Научная статья на тему 'Убывание решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью в неограниченных областях'

Убывание решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью в неограниченных областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
368
25
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
АНИЗОТРОПНОЕ УРАВНЕНИЕ / ПАРАБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ С ДВОЙНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ / СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЯ / СКОРОСТЬ УБЫВАНИЯ РЕШЕНИЯ / ANISOTROPIC EQUATION / DOUBLY NONLINEAR PARABOLIC EQUATIONS / EXISTENCE OF STRONG SOLUTION / DECAY RATE OF SOLUTION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Кожевникова Лариса Михайловна, Леонтьев Алексей Александрович

Работа посвящена некоторому классу анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью, представителем которого является модельное уравнение вида $(|u|^{k-2}u)_t=\sum_{\alpha=1}^n(|u_{x_{\alpha}}|^{p_{\alpha}-2}u_{x_{\alpha}})_{x_\alpha},\quad p_n\geq \ldots \geq p_1>k,\quad k\in(1,2).$ Для решений первой смешанной задачи в цилиндрических областях $D=(0,\infty)\times\Omega,\;$ $\Omega\subset \mathbb{R}_n,\;n\geq 2,$ с однородным краевым условием Дирихле и финитной начальной функцией установлены точные оценки скорости убывания при $t\rightarrow\infty$. Ранее такие результаты были получены авторами для $k\geq 2$. Случай $k\in(1,2)$ отличается способом построения галеркинских приближений, который для модельного изотропного уравнения был предложен Э.Р. Андрияновой, Ф.Х. Мукминовым.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Кожевникова Лариса Михайловна, Леонтьев Алексей Александрович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Decay of solution of anisotropic doubly nonlinear parabolic equation in unbounded domains

This work is devoted to a class of parabolic equations with double nonlinearity whose representative is a model equation $(|u|^{k-2}u)_t=\sum_{\alpha=1}^n(|u_{x_{\alpha}}|^{p_{\alpha}-2}u_{x_{\alpha}})_{x_\alpha},\quad p_n\geq \ldots \geq p_1>k,\quad k\in(1,2).$. For the solution of the first mixed problem in a cylindrical domain $D=(0,\infty)\times\Omega,\;$ $\Omega\subset \mathbb{R}_n,\;n\geq 2,$ with homogeneous Dirichlet boundary condition and compactly supported initial function precise estimates the rate of decay as $t\rightarrow\infty$ are established. Earlier these results were obtained by the authors for $k\geq 2$ The case $k\in(1,2)$ differs by the method of constructing Galerkin’s approximations that for an isotropic model equation was proposed by E.R. Andriyanova and F.Kh. Mukminov.

Текст научной работы на тему «Убывание решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью в неограниченных областях»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 1 (2013). С. 63-82.

УДК 517.946

УБЫВАНИЕ РЕШЕНИЯ АНИЗОТРОПНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ДВОЙНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ЛЕОНТЬЕВ

Аннотация. Работа посвящена некоторому классу анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью, представителем которого является модельное уравнение вида

(|и|к 2 у)г = |Ра 2иХа )Ха, Рп > ... > Р1 > к, к е (1,2).

а=1

Для решений первой смешанной задачи в цилиндрических областях В = (0, то) х П,

П С Мп, п > 2, с однородным краевым условием Дирихле и финитной начальной функцией установлены точные оценки скорости убывания при £ ^ то. Ранее такие результаты были получены авторами для к > 2. Случай к е (1, 2) отличается способом построения галеркинских приближений, который для модельного изотропного уравнения был предложен Э.Р. Андрияновой, Ф.Х. Мукминовым.

Ключевые слова: анизотропное уравнение, параболическое уравнение с двойной нелинейностью, существование решения, скорость убывания решения.

1. Введение

Пусть О — неограниченная область пространства Мп = {х = (х1,х2, ...,хп)}, п > 2. В цилиндрической области Д = {Ь > 0} х О для анизотропного квазилинейного параболического уравнения второго порядка рассматривается первая смешанная задача

(|u|k 2u)t = Ка)xa, k G (1, 2), (i, х) е D;

а=1

u(t, х) =0, S = {t > 0} х дП;

S

и(0, х) = <^(х), <^(х) е Ьк(О), ^ха(х) е ЬРа(О), а =1,п. (3)

Предполагается, что неотрицательные функции аа(в), в > 0, а =1,п, подчиняются условиям: аа(0) = 0, аа(в) е С 1(0, то),

ав(Ра- 2)/2 ^ аа(в) ^ ав(Ра- 2)/2, (4)

р1 аа(в) ^ аа(в) + а'а(в)8 ^ Ьаа(в), (5)

с положительными константами а > а, 26 > р1 > к (р1 ^ р2 ^ ... ^ рп). Например, аа(в) = в(Ра-2)/2, а = 1, п, 6 = рп/2.

Работа посвящена изучению скорости стабилизации при Ь ^ то решения задачи (1)-(3) с финитной начальной функцией <^(х).

L.M. Kozhevnikova, A.A. Leontiev, Decay of solution of anisotropic doubly nonlinear parabolic equation in unbounded domains.

© Кожевникова Л.М., Леонтьев А.А. 2013.

Работа поддержана РФФИ (грант 09-01-00440-а).

Поступила 23 декабря 2011 г.

Исследованию поведения решений смешанных задач для линейных и квазилинейных параболических уравнений второго и высокого порядков при t ^ то посвящены работы А.К. Гущина, В.И. Ушакова, Ф.Х. Мукминова, А.Ф. Тедеева, Л.М. Кожевниковой, Р.Х. Каримова и др. Обзоры соответствующих результатов можно найти в [1], [2], [3].

В изотропном случае, т.е. когда все ра равны между собой и равны p, p > 2, при к = 2 задача (1)-(3) исследовалась в работе [3]. Оценки скорости убывания решения задачи Коши для параболического вырождающегося уравнения с анизотропным p-лапласианом и двойной нелинейностью при к G (1, 2) установлены в работе С.П. Дегтярева, А.Ф. Тедеева

[4].

Вопросы существования и единственности решения изотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью рассматривались в работах P.A. Raviart, Ж.Л. Лионса, A. Bamberger, O. Grange, F. Mignot, H.W. Alt, S. Luckhaus, F. Bernis и других. Однако для получения оценки снизу убывания решения при t ^ то нужна его дополнительная гладкость.

Ф.Х. Мукминов, Э.Р. Андриянова [5] предложили обычный способ построения сильного решения для модельного изотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью сразу в неограниченной области на основе галеркинских приближений, которые в случае к G (1, 2) и к > 2 строятся различными способами. В работе [6] этот метод адаптирован на некоторый класс анизотропных параболических уравнений вида (1) при к > 2, и на основе галеркинских приближений получена оценка допустимой скорости убывания решения в неограниченной области. Настоящая работа является продолжением работы [6] для случая к G (1, 2).

Будем рассматривать области, расположенные вдоль выделенной оси Oxs, s G 1,n (область Q лежит в полупространстве R+ [s] = {х G Rn | xs > 0}, сечение Yr = {x G Q | xs = r} не пусто и ограничено при любом r > 0). Ниже будет использовано обозначение: Qba = {х G Q | a < xs < b}, при этом значения a = 0, b = то опускаются.

Предполагается, что начальная функция ограничена и имеет ограниченный носитель так, что

supp С QRo , R0 > 0. (6)

Теорема 1. Пусть область 'расположена вдоль оси 0х3, в е 1,п и выполнено условие (6). Тогда найдутся положительные числа к(р3,к), М(р3,к) и ограниченное решение и(Ь, х) задачи (1)-(3) такие, что при всех Ь > 0, г > 2Я0 справедлива оценка

1/(Рв-1)Ч

lu(t)lk(nr) ^ М exp -

к

t

IMUfc (П). (7)

На основе неравенства (7) устанавливается оценка снизу убывания решения задачи (1)-(3) при Ь ^ то.

Допустимая скорость стабилизации решения изотропного квазилинейного параболического уравнения высокого порядка при к = 2 изучалась А.Ф. Тедеевым [7] для первой смешанной задачи и N. АНкакоэ, И,. Иоэ^ашап [8] для задачи Коши.

Теорема 2. Пусть область 'расположена вдоль оси 0х3, в Є 1,п и выполнено условие (6). Тогда существует положительное число С,к,р1, а, Ь) и ограниченное решение

п(Ь, х) задачи (1)-(3) такие, что при всех Ї > 0 справедливо неравенство

|К<)1к(П> > Мк(П> №)і + 1)-1/(Р1-‘>. (8)

Определим функцию

^І(г) = іп^ЛдХ1 ||Ьр1 (П> д(х) Є ЦдЦь^п) = ^ , Г> °. (9)

Будем исследовать убывание в областях, для которых выполнено условие

Ііт ^І(г) = 0. (10)

Показано, что если это условие не выполнено, то достигается максимальная скорость убывания решения, т.е. справедлива оценка

1Ж1к(П) ^ МГ1/(р1 -к), г> 0, (11)

(см. [6, следствие 2]).

Положим

V(г) = т£{\\дХ1 ||Ьр1 (7г) д(х) € Ы\ьР1 Ы) = ^ , т> 0. (12)

Будем считать, что область П удовлетворяет условию

СЮ

J иР1/Ре (т)(!т = то. (13)

1

Пусть т(г) — произвольная положительная функция, удовлетворяющая неравенству

(г№ \

К/ vPl/Ps (р)^Р I > 1, £> 0. (14)

Существование такой функции следует из (10). Кроме того, из (14), (10) следует, что

Иш т(г) = то.

£—»сю

Теорема 3. Пусть область расположена вдоль оси 0х3, в € 2,п и выполнены условия (6), (10), (13). Тогда найдется положительное число М(р^рь 1Мкк(П)) и ограниченное решение и(г, х) задачи (1)-(3) такие, что справедлива оценка

ИиС01к(п) ^ М (^р1 (тС0))-1/(Р1-к), г > 0. (15)

Если выполнены условия:

^1(т) > Ст-а, т > 1, а,С > 0,

Т

Иш [ vpl/ps (р)(1р = то,

Т^Ю 1п т ]

1

то можно положить

т(г) = г£/(аР1), г> 0, е € (0,1), (16)

и оценка (15) принимает вид

||«(г)1к(П) ^ мг(1-£)/(Р1-к), г> 0. (17)

Выбор функции т(г) формулой (16) является удовлетворительным, поскольку оценка (17) имеет показатель степени близкий к показателю 1/(р1 — к) оценки снизу (8). Другие примеры для областей вращения приведены в работе [6].

2. Вспомогательные утверждения

Пусть || • ||Р,д — норма в Ьр^), р > 1, (•, -)д — скалярное произведение в Ь2(^), причем

значения р =2, Q = П опускаются. Через Въа = (а, Ь) х П обозначим цилиндр, значения

а = 0 и Ь = то могут отсутствовать.

О

Банахово пространство Щ кр(П) определим как пополнение пространства СЮ(П) по норме

П

\М\^к11(П) = ^ Иих„ \\ра + ||и \ к.

а=1

Банаховы пространства IV к’ р(^т), IV к’р(^т) определим как пополнения пространства с^(пТ+1), соответственно, по нормам

п

Мкк ’1 (Дт) — \\и\\к’Дт + / у \\их01 \\ра’Дт ,

а=1

\\и\\ш\' 1 (ДТ ) — \\и\\к ’ ДТ + \\щ\\к ’ пт + ^ \\иха \\ра ’ Дт .

а=1

Определение 1. Обобщенным решением задачи (1)-(3) назовем функцию и(^х) та° 0 1

кую, что при всех Т > 0 и(£, х) € Vкр(^т) и удовлетворяет интегральному тождеству

( 1-\и\к 2иьг + ^ аа(и2ха)иха^ ) dxdt — [\^(х)\к 2р(х)у(0, x)dx, (18)

пг V а=1 / о

Дт

° 1 1 Т

для любой функции у(1, х) к р(^ ), ъ(Т, х) — 0.

Из условий (5) следуют неравенства

(р1 — 1)аа(в) ^ аа(в) + 2о1а(в)8 ^ саа(в), с — 2Ь — 1, в > 0, а — 1,п, (19)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

которые можно переписать в виде

0 ^ (аа(г2)г)' ^ саа(г2), г € К, а — 1,п. (20)

£

Положим Аа(в) — / аа(т)dт, тогда, пользуясь условиями (5), выводим неравенства

0

р-Аа(в) ^ аа(в)в ^ ЪАа(в), в > 0, а —1,п. (21)

Лемма 1. Любое ограниченное множество рефлексивного банахова пространства слабо компактно (см. [9, гл. V, §19.7, теорема 1]).

° ° 0 1

Замечание 1. Пространства Vк р(П), V к р(^т) являются рефлексивными сепарабельными банаховыми пространствами (см. [6, замечание 1]).

Замечание 2. В дальнейшем, чтобы избежать громоздкости в 'рассуждениях, вместо утверждения типа "из последовательности им можно выделить подпоследовательность им, сходящуюся в Ь2(П) при I ^ то ", будем говорить просто "последовательность им выборочно сходится в Ь2(П) при М ^ то ". Соответственно, будем использовать термин "выборочно слабо сходится" и т.п.

Лемма 2. Пусть дм(^ х), М — 1, то, д(^ х) — такие функции из Ьр(5), 1 < р < то, что

\\дм М ^ С, дм ^ д при М ^ то почтил всюду в 5, тогда дм ^ д при М ^ то слабо в Ьр((5) (см. [10, гл. I, §1.4, лемма 1.3]).

Замечание 3. Лемма 2 сформулирована в [10] для ограниченной области 5, однако она справедлива и для произвольной неограниченной области. Будем применять лемму 2 для 5 — П и для 5 — (0,Т) х П.

Лемма 3. Пусть система функций фг(х) € С£°(П), I — 1, то, линейно независима, и

°

её линейная оболочка является всюду плотным множеством в пространстве Vк р(П).

ь

Через Рь обозначим совокупность функций ^ di(t)фi(x), где di(t) € СО[0,Т]. Тогда мно-

г=1

СО

жество Р — Рь плотно в пространстве IVк’р(^т).

ь=1

Доказательство. Покажем плотность множества Р в пространстве СО (^т+1). Пусть

у^, х) € СО(ВТ_+1), очевидно у^, х) € С([—1,Т + 1] ^ IVк Р(П)). Выберем произвольное £ и зафиксируем 8, такое что для любых t,t* € [— 1, Т + 1], таких что ^ — ^ \ < 28 будет справедливо

Иу« — у(«’)1Ц,р(П) <£- <22)

Выберем конечную последовательность точек tj, ] — 1,^, такую что

N

(—1, Т + 1) — и (^' — 8, tj + 8) и разбиение единицы j=l

N

Е wj(t) — 1 wj(t) € C0OO((tj — 8, tj + 8)) 0 ^ wj(t) ^ 1 j=1

Из определения системы функций (x) следует, что для каждого j, j = 1,N, найдется

номер Lj(е) и числа fjk такие, что

Lj

\\v(tj, x) - E fjkA(x)IW (п) <е, j = 1,N (23)

k=1 ’

N Lj L ( N \

Покажем, что функции ^ Wj(t)fjkфк(x) = Yl J2w.(t)fjk) фк(x), L = max Lj,

j=1 k=1 k=1 у=1 J j=1, N

о

fjk = 0, k > Lj, приближают функцию v(t, x) в норме пространства Wk p(^) равномерно

по t E [— 1,T + 1]. Действительно, применив (22), (23), выводим:

N Lj

max ||v(t, x) — > > Wj(t) fjkфк(x)|| ◦ =

te[-1,T+1] " V ' JJJWICK t\\Wk p(Q)

j=1 k=1

N N Lj

= te[m1aTC+1] \ E W (t)v(t, x) — EE Wj (t) f jkФWII^ 1 (q) ^

, j=1 j=1 k=1 ,p

NL

«E l_J;,iax+t,l |wj<t)v(t-x)—w>(t) E j ф <x>»w- „ p(Q)«

j=1 k=1 ’

^ > max IIv(t, x) — / fjkф]^(x)|| ◦ <

A+t. A+t .1 " ! ^ JjkTk\ )\\w 1 (q) ^

NL

. 1 M+j,'&+tj] 11 4 ’ ' k“1 ff T V '"Wk,p(Q) j=1 k=1

N

^ > max || v(t, x) — v(tj, x)|| ◦ +

l-^+tj,s+tj] 11 V ’ ; j ;"wfc,P(Q)

N Ь

+ Е \\у(tj, х) — Е Ькфк(х)|| ° ! (п) ^ N£ + М£ — 2Ы£ — £1.

■ 1 11 т к’ Р( )

.7=1 к=1

ь

Введем обозначение /к (^ — ^ wj (t)fjk. Возьмем € СО (^т+1), положим

к=1

у^, х) — wt(t, х) € СО(^т+1). Согласно доказанному, для любого £1 > 0 найдется Ь(£1) такое, что

Ь(£1)

.бЖХн] ^ — Е fk<()фк<Х)»,|,к 1 (П) < £1. <24)

’ к=1 ,Р

г

Рассмотрим функцию w(t, х) — J ^^т(т, x)dт и покажем, что функции вида

Т1

Ь Ь °

^2(1 fk(т)dт)фк(х) приближает функцию w(t, х) в пространстве Vк р(П) равномерно по к=1 -1 ’

t € [—1,Т + 1]. Действительно, при Ь ^ то

ь I

max IIw(t, x) — / / fk(т)фk(x)dd| о

te[-1,T+1] " V’ ' fW Jky ryky J "wfc,p(Q)

k=1 1

max j| / wT(т, x)dT — fk (т ^k (x)dT \

k=1

t€[-1,T+1] J W fc,p(Q)

-1 k=1-1

tL

= .£№4 " Wt<T'x) ^ fk(T)фkW dT"Wk p(Q) <

_1 \ k=1 / ’

L

^ (T + 2) maX "wt (т, x) — E fk (T^k (x)IU 1 (q) ^ 0.

t€[-1,T+1] f—' W fc’p(Q)

k=1

T

Обозначим dk(т) = f fk(p)dp, тогда, из неравенства (24) и последних соотношений при

-1

L ^ то следует

L

^max+n "wt (т- x>—E dk ^0

k=1 ’

L

max "w(т, x) — > dk(т)фk(x)" ◦ 1 ^ N ^ 0,

[—1,t+1] " v ^ kV >rkK "wfc’p(Q)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

k=1

L

откуда вытекает "w(т, x) — ^ dk(т^k(x)"wM (dt+i) ^ 0. □

k=1 Wk’ p( -1 )

Теорема 4. Пусть <^(х) €Р°/кр(П), р1 > к, к € (1, 2), тогда существует обобщенное

решение и(^х) задачи (1)-(3), для любого Т > 0, удовлетворяющее условиям

°

и € Ьо((0, то),\Мкр(П)); (25)

\и\(кт2)/2и* € Ь2(ВТ), и € С([0, то), Ьк(П)); (26)

иг € Ьк(Бт). (27)

При этом справедливы неравенства

t

П п

+ ka

а=1 {

(k — i)|u(t)"k +k^^ I \\иХа(т)"pad'r ^(k — i)"^"k, t >o; (28)

0

d n

(k — 1) ~dt "u(t)"k + ka^2 "UXa (t)"pa ^ 0, t> 0. (29)

a=1

Доказательство. Выберем линейно независимую систему функций фг (х) E C^(Q), i = 1, то, такую, что ее линейная оболочка является всюду плотным множеством в про-

о

странстве Wk p(^). Будем считать, что эта система является ортонормированной в L2(H). Положим IM = U= supp фг(х), тг = max |фг(х)|.

x£lM

M

Приближенные решения uM(t, х) будем искать в виде uM(t, х) = CM(t)t^i(x),

г=1

M = 1, то. При этом функции cM(t), t E [0, то), определяются из системы обыкновенных дифференциальных уравнений

(«Шм )k/2 1uM)t ,ф) +Е (aa ((uxfa )2)uM , (ф ) x a ) = 0, (30)

a=1

им — (им )2 + к£м, 3 — 1,М,

(числа £м > 0 выберем позже) и начальных условий

см (0) — см, г — ХМ, (31)

подобранных так, что

M

uM(0, x) = Е cMФі(x) ^ <^(x) в Wk,р(П) при M ^ ж. (32)

i=1

Отсюда сразу следует, что

“u (0)“wk1p(n) ^ Я^М^^П)^ M = 1, ж. (33)

d

Убедимся, что уравнения (30) разрешимы относительно производных — ci (t). Очевид-

dt i

но, что уравнения (30) имеют вид

cM(t))~r;ci w = f(cl

M d ________________________________________________________

ЕAji(cM(t),...,cM(t))-тлм(t) = Fj(cM(t),...,cM(t)), j =1,M, (34)

dt

i=1

Aji(cU . . . , cM) = 1 1 єм 2 + (k - ^ ( Е ci ф*) I (ujM )k/2 2фі,ф

2

J=1

= (ФІ,Фз)м, І,І = 1,М, (сь... ,см) =

п м / / / м \2\ \

ЕЕ СІ (а“ НЕ Сі (Ф )ха) ) (фі)ха , (Ф )х« ) , І = 1,М

Нетрудно проверить, что (д,к)м, д,Ь Е С'О(П), является скалярным произведением. Следовательно, матрица коэффициентов Ад(см(ї), ...,с)м(ї)) при каждом ї является матрицей Грама системы линейно независимых векторов фІ, І = 1,М, и имеет обратную. Поэтому, систему (34) можно переписать в виде

л м _____________________________________________________________

~^см(ї) = ЕА-1(см(ї),...,см(ї))рз(см(ї),...,см(t)), і = 1,м. (35)

3 = 1

Установим теперь оценки для галеркинских приближений. Умножим І-е уравнение (30) на с]м (ї), и затем все уравнения сложим по І от 1 до М, в результате получим равенства

п

(((им )к/2~1им )і ,им) + Е(а«((имі )2)има ,и^а ) =0, М = 1^ а=І

которые можно переписать в виде

ІП - 1 Vм)к/2<іх - ем2 /(шм)к/2-1 ) + Е (аа((им„)2)им,им„) =0, М = 1^.

^ ^ ^ J 2 7 4 ' I ^ 4 “чч х“' ' х“' ха

/М /М ' а=1

После интегрирования от 0 до і будем иметь

Кроме того, неравенства (4), (41) позволяют установить оценки

п

Еііа«((и“)2)и“ік/(р«-і),^ < «ЕIим!и?а-ъ1‘ ^ Е^ М=їт^. (42)

а=1 а=1

(36)

Л(^м)1/2(«)Ик’/« — £-мк ((ш“((.х))к/2 1dx + Е (аа((и")>м,им)д, —

IМ а=1

— к--1 Нкм )1/2(0)\к’/м — £м 2/км (0, x))k/2т1dx, М — т;то. (37)

Выберем числа £м ^ 1/М так, чтобы были справедливы неравенства

шее Iм ^ (£м)тк/4, М — 1,то. (38)

Применяя (38), (33), выводим неравенства

( к \у2

\\(шм )1/2(0)||к’/М ^ \\им (0)\ + ^ 2£ у \\к’1М ^ Ним (0) II к + (39)

+ (к£м \1/2 (шее Iм )1/к < Е1 + (к \ 1/2 (£м )1/4 « Е1 + (к \1/2,

к Г (к \к/2 (к \к/2 (к \к/2

к£м (им (^ х))к/2т^х ^ (к£м) ше8 Iм ^ 1^] (£м )к/4 ^ 1к ) . (40)

Учитывая (4), соединяя (39), (40), (37), для t > 0 получаем

(и,м)1/2(і)Цк + £ ||и£ ИР> < Е2, М = 1, м. (41)

а=1

Здесь и ниже постоянные ЕІ зависят только от а, а, Ь, р, Ц^Ц^ х(п).

Покажем, что все возможные решения задачи (31), (35) равномерно ограничены при і > 0. Действительно, пользуясь (41), для і > 0 выводим

м

(і) 2 м 2

3=і

Е з мі2=иим

/ |им(і)|к|им(і)|2-кёх « Цим(і)Цк тах

З хЄ/М

п

м 2-к

(і)фз(х)

3=і

м

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(2-к)/2 м (2-к)/2

^ МЕ 3 (і)|2 ПС™2

3=і 3=і

Откуда имеем

м к/2 м (2-к)/2

|с,м(і)Ік < |с"(і)і^ < Е2 т^ , І =Т7М.

Ввиду непрерывности правой части уравнений (35), существуют абсолютно непрерывные функции см(і), і Е [0, то), І = 1,М, которые почти всюду удовлетворяют системе (35) и начальному условию (31) (см. [11, с. 120]).

й

Умножим теперь І-е уравнение (30) на — с^ (і), и затем все уравнения сложим по І от 1 до М, в результате получим равенства

(((им )к/2 ,им) +Е )2)и“ ,U“J =0, М = 1, ^

а=1

которые можно переписать в виде

к

(к - 1)Ц(^м)к/4-\миимЦ2 + ємкЦ(им)к/4-\мЦ2+ (43)

1 й п р + 2йй Е] Аа((им* (і))2)йх =0, М = Ї7^.

а=1 п

После интегрирования от 0 до і, пользуясь (21), будем иметь

(к - 1)Ц(^м )к/4-Чм им Щг + 6м к Ц(Шм )к/4-\м Щг +

1 п

+-ЕЫ(< (і))2)< (і),<(і)) ^

2Ь а=1

1 п ___________________________________________

^ (а«((им(0))2)им(0),им(0)), М =1, ^.

р1 а=1

Далее, виду справедливости неравенств (к — 1)(им)2 + 6м| > (к — 1)^м, применяя (4), пользуясь (33), выводим

п

И(^м)(к-2)/4и,миЬ, + Е и«м(«Ж: < Ег„ М = ттм. (44)

М,

а=1

Пусть Т — произвольное положительное число. Из неравенств (41), (44) следует ограниченность последовательности |(^м)1/2}О=1 в пространствах С([0, то),Ьк(П)), Ьк(От),

° ° 0’ 1

последовательности {им}О=1 в пространствах С([0, то), V 1р(П)), Vк’р(^т) и последовательности |(^м)(кт2)/4им}О=1 в Ь2(ПТ). Кроме того, из неравенств (42), следует ограниченность последовательностей аа((им)2)им в пространствах ЬРа/(Ра-1)(От), а — 1,п. Установленные факты обеспечивают выборочную слабую сходимость указанных последовательностей при М ^ то в соответствующих пространствах:

м , т°г 0,1 , птч

и ^и в Vк’рф ),

м\2\„,м . ь „ г ( тлт

а»((иХ: ))иХ: ^ Ьа в ЬР:/(Р:-І) (Б ) , а = 1 , П.

,м\(к-2)/4„ ,м

Кроме того, рассмотрим последовательность Vм = (шм)(к 2)/4им, М =1, то и последова-

с-2

2

тельность ее производных Vм = (шм)(к 6)/4«м(к-2и2 + шм), М =1, то. Очевидно, из (44)

следуют неравенства

к

IVм|Ь‘ ^ 2ІІ(^м)(к-2)/4им1Ь‘ ^ Еб, М = 1, то, (45)

из которых следует выборочная слабая сходимость

уЬм ^ д в Ь2(Рт).

Ниже докажем, что им выборочно почти всюду в О сходится к и, это позволит установить, что д — (\и\(к-2)/2и)г.

° __________________

Последовательность им € С([0, то), Vкр(П)), М — 1, то, ограничена в этом пространстве. Для каждой ограниченной области 5 С П с гладкой границей имеем компактность вложения Ь1(5) С W11(Q). Поэтому, диагональным процессом можно установить выборочную сильную сходимость им (tj, х) ^ h(tj, х) в Ь1(5) на счетном плотном множестве {tj}О=1 С [0,Т]. Будем полагать, что 0,Т € {tj}°=1. Можно также считать, что им(tj, х) ^ h(tj, х) выборочно почти всюду в 5 при каждом tj, ] — 1, то. Совершенно аналогично, при к < р1 можно также считать, что последовательность им(tj, х) ^ h(tj, х) сильно в Ьк(5) при каждом tj, ] — 1, то.

Следуя Ж.-Л. Лионсу [10, гл. I, §12.2] докажем выборочную сильную сходимость последовательности ум — (шм)(к-2)/4им в пространстве С([0,Т],Ь1(5)). Сначала, применяя (45), установим равностепенную непрерывность по t последовательности ум в Ь2(П):

vM (t2) — vM (t1)" = 1/2

t2

j vM (t)dt

t1

t2

< J "vtM(t)"dt ^ t1

^ |t2 — t1|1/2 yj "vf(t)"2dtj ^ E6 |t2 — t1|1/2, t1,t2 E [0,T], M =1, то. (46)

Из неравенств (41) заключаем равномерную по t E [0, T] ограниченность последовательности vM (t, х) в L2(Q):

"vM(t)" = "(uM)(k—2)/4uM(t)" ^ "(uM)k/4" = "(uM)1/2"k/2 ^ Ej, M = 1Тто.

Ввиду ограниченности последовательности vM(t, х), M = 1, то, в пространстве

C([0,T], L2(Q)) она выборочно слабо сходится в L2(Q) при тех же tj, что и выше. Из установленной выше выборочной сходимости UM(tj, х) ^ h(tj , х) почти всюду в Q при каждом tj следует выборочная сходимость vM(tj, х) ^ v(tj, х) = |h(tj, х) |(k—2)/2h(tj, х) почти всюду в Q. Далее, на основе теоремы Егорова для любого 8 > 0 устанавливается равномерная сходимость vM(tj, х) ^ v(tj, х) на Q$, mes(Q\Q^) < 8. Отсюда, ввиду справедливости неравенств

"vM(tj) — v(tj)" 1,Q < mes Q max |vM(tj, х) — v(tj, х)| + "vM(tj) — v(tj)ll1,Q\Q5 ^

x£Qs

^ mes Q mQx |vM (tj, х) — v(tj, х)| + 81/2 "vM (tj ) — v(tj )"2,Q\QS , x£Qs

следует сильная сходимость vM(tj, х) ^ v(tj, х) в L1(Q) при каждом tj.

Для ограниченной области Q из (46) нетрудно установить равномерную фундаментальность последовательности vM (t, х) по норме L1(Q):

"vN(t) — vM(t)"1,Q = "vN(t) — vN(tj1) + vN(tj1) — vM(tj1) + vM(ttj1) — vM(t)||1,Q ^

^ 2(meS Q)1/2E6|t — tjl |1/2 + "vN (tji) — vM (tjl) " 1,Q.

Выбрав конечный набор чисел tjt с малым шагом и затем увеличивая N, M, добиваемся равномерной по t малости правой части.

Итак, установлена выборочная сильная сходимость vM ^ v в C([0,T],L1(Q)). Сходимость будет также и в L1((0, T) х Q), поэтому vM ^ v выборочно сходится почти всюду в (0,T) х Q. Благодаря произвольности Q последовательность vM выборочно сходится к v

почти всюду в От. Кроме того, ввиду произвольности Т, выбирая Т — 1, 2,..., диагональным процессом можно выделить подпоследовательность ум ^ у почти всюду в О при М ^ то. Тогда и последовательность им(^ х) выборочно сходится к h(t, х) почти всюду в О. Согласно лемме 2, им(^ х) ^ h(t, х) в Ьк(От) при любом Т > 0, в силу единственности предела h(t, х) — и(^ х) почти всюду в О. Таким образом, ум выборочно сходится к у — \и\(к-2)/2и почти всюду в О.

Согласно лемме 2, ум ^ у слабо в Ь2(От). Далее, (ум,^и)ит — —(ум,^^г)ит для любой функции w € СО(От), переходя к пределу при М ^ то, получим

(д,1п)вт — —(у^г)пт.

Отсюда следует, что д — уг — (\и\(к-2)/2и)г. Отметим, что принадлежность у,уг € Ь2(От) влечет у € С([0, то), Ь2(П)).

Покажем, что последовательность им, М — 1, то, ограничена в Ьк(От). В самом деле, из (41), (44) следует

1/к

м'\к,пт — I / (^)к(кт2)/4\им\к(^м)(2тk)k/4dxdt | ^

Из ограниченности ||им\к>вт следует, что им ^ Ь в Ьк (От). Тогда (им ,^и)^т — —(им ,1^г )дт,

< Ц(Шм}(кт2)/4и?'И^т\К„мП^2 < £8

ед

для любой функции w € С0°(От), переходя к пределу при М ^ то, получим

(Ь,1п)вт — — (и,1щ)вт ,

значит Ь — иг. Тогда, можно считать, что им ^ иг слабо в Ьк(От). Отметим, что из принадлежности и,иг € Ьк(От) следует и € С([0, то),Ьк(П)).

С одной стороны, из оценки (33) и сходимости им(0, х) ^ и(0, х) почти всюду при М ^ то, согласно лемме 2, следует слабая сходимость им(0, х) ^ и(0, х) в Ьк(П) при М ^ то. С другой стороны, согласно выбору (32), иК(0, х) сильно сходится к <^(х) в Ьк(П). Ввиду единственности слабого предела, и(0, х) — <^(х) для почти всех х € П.

Докажем, что функция и(^х) удовлетворяет интегральному тождеству (18). Из (30) следуют тождества

(((Шм)(к 2)/2и^г ,^ вт + ^ )2)им №*) пт — 0 М — 1, то, (47)

а=1

справедливые для любой функции w(т, х) € Р — иОО=1 Рь. Первое слагаемое проинтегрируем по частям, получим

г=т

((им )(кт 2)/2им — ((им )(кт 2)/2им ,Щ)оТ + (48)

г=0

+ Е {аа((и^а )2)им1 ^ха) вт — 0, М — 1 то.

/ ^ У^аУУ^ХдУ ) ^ха а=1

Заметим, что (шм)(кт2)/2\им\ ^ (шм)(кт 1)/2 € С([0, то),Ьк/(П)), так как

\\(шм)(к т 1)/2\к/ — ||(^м)1/2|1к т 1 ограниченная последовательность в С[0, то). Следовательно, по лемме 2, последовательность (шм)(кт2)/2им выборочно слабо сходится к \и\кт2и в Ьк/(От) и (им(Т))(кт2)/2им(Т) ^ \и(Т)\кт2и(Т), (им(0))(кт2)/2им(0) ^ \и(0)\к т2и(0) в

Ьк/(П). Также можно утверждать, что (шм(Т))1/2 ^ \и(Т)\, (шм(0))1/2 ^ \и(0)\ в Ьк(П). То, что предельные функции будут именно такими, обосновывается установленной выше сходимостью подпоследовательности им почти всюду в От, а также почти всюду в П при t — 0,Т.

В (48) можно перейти к пределу при М ^ то, в результате придем к тождеству

(|и|к - 2и,и)

І=Т

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

І=0

(|и| и,и^ рТ "У (Ьа,и>х: )рт = О,

а=1

которое справедливо для любой функции w € Р. Ввиду плотности Р в пространстве

° 11 ° 11 VкР(От) (лемма 3) тождество (49) справедливо для произвольной w €WкР(От). При

этом пользуемся тем, что \и\кт2и € Ьк/(От), Ьа € ЬРа/(Рат1)(От), а — 1,п. В частности, для w — и, применяя равенство

г

(|и|к 2и,ит)йт = -Ци(і)Цк

Ь=Т

І=0

(50)

выводим

^2(Ьа,их: )ит + Ци(і)Ц

а=1

І=Т

— (|и| u, «і)вт

к1

іи(і)цк

І=0 і=Т п

(51)

+ ^^(Ь« ,их: )оТ = 0.

£=0 а=1

°1 1

Докажем, что для любой функции у €WjkР(От) справедливо равенство

П П

"У ^(Ьа, уХа )от — ^ Л,(аа((иха ) )иха ,уха )От. а=1 а=1

Вычтем из (37) при t — Т равенства (48), для w € Р получим соотношения

г=т

(52)

м )(к - 2)/2им

+ ((^м)

м)(к 2)/2им

І £)Т +

І=0

+ Е Ы(им )2)«м , («м - Ш)х: )пт +

к - 1 к

а=1

І=Т

м)1/2 (і) и к

(^м)

І=0

- 6м-](<,м(і х))к/2- 1 йх

І=Т

= 0, М = 1, то,

І=0

из которых, используя условие монотонного неубывания функций аа(г2)г, г € К, а — 1, п, (см. (20)), применяя неравенство (40), выводим неравенства

((^м )(к-2)/2им ,ш

І=Т

+ ((и,м)(к-2)/2им , Юі)вт +

+ X] {аМП'*а )2)“х: , («м - и)х„) 0т +

І=0 2

а=1

І=Т

- (6м)

м )к/4

І=0

2)

к/2

^ 0, М = 1, то.

Далее, перейдем к пределу по М ^ то для фиксированного w € Р, при этом используем установленную выше сходимость.

Таким образом, для произвольной w € Р справедливо неравенство

г=т п

- (|и|к 2и, и)

І=0

+ (|и|к 2и,иг)вт + ^ (а«(и2: )их: , (и - и)ха) Пт + к1

а=1

І=Т

к

Іи(і)и

(53)

І=0

Согласно лемме 3 множество Р плотно в пространстве IV \’р(От). Тогда для про° 1 1

извольной функции w €W кр(От) найдется такая последовательность т1 € Р, что 1^ — w||w 1.1 (^т) ^ 0 при I ^ то. Запишем (53) для w — чи1, затем перейдем к пределу при I ^ то. Обоснование предельных переходов при I ^ то

(МЫа )2)^ха , (и — Вт ^ (aа(w2a ^Ха , (и — w)xJ Вт , а —1,n,

приведено в [6]. Таким образом, тождество (53) установлено для произвольной w €W к ’’ р(

1Д, (ПТ)

Из (53) вычтем (51) и прибавим (49), в результате выводим неравенство

п

Е(°а ^ )^^Ха — Ьа, (и — ^Ха )вт < 0, (54)

а=1

справедливое для любого w €Wк’р(От). В (54) положим w — и + £у, £ > 0, где у €W

Р( ’

1 РРТ), получим

2_^(аа((их: + 6Vx: ) )(«х: + 6VX: ) - Ьа .Vх: ) Дт > 0. а=1

Из последнего неравенства при £ ^ 0 следует соотношение

п

^ ](аа(иха )иха — Ьа,уха )от — 0, а=1

из которого, ввиду произвольности у, будем иметь равенство (52). Из (49) и (52) для °1 1

у €Wk Р(От), заключаем справедливость тождества

п г=т

- (|и|к 2и,ч)вт + Е {аа(и1: )их: ^х:) Дт + (|и|к 2u,v)

а=1

= 0. (55)

І=0

Таким образом, (18) установлено. Из (51), (52) следует

к 1 п к 1

п

к і1«(і)11£ + Е/ (аа(и1: )их: ,их: )йт =^^~^ 1М1к , і > 0, (5б)

а=1 0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

дифференцируя которое по t, выводим

к — 1 г

——— ИиЮИк ^Е(аа(их« )иха ,иха )— 0, > 0. (57)

а=1

Далее, применяя (4), из (56), (57) выводим (28), (29). □

Предложение 1. Обобщенное решение и^, х) задачи (1)-(3) с ограниченной начальной

°1

функцией <^(х) € ЬО(П)П Vк р(П) является ограниченным, т.е.

уга1вир \ и^, х) \^ В < то. (58)

в

Доказательство. Покажем, что если \<^(х)\ ^ В для почти всех х € П, то выполняется неравенство (58).

І

Запишем тождество (55) при у — и(в), где и(в) —тах(и — В, 0):

п

— \и\кт2ии(В) + аа(и2ха)ихаих^) dxdt+

а=1

Вт

+ / И*, х)|кт2и(*. ^

П

Применяя (50), учитывая, что и(в)(0) — 0, получим

к- 1

І=Т

= 0.

І=0

и(В)(Т)Цк + ^ / аа(и1: ) «х : ихВ:)йхйі =°.

к м 4 7 " к ' у ■* I ^ 4 х:; ^: х:

а=Їдт

Поскольку

пп

Е / аа(и1а )иха ^dxdt — ^ / аа(иха К^?)2^^ — 0,

а=1Э>т а=1вт

то, ввиду произвольности Т > 0, ||и(в)^)||к е 0 для всех t — 0, следовательно и(Б)(^х) — 0 для всех t — 0 при почти всех х € П. Отсюда следует, что и(^ х) е В.

Выполнив аналогичные действия для функции и — —и, установим, что и^, х) — —В. □

3. Допустимая скорость убывания решения

Поскольку единственность решения задачи (1)-(3) не установлена, фактически будет получена оценка снизу только для построенного решения.

Доказательство теоремы 2. Сначала предположим, что область П является ограниченной, и докажем оценку (8) для галеркинских приближений.

Введем обозначения

См (і) = Е / аа((им )2)(«м )2 Нм (і) = Е / Аа((им: )2)йx,

а=1п а=1 п

Ем(і) = І (^м(і))к/2 - 6мк(шм(і))(к-2)/^ йх + (£) 1/2 (6м)к/4

пользуясь (21), получим неравенства

ЦНм(і) ^ 0м(і) ^ ЬНм(і), і > 0. (59)

Перепишем равенства (36), (43) в виде

йЕ м (і)

+ 0м (і) = 0, і> 0, (60)

dt

I (к — 1)(им)2 + к£м\ (шм)(кт4)/2(и}')2 + 1 —0, , > 0. (61)

Применяя интегральное неравенство Коши-Буняковского, устанавливаем соотношения ЛЕм^2 — | I Лк — 1)(шм)(кт2)/2 + £мк(2 — к)(шм)(кт4)/^ имЛх) «

І

( / \ 1/2 / \ 1/2

е

V

(к — 1) I (им)(кт4)/2(им)2(им)2 I I (им)к/2 I +

Мм ) \м )

2

( \1/2 / \1/2\

+£мк и (им)(кт4)/2(им)2 I П (2 — к)(им)(кт2)/2 I

V м ) Ум )

Используя неравенство Коши-Буняковского для сумм, согласно (61), (40), выводим

ГЕм (Ь)\2 Г(,и л ,^м, о м к'

/

Ь ') е] ((к — 1)(им)2 + £м£)(им)(кт4)/2(им)2Гхх

х I ^(к — 1)(им)к/2 + (2 — к)£мк(им)(кт2)/^ Гх е

Iм Ч (62)

((к — 1)(им)к/2 — £м(им)(кт2)/2^ Гх + к (2^ 1/2 (£м)к/4 кГНм (t)

-Е (t).

2 dt

Из (62), (60), (59) следуют неравенства

кЕм (Ь) ГНм(Ь) е ГЕм(t) 0м (t) е р1 ГЕм (t) Нм (^

2 ( ) ГЬ е ГЬ ( ) е 2 ГЬ ( ),

которые перепишем в виде

ГНм (t) /Нм т е р1 ГЕм (t) /Ем т

^^/Н И е т^/Е ().

Решая дифференциальное неравенство, применяя (59), получаем оценки

1 0м(Ь) е Нм(t) е Нм(0)(Ем(Ь))Р1/к/(Ем(0))Р1/к, t > 0. (63)

Ь

Далее, соединяя (60), (63), (59), выводим соотношения

ГЕ м (Ь) — —ЬНм (0)(Ем (Ь))Р1/к / (Ем (0))Р1/к —

ГЬ

— —Ь0м (0)(Е м (Ь))Р1/к / (Е м (0))Р1/к, р1

которые перепишем в виде

ГЕ м (Ь) / (Ем (Ь))Р1/к — — — 0м (0) / (Ем (0))Р1/к.

ГЬ р1

Решая дифференциальное неравенство, получаем оценку

Ем(Ь) — Ем(0) Ь2(р1 — к^0м(0)/Ем(0) + Л , Ь > 0. (64)

кр 1

Для фиксированного Ь > 0 при к < р1 в случае ограниченной области П последовательность им(Ь, х) выборочно сильно сходится при М ^ то к и(Ь, х) в пространстве Ьк(П). Очевидно,

Ем(ь) е к—-||(им)1/2мик: + (2)1/2(£м)к/4, М — гто,

и, согласно (38), выполнено неравенство

к1

Ііш Ем(і) Ци(і)Цк = Е(і).

м к

Кроме того, ввиду (40), справедливы неравенства

2)

Ііш Ем(0) > Ііш | к—1 Цим(0)Цк + (6м)к/4

м ~м ^те \ к к \к 2 '

к1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

и

м ||Р: х : Ц р :

Р .

х : 11 р: .

а=1 а=1

После предельного перехода в (64) при М ^ то получим

І««ІІк > ІМІк(1 + с(||Ик. (П))і)-£/(р'-£).

(65)

Установим теперь оценку (65) для решения задачи (1)-(3) в неограниченной области П.

_____ СО

Пусть П(1) С П — ограниченные подобласти такие, что П(1) С П(1+1), I — 1, то, У П(1) — П.

1=1

Через и(1) обозначим решения в П(1) с финитной начальной функцией (вирр у С П(1)), можно считать эти решения продолженными нулем вне П(1). Сходимость последовательности и(1')(Ь, х) к и(Ь, х) решению задачи (1)-(3) при I ^ то устанавливается практически также как в теореме 4.

Свойство (25) обеспечивает оценку

і > 0, I = 1, оо.

Тогда при фиксированном Ь > 0 можно считать, что и(1) (Ь, х) ^ и(Ь, х) в IV к(Пг) при I ^ то. Пользуясь компактностью вложения Wk1(Пr) С Ьк(Пг), устанавливаем сильную сходимость и(1')(Ь, х) ^ и(Ь, х) в Ьк(Пг) при I ^ то для любого г > 0. Благодаря оценке (7) для любого £ существует г такое, что выполнено неравенство

«(,)ми

к’Пг

Для и(1) справедлива оценка (65), тогда

««ми

к’Пг >

к(1 + с(імк. (П))г£/(Р1-£) - 6.

Пользуясь сильной сходимостью в Ьк (Пг), переходим к пределу при I ^ то, затем по г ^ то (£ ^ 0). Таким образом, оценка (8) установлена в неограниченной области П для произвольного Ь — 0. □

4. Оценки сверху

В этом параграфе будет доказана теоремы 1, 3 из введения.

Доказательство теоремы 1. Пусть £(х3) липшицева неотрицательная срезающая функция. Положим в (55) у — и£, пользуясь (50), получим соотношение

т=г п „

к - 1 к

т=0

йх + Е / аа(и2х:)«х:(«Ох:йхйт = 0.

а=1,

П а=1П1

Далее, применяя (4), получаем (с учетом того, что — 0)

к- 1 "

к

І и (і, х)|ке(ж5)йх + а^ еі«х: |Р: йхйт ^

(66)

п

а=1

к

^ а |«||«хв |Рв 1Є'(хз)йхйт = Iі.

Пусть в(х), х > 0, — абсолютно непрерывная функция, равная единице при х — 1, нулю при х < 0, линейная при х € [0,1]. В (66) положим £(х3) — в((х3 — г)/р), очевидно

£'(х3) — -, х € (г, г + р), £'(х3) — 0, х € (г, г + р).

Р

Оценим интеграл

|«||«хв |Рв 1йхйт.

0 Пг+Р

Используя неравенство Юнга, применяя (58), для любого £ > 0 выводим

(

I *

Рз - 1

6

Рв

\

а — к

V

І«ха ІРайхйт + — ВРв

Рз 3 3 Рз 3 3

0 пг+Р 0 пг+Р

|«|к йхйт

/

Соединяя (66), (68), получаем неравенство к- 1

к

< с

/ |и(і' х)|кйх + " Е/ / |их:Р: йхІт

а=1 0 п

Сг + р 0 пг + р

\

|uXs |Рsйхйт + 6Р

«к йхйт

0п

г+р

0 пГ+Р

/

Введем обозначение

^(і) = |«(і, х)|кйх + Е / / |«х: |Р:йхйт

а=1

0 пг

тогда (69) можно переписать в виде

(67)

(68)

(69)

< С | рг(() + 6Р- I Ег(т)йт | .

(70)

Далее индукцией по I установим неравенство

е С (^1 г1/р-\II (1 + г/рз)

-1/Рв

Ї, I = 0, то.

(71)

В качестве нулевого шага индукции из неравенства (28) для любых Ь > 0 имеем неравенство Рн0(Ь) е С||у||к. Предположим, что (71) справедливо для некоторого целого I — 0.

1/Ра

Подставляя в (70) 6

(1+і/ре)

і

г = К0 + 1р, с учетом (71), получаем

-1/Ра

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

х

іІ/Ра + 1 + 1/Р3

т 1/р■ йЛ = С1 2С2

г=0

1+1

-1/Рв

і(1+1)/Ра Ш (1 + і/Рз)

А=0

і

і

і

і

і

і

і

в

і

і

і

Р

Неравенство (71) доказано.

Положим р = (г — Д0)/1. Используя неравенство Стирлинга, из (71) нетрудно получить

РМ « Сз ехр (—Р- \ М*. (72)

Полагая I равным целой части выражения

(г — До )Р* еСЛ

из неравенства (72) полу-

чим

Рг (Ь) ^ С5 ехр I — С6

(г — ДоУ*

1/(Рз-1)Ч

(73)

В случае, когда I = 0 неравенство (73) следует из соотношения (28). В итоге, при г > 2Д0 из (73) следует оценка (7). □

Доказательство теоремы 3 проводится на основе следующего утверждения.

Утверждение 1. Пусть область 'расположена вдоль оси 0х3, в Е 2,п и выполнены условия (13), (6). Тогда найдутся положительные числа к(р3,к), М(р3,к) такие, что для построенного ограниченного решения и(Ь, х) задачи (1)-(3) при всех Ь > 0, г > 2Д0 справедлива оценка

||«(Ь)1кпг ^ М ехр ^ к ^ иР1/Рв (р)Ар^ \\^\\к. (74)

Доказательство. Пусть в(х), х > 0, — абсолютно непрерывная функция, равная единице при х > г, нулю при х < Д0, линейная при х Е [Д0, 2Д0] и удовлетворяющая уравнению

в'(х) = 5иР1/Рз(х)в(х), х Е (2Д0,г), (75)

(постоянную 8 определим позднее). Решая это уравнение, находим, в частности, что

в'(х) = *(ДД0) = ехр | — 8 У иР1/Рв (р)(1р | , х Е (Д0, 2Д0). (76)

V 2До /

Для любой функции 'у(х) Е С0°(П) из определения функции V(р) следует неравенство

V (р)1М1р1,7р < 11^X1 ||р1,7р , р> 0,

из которого следует соотношение

г г

J еРв (р^Р1 (р)|^\Р1,7рАр < ^ вРз (р) ||р1,ТрАр. (77)

2Ко 2Ко

Применяя (77) для любой функции V Е С0(^) при в Е 2, п выводим

г г

У иР1 (р)вРа (р)НvНР:,7p Ар < тах Нх)|Рз-Р1 ^ vР1 (р)вРа Ар ^

2Яо 2Яо

Г

^ тах |v(x)|ps-p^ еРв ||Р1,7р Ар. (78)

2Яо

о

Отметим, что неравенства (78) справедливы для любой ограниченной функции v ЕШк р(^) (см. [6, следствие 1]).

I

В (бб) положим £(xs) = 9P: (xs), получаем

k- І

k

|u(t, x)|kвР: (xs)dx + а^^ 9P: luxa IPadxdт ^

n a=1Dt

^ ' / / |u||ux:|P: lps9'(xs)9P: 1(xs)dxdт = a/*.

o n

Используя неравенство Юнга выводим

t t

І

і* ^ ^(ps — ІМ |ux:|P:9P:dxdт + -—[ |u|P:(9'(xs))P:dxdт.

ys SI I I x:

on on

a 1

Выберем e = —----------, соединяя (79), (80), получаем неравенство

ар3 - 1

k—— J \u(t, x)\k9Ps(xs)dx + a J 9Ps\uXa \Padxdr ^ C7 J \u\Ps (9\xs))Psdxdr.

П a=l,a=sDt Dt

Пользуясь (75), (76), нетрудно привести (81) к виду

k—~J |u(t, x)|k(xs)dx + а ^ j 9P: luxa |P“dxdт ^

n a=1,a=sDt

^ exp I—6ps [ vPl/P: (p)dp\ [ [ |u|P: dxdт+

TDPs R0

2Ro / 0 q2Rq

Ro

t

+ °76PS f j \u\PS VP1 (Xs)9Ps (xs)dxdr = I\ + I2.

0 ^2R0

Используя [6, неравенство (73)], применяя соотношение (28), выводим

/ } \ t / r

I[ ^ Csexp I -8ps vPl/Ps(p)dp J / ||ux, IPsdT ^ C9exp I -8ps VP1/Ps(p)dp | |Mlk.

V 2Ro /0 V 2Ro

Применяя (78), получаем

t

I2 ^ Cw5Ps f t \ux1 \P19PsdxdT.

0 4Ro

(a \1/Pa

Выбирая ^ = I —— I , соединяя (82) - (84), выводим \CwJ

~~t~ llu(t)llk,nr + a f 11 uXa (t)|n“r dT ^ C9 eXP |-C11 / (P)dP J |Mlk.

a=2,a=s 0 V 1 /

Неравенство (74) доказано.

Далее, теорема 3 доказывается на основе оценки (74) аналогично доказательству [6, ремы 3].

t

(79)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(80)

(81)

(82)

(8З)

(84)

тео-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Оценки скорости стабилизации при t ^ то решения первой смешанной задачи для квазилинейной системы параболических уравнений второго порядка // Матем. сб. Т. 191, №2. 2000. C. 91-131.

2. Кожевникова Л.М. Стабилизация решения первой смешанной задачи для эволюционного ква-зиэллиптического уравнения // Матем. сб. Т. 196, №7. 2005. C. 67-100.

3. Каримов Р.Х., Кожевникова Л.М. Стабилизация решений квазилинейных параболических уравнений второго порядка в областях с некомпактными границами // Матем. сб. Т. 201, №9. 2010. C. 3-26.

4. Дегтярев С.П., Тедеев А.Ф. Li — Lоценки решения задачи Коши для анизотропного вырождающегося параболического уравнения с двойной нелинейностью и растущими начальными данными // Матем. сб. Т. 198, №5. 2007. C. 45—66.

5. Андриянова Э.Р., Мукминов Ф.Х. Оценка снизу скорости убывания решения параболического уравнения с двойной нелинейностью// Уфимск. матем. журн. Т. 3, №3. 2011. С.3-14.

6. Кожевникова Л.М., Леонтьев А.А. Оценки решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью // Уфимск. матем. журн. Т. 3, №4. 2011. C. 64—85.

7. Тедеев А.Ф. Стабилизация решений начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений // Укр. мат. журн. Т. 44, №10. 1992. С. 1441-1450.

8. N. Alikakos, R. Rostamian Gradient estimates for degenerate diffusion equation. II // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. V. 91, №3-4. 1981/1982. P. 335-346.

9. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. 1980. 496 с.

10. Лионс Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир. 1972. 596 с.

11. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: ИИЛ. Т. 2. 1954.

Лариса Михайловна Кожевникова,

Стерлитамакская государственная педагогическая академия, пр. Ленина, 37,

453103, г. Стерлитамак, Россия E-mail: kosul@mail.ru

Алексей Александрович Леонтьев,

Стерлитамакская государственная педагогическая академия, пр. Ленина, 37,

453103, г. Стерлитамак, Россия E-mail: axe1erat@mail.ru

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.