ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 1 (2013). С. 63-82.
УДК 517.946
УБЫВАНИЕ РЕШЕНИЯ АНИЗОТРОПНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ДВОЙНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ
Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ЛЕОНТЬЕВ
Аннотация. Работа посвящена некоторому классу анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью, представителем которого является модельное уравнение вида
(|и|к 2 у)г = |Ра 2иХа )Ха, Рп > ... > Р1 > к, к е (1,2).
а=1
Для решений первой смешанной задачи в цилиндрических областях В = (0, то) х П,
П С Мп, п > 2, с однородным краевым условием Дирихле и финитной начальной функцией установлены точные оценки скорости убывания при £ ^ то. Ранее такие результаты были получены авторами для к > 2. Случай к е (1, 2) отличается способом построения галеркинских приближений, который для модельного изотропного уравнения был предложен Э.Р. Андрияновой, Ф.Х. Мукминовым.
Ключевые слова: анизотропное уравнение, параболическое уравнение с двойной нелинейностью, существование решения, скорость убывания решения.
1. Введение
Пусть О — неограниченная область пространства Мп = {х = (х1,х2, ...,хп)}, п > 2. В цилиндрической области Д = {Ь > 0} х О для анизотропного квазилинейного параболического уравнения второго порядка рассматривается первая смешанная задача
(|u|k 2u)t = Ка)xa, k G (1, 2), (i, х) е D;
а=1
u(t, х) =0, S = {t > 0} х дП;
S
и(0, х) = <^(х), <^(х) е Ьк(О), ^ха(х) е ЬРа(О), а =1,п. (3)
Предполагается, что неотрицательные функции аа(в), в > 0, а =1,п, подчиняются условиям: аа(0) = 0, аа(в) е С 1(0, то),
ав(Ра- 2)/2 ^ аа(в) ^ ав(Ра- 2)/2, (4)
р1 аа(в) ^ аа(в) + а'а(в)8 ^ Ьаа(в), (5)
с положительными константами а > а, 26 > р1 > к (р1 ^ р2 ^ ... ^ рп). Например, аа(в) = в(Ра-2)/2, а = 1, п, 6 = рп/2.
Работа посвящена изучению скорости стабилизации при Ь ^ то решения задачи (1)-(3) с финитной начальной функцией <^(х).
L.M. Kozhevnikova, A.A. Leontiev, Decay of solution of anisotropic doubly nonlinear parabolic equation in unbounded domains.
© Кожевникова Л.М., Леонтьев А.А. 2013.
Работа поддержана РФФИ (грант 09-01-00440-а).
Поступила 23 декабря 2011 г.
Исследованию поведения решений смешанных задач для линейных и квазилинейных параболических уравнений второго и высокого порядков при t ^ то посвящены работы А.К. Гущина, В.И. Ушакова, Ф.Х. Мукминова, А.Ф. Тедеева, Л.М. Кожевниковой, Р.Х. Каримова и др. Обзоры соответствующих результатов можно найти в [1], [2], [3].
В изотропном случае, т.е. когда все ра равны между собой и равны p, p > 2, при к = 2 задача (1)-(3) исследовалась в работе [3]. Оценки скорости убывания решения задачи Коши для параболического вырождающегося уравнения с анизотропным p-лапласианом и двойной нелинейностью при к G (1, 2) установлены в работе С.П. Дегтярева, А.Ф. Тедеева
[4].
Вопросы существования и единственности решения изотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью рассматривались в работах P.A. Raviart, Ж.Л. Лионса, A. Bamberger, O. Grange, F. Mignot, H.W. Alt, S. Luckhaus, F. Bernis и других. Однако для получения оценки снизу убывания решения при t ^ то нужна его дополнительная гладкость.
Ф.Х. Мукминов, Э.Р. Андриянова [5] предложили обычный способ построения сильного решения для модельного изотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью сразу в неограниченной области на основе галеркинских приближений, которые в случае к G (1, 2) и к > 2 строятся различными способами. В работе [6] этот метод адаптирован на некоторый класс анизотропных параболических уравнений вида (1) при к > 2, и на основе галеркинских приближений получена оценка допустимой скорости убывания решения в неограниченной области. Настоящая работа является продолжением работы [6] для случая к G (1, 2).
Будем рассматривать области, расположенные вдоль выделенной оси Oxs, s G 1,n (область Q лежит в полупространстве R+ [s] = {х G Rn | xs > 0}, сечение Yr = {x G Q | xs = r} не пусто и ограничено при любом r > 0). Ниже будет использовано обозначение: Qba = {х G Q | a < xs < b}, при этом значения a = 0, b = то опускаются.
Предполагается, что начальная функция ограничена и имеет ограниченный носитель так, что
supp С QRo , R0 > 0. (6)
Теорема 1. Пусть область 'расположена вдоль оси 0х3, в е 1,п и выполнено условие (6). Тогда найдутся положительные числа к(р3,к), М(р3,к) и ограниченное решение и(Ь, х) задачи (1)-(3) такие, что при всех Ь > 0, г > 2Я0 справедлива оценка
1/(Рв-1)Ч
lu(t)lk(nr) ^ М exp -
к
t
IMUfc (П). (7)
На основе неравенства (7) устанавливается оценка снизу убывания решения задачи (1)-(3) при Ь ^ то.
Допустимая скорость стабилизации решения изотропного квазилинейного параболического уравнения высокого порядка при к = 2 изучалась А.Ф. Тедеевым [7] для первой смешанной задачи и N. АНкакоэ, И,. Иоэ^ашап [8] для задачи Коши.
Теорема 2. Пусть область 'расположена вдоль оси 0х3, в Є 1,п и выполнено условие (6). Тогда существует положительное число С,к,р1, а, Ь) и ограниченное решение
п(Ь, х) задачи (1)-(3) такие, что при всех Ї > 0 справедливо неравенство
|К<)1к(П> > Мк(П> №)і + 1)-1/(Р1-‘>. (8)
Определим функцию
^І(г) = іп^ЛдХ1 ||Ьр1 (П> д(х) Є ЦдЦь^п) = ^ , Г> °. (9)
Будем исследовать убывание в областях, для которых выполнено условие
Ііт ^І(г) = 0. (10)
Показано, что если это условие не выполнено, то достигается максимальная скорость убывания решения, т.е. справедлива оценка
1Ж1к(П) ^ МГ1/(р1 -к), г> 0, (11)
(см. [6, следствие 2]).
Положим
V(г) = т£{\\дХ1 ||Ьр1 (7г) д(х) € Ы\ьР1 Ы) = ^ , т> 0. (12)
Будем считать, что область П удовлетворяет условию
СЮ
J иР1/Ре (т)(!т = то. (13)
1
Пусть т(г) — произвольная положительная функция, удовлетворяющая неравенству
(г№ \
К/ vPl/Ps (р)^Р I > 1, £> 0. (14)
Существование такой функции следует из (10). Кроме того, из (14), (10) следует, что
Иш т(г) = то.
£—»сю
Теорема 3. Пусть область расположена вдоль оси 0х3, в € 2,п и выполнены условия (6), (10), (13). Тогда найдется положительное число М(р^рь 1Мкк(П)) и ограниченное решение и(г, х) задачи (1)-(3) такие, что справедлива оценка
ИиС01к(п) ^ М (^р1 (тС0))-1/(Р1-к), г > 0. (15)
Если выполнены условия:
^1(т) > Ст-а, т > 1, а,С > 0,
Т
Иш [ vpl/ps (р)(1р = то,
Т^Ю 1п т ]
1
то можно положить
т(г) = г£/(аР1), г> 0, е € (0,1), (16)
и оценка (15) принимает вид
||«(г)1к(П) ^ мг(1-£)/(Р1-к), г> 0. (17)
Выбор функции т(г) формулой (16) является удовлетворительным, поскольку оценка (17) имеет показатель степени близкий к показателю 1/(р1 — к) оценки снизу (8). Другие примеры для областей вращения приведены в работе [6].
2. Вспомогательные утверждения
Пусть || • ||Р,д — норма в Ьр^), р > 1, (•, -)д — скалярное произведение в Ь2(^), причем
значения р =2, Q = П опускаются. Через Въа = (а, Ь) х П обозначим цилиндр, значения
а = 0 и Ь = то могут отсутствовать.
О
Банахово пространство Щ кр(П) определим как пополнение пространства СЮ(П) по норме
П
\М\^к11(П) = ^ Иих„ \\ра + ||и \ к.
а=1
Банаховы пространства IV к’ р(^т), IV к’р(^т) определим как пополнения пространства с^(пТ+1), соответственно, по нормам
п
Мкк ’1 (Дт) — \\и\\к’Дт + / у \\их01 \\ра’Дт ,
а=1
\\и\\ш\' 1 (ДТ ) — \\и\\к ’ ДТ + \\щ\\к ’ пт + ^ \\иха \\ра ’ Дт .
а=1
Определение 1. Обобщенным решением задачи (1)-(3) назовем функцию и(^х) та° 0 1
кую, что при всех Т > 0 и(£, х) € Vкр(^т) и удовлетворяет интегральному тождеству
( 1-\и\к 2иьг + ^ аа(и2ха)иха^ ) dxdt — [\^(х)\к 2р(х)у(0, x)dx, (18)
пг V а=1 / о
Дт
° 1 1 Т
для любой функции у(1, х) к р(^ ), ъ(Т, х) — 0.
Из условий (5) следуют неравенства
(р1 — 1)аа(в) ^ аа(в) + 2о1а(в)8 ^ саа(в), с — 2Ь — 1, в > 0, а — 1,п, (19)
которые можно переписать в виде
0 ^ (аа(г2)г)' ^ саа(г2), г € К, а — 1,п. (20)
£
Положим Аа(в) — / аа(т)dт, тогда, пользуясь условиями (5), выводим неравенства
0
р-Аа(в) ^ аа(в)в ^ ЪАа(в), в > 0, а —1,п. (21)
Лемма 1. Любое ограниченное множество рефлексивного банахова пространства слабо компактно (см. [9, гл. V, §19.7, теорема 1]).
° ° 0 1
Замечание 1. Пространства Vк р(П), V к р(^т) являются рефлексивными сепарабельными банаховыми пространствами (см. [6, замечание 1]).
Замечание 2. В дальнейшем, чтобы избежать громоздкости в 'рассуждениях, вместо утверждения типа "из последовательности им можно выделить подпоследовательность им, сходящуюся в Ь2(П) при I ^ то ", будем говорить просто "последовательность им выборочно сходится в Ь2(П) при М ^ то ". Соответственно, будем использовать термин "выборочно слабо сходится" и т.п.
Лемма 2. Пусть дм(^ х), М — 1, то, д(^ х) — такие функции из Ьр(5), 1 < р < то, что
\\дм М ^ С, дм ^ д при М ^ то почтил всюду в 5, тогда дм ^ д при М ^ то слабо в Ьр((5) (см. [10, гл. I, §1.4, лемма 1.3]).
Замечание 3. Лемма 2 сформулирована в [10] для ограниченной области 5, однако она справедлива и для произвольной неограниченной области. Будем применять лемму 2 для 5 — П и для 5 — (0,Т) х П.
Лемма 3. Пусть система функций фг(х) € С£°(П), I — 1, то, линейно независима, и
°
её линейная оболочка является всюду плотным множеством в пространстве Vк р(П).
ь
Через Рь обозначим совокупность функций ^ di(t)фi(x), где di(t) € СО[0,Т]. Тогда мно-
г=1
СО
жество Р — Рь плотно в пространстве IVк’р(^т).
ь=1
Доказательство. Покажем плотность множества Р в пространстве СО (^т+1). Пусть
у^, х) € СО(ВТ_+1), очевидно у^, х) € С([—1,Т + 1] ^ IVк Р(П)). Выберем произвольное £ и зафиксируем 8, такое что для любых t,t* € [— 1, Т + 1], таких что ^ — ^ \ < 28 будет справедливо
Иу« — у(«’)1Ц,р(П) <£- <22)
Выберем конечную последовательность точек tj, ] — 1,^, такую что
N
(—1, Т + 1) — и (^' — 8, tj + 8) и разбиение единицы j=l
N
Е wj(t) — 1 wj(t) € C0OO((tj — 8, tj + 8)) 0 ^ wj(t) ^ 1 j=1
Из определения системы функций (x) следует, что для каждого j, j = 1,N, найдется
номер Lj(е) и числа fjk такие, что
Lj
\\v(tj, x) - E fjkA(x)IW (п) <е, j = 1,N (23)
k=1 ’
N Lj L ( N \
Покажем, что функции ^ Wj(t)fjkфк(x) = Yl J2w.(t)fjk) фк(x), L = max Lj,
j=1 k=1 k=1 у=1 J j=1, N
о
fjk = 0, k > Lj, приближают функцию v(t, x) в норме пространства Wk p(^) равномерно
по t E [— 1,T + 1]. Действительно, применив (22), (23), выводим:
N Lj
max ||v(t, x) — > > Wj(t) fjkфк(x)|| ◦ =
te[-1,T+1] " V ' JJJWICK t\\Wk p(Q)
j=1 k=1
N N Lj
= te[m1aTC+1] \ E W (t)v(t, x) — EE Wj (t) f jkФWII^ 1 (q) ^
, j=1 j=1 k=1 ,p
NL
«E l_J;,iax+t,l |wj<t)v(t-x)—w>(t) E j ф <x>»w- „ p(Q)«
j=1 k=1 ’
^ > max IIv(t, x) — / fjkф]^(x)|| ◦ <
A+t. A+t .1 " ! ^ JjkTk\ )\\w 1 (q) ^
NL
. 1 M+j,'&+tj] 11 4 ’ ' k“1 ff T V '"Wk,p(Q) j=1 k=1
N
^ > max || v(t, x) — v(tj, x)|| ◦ +
l-^+tj,s+tj] 11 V ’ ; j ;"wfc,P(Q)
N Ь
+ Е \\у(tj, х) — Е Ькфк(х)|| ° ! (п) ^ N£ + М£ — 2Ы£ — £1.
■ 1 11 т к’ Р( )
.7=1 к=1
ь
Введем обозначение /к (^ — ^ wj (t)fjk. Возьмем € СО (^т+1), положим
к=1
у^, х) — wt(t, х) € СО(^т+1). Согласно доказанному, для любого £1 > 0 найдется Ь(£1) такое, что
Ь(£1)
.бЖХн] ^ — Е fk<()фк<Х)»,|,к 1 (П) < £1. <24)
’ к=1 ,Р
г
Рассмотрим функцию w(t, х) — J ^^т(т, x)dт и покажем, что функции вида
Т1
Ь Ь °
^2(1 fk(т)dт)фк(х) приближает функцию w(t, х) в пространстве Vк р(П) равномерно по к=1 -1 ’
t € [—1,Т + 1]. Действительно, при Ь ^ то
ь I
max IIw(t, x) — / / fk(т)фk(x)dd| о
te[-1,T+1] " V’ ' fW Jky ryky J "wfc,p(Q)
k=1 1
max j| / wT(т, x)dT — fk (т ^k (x)dT \
k=1
t€[-1,T+1] J W fc,p(Q)
-1 k=1-1
tL
= .£№4 " Wt<T'x) ^ fk(T)фkW dT"Wk p(Q) <
_1 \ k=1 / ’
L
^ (T + 2) maX "wt (т, x) — E fk (T^k (x)IU 1 (q) ^ 0.
t€[-1,T+1] f—' W fc’p(Q)
k=1
T
Обозначим dk(т) = f fk(p)dp, тогда, из неравенства (24) и последних соотношений при
-1
L ^ то следует
L
^max+n "wt (т- x>—E dk ^0
k=1 ’
L
max "w(т, x) — > dk(т)фk(x)" ◦ 1 ^ N ^ 0,
[—1,t+1] " v ^ kV >rkK "wfc’p(Q)
k=1
L
откуда вытекает "w(т, x) — ^ dk(т^k(x)"wM (dt+i) ^ 0. □
k=1 Wk’ p( -1 )
Теорема 4. Пусть <^(х) €Р°/кр(П), р1 > к, к € (1, 2), тогда существует обобщенное
решение и(^х) задачи (1)-(3), для любого Т > 0, удовлетворяющее условиям
°
и € Ьо((0, то),\Мкр(П)); (25)
\и\(кт2)/2и* € Ь2(ВТ), и € С([0, то), Ьк(П)); (26)
иг € Ьк(Бт). (27)
При этом справедливы неравенства
t
П п
+ ka
а=1 {
(k — i)|u(t)"k +k^^ I \\иХа(т)"pad'r ^(k — i)"^"k, t >o; (28)
0
d n
(k — 1) ~dt "u(t)"k + ka^2 "UXa (t)"pa ^ 0, t> 0. (29)
a=1
Доказательство. Выберем линейно независимую систему функций фг (х) E C^(Q), i = 1, то, такую, что ее линейная оболочка является всюду плотным множеством в про-
о
странстве Wk p(^). Будем считать, что эта система является ортонормированной в L2(H). Положим IM = U= supp фг(х), тг = max |фг(х)|.
x£lM
M
Приближенные решения uM(t, х) будем искать в виде uM(t, х) = CM(t)t^i(x),
г=1
M = 1, то. При этом функции cM(t), t E [0, то), определяются из системы обыкновенных дифференциальных уравнений
(«Шм )k/2 1uM)t ,ф) +Е (aa ((uxfa )2)uM , (ф ) x a ) = 0, (30)
a=1
им — (им )2 + к£м, 3 — 1,М,
(числа £м > 0 выберем позже) и начальных условий
см (0) — см, г — ХМ, (31)
подобранных так, что
M
uM(0, x) = Е cMФі(x) ^ <^(x) в Wk,р(П) при M ^ ж. (32)
i=1
Отсюда сразу следует, что
“u (0)“wk1p(n) ^ Я^М^^П)^ M = 1, ж. (33)
d
Убедимся, что уравнения (30) разрешимы относительно производных — ci (t). Очевид-
dt i
но, что уравнения (30) имеют вид
cM(t))~r;ci w = f(cl
M d ________________________________________________________
ЕAji(cM(t),...,cM(t))-тлм(t) = Fj(cM(t),...,cM(t)), j =1,M, (34)
dt
i=1
Aji(cU . . . , cM) = 1 1 єм 2 + (k - ^ ( Е ci ф*) I (ujM )k/2 2фі,ф
2
J=1
= (ФІ,Фз)м, І,І = 1,М, (сь... ,см) =
п м / / / м \2\ \
ЕЕ СІ (а“ НЕ Сі (Ф )ха) ) (фі)ха , (Ф )х« ) , І = 1,М
Нетрудно проверить, что (д,к)м, д,Ь Е С'О(П), является скалярным произведением. Следовательно, матрица коэффициентов Ад(см(ї), ...,с)м(ї)) при каждом ї является матрицей Грама системы линейно независимых векторов фІ, І = 1,М, и имеет обратную. Поэтому, систему (34) можно переписать в виде
л м _____________________________________________________________
~^см(ї) = ЕА-1(см(ї),...,см(ї))рз(см(ї),...,см(t)), і = 1,м. (35)
3 = 1
Установим теперь оценки для галеркинских приближений. Умножим І-е уравнение (30) на с]м (ї), и затем все уравнения сложим по І от 1 до М, в результате получим равенства
п
(((им )к/2~1им )і ,им) + Е(а«((имі )2)има ,и^а ) =0, М = 1^ а=І
которые можно переписать в виде
ІП - 1 Vм)к/2<іх - ем2 /(шм)к/2-1 ) + Е (аа((им„)2)им,им„) =0, М = 1^.
^ ^ ^ J 2 7 4 ' I ^ 4 “чч х“' ' х“' ха
/М /М ' а=1
После интегрирования от 0 до і будем иметь
Кроме того, неравенства (4), (41) позволяют установить оценки
п
Еііа«((и“)2)и“ік/(р«-і),^ < «ЕIим!и?а-ъ1‘ ^ Е^ М=їт^. (42)
а=1 а=1
(36)
Л(^м)1/2(«)Ик’/« — £-мк ((ш“((.х))к/2 1dx + Е (аа((и")>м,им)д, —
IМ а=1
— к--1 Нкм )1/2(0)\к’/м — £м 2/км (0, x))k/2т1dx, М — т;то. (37)
1М
Выберем числа £м ^ 1/М так, чтобы были справедливы неравенства
шее Iм ^ (£м)тк/4, М — 1,то. (38)
Применяя (38), (33), выводим неравенства
( к \у2
\\(шм )1/2(0)||к’/М ^ \\им (0)\ + ^ 2£ у \\к’1М ^ Ним (0) II к + (39)
+ (к£м \1/2 (шее Iм )1/к < Е1 + (к \ 1/2 (£м )1/4 « Е1 + (к \1/2,
к Г (к \к/2 (к \к/2 (к \к/2
к£м (им (^ х))к/2т^х ^ (к£м) ше8 Iм ^ 1^] (£м )к/4 ^ 1к ) . (40)
1М
Учитывая (4), соединяя (39), (40), (37), для t > 0 получаем
(и,м)1/2(і)Цк + £ ||и£ ИР> < Е2, М = 1, м. (41)
а=1
Здесь и ниже постоянные ЕІ зависят только от а, а, Ь, р, Ц^Ц^ х(п).
Покажем, что все возможные решения задачи (31), (35) равномерно ограничены при і > 0. Действительно, пользуясь (41), для і > 0 выводим
м
(і) 2 м 2
3=і
Е з мі2=иим
/ |им(і)|к|им(і)|2-кёх « Цим(і)Цк тах
З хЄ/М
п
м 2-к
(і)фз(х)
3=і
м
(2-к)/2 м (2-к)/2
^ МЕ 3 (і)|2 ПС™2
3=і 3=і
Откуда имеем
м к/2 м (2-к)/2
|с,м(і)Ік < |с"(і)і^ < Е2 т^ , І =Т7М.
Ввиду непрерывности правой части уравнений (35), существуют абсолютно непрерывные функции см(і), і Е [0, то), І = 1,М, которые почти всюду удовлетворяют системе (35) и начальному условию (31) (см. [11, с. 120]).
й
Умножим теперь І-е уравнение (30) на — с^ (і), и затем все уравнения сложим по І от 1 до М, в результате получим равенства
(((им )к/2 ,им) +Е )2)и“ ,U“J =0, М = 1, ^
а=1
которые можно переписать в виде
к
(к - 1)Ц(^м)к/4-\миимЦ2 + ємкЦ(им)к/4-\мЦ2+ (43)
1 й п р + 2йй Е] Аа((им* (і))2)йх =0, М = Ї7^.
а=1 п
После интегрирования от 0 до і, пользуясь (21), будем иметь
(к - 1)Ц(^м )к/4-Чм им Щг + 6м к Ц(Шм )к/4-\м Щг +
1 п
+-ЕЫ(< (і))2)< (і),<(і)) ^
2Ь а=1
1 п ___________________________________________
^ (а«((им(0))2)им(0),им(0)), М =1, ^.
р1 а=1
Далее, виду справедливости неравенств (к — 1)(им)2 + 6м| > (к — 1)^м, применяя (4), пользуясь (33), выводим
п
И(^м)(к-2)/4и,миЬ, + Е и«м(«Ж: < Ег„ М = ттм. (44)
М,
\и
а=1
Пусть Т — произвольное положительное число. Из неравенств (41), (44) следует ограниченность последовательности |(^м)1/2}О=1 в пространствах С([0, то),Ьк(П)), Ьк(От),
° ° 0’ 1
последовательности {им}О=1 в пространствах С([0, то), V 1р(П)), Vк’р(^т) и последовательности |(^м)(кт2)/4им}О=1 в Ь2(ПТ). Кроме того, из неравенств (42), следует ограниченность последовательностей аа((им)2)им в пространствах ЬРа/(Ра-1)(От), а — 1,п. Установленные факты обеспечивают выборочную слабую сходимость указанных последовательностей при М ^ то в соответствующих пространствах:
м , т°г 0,1 , птч
и ^и в Vк’рф ),
м\2\„,м . ь „ г ( тлт
а»((иХ: ))иХ: ^ Ьа в ЬР:/(Р:-І) (Б ) , а = 1 , П.
,м\(к-2)/4„ ,м
Кроме того, рассмотрим последовательность Vм = (шм)(к 2)/4им, М =1, то и последова-
с-2
2
тельность ее производных Vм = (шм)(к 6)/4«м(к-2и2 + шм), М =1, то. Очевидно, из (44)
следуют неравенства
к
IVм|Ь‘ ^ 2ІІ(^м)(к-2)/4им1Ь‘ ^ Еб, М = 1, то, (45)
из которых следует выборочная слабая сходимость
уЬм ^ д в Ь2(Рт).
Ниже докажем, что им выборочно почти всюду в О сходится к и, это позволит установить, что д — (\и\(к-2)/2и)г.
° __________________
Последовательность им € С([0, то), Vкр(П)), М — 1, то, ограничена в этом пространстве. Для каждой ограниченной области 5 С П с гладкой границей имеем компактность вложения Ь1(5) С W11(Q). Поэтому, диагональным процессом можно установить выборочную сильную сходимость им (tj, х) ^ h(tj, х) в Ь1(5) на счетном плотном множестве {tj}О=1 С [0,Т]. Будем полагать, что 0,Т € {tj}°=1. Можно также считать, что им(tj, х) ^ h(tj, х) выборочно почти всюду в 5 при каждом tj, ] — 1, то. Совершенно аналогично, при к < р1 можно также считать, что последовательность им(tj, х) ^ h(tj, х) сильно в Ьк(5) при каждом tj, ] — 1, то.
Следуя Ж.-Л. Лионсу [10, гл. I, §12.2] докажем выборочную сильную сходимость последовательности ум — (шм)(к-2)/4им в пространстве С([0,Т],Ь1(5)). Сначала, применяя (45), установим равностепенную непрерывность по t последовательности ум в Ь2(П):
vM (t2) — vM (t1)" = 1/2
t2
j vM (t)dt
t1
t2
< J "vtM(t)"dt ^ t1
^ |t2 — t1|1/2 yj "vf(t)"2dtj ^ E6 |t2 — t1|1/2, t1,t2 E [0,T], M =1, то. (46)
Из неравенств (41) заключаем равномерную по t E [0, T] ограниченность последовательности vM (t, х) в L2(Q):
"vM(t)" = "(uM)(k—2)/4uM(t)" ^ "(uM)k/4" = "(uM)1/2"k/2 ^ Ej, M = 1Тто.
Ввиду ограниченности последовательности vM(t, х), M = 1, то, в пространстве
C([0,T], L2(Q)) она выборочно слабо сходится в L2(Q) при тех же tj, что и выше. Из установленной выше выборочной сходимости UM(tj, х) ^ h(tj , х) почти всюду в Q при каждом tj следует выборочная сходимость vM(tj, х) ^ v(tj, х) = |h(tj, х) |(k—2)/2h(tj, х) почти всюду в Q. Далее, на основе теоремы Егорова для любого 8 > 0 устанавливается равномерная сходимость vM(tj, х) ^ v(tj, х) на Q$, mes(Q\Q^) < 8. Отсюда, ввиду справедливости неравенств
"vM(tj) — v(tj)" 1,Q < mes Q max |vM(tj, х) — v(tj, х)| + "vM(tj) — v(tj)ll1,Q\Q5 ^
x£Qs
^ mes Q mQx |vM (tj, х) — v(tj, х)| + 81/2 "vM (tj ) — v(tj )"2,Q\QS , x£Qs
следует сильная сходимость vM(tj, х) ^ v(tj, х) в L1(Q) при каждом tj.
Для ограниченной области Q из (46) нетрудно установить равномерную фундаментальность последовательности vM (t, х) по норме L1(Q):
"vN(t) — vM(t)"1,Q = "vN(t) — vN(tj1) + vN(tj1) — vM(tj1) + vM(ttj1) — vM(t)||1,Q ^
^ 2(meS Q)1/2E6|t — tjl |1/2 + "vN (tji) — vM (tjl) " 1,Q.
Выбрав конечный набор чисел tjt с малым шагом и затем увеличивая N, M, добиваемся равномерной по t малости правой части.
Итак, установлена выборочная сильная сходимость vM ^ v в C([0,T],L1(Q)). Сходимость будет также и в L1((0, T) х Q), поэтому vM ^ v выборочно сходится почти всюду в (0,T) х Q. Благодаря произвольности Q последовательность vM выборочно сходится к v
почти всюду в От. Кроме того, ввиду произвольности Т, выбирая Т — 1, 2,..., диагональным процессом можно выделить подпоследовательность ум ^ у почти всюду в О при М ^ то. Тогда и последовательность им(^ х) выборочно сходится к h(t, х) почти всюду в О. Согласно лемме 2, им(^ х) ^ h(t, х) в Ьк(От) при любом Т > 0, в силу единственности предела h(t, х) — и(^ х) почти всюду в О. Таким образом, ум выборочно сходится к у — \и\(к-2)/2и почти всюду в О.
Согласно лемме 2, ум ^ у слабо в Ь2(От). Далее, (ум,^и)ит — —(ум,^^г)ит для любой функции w € СО(От), переходя к пределу при М ^ то, получим
(д,1п)вт — —(у^г)пт.
Отсюда следует, что д — уг — (\и\(к-2)/2и)г. Отметим, что принадлежность у,уг € Ь2(От) влечет у € С([0, то), Ь2(П)).
Покажем, что последовательность им, М — 1, то, ограничена в Ьк(От). В самом деле, из (41), (44) следует
1/к
м'\к,пт — I / (^)к(кт2)/4\им\к(^м)(2тk)k/4dxdt | ^
Из ограниченности ||им\к>вт следует, что им ^ Ь в Ьк (От). Тогда (им ,^и)^т — —(им ,1^г )дт,
< Ц(Шм}(кт2)/4и?'И^т\К„мП^2 < £8
ед
для любой функции w € С0°(От), переходя к пределу при М ^ то, получим
(Ь,1п)вт — — (и,1щ)вт ,
значит Ь — иг. Тогда, можно считать, что им ^ иг слабо в Ьк(От). Отметим, что из принадлежности и,иг € Ьк(От) следует и € С([0, то),Ьк(П)).
С одной стороны, из оценки (33) и сходимости им(0, х) ^ и(0, х) почти всюду при М ^ то, согласно лемме 2, следует слабая сходимость им(0, х) ^ и(0, х) в Ьк(П) при М ^ то. С другой стороны, согласно выбору (32), иК(0, х) сильно сходится к <^(х) в Ьк(П). Ввиду единственности слабого предела, и(0, х) — <^(х) для почти всех х € П.
Докажем, что функция и(^х) удовлетворяет интегральному тождеству (18). Из (30) следуют тождества
(((Шм)(к 2)/2и^г ,^ вт + ^ )2)им №*) пт — 0 М — 1, то, (47)
а=1
справедливые для любой функции w(т, х) € Р — иОО=1 Рь. Первое слагаемое проинтегрируем по частям, получим
г=т
((им )(кт 2)/2им — ((им )(кт 2)/2им ,Щ)оТ + (48)
г=0
+ Е {аа((и^а )2)им1 ^ха) вт — 0, М — 1 то.
/ ^ У^аУУ^ХдУ ) ^ха а=1
Заметим, что (шм)(кт2)/2\им\ ^ (шм)(кт 1)/2 € С([0, то),Ьк/(П)), так как
\\(шм)(к т 1)/2\к/ — ||(^м)1/2|1к т 1 ограниченная последовательность в С[0, то). Следовательно, по лемме 2, последовательность (шм)(кт2)/2им выборочно слабо сходится к \и\кт2и в Ьк/(От) и (им(Т))(кт2)/2им(Т) ^ \и(Т)\кт2и(Т), (им(0))(кт2)/2им(0) ^ \и(0)\к т2и(0) в
Ьк/(П). Также можно утверждать, что (шм(Т))1/2 ^ \и(Т)\, (шм(0))1/2 ^ \и(0)\ в Ьк(П). То, что предельные функции будут именно такими, обосновывается установленной выше сходимостью подпоследовательности им почти всюду в От, а также почти всюду в П при t — 0,Т.
В (48) можно перейти к пределу при М ^ то, в результате придем к тождеству
(|и|к - 2и,и)
І=Т
І=0
(|и| и,и^ рТ "У (Ьа,и>х: )рт = О,
а=1
которое справедливо для любой функции w € Р. Ввиду плотности Р в пространстве
° 11 ° 11 VкР(От) (лемма 3) тождество (49) справедливо для произвольной w €WкР(От). При
этом пользуемся тем, что \и\кт2и € Ьк/(От), Ьа € ЬРа/(Рат1)(От), а — 1,п. В частности, для w — и, применяя равенство
г
(|и|к 2и,ит)йт = -Ци(і)Цк
Ь=Т
І=0
(50)
выводим
^2(Ьа,их: )ит + Ци(і)Ц
а=1
І=Т
— (|и| u, «і)вт
к1
іи(і)цк
І=0 і=Т п
(51)
+ ^^(Ь« ,их: )оТ = 0.
£=0 а=1
°1 1
Докажем, что для любой функции у €WjkР(От) справедливо равенство
П П
"У ^(Ьа, уХа )от — ^ Л,(аа((иха ) )иха ,уха )От. а=1 а=1
Вычтем из (37) при t — Т равенства (48), для w € Р получим соотношения
г=т
(52)
м )(к - 2)/2им
+ ((^м)
м)(к 2)/2им
І £)Т +
І=0
+ Е Ы(им )2)«м , («м - Ш)х: )пт +
к - 1 к
а=1
І=Т
м)1/2 (і) и к
(^м)
І=0
- 6м-](<,м(і х))к/2- 1 йх
IМ
І=Т
= 0, М = 1, то,
І=0
из которых, используя условие монотонного неубывания функций аа(г2)г, г € К, а — 1, п, (см. (20)), применяя неравенство (40), выводим неравенства
((^м )(к-2)/2им ,ш
І=Т
+ ((и,м)(к-2)/2им , Юі)вт +
+ X] {аМП'*а )2)“х: , («м - и)х„) 0т +
І=0 2
а=1
І=Т
- (6м)
м )к/4
І=0
2)
к/2
^ 0, М = 1, то.
Далее, перейдем к пределу по М ^ то для фиксированного w € Р, при этом используем установленную выше сходимость.
Таким образом, для произвольной w € Р справедливо неравенство
г=т п
- (|и|к 2и, и)
І=0
+ (|и|к 2и,иг)вт + ^ (а«(и2: )их: , (и - и)ха) Пт + к1
а=1
І=Т
к
Іи(і)и
(53)
І=0
Согласно лемме 3 множество Р плотно в пространстве IV \’р(От). Тогда для про° 1 1
извольной функции w €W кр(От) найдется такая последовательность т1 € Р, что 1^ — w||w 1.1 (^т) ^ 0 при I ^ то. Запишем (53) для w — чи1, затем перейдем к пределу при I ^ то. Обоснование предельных переходов при I ^ то
(МЫа )2)^ха , (и — Вт ^ (aа(w2a ^Ха , (и — w)xJ Вт , а —1,n,
приведено в [6]. Таким образом, тождество (53) установлено для произвольной w €W к ’’ р(
1Д, (ПТ)
Из (53) вычтем (51) и прибавим (49), в результате выводим неравенство
п
Е(°а ^ )^^Ха — Ьа, (и — ^Ха )вт < 0, (54)
а=1
справедливое для любого w €Wк’р(От). В (54) положим w — и + £у, £ > 0, где у €W
Р( ’
1 РРТ), получим
2_^(аа((их: + 6Vx: ) )(«х: + 6VX: ) - Ьа .Vх: ) Дт > 0. а=1
Из последнего неравенства при £ ^ 0 следует соотношение
п
^ ](аа(иха )иха — Ьа,уха )от — 0, а=1
из которого, ввиду произвольности у, будем иметь равенство (52). Из (49) и (52) для °1 1
у €Wk Р(От), заключаем справедливость тождества
п г=т
- (|и|к 2и,ч)вт + Е {аа(и1: )их: ^х:) Дт + (|и|к 2u,v)
а=1
= 0. (55)
І=0
Таким образом, (18) установлено. Из (51), (52) следует
к 1 п к 1
п
к і1«(і)11£ + Е/ (аа(и1: )их: ,их: )йт =^^~^ 1М1к , і > 0, (5б)
а=1 0
дифференцируя которое по t, выводим
к — 1 г
——— ИиЮИк ^Е(аа(их« )иха ,иха )— 0, > 0. (57)
а=1
Далее, применяя (4), из (56), (57) выводим (28), (29). □
Предложение 1. Обобщенное решение и^, х) задачи (1)-(3) с ограниченной начальной
°1
функцией <^(х) € ЬО(П)П Vк р(П) является ограниченным, т.е.
уга1вир \ и^, х) \^ В < то. (58)
в
Доказательство. Покажем, что если \<^(х)\ ^ В для почти всех х € П, то выполняется неравенство (58).
І
Запишем тождество (55) при у — и(в), где и(в) —тах(и — В, 0):
п
— \и\кт2ии(В) + аа(и2ха)ихаих^) dxdt+
а=1
Вт
+ / И*, х)|кт2и(*. ^
П
Применяя (50), учитывая, что и(в)(0) — 0, получим
к- 1
І=Т
= 0.
І=0
и(В)(Т)Цк + ^ / аа(и1: ) «х : ихВ:)йхйі =°.
к м 4 7 " к ' у ■* I ^ 4 х:; ^: х:
а=Їдт
Поскольку
пп
Е / аа(и1а )иха ^dxdt — ^ / аа(иха К^?)2^^ — 0,
а=1Э>т а=1вт
то, ввиду произвольности Т > 0, ||и(в)^)||к е 0 для всех t — 0, следовательно и(Б)(^х) — 0 для всех t — 0 при почти всех х € П. Отсюда следует, что и(^ х) е В.
Выполнив аналогичные действия для функции и — —и, установим, что и^, х) — —В. □
3. Допустимая скорость убывания решения
Поскольку единственность решения задачи (1)-(3) не установлена, фактически будет получена оценка снизу только для построенного решения.
Доказательство теоремы 2. Сначала предположим, что область П является ограниченной, и докажем оценку (8) для галеркинских приближений.
Введем обозначения
См (і) = Е / аа((им )2)(«м )2 Нм (і) = Е / Аа((им: )2)йx,
а=1п а=1 п
Ем(і) = І (^м(і))к/2 - 6мк(шм(і))(к-2)/^ йх + (£) 1/2 (6м)к/4
1М
пользуясь (21), получим неравенства
ЦНм(і) ^ 0м(і) ^ ЬНм(і), і > 0. (59)
Перепишем равенства (36), (43) в виде
йЕ м (і)
+ 0м (і) = 0, і> 0, (60)
dt
I (к — 1)(им)2 + к£м\ (шм)(кт4)/2(и}')2 + 1 —0, , > 0. (61)
IМ
Применяя интегральное неравенство Коши-Буняковского, устанавливаем соотношения ЛЕм^2 — | I Лк — 1)(шм)(кт2)/2 + £мк(2 — к)(шм)(кт4)/^ имЛх) «
І
( / \ 1/2 / \ 1/2
е
V
(к — 1) I (им)(кт4)/2(им)2(им)2 I I (им)к/2 I +
Мм ) \м )
2
( \1/2 / \1/2\
+£мк и (им)(кт4)/2(им)2 I П (2 — к)(им)(кт2)/2 I
V м ) Ум )
Используя неравенство Коши-Буняковского для сумм, согласно (61), (40), выводим
ГЕм (Ь)\2 Г(,и л ,^м, о м к'
/
Ь ') е] ((к — 1)(им)2 + £м£)(им)(кт4)/2(им)2Гхх
1М
х I ^(к — 1)(им)к/2 + (2 — к)£мк(им)(кт2)/^ Гх е
Iм Ч (62)
((к — 1)(им)к/2 — £м(им)(кт2)/2^ Гх + к (2^ 1/2 (£м)к/4 кГНм (t)
-Е (t).
2 dt
Из (62), (60), (59) следуют неравенства
кЕм (Ь) ГНм(Ь) е ГЕм(t) 0м (t) е р1 ГЕм (t) Нм (^
2 ( ) ГЬ е ГЬ ( ) е 2 ГЬ ( ),
которые перепишем в виде
ГНм (t) /Нм т е р1 ГЕм (t) /Ем т
^^/Н И е т^/Е ().
Решая дифференциальное неравенство, применяя (59), получаем оценки
1 0м(Ь) е Нм(t) е Нм(0)(Ем(Ь))Р1/к/(Ем(0))Р1/к, t > 0. (63)
Ь
Далее, соединяя (60), (63), (59), выводим соотношения
ГЕ м (Ь) — —ЬНм (0)(Ем (Ь))Р1/к / (Ем (0))Р1/к —
ГЬ
— —Ь0м (0)(Е м (Ь))Р1/к / (Е м (0))Р1/к, р1
которые перепишем в виде
ГЕ м (Ь) / (Ем (Ь))Р1/к — — — 0м (0) / (Ем (0))Р1/к.
ГЬ р1
Решая дифференциальное неравенство, получаем оценку
Ем(Ь) — Ем(0) Ь2(р1 — к^0м(0)/Ем(0) + Л , Ь > 0. (64)
кр 1
Для фиксированного Ь > 0 при к < р1 в случае ограниченной области П последовательность им(Ь, х) выборочно сильно сходится при М ^ то к и(Ь, х) в пространстве Ьк(П). Очевидно,
Ем(ь) е к—-||(им)1/2мик: + (2)1/2(£м)к/4, М — гто,
и, согласно (38), выполнено неравенство
к1
Ііш Ем(і) Ци(і)Цк = Е(і).
м к
Кроме того, ввиду (40), справедливы неравенства
2)
Ііш Ем(0) > Ііш | к—1 Цим(0)Цк + (6м)к/4
м ~м ^те \ к к \к 2 '
к1
и
м ||Р: х : Ц р :
Р .
х : 11 р: .
а=1 а=1
После предельного перехода в (64) при М ^ то получим
І««ІІк > ІМІк(1 + с(||Ик. (П))і)-£/(р'-£).
(65)
Установим теперь оценку (65) для решения задачи (1)-(3) в неограниченной области П.
_____ СО
Пусть П(1) С П — ограниченные подобласти такие, что П(1) С П(1+1), I — 1, то, У П(1) — П.
1=1
Через и(1) обозначим решения в П(1) с финитной начальной функцией (вирр у С П(1)), можно считать эти решения продолженными нулем вне П(1). Сходимость последовательности и(1')(Ь, х) к и(Ь, х) решению задачи (1)-(3) при I ^ то устанавливается практически также как в теореме 4.
Свойство (25) обеспечивает оценку
і > 0, I = 1, оо.
Тогда при фиксированном Ь > 0 можно считать, что и(1) (Ь, х) ^ и(Ь, х) в IV к(Пг) при I ^ то. Пользуясь компактностью вложения Wk1(Пr) С Ьк(Пг), устанавливаем сильную сходимость и(1')(Ь, х) ^ и(Ь, х) в Ьк(Пг) при I ^ то для любого г > 0. Благодаря оценке (7) для любого £ существует г такое, что выполнено неравенство
«(,)ми
к’Пг
Для и(1) справедлива оценка (65), тогда
««ми
к’Пг >
к(1 + с(імк. (П))г£/(Р1-£) - 6.
Пользуясь сильной сходимостью в Ьк (Пг), переходим к пределу при I ^ то, затем по г ^ то (£ ^ 0). Таким образом, оценка (8) установлена в неограниченной области П для произвольного Ь — 0. □
4. Оценки сверху
В этом параграфе будет доказана теоремы 1, 3 из введения.
Доказательство теоремы 1. Пусть £(х3) липшицева неотрицательная срезающая функция. Положим в (55) у — и£, пользуясь (50), получим соотношение
т=г п „
к - 1 к
т=0
йх + Е / аа(и2х:)«х:(«Ох:йхйт = 0.
а=1,
П а=1П1
Далее, применяя (4), получаем (с учетом того, что — 0)
к- 1 "
к
І и (і, х)|ке(ж5)йх + а^ еі«х: |Р: йхйт ^
(66)
п
а=1
к
^ а |«||«хв |Рв 1Є'(хз)йхйт = Iі.
0і
Пусть в(х), х > 0, — абсолютно непрерывная функция, равная единице при х — 1, нулю при х < 0, линейная при х € [0,1]. В (66) положим £(х3) — в((х3 — г)/р), очевидно
£'(х3) — -, х € (г, г + р), £'(х3) — 0, х € (г, г + р).
Р
Оценим интеграл
|«||«хв |Рв 1йхйт.
0 Пг+Р
Используя неравенство Юнга, применяя (58), для любого £ > 0 выводим
(
I *
6Р
Рз - 1
6
Рв
\
а — к
V
І«ха ІРайхйт + — ВРв
Рз 3 3 Рз 3 3
0 пг+Р 0 пг+Р
|«|к йхйт
/
Соединяя (66), (68), получаем неравенство к- 1
к
< с
6Р
/ |и(і' х)|кйх + " Е/ / |их:Р: йхІт
а=1 0 п
Сг + р 0 пг + р
\
|uXs |Рsйхйт + 6Р
«к йхйт
0п
г+р
0 пГ+Р
/
Введем обозначение
^(і) = |«(і, х)|кйх + Е / / |«х: |Р:йхйт
а=1
0 пг
тогда (69) можно переписать в виде
(67)
(68)
(69)
< С | рг(() + 6Р- I Ег(т)йт | .
(70)
Далее индукцией по I установим неравенство
е С (^1 г1/р-\II (1 + г/рз)
-1/Рв
Ї, I = 0, то.
(71)
В качестве нулевого шага индукции из неравенства (28) для любых Ь > 0 имеем неравенство Рн0(Ь) е С||у||к. Предположим, что (71) справедливо для некоторого целого I — 0.
1/Ра
Подставляя в (70) 6
(1+і/ре)
і
г = К0 + 1р, с учетом (71), получаем
-1/Ра
:х
х
іІ/Ра + 1 + 1/Р3
т 1/р■ йЛ = С1 2С2
г=0
1+1
-1/Рв
і(1+1)/Ра Ш (1 + і/Рз)
А=0
і
і
і
і
і
і
і
в
і
і
і
Р
Неравенство (71) доказано.
Положим р = (г — Д0)/1. Используя неравенство Стирлинга, из (71) нетрудно получить
РМ « Сз ехр (—Р- \ М*. (72)
Полагая I равным целой части выражения
(г — До )Р* еСЛ
из неравенства (72) полу-
чим
Рг (Ь) ^ С5 ехр I — С6
(г — ДоУ*
1/(Рз-1)Ч
(73)
В случае, когда I = 0 неравенство (73) следует из соотношения (28). В итоге, при г > 2Д0 из (73) следует оценка (7). □
Доказательство теоремы 3 проводится на основе следующего утверждения.
Утверждение 1. Пусть область 'расположена вдоль оси 0х3, в Е 2,п и выполнены условия (13), (6). Тогда найдутся положительные числа к(р3,к), М(р3,к) такие, что для построенного ограниченного решения и(Ь, х) задачи (1)-(3) при всех Ь > 0, г > 2Д0 справедлива оценка
||«(Ь)1кпг ^ М ехр ^ к ^ иР1/Рв (р)Ар^ \\^\\к. (74)
Доказательство. Пусть в(х), х > 0, — абсолютно непрерывная функция, равная единице при х > г, нулю при х < Д0, линейная при х Е [Д0, 2Д0] и удовлетворяющая уравнению
в'(х) = 5иР1/Рз(х)в(х), х Е (2Д0,г), (75)
(постоянную 8 определим позднее). Решая это уравнение, находим, в частности, что
в'(х) = *(ДД0) = ехр | — 8 У иР1/Рв (р)(1р | , х Е (Д0, 2Д0). (76)
V 2До /
Для любой функции 'у(х) Е С0°(П) из определения функции V(р) следует неравенство
V (р)1М1р1,7р < 11^X1 ||р1,7р , р> 0,
из которого следует соотношение
г г
J еРв (р^Р1 (р)|^\Р1,7рАр < ^ вРз (р) ||р1,ТрАр. (77)
2Ко 2Ко
Применяя (77) для любой функции V Е С0(^) при в Е 2, п выводим
г г
У иР1 (р)вРа (р)НvНР:,7p Ар < тах Нх)|Рз-Р1 ^ vР1 (р)вРа Ар ^
2Яо 2Яо
Г
^ тах |v(x)|ps-p^ еРв ||Р1,7р Ар. (78)
2Яо
о
Отметим, что неравенства (78) справедливы для любой ограниченной функции v ЕШк р(^) (см. [6, следствие 1]).
I
В (бб) положим £(xs) = 9P: (xs), получаем
k- І
k
|u(t, x)|kвР: (xs)dx + а^^ 9P: luxa IPadxdт ^
n a=1Dt
^ ' / / |u||ux:|P: lps9'(xs)9P: 1(xs)dxdт = a/*.
o n
Используя неравенство Юнга выводим
t t
І
і* ^ ^(ps — ІМ |ux:|P:9P:dxdт + -—[ |u|P:(9'(xs))P:dxdт.
ys SI I I x:
on on
a 1
Выберем e = —----------, соединяя (79), (80), получаем неравенство
ар3 - 1
k—— J \u(t, x)\k9Ps(xs)dx + a J 9Ps\uXa \Padxdr ^ C7 J \u\Ps (9\xs))Psdxdr.
П a=l,a=sDt Dt
Пользуясь (75), (76), нетрудно привести (81) к виду
k—~J |u(t, x)|k(xs)dx + а ^ j 9P: luxa |P“dxdт ^
n a=1,a=sDt
^ exp I—6ps [ vPl/P: (p)dp\ [ [ |u|P: dxdт+
TDPs R0
2Ro / 0 q2Rq
Ro
t
+ °76PS f j \u\PS VP1 (Xs)9Ps (xs)dxdr = I\ + I2.
0 ^2R0
Используя [6, неравенство (73)], применяя соотношение (28), выводим
/ } \ t / r
I[ ^ Csexp I -8ps vPl/Ps(p)dp J / ||ux, IPsdT ^ C9exp I -8ps VP1/Ps(p)dp | |Mlk.
V 2Ro /0 V 2Ro
Применяя (78), получаем
t
I2 ^ Cw5Ps f t \ux1 \P19PsdxdT.
0 4Ro
(a \1/Pa
Выбирая ^ = I —— I , соединяя (82) - (84), выводим \CwJ
~~t~ llu(t)llk,nr + a f 11 uXa (t)|n“r dT ^ C9 eXP |-C11 / (P)dP J |Mlk.
a=2,a=s 0 V 1 /
Неравенство (74) доказано.
Далее, теорема 3 доказывается на основе оценки (74) аналогично доказательству [6, ремы 3].
t
(79)
(80)
(81)
(82)
(8З)
(84)
□
тео-
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Оценки скорости стабилизации при t ^ то решения первой смешанной задачи для квазилинейной системы параболических уравнений второго порядка // Матем. сб. Т. 191, №2. 2000. C. 91-131.
2. Кожевникова Л.М. Стабилизация решения первой смешанной задачи для эволюционного ква-зиэллиптического уравнения // Матем. сб. Т. 196, №7. 2005. C. 67-100.
3. Каримов Р.Х., Кожевникова Л.М. Стабилизация решений квазилинейных параболических уравнений второго порядка в областях с некомпактными границами // Матем. сб. Т. 201, №9. 2010. C. 3-26.
4. Дегтярев С.П., Тедеев А.Ф. Li — Lоценки решения задачи Коши для анизотропного вырождающегося параболического уравнения с двойной нелинейностью и растущими начальными данными // Матем. сб. Т. 198, №5. 2007. C. 45—66.
5. Андриянова Э.Р., Мукминов Ф.Х. Оценка снизу скорости убывания решения параболического уравнения с двойной нелинейностью// Уфимск. матем. журн. Т. 3, №3. 2011. С.3-14.
6. Кожевникова Л.М., Леонтьев А.А. Оценки решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью // Уфимск. матем. журн. Т. 3, №4. 2011. C. 64—85.
7. Тедеев А.Ф. Стабилизация решений начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений // Укр. мат. журн. Т. 44, №10. 1992. С. 1441-1450.
8. N. Alikakos, R. Rostamian Gradient estimates for degenerate diffusion equation. II // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. V. 91, №3-4. 1981/1982. P. 335-346.
9. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. 1980. 496 с.
10. Лионс Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир. 1972. 596 с.
11. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: ИИЛ. Т. 2. 1954.
Лариса Михайловна Кожевникова,
Стерлитамакская государственная педагогическая академия, пр. Ленина, 37,
453103, г. Стерлитамак, Россия E-mail: kosul@mail.ru
Алексей Александрович Леонтьев,
Стерлитамакская государственная педагогическая академия, пр. Ленина, 37,
453103, г. Стерлитамак, Россия E-mail: axe1erat@mail.ru