Об убывании решения вырождающегося линейного параболического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 4 (2011). С. 43-56.

УДК 517.946

ОБ УБЫВАНИИ РЕШЕНИЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

В.Ф. ГИЛИМШИНА, Ф.Х. МУКМИНОВ

Аннотация. Доказывается существование и единственность решения линейного вырождающегося параболического уравнения в неограниченной области методом галер-кинских приближений. Рассматриваются краевые условия первого и третьего типов. Устанавливается оценка сверху убывания решения при х ^ те, учитывающая влияние старших коэффициентов уравнения. Получена также оценка сверху скорости убывания решения при £ ^ те, зависящая от геометрии неограниченной области.

Ключевые слова: вырождающееся параболическое уравнение, скорость убывания решения, оценки сверху, существование решения.

1. Введение

Пусть О — неограниченная область пространства Кга, х = (х1,х2, ...,хп) € Кга, п > 2. Рассмотрим в цилиндрической области И = {Ь > 0 }х О линейное уравнение второго порядка:

п п

щ (1,х)и^+ (сАи)Х1) - <1(г,х)и. (1)

г,]=1 г=1

На элементы симметрической матрицы {а^} наложено следующее условие: существуют положительные непрерывная в И функция з(Ъ,х) и число Т такие, что для любого вектора у € Кга и почти всех (Ь, х) € И справедливы неравенства:

п

»^^^у^2 < ^ аЧ(1,х)У*У] < з^^^У?. (2)

г,3=1

Функция в(1,х) может обращаться в нуль на границе области, и функции в(1,х), ¿(Ь,х) и з-1(Ь,х) предполагаются интегрируемыми по любому ограниченному подмножеству И. На измеримые младшие коэффициенты наложены ограничения

п 1

"^(Ъ^, х) - Сг(Ь, х))2 < 2х). (3)

г=1

Предполагается, что существуют такие числа С и 80 > 0, что при всех Ь > 0 выполнены неравенства:

¿(т,х) < С<1(1, х), в(т,х) < Св(г,х), |т - ¿| < 50,х € О. (4)

V.F. Gilimshina, F.Kh. Mukminov, On decay rate of solution to degenerating linear parabolic equations.

© ГилимшинА В.Ф., Мукминов Ф.Х., 2011.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 10-01-00118-a).

Поступила 30 июня 2011 г.

На боковой границе цилиндра И заданы краевые условия первого и третьего типа:

u(t, х)

О '/i

( OU sr-^ >

Г1 =0; [ш ^ ^

1 i=l

Г2

Здесь Г^ С Г = (0, то) х дП — произвольное замкнутое подмножество боковой границы

п

цилиндра Г и Г2 — дополнение к нему Г2 = Г\Г^ J^ = а^uXinj. Мы будем иметь дело

i,j=l

с обобщенным решением задачи (1), (5) с начальным условием

и(0,х) = ф(х) Е Ь2(П), (6)

в определении которого (см. ниже в §2) условия (5) формально не участвуют. Тем не менее, при условии достаточной "регулярности"множества Г!, гладкости границы дП и коэффициентов уравнения (1) это обобщенное решение будет удовлетворять условиям (5).

Настоящая работа посвящена исследованию зависимости скорости убывания при t ^ то решения задачи (1), (5), (6) от геометрии неограниченной области П и поведения собственных чисел матрицы [üij(t,x)} при х ^ то.

Для второй смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка А.К. Гущиным в работах [2, 3] получен следующий результат. Для широкого класса областей в них для решения второй смешанной задачи установлена оценка

Ht,v)\* , v е Q,

v(V t)

где v(r) = mesjy Е Q : \y\ < г}. Доказана также точность этой оценки. Более полные исследования зависимости поведения при большом значении времени решения второй смешанной задачи от геометрии области и от начальной функции выполнены А.В. Лежневым в [14]. В.И. Ушаков [21] получил результаты, близкие к результатам А.К. Гущина, для третьей смешанной задачи в нецилиндрической области. В работе [17] Ф.Х. Мукмино-вым была доказана оценка скорости убывания решения первой смешанной задачи в случае параболического уравнения второго порядка и доказана ее точность в классе неограниченных монотонно расширяющихся областей вращения. В работах [17, 8] о скорости убывания решения первой смешанной задачи накладывается ряд технических требований как при получении оценки сверху, так и при доказательстве точности этой оценки. В частности, в работе [17] для области П эти условия таковы

lim r2X(r) = то, lim A(r) = 0, (7)

где \(r) первое собственное значение задачи Дирихле для оператора Лапласа в пересечении области с шаром радиуса г. При этих условиях установлена следующая оценка решения с финитной неотрицательной начальной функцией ip ф 0

r2(t)

\u(t,x)\ ^ Мexpt-x-^IM^n) (8)

с положительными постоянными х, М. Здесь r(t) функция обратная к F(г) = Z—,

VAM

г > 0. В работе [1] получены точные оценки решения параболического уравнения четвертого и шестого порядка с краевыми условиями Риккье на боковой границе неограниченной цилиндрической области. В работах [12] для псевдодифференциального и [13] квазилинейного параболических уравнений получены оценки скорости убывания решения.

0

Приступим к формулировке нашего результата. Определим функцию

/ (в(т,х)1^д12 + ¿(т,х)д2)ё,х

Л/ ч -г ОД_

Л(т, г) = 1П1 -

у^^о \г 1) ^ д2$х

П[г]

где П[г] = {х Е П Цх1 < г], Г1 = Г1 П {Ъ = т}.

Теорема 1. Пусть и(Ь,х) - решение задачи (1), (5), (6) и скалярное произведение (х, с) > 0. Тогда найдутся числа к > 0, С,Т, зависящие только от п, Т, Д0 (вирр^ С П[Д0]), что для всех Ь > Т справедливо неравенство

I и2(1,х)(1х ^ Сехр(-кМт(г)) М\1т, (10)

п

где

/ г

1, [ ¿т

г г

Мт(г) = вир т1п (у (i )2, [ \(т,г)(1т

г>По \ 1 3 у/8с(т) 3

По

8С(т) = 8ир{з(£,ж) | Ь> 0, |ж| = т}.

В случае равномерно параболического уравнения (в = 1) и краевых условий Дирихле (Г1 = П), оценка теоремы сводится к известной из работы [17].

Отметим, что при некоторых значениях т функция Х(т,г) может обращаться в ноль (например, если ГЦ = 0). В такой ситуации не применимы методы, основанные на понятии А-последовательности [11]. Поэтому в Предложении 1 предварительно устанавливается убывание решения при х ^ то, аналогичное убыванию фундаментального решения уравнения теплопроводности, но с учетом поведения функции в(1,х) на бесконечности.

В §3 приведены примеры, демонстрирующие оценку теоремы для конкретных областей и уравнений.

2. Существование и единственность обобщенного решения смешанной

задачи для параболического уравнения

Введем следующие обозначения: Въа = (а, Ь) х П, Ит = , И = Ид

~)00

(и,т)^т = J (и,1и)А,ст = ^^ у (а»13(¿,х)иха^хр + duw)dxdt.

Через ||и||рт будем обозначать норму в Ь2(ИТ). На множестве сужений на Ит функций из Сд(Шп+1 \Г1 и {Ъ = Т}) определим нормы

и ц2 _ || ||2 , / \ || ||2 _ || ц2 , || ц2

\\И|| но,1(Вт) = \\И|| ит + (и,и)д,]зт; \\И|| Н1,1(ПТ) = \\И|| но,1(ВТ) + \\Щ\\вт.

Соответствующие пополнения этого линейного нормированного пространства обозначим

Н °/(От;Г1) и н ;Г1).

Обобщенным решением задачи (1), (5), (6) в Ит будем называть функцию

о 01

и(Ь,х) Е Н ^ (От;Г1), удовлетворяющую интегральному тождеству:

п п \

ыюъ + ^^ ац (Ь, х)ищ+ — ЪгиХ1 ь) + ¿пь I с1х& =

г,3=1 г=1 /

= / (^ (11)

п

для любой функции у(Ь,х) Е Н а1{От; Г1).

Функция и(Ь,х) - решение задачи (1), (5), (6) в И, если при всех Т > 0 она является решением задачи (1), (5), (6) в Ит.

Обобщенное решение задачи (1), (5), (6) в Ит существует и единственно. Для доказательства будем использовать метод из работы Ушакова В.И. [21], который состоит в построении функций ип(1,х), слабо сходящихся к решению и(Ь,х).

Выберем набор линейно независимых функций /ш^,х) Е СО^К+УГ и {Ъ = Т}) так,

о 11

чтобы их линейная оболочка была плотна в Н д (О ; Г1). Галеркинские приближения будем искать в виде

п

и1(г,х) = ^ С\т&,х). (12)

г=1

Уравнения на искомые коэффициенты получим из требования

/п п

(и\'Ы3)1 аV (г,х)и1х. ('Шз)^ +^2(с1и1('ш3)Х1 — Ьг(г,х)и1х.'Ш3) + (13)

пт '1'3 = 1 г=1

+й(Ь,х)и 'ш3)йхйЬ = J íf(x)ws(0,x)dx, в = 1,п. п

Условия (13) приводят к системе линейных уравнений

п

^ Акз с1к = Ъ3, 8 = 1^. (14)

к=1

Ниже будет установлена однозначная разрешимость линейной системы (14).

Сначала предположим, что система (14) имеет решение (например, Ск = 0 при Ь3 = 0) Отметим, что заменой и = ег можно добиться неравенства

сI = & +1 > 1. (15)

Докажем ограниченность множества и1 галеркинских приближений в пространстве

0,1

А

Н °а1(От; Г1). Умножим равенство (13) на С13 и сложим. Получим

/п п

( — и\и1 + ^^ а^(1,х)и1х.и1х. + и1и1х. — Ьг(1,х)и1х.и1) + ¿(Ь,х)и1 и1 )йхвй = ит 1,3 = 1 1=1

= I (О,*)*. (16)

п

Проинтегрировав в (16) первое слагаемое по £ Е (0, Т) и воспользовавшись условием (3), будем иметь

- I (и1(0))2(1х + I ^^ а^(Ь,х)и1х.и1х. + ¿(1,х)и1и1 I с1хсИ ^ ^Т \г,3 = 1 )

ВТ

|с — Щи^иЧв^хМ + у р(х)и1 (0,х)ёх ^ дт п

/ __Г Г и12(0 х)

л/з(г,х)с1(г,х)1и1 V+ ^2(x)dx + —¿х ^ от п п

[^Ц,х){уи1)2 ¿{и1 )2 , [ [и12{0,х)1

^ { 2- + + 4>2{х)<& + —Ах.

ДТ П П

Пользуясь условием (2), устанавливаем, что

У йх + \\и1 ;Г1) ^ 2/ р2{х)йх. (17)

ПП

Из этой оценки следует, что если р = 0, то и1 = 0. Благодаря линейной независимости функций устанавливаем, что С\ = 0. Это означает, что однородная система (14)

имеет только нулевое решение. Следовательно, неоднородна система однозначна разрешима.

о о 1

Отсюда следует ограниченность множества и1 в пространстве Н а ;Г^. Поэтому можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся в этом пространстве к неко-

о 0 1 т1

торой функции и Е Н X {О , Г1). Чтобы не нагромождать индексы, будем считать, что сама последовательность слабо сходится.

Очевидно, что (13) после предельного перехода при I ^ то принимает вид

/ I -и(та)г + ^ а^{г,х)их.{ы3)Х:1 + (18)

¿Т V «=1

+ ^2{Сги{ш3)Х1 - ЬгиХ1 {т3)) + ¿и<(Ш3) I (1х(И = р(х)"Ш3{0, Х)в,Х.

= ' П

Отметим, что (18) справедливо не только для функций V = <Л3т3 с постоянными й8, но

т

и для сумм таких функций. Остается еще добавить, что функциями вида ут = ^ <$3т3

3=1

можно приблизить любую функцию т из С0оо{Ега+1\Г1 и {£ = Т}) по норме пространства

Н ;Г1).

Теперь покажем единственность решения задачи (1), (5), (6). Через ьИ{Ь,х) будем обозначать осреднение Стеклова функции ь{Ь,х):

1 г

уИН,х) = — у{т,х)йт, к3 I

которое обладает следующими свойствами:

1){у,и-н) = {ук,и)ь2(Кп+1),

о 0 1 Т1

2)если V Е Н X {&о ; Г1), то {ьи)Х1 = {ьХ1 )к,

3)если Е Ь2{Ега+1), то =

4) если V Е Ь2{ИТ), то для любого 8 > 0 имеет место сходимость ^ V в Ь2{ИТ—) при к ^ 0 (И<8).

о 0,1

5) если V Е Н X {^0";Г1), то для любого 8 Е {0,$0) имеет место сходимость ^ V в

н -; Г1) при к ^ 0{к< 8).

Докажем свойство 5). Сначала установим непрерывность оператора сдвига Тх/ = £{Ь + z,x), Тх / ^ $ при г ^ 0 в весовом пространстве ¿2,^{Кга+1) с нормой

^2,(1 I

КП + 1

¿{1, х)/2{х)йхё;Ь,

где й(Ь,х) — интегрируемая по любому компакту функция. Покажем, что Тх/ — равномерно ограниченный оператор при г € [г — 60,г + используя неравенство (4),

\\тх/\\12Л = ! ¿{г,х)1'2{г + г,х)дх&1 ^

КП + 1

^ У С<1(ъ + 2{ъ + г,х)<1х<И ^ С\\/\\12 а.

Шп+1

Далее, пусть V € С^0 {Ега+1) и вирр V С В и, В и - шар радиуса К. Тогда благодаря равномерной непрерывности функции V в шаре Вд имеем

\\ТХV — ь\\12Л = ! ¿{1,х){ь{1 + г,х) — ь{1,х))2(1х(Л ^

Бе+1

У дь{ь,1х)£2дьхдьЬ ^ С1£.

Вп+1

Таким образом, ТгV ^ V при г ^ 0. Стремление Тг f ^ f при г ^ 0 для произвольной функции f € Ь2,^{Кга+1) следует из ограниченности Тх и плотности С0°{Кга+1) в Ь2,а{Ша+1). Докажем теперь, что ьъ ^ V при к ^ 0 в Ь2^{Кга+1) :

(1? ^2

{ьн — ь)2 = I к ь{т,х)в,т — у{г,х)\ ^

г+ъ г+ъ ^ J 12(1т J {ь{т,х) — ь{1}х))2(1т. г г

После замены т = Ь + г, будем иметь

ъ

{ун — V)2 ^ Ы* + г,х) — .

о

Проинтегрируем последнее неравенство по Ь и х :

ъ

Г ( ^{Ь^Х) ( [ и и х ^ ^ ^2

к

й{1,х){уъ — у)2ё;Ьйх ^ —^— {/ (у{Ь + г,х) — у{1,х))2й^ ¿Ьйх

Мп+1 М"+1 о

ъ

=к/ \\т* V—ь.

о

Отсюда, благодаря сходимости ТхV ^ V при г ^ 0, устанавливаем, что ьъ ^ V при к ^ 0.

Аналогично, {ьъ)Х1 = {^Х1 )ъ ^ уХн в Ь2у3{Жп+1) при к ^ 0. В совокупности, из этих двух сходимостей нетрудно вывести свойство 5).

Подставим в интегральное тождество (11) пробную функцию У-ъ, где V - из пространства С0°{Д0"—\Г1). Это допустимо, так как у-ъ € ) при 0 < к < 5. Воспользовавшись свойствами осреднения Стеклова, будем иметь

от

п п

{иъ)гУ их, )ъ + — {Ьищ )ъь) + {<!и)ъь

ъ,3=1 ¿=1

dxdt = 0. (19)

Предельным переходом доказывается, что последнее соотношение справедливо не только

0,1 (пт

А (^0

для функций у € С0°°(От г\Г1), но и для функций у € Н °А1(ВТ Г1).

Заметим, что равенства (19) имеют вид

J (uh)t V <1х <И = I *(у), (20)

от

где 1*(у) — линейный функционал в пространстве Н °А1(ВТ-6; Г1).

Докажем равномерную ограниченность линейного функционала I*(у) при |-| < 80 в

тт 0,1/ глТ-6 т^ \

единичном шаре пространства Н А (^0 ; Г 1).

к(у) = II (у) + I* (у) + I* (у) + I* (V), (21)

п п

где II(у) = - / (а^иХ1 )hVXj¿х(И, ЦС(у) = - / £)(Сги)*УхЯх(И,

От- г,]=1 от- ¿=1

п

I * (у) = I Ъ^гн ) с1хсИ, I* (у) = - / (¿и)*у ¿Х(И. Рассмотрим 1%(у), с учетом

ОТ-6 г=1 от-

в(т, х) < С8(Ь, х), т € [Ь - + 5], будем иметь:

/п

ОТ-5 ^,] = 1

^У з(т,х)1^и(т,х)1(1т | |Уг;(г,ж)|(ИхсИ <

С1 ^,х) У |Vu(т,x)|dт| ^у(I,Х)^Х(И< ( /*+* \2 \

< J С1 ,х)

вт-в

1 |у 1 ■ |УЦт,Ж)|<*Г I + \Чу (г, х)12

V V* / /

йх сИ.

После смены порядка интегрирования в первом слагаемом будем иметь

,ж)|Ум(т,х)\2йт | йх(И <

С1 Г | I и \1Т7 ( \ 12

- )

от- \ t

< ^ / / |УМ(Т,Х)^ I / ^,Х)^ I ^

П 0 у-*

т

<С2 / з(т,х)^и(т^х^вх^ = С3

П0

Таким образом получаем, что 11^(г>)| < С4.

■а „ п / 1 *+*

1С ( 4 1 1 ' ж 4 1 - . 1

11С(г>)| = | у с1и)*ухЛх(И| < | у - у СгП(!т 1 Ухн ^хсИ <

от-5 г=1 от-6 г=1 \ г

( ( + \

1 • сМт)

э(Ь, х)

С

Вт-5

Е

г=1

\

+ VI ^,х)в(г,х)

dxdt С

/

г+н

С

1 [ пА2в(т,х)с1(т,х)и2(т,х)с1т

к

Вт-5

С

пА^С

х) г+н

+ \Уу\2(Ь,х)з(Ь,х) I (ИхсИ С

с1(т,х)и2(т,х)с1т I ¿х<И + С5.

\ *

После смены порядка интегрирования в первом выражении будем иметь

К («)\ С

пА2С к

Т т

с1(т, х)и2(т, х)(И(1х(1т + С5

п о т-н Т

22

пА2С^ j ¿(т,х)и2(т,х)йхйт + С5 С С6. по

Рассмотрим теперь 1ЬН(у):

\1н= \ / ^(ЬгиХ1 )ньйх(И\ С \ / к Ь^их.йт I ьйх(И\ С

ВТ-

=1

=1 ^h

пт-6 г=1 \ г

ь+н \

J Ьгих1 Ат I

/ / ь+н

(ч

С

Вт-5

Е

=1

1 ( 1 ■ ЬгЦх, йт

\

¿(Ь, х)

+ ь2(1, х)(1(Ь, х)

¿х(И С

/

Т

СпА2С! J з(т,х)\Чи\2(т,х)(11(1х(1т + С7 С С8. по

Аналогично получаем, что \ (^)\ С С9. Итак, ограниченность линейного функционала Iн(ь) доказана.

Подставим в равенство (20)н!-(20)н2 функцию V = (иь1 - ин2)х(^ 1-> ^2) Е Н д где 1, Ъ2) — характеристическая функция интервала (Ь1, Ь2). Получим

¿2

\ J !((иНг)г - (иь2)г)(ин-1 - ин2)(1х(И\ =

1л П

= \(К - )(Х(иь1 - иН2 ))\ С С\\(ЧН1 - иН2 ЦнО/^т •г1) С е.

Последнее неравенство вытекает при достаточно малых к1, к2 из сходимости ин ^ и в пространстве Н °а(От —; Г1). После интегрирования по Ь будем иметь

(ин1 - ин2)2(Ь 1,х)йх С / (ин1 - ин2)2(Ь2,х)йх + 2е.

2

2

Последнее неравенство проинтегрируем по ¿2 € \Ъ\,Т —

(Т — 8 — и) !(ик1 — иН2)2(1г,х)(1х ^ \\(иН1 — иН2)\\12(Вт-) + 2е(Т — 8 — ¿1). п

Поскольку иь ^ и в Ь2(ИТ—), то при ¿1 < Т — 28 будем иметь неравенство

У(иН1 — иН2)2(tl,x)dx ^ у + 2е. п

Отсюда следует равномерная фундаментальность в Ь2(0,) по семейства функций иь(11,х). Поэтому щ(Ь,х) ^ и(Ь,х) в Ь2(0,) при к ^ 0 равномерно по Ь € [0,Т — 28], и предельная функция непрерывна по Ь в норме Ь2(0,). Подставим теперь в (19) функцию V = инх(0,1)

Н] 1л'Х1 ) пуи-'П./Х^

%3=1

у0

п

((ин)гин их; + У^Мс*и)'г(и'г)

П4 ^,з=1 »=1

— (ЬгПХ1 )НиН) + (¿и)Н иН)(1х(И = 0. После интегрирования первого слагаемого по £ и предельного перехода к ^ 0 будем иметь

1 п п ^ И

2 и2(г, x)dx + агуиХ1 их. + — Ы)ииХ1 + du2]dxdt = (22)

= — J и2(0, х)^х.

п

Если доказать, что и(0,х) = <р(х), то последнее соотношение совпадет с (11). С этой целью подставим в тождество (11) пробную функцию ь(Ь,х) = г](|)ф(х), где гц(Ь) = 1 — Ь при £ € [0,1] и 'ц(Ь) постоянна в оставшихся интервалах (—то, 0], [1, то). Поскольку VI = — 1 ф(х), то тождество (11) принимает вид

£

J ! -ф(х)и(Ь,х)&с1х + 1£(ф) = У <p(x)ф(x)dx, 0 п п

где линейный функционал 1£(ф) стремится к нулю при е ^ 0. После предельного перехода при е ^ 0 будем иметь

1*Ш°,х)<ь = 1 ФЖ*)<ь

пп

при любом гф € СЭто доказывает выполнение начального условия и(0,х) = <р(х).

3. Оценка решения параболического уравнения сверху

Ниже мы выведем теорему 1 из следующего утверждения в случае ограниченной в И функции з(Ь,х).

Предложение 1. Пусть и(Ь,х) -решение задачи (1)-(3) с начальной функцией р, равной нулю вне шара радиуса Я0, и скалярное произведение (х, с) > 0 в ИТ. Тогда для всех Ь > 0, г > Д0 справедливо неравенство

У и2(г,х)(1х ^ А1 ехр {—СГ1^' ~Г== )2 I , (23)

П\П[г] V Ко )

х

где А1, С — постоянные зависящие от Y. Доказательство.

Пусть £(т,г,р) - непрерывная неотрицательная функция, равная нулю при т С г и единице при т > г + р. В оставшемся интервале она удовлетворяет условию ^ = —1—,

где параметр z находится из условия ^(г + р,г, р) = 1 и sc(r) = sup s(t, х). Подставив в

i>0,|x|=r

тождество (19) пробную функцию v(t,x) = rq(x; r,p)uh, rj(x) = £2(lxl,r, p), получим

1 n

2(uhn)t + J2(aijUXi )н(щн)Х] +

DT

i, 3=1

+ ^2((ciu)h(Wh)xi - (biUxi)h(vuh)) + (du)h(Wh)

i=1

dxdt = 0.

После предельного перехода в равенстве (24) при h ^ 0 имеем:

(и2 (Т,х) — ip2 (x))r/dx+

+2

DT

У, a-ijUxi (w)x, + cMvu) Xi OiUx; щ) + du Tj

ч] ^xiy / ^¡x^

, =1 =1

dxdt = 0.

(24)

Отсюда, в силу условия вирр^ € П[Д0], для любых г > К0 и р > 0 нетрудно получить неравенство

J щ2(T,x)dx + 2 J

П DT

У^ "qaijUxiUxj + du2ri

, =1

dxdt С

С

/n о л n ЛО _ I ___I W'W

aijuxiu——dxdt + 2 — bi\luuxiIdxdt — 2 u2—dxdt С

DT i,3 = 1 3 dt i=1 DT

С 2 J (s(t,x)TluVullV^I + VsdluVulrfdxdt.

DT

Преобразуя последнее, будем иметь

(25)

J щ2(T,x)dx + J (s^lVul2 + du2rq)dxdt С 2 J sT\Vu\lul\V'qldxdt.

П DT DT

Используя вид функции г/, нетрудно получить неравенство

У u2(t,x)dx + j J (s|Vw|2 + du2)dxdt С

П\П[г+р] 0 П\П[г+р]

/ / и2 dxdt.

С С —

0 П[г+р]\П[г]

Z

Вводя обозначение

Нг(Ь) = У и2(х,1)(1х + ! J (з|Уи|2 + дь^^дьхдьЪ.,

П\П[г] 0 П\П[г]

устанавливаем, что

Нг+Р(1) ^ ^ Нг(т)йт. (26)

0

Неравенство (26) будем применять индуктивно для последовательности гг.г = 0.1. 2. ...к.

П+1

гг+1 = гг + рг. числа рг выбираются так, чтобы г = ( р—. Учитывая, что НгН) ^ А,

^ V

будем иметь

АП

НГ0+Р0 ® = —т. (27)

Далее индукцией по к установим неравенство

АСк гк г2 к к\

Пользуясь неравенством Стирлинга, приходим к соотношению, из (28) нетрудно получить

Нгк (г) ^ ек * ^ Ае-к ы Й. (29)

у2жкх 2к к к

Число к будем выбирать так, чтобы Се2Ь ^ г2к ^ 2Се21. Тогда из (29) следует, что

НГк (I) ^ Ае-к. Для пары чисел г.Я0 выстроим последовательность гг так, что

к-1 г

гк = V/ = = I

л/Ж J л/№)

Нгк (I) ^-шт. (28)

у/вс(г) I у/вс(г)

' г Л0

Далее I2 = г2к2 ^ 2Се21к. В качестве к выбираем наименьшее целое, удовлетворяющее этому неравенству. Тогда к > 2. Таким образом, неравенство (23) установлено. Доказательство теоремы. Введем обозначение

е = А1 вхр(—12/(2СеЧ)). При г > 2К0 и всех Ь € (0.Т) справедливо неравенство

У и2(1.х)(1х ^ е + ! и2(1.х)(1х. (30)

п од

Так как функция и(Ь.х) для почти всех £ € (0.Т) является элементом пространства

о

Н ^(П. ГЦ). то из (9) получаем

и2(г.х)ёх ^ £ + \-1(Ь.г) / (в^.х^и^ + йи2)йх. (31)

п п

Тогда для функции Е ({) = / и2(1.х)йх с помощью соотношения

п

[ и2(1.х)(1х ^ — [(з(т.х)1^и12 + ¿(т.х)и2)(1х. (32)

выводим неравенство

(е(г) - е)\(г, г) ^ --Е(г).

Решая это неравенство, находим

Е(г) -£ ^ е-/оХт'г)(1тЕ(0). Подставляя выражение для е, получаем

Е(г) ^ Е(0)(^1 е- 12/(2Се2г) + е- Я Х(т'г)Лт). (33)

Последнее неравенство справедливо при всех г > К0. Выберем число г = г(Ь) так, чтобы

Лт_N2

Ш1П | 1 (/ )2,!\(т, т)йт > Мт(1). Тогда

До У3с(Т> о /

Е(I) ^Е(0)ехр(^--^Мт(г)^

неравенство (10) теоремы установлено.

Перейдем к рассмотрению примера, демонстрирующего оценку теоремы 1, в случае области вращения П$. Очевидно, что для приближенного вычисления функции Мт(£) можно каждую из пары функций, ее определяющую, заменять на меньшую. Известны неравенства для функции А(т, г) в том случае, когда ГЦ = дП

С1 ^А( т, г) ^ ,г Жи (34)

р2(г) ' Р2(г)

где р(г) - радиус наибольшего шара, вписанного в Пг.

Пусть Р С (0, то) — произвольное измеримое подмножество. Положим Г1 = Р х дП. Пользуясь (34), устанавливаем, что:

г г

/ Ш1 - -

оо

где Хр(т) - характеристическая функция множества Р. Если ввести обозначение г

д^) = / Хр(т)(!т, то будем иметь неравенство о

С1 д(Ь) ^ [ А(т, г)йт. (35)

2( )

о

В случае ,х) = 1 определим г(Ь) равенством

2 ( )

2( )

Воспользуемся оценкой из доказательства теоремы 4:

Е(Ь) ^ Е(0)(А1е-Й + е-т). После выбора = ( ) будем иметь

Е(г) ^ Е(0)(А1 + 1)е-СтЧН-, Ст = Ш1п(сь 1/С). В частности, если ¡(г) = га и = Ь/2, то получаем оценку

и2(г,х)сХ ^ Мехр (~кЪ, (36)

совпадающую по форме с той, которая была получена Мукминовым Ф.Х. [17] в случае, когда Г2 = 0. Но если плотность распределения множества Р реже, например д(1) = VI, то

¡и2(,х)Лх <МеЩ1 (-к(т) , а. €

П

Рассмотрим теперь уравнение, для которого ,х) = «(|) = , 3 < 2. Тогда

Г Г р

I ^ = [ = т1-2 г > 1-Ё У = ] т^ = 1 -2Ыо-г 2

До До 2

I

при достаточно больших г. При ¡(г) = га имеем из (35) / А(т, г)с1т — . Поэтому

0

1 о а о 2 - 2а-/3

Мт(г) = вир тш( Гхг2-^ ^ г-2а) = .

При 3 — 2 оценка теоремы не дает квалифицированного убывания решения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Биккулов И.М., Мукминов Ф.Х. О стабилизации нормы решения одной смешанной задачи для параболических уравнений 4-го и 6-го порядков в неограниченной области // Матем. сб. 2004. Т.195. №3. С. 115-142.

2. Гущин А.К. Об оценках решений краевых задач для параболического уравнения второго порядка // Труды матем. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова. 1973. Т.126. С. 5-45.

3. Гущин А.К. Стабилизация решений второй краевой задачи для параболического уравнения второго порядка // Матем. сб. 1976. Т. 101(143). С. 459-499.

4. Гущин А.К. О равномерной стабилизации решений второй смешанной задачи для параболического уравнения // Матем. сб. 1982. Т. 119(161). №4. С. 451-508.

5. Гущин А.К. Некоторые свойства обобщенного решения второй краевой задачи для параболического уравнения // Матем. сб. -1975.- Т. 97(139). №2(6) С. 242-261.

6. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности // Дифференц. уравнения. 1988. Т.24. С.288-299.

7. Жиков В.В. О стабилизации решений параболических уравнений // Матем. сб. 1977. Т.104(146). С. 597-616.

8. Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Оценки скорости стабилизации при £ ^ те решения первой смешанной задачи для квазилинейной системы параболических уравнений второго порядка // Матем. сб. 2000. Т. 191. №2. С. 91-131.

9. Кожевникова Л.М. О классах единственности решения первой смешанной задачи для квазилинейной параболической системы второго порядка в неограниченной области // Известия РАН. 2001. Т. 65. №3. С. 51-66.

10. Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Убывание решения первой смешанной задачи для параболического уравнения высокого порядка с младшими членами // ФПМ, 12:4(2006), С. 113-132.

11. Кожевникова Л.М. Классы единственности решений первой смешанной задачи для уравнения иг = Аи с квазиэллиптическим оператором А в неограниченных областях // Матем. сб. 2007. Т. 198. №7 1. С. 59-102.

12. Кожевникова Л.М. Стабилизация решений псевдодифференциальных параболических уравнений в неограниченных областях // Изв. РАН. Сер. матем. 2010. Т. 74, № 2. С. 109—130.

13. Каримов Р.Х., Кожевникова Л.М. Стабилизация решений квазилинейных параболических уравнений второго порядка в областях с некомпактными границами // Матем. сб. 2010. Т. 201, №9 . С. 3—26.

14. Лежнев А.В. О поведении при больших значениях времени неотрицательных решений второй смешанной задачи для параболического уравнения // Матем. сб. 1986. Т.129. №2. С. 186-200.

15. Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной .задачи для системы уравнений Навье-Стокса: Дис. докт. физ.-матем. наук. М.: МИРАН, 1994. 225 с.

16. Мукминов Ф.Х. Об убывании нормы решения смешанной задачи для параболического уравнения высокого порядка // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. №10. С. 1172-1180.

17. Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка // Матем. сб. 1980. Т.111(153). №4. С. 503-521.

18. Тедеев А.Ф. Стабилизация решений первой смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения высокого порядка // Дифференц. уравения. 1989. T. 25. №3. С. 491-498.

19. Тедеев А.Ф. Оценки скорости стабилизации при t ^ ж решения второй смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. 1991. T. 27. № 10. С.1795-1806.

20. Ушаков В.И. О поведении решений третьей смешеанной задачи для параболических уравнений второго порядка при t ^ ж // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. С. 310-320.

21. Ушаков В.И. Стабилизация решений третьей смешанной задачи для параболического уравнения в нецилиндрической области // Матем. сб. 1980. Т. 111(153). С. 95-115.

Венера Фидарисовна Гилимшина

Башкирский государственный педагогический университет им. М.Акмуллы, ул. Коммунистическая 22а, 609 450076, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Фарит Хамзаевич Мукминов

Уфимский государственный авиационный технический университет, ул. Ухтомского 17/2, кв. 177, 450105, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]