 0 при I ^ ж, в частности, для V = и и V = и. Кроме того, используя (5), устанавливаем
\ М(иХа)2)иХа,иХа — иха)вт \ ^ {аа((иХа)2)\иХа\, \иХа — иха\)
^«у каг >Ха—иха\^^Щиха—иха\\Ра,пт\\иХа\^^0
ОТ
при I ^ ж.
1
С1
Ввиду справедливости неравенств
\ {аа(ЫХа ?)т1Ха ,т1Ха)оТ — (аа((ЫХа )2)ЫХа ,тХа)оТ \ ^ ^ \ {аа(Ых а а Мха —тха)Вт + \ {аа(Ых а )2)т1 а — аа ((тХа )2)ЫХа ,тХа)вТ \, из (58), (59) следует (57). Таким образом, тождество (56) установлено для произвольной
т еЮ^).
Из (56) вычтем (54) и прибавим (53), в результате выводим неравенство
п
^2(аа((тХа)2)тХа — Ьа, (и — т)Ха)вт < 0, (60)
а=1
о 0' 1
справедливое для любого т ЕЮ ¡¡р(Е1-). В (60) положим т = и + £ь, £ > 0, где
о 0' 1
V ЕЮк,р(ЕТ), получим
п
аа((иХа +£УХа)2)(иХа +£УХа) — Ьа, ьХа)вт > 0.
а=1
Из последнего неравенства при е ^ 0 следует соотношение
^2(аа((иХа)2)иХа — Ьа, уХа) вт > 0,
а=1
из которого, ввиду произвольности V, будем иметь равенство (55). Из (53) и (55) для V ЕЮ°к'1р(Ет) заключаем справедливость тождества
{(\и\к-2и\, у)вт + £ (аа((иХа)2)иХа, уХа)вт = 0. (61)
а=1
Интегрируя по частям первое слагаемое, приходим к равенству
г=т
"г1'1 ( ТлТ\
— [\и\к 2и, (аа((иха )2)иха , УХа)вт + (\и\к 2и, V)
а=1
0, V ЕЮ к ).
=0
Таким образом, (29) установлено.
Ввиду произвольности Т > 0, равенство (61) запишем в виде
((\и\к~2и)т, у)вг + £ (аа((иХа)2)иХа, УХа)вг = 0, Ь> 0. (62)
а=1
Положив = и и воспользовавшись равенством
1
((\и\к-2и)т, и)Ат = \\и(г)\\к —\\<р\\к
\к-2„л „ЛА___ Л|„.ЛЛ1|к ||.,.||к>
„ к О
получим тождество
п 1
к — 1 к 2 к — 1 к
О
дифференцируя которое по , выводим
1
к 1
■ \ \ и(Ь) \ \ к + 22] (аа(и2Ха )иХа ,иХа )Ат = —\М1 к, Ь > 0,
(63)
\ \ и(Ь) \\к + ^2(аМа)иХа ,иХа) = 0, Ь> 0. (64)
а=1
Далее, применяя (4), из (63), (64) выводим (37), (38).
□
3. Допустимая скорость убывания решения
Поскольку единственность решения задачи (1)-(3) не установлена, фактически будет получена оценка снизу только для построенного решения.
Доказательство теоремы 2. Сначала предположим, что область П является ограниченной, и докажем оценку (10) для галеркинских приближений. Введем обозначения
см(*) = £ I )2)«)2*х, нм(*) = £ I Аа((има)2М
1
х,
а=1
а=1
Ем (г)
1
С)!\к + 112
пользуясь (32), получим неравенства
Цнма) ^ сма) ^ ьнм(г), г > 0.
Перепишем равенства (45), (49) в виде
¿Ем (I)
+ см (¿) = 0, 0,
1
( к — 1) \ \ \им \(к-2)/\м (*)\\2 + \щ
м
2 1 н м( )
2 +--= 0, г> 0.
2 (И '
(65)
(66)
(67)
Применяя интегральное неравенство Коши-Буняковского, устанавливаем соотношения
= (К&+(к—1)\"м^ >Л<мгх I«
« I ¿т \ \
\2
имт + (к—1)\\им(*)\\к/2\\\им\(к-2)/чм(¿)\\] .
Используя неравенство Коши-Буняковского для сумм, согласно (67), выводим
иЕм (¿) \ V (й )
<и
¡м\\«м-
<
< (]м \\ Vм(*) \\ 2 + ( к — 1) \\ Vм(*) \\ к) (-1 \\ <(*) \\ 2 + ( к — 1) \\ \им\(к-2)/\м(*)\^
м м
(68)
к(1Нм (¿) ^---
2 Й
1 \ \ им а) \ \ 2 + 1 \ \ им а) \ \ к) = — Ем а).
2 м
2
Из (68), (66), (65) следуют неравенства
кЕм ф dНМ (¿) ^ ¿Ем (¿) см ф ^ Рг ¿Ем (¿) нм
(И
2
которые перепишем в виде
(^Нм(I) нм . Р1 ¿Ем(I) м(.) Решая дифференциальное неравенство, применяя (65), получаем оценки
1см(г) ^ нм(г) ^ нм(0)(Ем(г))Р1/к/(Ем(0))Р1/к, г > 0. ь
2
2
Далее, соединяя (66), (69), (65), выводим соотношения
> -ънм(0)(ЕМ(г))р1/к/(Ем(0))р1/к >
> - — См(0)(Ем(г))Р1/к/(Ем(0))Р1/к, Р1
которое перепишем в виде
/(ем(г)г/к > - 2^см(0)/(ЕМ(0)г/к. сИ р\
Решая дифференциальное неравенство, получаем оценку
Ем(I) > Ем(0)(г2(р 1 - См(0)/Ем(0) + Л у кр 1 у
При фиксированном Ь Е [0,Т] при к < р\ в случае ограниченной области П последовательность имвыборочно сильно сходится при М ^ те к и({) в пространстве Ьк(П). Положим Ьм = Мшах{\\им(0)||2,шев(к-2)/2П}, тогда
Ем(г) < Ц-1 \\им(г)\\к + ше^:/2П\\им(г)\\к ^
t> 0. (70)
и _ 1 1 _
^ ^\1 им (t) \1 кк + \1 им (t) \1 I, М = 1^,
и
к — 1
Mm Ем(t) ^ — \\u(t)\\к. м^ж к,
Кроме того, справедливы неравенства
1 1 Mm Ем(0) Mim \\им(0)|\к = *-W
м ^ж к м ^ж к,
\\u(t)\\к > \\<р\\к(1 + с(\мwiuw)t)-k/^-k). (7i)
lim См (0) ^ lim SV \\им \Г = аУ\\м \\l
м^ж v ' мw Ха\\ра Z^wrXa\h
а=1 а=1
После предельного перехода в (70) при М ^ те получим
к к
+ с (\\М\\wk p
Установим теперь оценку (71) для решения задачи (1)-(3) в неограниченной области П.
_ ж
Пусть П(1) С П — ограниченные подобласти такие, что С П(г+1), I = 1, те, (J ) = П.
1=1
Через и( ' обозначим решения в с финитной начальной функцией (supp м С П(1)), можно считать эти решения продолженными нулем вне \ Из неравенства (37) следует ограниченность последовательности в пространстве W ) любого Т > 0, тогда, согласно лемме 4, существует счетное плотное множество {tj}°=1 С [0,Т] такое, что выборочно сильно сходится в Lk (Пг) при каждом tj иг > 0. Благодаря оценке (9) для любого существует , что при всех > 0 справедливо неравенство
\ \ и(1)(1)\\кк>Пг ^ е. Для и^ справедлива оценка (71), тогда при tj Е (t — 8, t)
\\и(1)(tj)\\кЯг > \\м\\к(1 + с(\\<р\\ wip{n))trk/{pi-к) — S.
Пользуясь сильной сходимостью в Ьк(Пг), переходим к пределу при I — ж, затем по т —У <ж (е — 0). Далее, пользуясь непрерывностью функции \\и(£)\\к, осуществляем предельный переход при Ьз — Таким образом, оценка (10) установлена в неограниченной области П. □
4. Оценки сверху
В этом параграфе будут доказаны теоремы 1,3 из введения.
Лемма 5. Если для х е П выполнено условие ха = уа при некотором фиксированном
а е 1,п, то для функции и(х) е С»(П) справедливо неравенство
и(х)
\ ха У а \
Ра
Ра
Ра — 1
\Ка (х)
I Ра ■
Доказательство. Воспользовавшись равенством
ха У<
I ха Уа \
\\х« — Уа\Ра) х
интегрируя по частям, выводим
„(хГ л = __ 1
п Ра
\ха — Уа\Ра
Ра — 1
Ра — 1 \ха — Уа\Ра
\и(х)\РаА_ х» У«_ ¿х
dхa \ха У а \ Ра
\Ра-2„,„, ха Уа ^х < Ра
\и\Ра 2ииХ
\и
\Ра 1
Ра — 1У '' ^ \ха — уа\Ра Ра — 17 \ ха У а \ а
пп
Применяя неравенство Гельдера, получаем соотношение
(Ра-1)/Ра
гг\иХа \ ^
1/Ра
\м(х)\
Ра
-¿х <
Ра
Кх)|
Ра
\ха — Уа\Ра Ра — 1\7 \х„ — уа\Ра
¿х
\иха (х)\ Pаdx
(72)
из которого следует (72).
□
о
Следствие 1. Для функции и(х) еШк,Р(П) (П — область, расположенная вдоль оси 0хз), при 0 < а < Ь справедливо неравенство
1 ЫрвА < -"зтК,\к.
и р3 1
Доказательство. Возьмем уз = 0, из неравенства (72) для и(х) е С»°(П) выводим
(73)
\
1/Рв
\м(х)\Рз (1х
^ Ь
/ \ 1/Рв
\И(х)\Р5.х
/
\хз\
Ре
1/Рв
^ Ь-
Рз — 1
\Пх., (х)\Рв(1х
Отсюда следует, что если последовательность ик(х) е С»°(П) сходится по норме простран-
о
ства Щ кр(П), то она сходится и в ЬРе (П^). Выполняя предельный переход, установим
о
неравенство (73) для и еЖк,р(П). □
Доказательство теоремы 1. Пусть в(х), х > 0, — абсолютно непрерывная функция, равная единице при х > г, нулю при х < До, линейная при х е [До, 2До] и удовлетворяющая уравнению
0'(х) = 8¡у(х)в(х), х е (2Д0,г), (74)
а
Рз
(постоянную определим позднее). Решая это уравнение, находим, в частности, что
0(2До) 1
о'(х) = = — ехр (—5 I и(р)с1р I , х е (До, 2 До). (75)
2 До
Для любой функции ь(х) е С»(П) из определения функции и(р) следуют неравенства
V(Р)ЫРа,1Р <\ УХа \\Ра,~,р , Р> 0, а =1,n,
из которых выводим соотношения
Г Г
(р)иРа (р)\М\Ра,7р^р </ (Р)\\^И^Р, а = 1,п. (76)
2 До 2 До
Применяя (76) для любой функции V е С»(П) при в = 1, п выводим
г г г
1 ^(р)0р°(р)\МрР:,^р < I »Р1 (р)др°(рШ%,^Р+1 (р)др°(р)\м%,^р<:
2 До 2 До 2 До
г г
^ I (р)\\Ух, \\^Р + / вР° (р)\\Ухп\\1:>1р(1р. (77)
2 До 2 До
о
Отметим, что неравенства (1) справедливы для любой функции V еЖк р(П) (см. следствие 1). к,р
Пусть £(х) липшицева неотрицательная срезающая функция. Положим в (62) V = и£, получим соотношение
к- 1 * т=
ыке
г=0 „=1
п а=1пг
¿х + £ / аа(иХа )Пха «)хаЛхйт = 0.
Положим £(х) = вРа (хз), далее, применяя (4), получаем (с учетом того, что вр = 0) к- 1
К*, х)\к^ (х3)(1х + а £ вр°\иХа \Ра АхАт ^ (78)
п а=1в^
^ а у НК \р°-1(вр° (хз))'(Шт = аР.
о1
Оценим интеграл
Р = 11 НК\р°-1Рзв'(х3)вр°-1(х3)¿хАт.
0п
Используя неравенство Юнга, выводим
1
" вир в , ■ ■
/Ч е(Рз — 1) у у К \р*ер°с1хс1т + ^ у у ^(х^дххд.т. (79)
0 п 0 п
а 1
Выберем е = —-, соединяя (78), (79), выводим неравенство
а рз — 1
^Т11 К*, х)\к^8 (хз )йх + а ^ I вр°\иха \Ра Шт^С^ \и\р° (в'(хз))р^хс1т. (80)
п а=1,а=зв1 В1
Пользуясь (74), (75), нетрудно привести (80) к виду
и _ I . _ .
\u(t, x)\kdP (xs)dx + ä £ °Ps IйlPadx-dr ^ (81)
п a=l,a=sDt
r \ t
^ Ci—j exp I -Sps I v(p)dp) I I \u\Psdxdт+
2Ro / 0 nrR0
R0
+Ci6Ps j J \u\Ps uPs (xs)ep° (xs)dxdr = I{ + I\.
0 V r2R0
Используя неравенство (73), применяя неравенство (37), выводим
I[ ^ C2 exp I -Sps J u(p)dp\ J \\uuXs\\ppdr ^ Сз exp I -5ps J и (p)dp \ \\<p\\kk. (82) V 2Ro / 0 \ 2R0 )
Применяя ( 1 ), получаем
4 ^C-i^J j (\UX! \P10Ps + \uxn \Pn0p°) dxdr. (83)
0 v rRo
( a\ 1/Ps
Выбирая 5 = I — I , соединяя (81) - (83), выводим \CiJ
\ \ u(t) \ I Ur + ä £ j \\uXa (t)\\%dT^C3 exp l-Spsj u(p)dp ) Ml k.
а=2,а=в о \ 1
Неравенство (9) доказано. □
Следствие 2. Если выполнено условие
= т£{\\дХ1\и | д(х) Е С~(П), \\д\\ = ^ > 0, то для решения и(Ь, х) задачи (1)-(3) справедлива оценка (13). Доказательство. Из (38) следует, что
jt\\u(t)\\k ^ -^ £ \KJ\PZ ^ -^\\uXl\\% ^ -^№\\u||k.
a=1
\\u(t) \\k ^ t-VtPi-V (Я)
Решая это дифференциальное неравенство, получим оценку
-1/(pi-k)
-пР1 1
k — 1
из которой следует неравенство ( 1 3). □
Доказательство теоремы 3. Выберем положительное число г > 2R0. Согласно теореме 1, вводя обозначение e(r) = Mk exp ^—ки f u(p)dp^ \\м\\к, имеем соотношение
\ \ и(г)\\k ^ \\ и(1)\\к + e(r), t> 0.
Из определения (11) следует, что
Ifc ^ (^1 (' )||иХ1 (Ь)||рь ПГ
| | u(î) 11 кк ^ {p-P1 (г) 11 иХ1 (t) 11 £ пг)к/Р1 +в(т), t > 0. (84)
Обозначим через Ьг точку интервала [0, ж) такую, что Е(¿) = \\и(£)\\к = е(г). В случае, если Е(¿) > е(г) при любом Ь > 0, то считаем 1Г = ж. Ввиду монотонного невозрастания функции Е(¿), для Ь е [0, и) справедливо неравенство Е(Ь) > е(г), тогда соотношение (84) можно переписать в виде
п
(E(t) - е(г))Р1/к ^-р1 (г) £|| иХа (i)||£, Qr, t G [0, tr). (85)
a=1
Соединяя (38) с (85), выводим соотношение
^Er ^ - fc-T^ (f) (EW - £(г))Р1/к, 1G (0, tr). (86)
Решая дифференциальное неравенство, получаем
fc — T
(E (t) - е(г))(р1-к)/к ^ -р—---, ÎG (0, U ).
tp-i1 (r)(p 1 - fc)
Подставив в последнее неравенство значение е(г), для t G (0, tr) выводим
E (t) ^ С1 (г))-к/(р1-к) + ,Мк exp ! u(p)d^ M к. (87)
Отметим, что для t G [t r, ж) выполнено неравенство E (t) ^ ^(f), и оценка (87) также справедлива.
В (87) положим г = r(t) и воспользуемся определением (14) функции r(t), в итоге получаем
(r(i) \
-кк J u(p)dp 11 | ^к ^
^С2 (tnP1 (г(1))-к/(Р1-к), t> 0. Таким образом, установлено неравенство (15). □
Определим функцию
À1(r) = inf{|ЫUw | g(x) G Со°°(П), ||дЦр1 Дг = l} , Г > 0. Тогда из определения функции À1(r) следует неравенство
ÀP1 (г)ЦдK>nr ^ ||9хА|Р1,Пг, g(x) G ÇT(Q), г > 0. Применяя неравенство Гельдера для g(x) G С0^(П), г > 0, выводим соотношения
| | 9| | iW < | 19| | Р1^ (mes ^)(р1-к)/к ^ À-P1 (r) (mes ^)(р1-к)/к |Ы|£>nr, из которых следует неравенство
À1(r) ^^1(r)(mes^)(р1-к)/(кр1) , g(x) g С™(Q), r> 0. (88)
5. Оценки сверху для областей вращения
Пусть V(р, г) = {(х, у) Е Е2 | г < х < г + р, 0 < у < р} — квадрат со стороной р и левой нижней вершиной в точке г оси абсцисс. Для положительной функции ¡(х), х > 0, символ Г7^ ¡) будет обозначать криволинейную трапецию
г( Л = {(х, у) Е | о <х<г, 0 <у< ¡(х)}.
Через р*(г) обозначим сторону наибольшего квадрата V(р*, г*), содержащегося в Гг( /). Справедлива оценка
С1 ^ Хг(г) , г > 0 (89)
р*(г) р*(гУ
(доказательство аналогичного утверждения имеется в [30]). Определим монотонно возрастающие функции
д(г) = (тв8 Пг)1/крр1/(р1-к)(г), г> 0; (90)
г
, [ (1х ыг _ ,
1
Утверждение 1. Пусть выполнено условие (8), тогда существует положительное число М такое что, для решения и(Ь, х) задачи (1)-(3) в цилиндрической области = (0, те) х П(/)[з] с функцией ¡(х), удовлетворяющей условию (24), справедлива оценка (26).
Доказательство. Соединяя (88) и (89), выводим
Р1(г) — С1 (тезПг)-(р1 -к)/(кр1) р*-1(г) = схд(г), г > 0. (92)
Зафиксируем Ь — 1, положим г = Г(^). Подставляя (92), (23) в (87), пользуясь определением (91) функции получаем соотношения
т
¿х
hrninu) < С exp \-kKj ущ J + С2дк (r(t)) t-k/(pi-к) ^ С3дк (r(t))t-к/(р1-к),
откуда следует неравенство (26) с функцией "g(t) = g(r(t)).
Покажем, что функция ~g(t) растет медленнее степенной функции. Из условия (24) следует, что для любого £ Е (0,1) существует г0 такое, что
r
/dx
> lnг, г > г0.
f(x)
1
Тогда из определения (91) функции r(t) следует, что справедливо неравенство
r(t) < ts, t> tо. (93)
Далее, из определения (90), применяя формулу
r
mes f) = cnJ fn-1(x)dx, (94)
о
для > 0 получаем неравенства
i r \1/к
g(r) ^ С4рр1/(р1-к)(г) \ fn-1(x)dx I ^ с4гР1/(р1-к)+1/к max ¡(п-1)/к(x).
\J I M
Применяя следствие неравенства (24):
/(х) ^ х, х > г0,
выводим
д(г) ^ С5(го)гР1/[р1-к)+п/к, г > го. (95)
Соединяя (93), (95) устанавливаем, что функция растет медленнее любой степени
г. □
Пусть существует постоянная ш > 1 такая, что
вир {/(г) | г е [х — /(х),х + /(х)]} ^ шf (х), х > 1. (96)
Для монотонно неубывающей функции /, удовлетворяющей условию (96), справедливо неравенство
ш-1 /(г) ^ р*(г) ^ /(г), г > Го = 1 + /(1). (97)
В самом деле, ввиду монотонного неубывания функции ( х) справедливо равенство /(г*) = г — г* = р* (г). Согласно (96) имеем
/(г)= тах ¡(г) ^ ш/(z*),
[г *-/(г*), /(г*)]
откуда следует левое неравенство (97).
Согласно (94), (97), функция д(г) может быть определена
(г \ 1/к
I р-1(х)с1х\ , Г> Го.
Пример 1. Для функции /(х) = ха, 0 ^ а < 1, х > 0, можно определить функции
г(г) = (1п£)1/(1-а), г> и, д(г) = гх, г> го. Тогда оценка (26) приобретает вид (27).
Пример 2. Для функции /(х) = е, 0 < х < е, /(х) = х/ 1пх, х > е, находим
г(г) = ехр(^(1п^)1/2), г > и, Я> 0, д(г) = га+1/к(1пг)-<т, г > го. При этом оценка (26) принимает вид (28).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гущин А.К. Об оценках решений краевых задач для параболического уравнения второго порядка // Тр. МИАН. Т. 126. 1973. С. 5-45.
2. Гущин А.К. Стабилизация решений второй краевой задачи для параболического уравнения второго порядка // Матем. сб. Т. 101(143), №4(12). 1976. С. 459-499.
3. Ушаков В.И. О поведении решений третьей смешеанной задачи для параболических уравнений второго порядка при £ ^ ж // Дифференц. уравнения. Т. 15, №2. 1979. С. 310-320.
4. Ушаков В.И. Стабилизация решений третьей смешанной задачи для параболического уравнения в нецилиндрической области // Матем. сб. Т. 111(153), №1. 1980. С. 95-115.
5. Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка // Матем. сб. Т. 111(153), №4. 1980. С. 503-521.
6. Мукминов Ф.Х. Об убывании нормы решения смешанной задачи для параболического уравнения высокого порядка // Дифференц. уравнения. Т. 23, №10. 1987. С. 1172-1180.
7. Тедеев А.Ф. Стабилизация решений первой смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения высокого порядка // Дифференц. уравнения. Т. 25, №3. 1989. С. 491-498.
8. Тедеев А.Ф. Оценки скорости стабилизации при £ ^ ж решения второй смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. Т.27, №10. 1991. С. 1795-1806.
9. Тедеев А.Ф. Стабилизация решения третьей смешанной задачи для квазилинейных параболических уравнений второго порядка в нецилиндрической области // Изв. вузов. Математика. Т. 1. 1991. С. 63-73.
10. Биккулов И.М., Мукминов Ф.Х. О стабилизации нормы решения одной смешанной задачи для параболических уравнений 4-го и 6-го порядков в неогранченной области // Матем. сб. Т. 195, №3. 2004. C. 115-142.
11. Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Оценки скорости стабилизации при t ^ те решения первой смешанной задачи для квазилинейной системы параболических уравнений второго порядка // Матем. сб. Т. 191, №2. 2000. C. 91-131.
12. Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Убывание решения первой смешанной задачи для параболического уравнения высокого порядка с младшими членами // Фундамент. и прикл. матем. Т. 12, №4. 2006. C. 113-132.
13. Кожевникова Л.М. Стабилизация решения первой смешанной задачи для эволюционного квазиэллиптического уравнения // Матем. сб. Т. 196, №7. 2005. C. 67-100.
14. Кожевникова Л.М. Стабилизация решений псевдодифференциальных параболических уравнений в неограниченных областях // Изв. РАН. Cер. матем. Т. 74, №2. 2010. C. 109-130.
15. Каримов Р.Х., Кожевникова Л.М. Стабилизация решений квазилинейных параболических уравнений второго порядка в областях с некомпактными границами // Матем. сб. Т. 201, №9. 2010. C. 3-26.
16. Дегтярев С.П., Тедеев А.Ф. L\ — Lоценки решения задачи Коши для анизотропного вырождающегося параболического уравнения с двойной нелинейностью и растущими начальными данными // Матем. сб. Т. 198, №5. 2007. C. 45—66.
17. Тедеев А.Ф. Стабилизация решений начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений // Укр. мат. журн. Т. 44, №10. 1992. С. 1441-1450.
18. N. Alikakos, R. Rostamian Gradient estimates for degenerate diffusion equation. II // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. V. 91, №3-4. 1981/1982. P. 335-346.
19. Треногин В.А. Функциональный анализ М.: Наука. 1980. 496 с.
20. Лионс Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач М.: Мир. 1972. 596 с.
21. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа М.: Наука. 1967. 736 с.
22. P.A. Raviart Sur la resolution de certaines equations paraboliques поп lineaires //J. Funct. Anal. V. 5. 1970. P. 209-328.
23. A. Bamberger Etude d'une equation doublement non lineaire //J. Funct. Anal. V. 24. 1977. P. 148-155.
24. O. Grange, F. Mignot Sur la resolution d'une equation et d'une inequation paraboliques non lineaires // J. Funct. Anal. V.11. 1972. P. 77-92.
25. H.W. Alt, S. Luckhaus Quasilinear elliptic-parabolic differential equations // Math. Z. V. 183. 1983. P. 311-341.
26. F. Bernis Existence results for doubly nonlinear higher order parabolic equations on unbounded domains // Math. Ann. V. 279. 1988. P. 373-394.
27. M. Bendahmane, K.H. Karlsen Nonlinear anisotropic elliptic and parabolic equation in RN with advection and lower order terms and locally integrable data // Dept. of Math. University of Oslo Pure Mathematics. V. 13. 2003. P. 1-15.
28. Андриянова Э.Р., Мукминов Ф.Х. Оценка снизу скорости убывания решения параболического уравнения с двойной нелинейностью // Уфимск. матем. журн. Т. 3, №3. 2011. С.3-14.
29. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения М.: ИИЛ. Т. 2. 1954.
30. Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для системы уравнений Навье-Стокса Дис. докт. физ.-матем. наук. М.: МИРАН. 1994.
Кожевникова Лариса Михайловна,
Стерлитамакская государственная педагогическая академия, пр. Ленина, 37,
453103, г. Стерлитамак, Россия E-mail: [email protected]
Алексей Александрович Леонтьев,
Стерлитамакская государственная педагогическая академия, пр. Ленина, 37,
453103, г. Стерлитамак, Россия E-mail: [email protected]
