Об убывании решения линейного параболического уравнения с двойным вырождением Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 8. № 1 (2016). С. 38-53.

УДК 517.946

об убывании решения линеиного параболического уравнения с двойным вырождением

в.Ф. ВИЛЬДАНОВА

Аннотация. Для линейного параболического уравнения второго порядка с двойным вырождением ^.(х)щ = (р(х)а^ (t,x)uXi)Xj в неограниченной области получена оценка сверху скорости убывания решения первой начально-краевой задачи. В широком классе областей вращения доказана оценка снизу. Приведены примеры, показывающие, что оценки сверху и снизу, в определенном смысле, точны.

Доказывается существование и единственность решения задачи в неограниченной области методом галеркинских приближений.

Ключевые слова: параболическое уравнение c двойным вырождением, скорость убывания решения, оценки сверху, существование решения.

Mathematics Subject Classification: 35B30, 35B45, 35K10, 35K20, 35K65

1. Введение

Пусть Q — неограниченная область пространства Мга, х = (х1,х2, ...,хп) £ Мга, п > 2. Рассмотрим в цилиндрической области D = {t > 0 }х Q линейное уравнение второго порядка:

п

у(х)щ =^2l(p(x)aij (t,x)uXi )Xj, (1)

i,j=l

где веса y(x) > 0 и p(x) > 0 - измеримые функции, суммируемые на любом ограниченном подмножестве Q: ц,, р £ L^oc(Q). На симметричные коэффициенты a%j = aji накладывается условие равномерной эллиптичности: существуют положительные постоянные j, 71 такие, что для любого вектора у £ Мга и почти всех (t, х) £ D справедливы неравенства:

п

7М2 < Y1 aii(t,x)ViVj ^ 71М2. (2)

i,j=1

На боковой границе цилиндра D задано краевое условие Дирихле:

u(t,x) =0, Г = (0, ж) х дП. (3)

Мы будем иметь дело с обобщенным решением задачи (1), (3) с начальным условием

и(0,х) = <р(х) £ L2(Q,^dx). (4)

Настоящая работа посвящена исследованию зависимости скорости убывания при t ^ ж решения задачи (1), (3), (4) от геометрии неограниченной области Q и поведения весов р,,р при X ^ ж.

Первые исследования зависимости скорости убывания решения смешанной задачи для равномерно параболического уравнения (^ = р = 1) второго порядка от геометрии неограниченной

V.F. Vil'danova, On decay of solution to linear parabolic equation with double degeneracy. © ВильдАновА В.Ф. 2016.

Работа выполнена при поддержке гранта ученого совета БГПУ им. М.Акмуллы для молодых учёных. Поступила 25 октября 2015 г.

области были выполнены А.К. Гущиным в работах [1, 2]. Для широкого класса областей в них для решения второй смешанной задачи установлена оценка

W^ ^^Т, х е Q

v(Vt)

где v(r) = mes{x £ Q : |x| < г}. Доказана также точность этой оценки. В частности, для решения задачи Коши эта оценка принимает вид

Более полные исследования зависимости поведения при большом значении времени решения второй смешанной задачи от геометрии области и от начальной функции выполнены А.В. Лежневым в [3]. В.И. Ушаков [4] получил результаты, близкие к результатам А.К. Гущина, для третьей смешанной задачи в нецилиндрической области. Ранее в работе [5] Ф.Х. Мукминовым была доказана оценка скорости убывания решения первой смешанной задачи в случае равномерно параболического уравнения второго порядка и доказана ее точность в классе неограниченных монотонно расширяющихся областей вращения. В работе [6] получены точные оценки решения параболического уравнения четвертого и шестого порядка с краевыми условиями Риккье на боковой границе неограниченной цилиндрической области.

Упомянем ещё работу [7], в которой для квазилинейных параболических уравнений в неограниченной области изучалась зависимость поведения решения от структуры нелинейности уравнений.

Более полный обзор результатов, примыкающих к теме нашей работы, можно найти в [6]-[14].

Приступим к формулировке нашего результата.

Определим функции

/ p(x)|Vg|2dx

х(г)= ^ F(9) = "н / тч* • (5)

П[г]

где Q[r] = [x G Q | |x| < г};

Jp(x)\Vg\2dS

= inf r ^ , (6)

sec§°(n) J pg2dS

где Sr = {x G Q\ \x| = г}. Очевидно, что функция X(r) ограничена на интервале г > г0, если множество го] не пусто.

В следующем утверждении речь идет об обобщенном решении задачи (см. §2).

Теорема 1. Пусть u(t,x) - 'решение задачи (1), (3), (4) с начальной функцией ф, равной нулю при \x| > R0. Тогда найдется число v1 > 0, зависящее только от п,^1, R0, и Т, зависящее еще и от функций X, X, такие, что для всех t > Т справедливо неравенство

( r(t) \

J ß(x)u2(t,x)dx ^ Сexp п

ß(x)p2(x) dx, (7)

-vx J \JX(s)ds

V Ro+i J n

где r = r(t) — произвольная непрерывная функция, удовлетворяющая неравенству tX(r) > J \JX(s) ds. Постоянная С зависит от 71 и от функции X.

Ro+i

Известно, что в случае плоского угла Q = {(г,ф)\ г > 0, 0 < ф < а} при ц = p = 1 убывание решения задачи (1), (3), (4) будет степенным: u(t,x) = 0(t-(ж/а+1)) (см.[5]). Для таких ситуаций (то есть когда решение убывает степенным образом) оценка (7) дает неадекватный результат,

поскольку точное значение постоянной не определено (т.е. не определяется точно показатель степени t).

Если выполнено неравенство р(х) < у(х) для почти всех х G Q, то можно получить оценку, несколько слабее, чем (7), не используя функцию А (см. теорему 2, §3).

Отметим, что утверждение теоремы останется верным, если области Q[r],SV заменить на Q(r) = [х G Q | Х\ < г} и Sr = {(х\,х') G П| Х\ = г}. При этом предполагается, что области Q(r) ограничены при всех г > 0.

Формально функция r(t) = Rо + 1 удовлетворяет неравенству из теоремы. Но ясно, что неравенство (7) будет более сильным, если выбрать функцию r(t) > Ro + 1 наибольшей среди допустимых. В случае, когда функция А(г) непрерывна и положительна хотя бы в одной точке г >

г

R0 + 1, выбираем функцию r(t), как наибольший среди корней уравнения tA(r) = j \J\(s)ds.

Ro+1

(При достаточно больших t существует хотя бы один корень.) В конце §3 приведено условие, при котором функция А(г) будет непрерывной. Такой же подход применим при наличии оценки А(г) > h(r) с заменой А(г) на непрерывную функцию h(r). В простейшем случае р = ^ = 1 выбор функции h(r) можно сделать, используя неравенство (5.4) ([21], гл.11, §5), которое в случае mes Q[r] ^ (1 — e)mes В(г), где mes B(r) — шар радиуса г запишется в виде

--2J2

П[г] П[г]

е2

Отсюда следует неравенство Х(г) > ^. Отметим еще, что неравенство (8), примененное вместо

0[г] к конусу с вершиной в точке О и сферическим основанием , дает оценку \(г) > 52(г)/(Рг2), где 1 — 5(г) = тв8п-1$гг1-п/шп, шп - мера единичной сферы. В частности, когда функция 5(г)

достаточно быстро убывает, возможно неравенство / \/~Х{8)д,8 < те, и тогда оценка (7) стано-

До+1

вится несодержательной.

В §4 также приведены примеры выбора функций г(Ь) для функций р,,р, отличных от 1. В §5 приведена теорема 2 об оценке неотрицательного решения снизу в случае, когда область О является областью вращения. На примерах показано, что неравенство (7) теоремы 1 является, в определенном смысле, точным.

2. Существование и единственность решения Введем следующие обозначения: Оъа = (а, Ь) х О, = ВТ , И = И^,

1М1дтм = /р>и2йх(И, ||У«||дт,р =/р\2йх<И. дт дт

На множестве сужений на Ит функций из С0^(ОТ 1) определим нормы

Н^ЯОД^т) = Ы2вт ^ + ^Щт ^ Ын 1,1(дт) = ||И|но,1(ДТ) + Ы?вт ^.

Соответствующие пополнения этих линейных нормированных пространств обозначим Н0,1(ОТ) и Н1,1(ИТ). Для единственности градиента функций из введенных весовых пространств потребуем выполнения условия из работы [20]:

р-1 е ь1ос(П).

^_^ о ..

Пространство Н1(О) определим как пополнение пространства С^(О) по норме

||и|Н1 (П) = I (Ру2 + р\^и\2)йх. п

Обобщенным решением задачи (1), (3), (4) в Ит будем называть функцию и(1,х) е Н0,1(ОТ), удовлетворяющую интегральному тождеству:

/ I —/лшг + ^ ра^(Ь,х)ищ уХ: I йхсИ = ркр(х)у(0,х)сСх, (9)

ЙЛ ч=1 ' п

для любой функции у(1 ,х) Е Н1'1(Ит).

Функция и(Ь,х) - решение задачи (1), (3), (4) в И, если при всех Т > 0 она является решением задачи (1), (3), (4) в Ит.

Обобщенное решение задачи (1), (3), (4) в существует и единственно. Существование доказывается методом Галеркина (см., например, [21, с.181-186]).

Выберем набор линейно независимых функций -г(х) Е так, чтобы их линейная оболоч-

ка была плотна в Н1(£}). Не ограничивая общность, можно считать, что эти функции ортонор-мированы в ^(Сх).

Галеркинские приближения будем искать в виде

п

и1 (г ,х) = ^Сг (ь)-г(х). (10)

г=1

Уравнения на искомые коэффициенты получим из требования

/10

(¡л,(х)и\—3 + ^ р(х)а^(Ь,х)и1Х.(-3)Х:Сх = 0, в = 1,1. (11)

П г,3 = 1 *

Условия (11), благодаря ортонормированности функций -г, приводят к системе обыкновенных уравнений

п

(С)' + £ ъгз (I )С = 0, 1 = 1^. (12)

3 = 1

Начальные условия для системы дифференциальных уравнений (12) выберем следующими

С (0) = (<р,-г). (13)

Условия (12), (13) определяют единственный набор функций С\(£).

Докажем ограниченность множества и1 галеркинских приближений в пространстве Н0'1(О^т). Умножим равенство (11) на С\ и сложим. Получим

п

/п

(¡л,и\и1 + ^ ра^(Ь,х)и1Х.и1Х.)сСхМ = 0. (14)

п г'3=1

Проинтегрировав (14) по Ь Е (0,Т) и воспользовавшись условием (2), будем иметь 1

^ I ^(х) [(и1(г,х))2 — (и1 (0,х))2 Сх + 7 I р(х)\Чи1 \2Сха < 0. (15)

п от

Очевидно, что

I

\\и1 (^хЩ^Х) =

г=1

Тогда (15) можно переписать в виде

J ^(х)и1 (Ь,х))2сСх + р(х)\Чи1 \2СхсМ < \\<р||2Т)Т(16)

п от

Отсюда следует ограниченность множества и1 в пространстве Н0'1 (Бт). Поэтому можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся в этом пространстве к некоторой функции и Е Н0,1(От). Чтобы не нагромождать индексы, будем считать, что сама последовательность слабо сходится.

Умножим (11) на функцию й3(1) € С0?(-1,Т) и проинтегрируем по £ € (0,Т). После обозначения V = й3и!3, интегрирования по частям и предельного перехода при I ^ те получим

ц,и(у\ + ^ ра^(1,х)ищ (у) х:йжй^ 1 = ц,^(х)у(0,х)йх. (17)

^=1 ) п

Отметим, что (17) справедливо не только для функций V = й3и!3, но и для сумм таких функций.

т

Остается еще добавить, что функциями вида ьт = ^ (13,ы3 можно приблизить любую функцию

5=1

■ш из ^ по норме пространства Н1'1(От).

Теперь покажем единственность решения задачи (1), (3), (4). Через уы(1,х) будем обозначать осреднение Стеклова функции у(1,х):

ь л

которое обладает следующими свойствами:

1)(у,и-Н) = (vh,u)L2{Лn+l^dxdt), где (У,и)ЫКп+1^(1х(ц) = / p.vudxdt,

2)если V € Н0,1 (Б0), то (ин)х1 = (^)ы,

3)если € Ь2(Шп+1, , то (Уг)ы =

4) если V € Ь2(ИТ,/лйхМ), то для любого 5 > 0 имеет место сходимость Уы ^ V в Ь2 (От—, ц.(1х(И) при Ь ^ 0(Ъ<Ь).

Подставим в интегральное тождество (9) пробную функцию У-ы, где V - из пространства —). Это допустимо, так как € ) при 0 < Ь < 5. Воспользовавшись свойствами

осреднения Стеклова, будем иметь

1 г-ь+ы иы(Ь,х) = — ь(т,х)йт,

ь Л

',3 = 1

йхбй = 0. (18)

От

Предельным переходом доказывается, что последнее соотношение справедливо не только для функций V € Со°(ВТ—), но и для функций V € Н0,1(ВТ—). Заметим, что равенства (18) имеют вид

У р.(иы)tvdxdt = 1ы(у), (19)

от

где линейный функционал в пространстве Н°'1(^Т—).

Докажем равномерную ограниченность линейного функционала 1ы(и) при |Ь| < 5о в единичном шаре пространства ).

Рассмотрим 1ы(ъ), с учетом равномерной эллиптичности будем иметь:

/п

(а13ихг )ыУх: ¿хМ1 ^

от-5 ',3=1

г+ы

( I

Ь

от-5 \ *

( / ь+ы 1

^ J ИР

от-5

/ "ИР 1 (/ 1^и(т,х)1йт 1 + |У^,ж)|

(1х(И.

Таким образом получаем, что |lh(v)| ^ С.

Итак, ограниченность линейного функционала 1ы(и) доказана.

2

2

Подставим в равенство (19)н1-(19)н2 функцию V = (ин1 — ин2)х(11, Ь) Е Н°'1(От ё), где х(^ 1, характеристическая функция интервала (Ь1, Ь 2). Получим

¿2

У У ц((ин1 — (иь2)г)(иь,1 — и^)СхМ

1)Ъ V 1-лП2)Ъ)\"'П1 УЛН2)

¿1 п

= \(1 Н1 — 1н2 )(Х(иН1 — иН2 ))\ < С\\(иИ1 — иН2) \я°,1 < е.

Последнее неравенство вытекает при достаточно малых Ъ, Ъ,2 из сходимости ин ^ и в пространстве Н0,1(Пт-ё). После интегрирования по £ будем иметь

у ц(ин1 —ии2)2^ 1,х)сСх ^ у ц(ин1 —ин2)2(Ь2,х)Сх + 2е. п п

Последнее неравенство проинтегрируем по 12 Е ^ 1,Т — :

(Т — 5 — Ь) У ¡л(ин1 —иН2)2(Ь 1,х)сСх ^ ц||(иН1 —иН2)\\12(Вт-бМх) +2е(Т — 5 — Ь). п

Поскольку ин ^ и в Ь2(Ит — ,цСх), то при ^ <Т — 25 будем иметь неравенство

У ц(ин1 — ин2)2(Ь 1,х)сСх ^ у +2е. п

Отсюда следует равномерная фундаментальность в Ь2(&, цсСх) по семейства функций ин^]_,х). Поэтому ин(£,х) ^ и(Ъ,х) в Ь2(0,,цСх) при Ъ ^ 0 равномерно по £ Е [0,Т — 25], и предельная функция непрерывна по £ в норме Ь2(&, цсСх). Подставим теперь в (18) функцию V = инх(0, ^ :

/п

(ц(ин)гин + р ^ (а^их1 )н(ин)х:) СхМ = 0.

агjиХi )н( ин) Х: )

' =1

После интегрирования первого слагаемого по Ь и предельного перехода Ъ ^ 0 будем иметь

2 °

1 I ци2(Ь,х)(Сх + 1 р^^ а^иХ1иХ:СхМ = 1 J ци2(0,х)Сх. (20)

2 I . , г -'гзи'Х^и'Х:—--- 2

п п г':'=1 п

Если доказать, что и(0,х) = р(х), то последнее соотношение совпадет с (9). С этой целью подставим в тождество (9) непрерывную пробную функцию у(1 ,х) = *ц(£)ф(х), где ^(1) = 1 — I при £ Е [0,1] и постоянна в оставшихся интервалах (—те, 0], [1, те). Поскольку vt = — £ф(х), то тождество (9) принимает вид

£

У У -ц(х)ф(х)и(Ь,х)СЫх + 1£(ф) = У ц(х)р(х)ф(х)Сх, о п п

где линейный функционал I£(ф) стремится к нулю при е ^ 0. После предельного перехода при £ ^ 0 будем иметь

/„м^м»,^ = 1,л.хм*ш*уь

п п

при любом ф Е С£°(П). Это доказывает выполнение начального условия и(0,х) = <р(х).

3. Оценка решения сверху

Сначала установим две оценки, характеризующие убывание решения задачи (1), (3), (4) при |х| ^ те.

Предложение 1. Пусть и(Ъ, х) - 'решение задачи (1), (3), (4) с начальной функцией ф, равной нулю вне шара радиуса В0. Пусть выполнено неравенство

р(х) < С/(х), С > 0, х е П. (21)

Тогда для всех £ > 0, г > В0 справедливо неравенство

J /и2(£,х)(х ^ еехр СЬ-1(г — В0)2^ J/(х)ф2(х)йх, (22)

п\пи П

где С — постоянная зависящая от 7 и 71.

Доказательство.

Пусть £(т, г, д) - непрерывная неотрицательная функция, равная нулю при т ^ г и единице

1

при т > г + д. В оставшемся интервале она линейна — = —. Подставив в тождество (18) пробную функцию V = г](х; г, о)ии, 'л(х) = £2(|х|, г, д), получим

вт

1

1Л(ин'П)г + ^ Р(аИихг)ь(Щк)а

г,3 = 1

(хсИ = 0. (23)

После предельного перехода в равенстве (23) при Ъ ^ 0 имеем:

У /(и2(Т,х) — ф2(х))г]йх + 2 J ^ ра^ихн(щ)х^йх<И = 0.

п ит ^=1

Отсюда, в силу условия вирр ф С П[Во], для любых г > В0 и д > 0 нетрудно получить неравенство

■21ГГ 1 ° ' - х — ^Х1иХ}йх(И ^

У /щ2(Т,х)с(х + 2 J Р ^ щ^и^их^хМ п вт г^=1

2 I р ^ а^иХ1и-^р-(х(И ^ 2 ( р711иЧиЧ,г]1с(х(И. (24)

^ —2' Р / ; аЧ иХ

вт г,з=1 вт

Преобразуя последнее, будем иметь

¡итЧъхь +17рЧ^и|2<ъй <21 Ыич^л.

П От От

Используя вид функции г], нетрудно получить неравенство

J /и2(Ь,х)(х + ! J Р7|Уи|2йх(И ^ с2 ! J ри2йх(И. п\п[г+в] о п\п[г+е] 0 п[г+<?]\П[г]

Вводя обозначение

Нг(Ь) = У ли2(х, Ь)с(х + ! J Р7|Уи|2йх(И,

П\П[г] 0 П\П[г]

пользуясь условием (21), устанавливаем, что

Нг+в(1) — С I Нг (т)Ст. (25)

0

Неравенство (25) будем применять индуктивно для последовательности гг, г = 0,1, 2, ...к, гг+1 = гг + д, г0 = Ко. Учитывая, что из (20) следует неравенство Нг(1) — А = / ц(х)р2(х)Сх,

> 0, > 0 будем иметь

А С

Нв°+в® = А^-. (26)

Далее индукцией по к установим неравенство

АСНк д2кк\

Действительно,

Нгк (I) . (27)

. , С Г тт . . , С Г АСктк 1 АСк+Чк+1

НГк+в(Ъ — 72] НГк (Г)(Г — ^ -ЩТ^ = д2(к+1)(к + 1)! , 00

что завершает индукцию. Пользуясь неравенством Стирлинга, из (27) нетрудно получить

А С к к к д2

( 1 ) - —А ехр(—к ы Ск

НГк(г) — _ - Аехр[ —к. (28

.

(г — К0 )2 (г — Д )2

Выберем к равным целой части числа —-. Если к = 0, то —- < 1 и

С 2 С 2

(г _ К )2

Нг (¿) — А = еАе-1, откуда следует неравенство (22). Если к > 1, то к > — 2—. Теперь выби-

2 С 2

(^_)2 д2к

раем д = (г — Ко)/к. Тогда гк = г и д2к = --- > Се2Ь. Следовательно, —— > 1. Поэтому

к С

из (28) следует, что Нг(1) = НГк (1) — Ае-к. Тем самым, неравенство (22) установлено.

Предложение 2. Пусть и(Ъ, х) - 'решение задачи (1), (3), (4) с начальной функцией р, равной нулю вне шара радиуса Ко. Тогда для всех £ > 0, г > Ко + 1 справедливо неравенство

J ци2 (Ь ,х) Сх — С ехр ¡—2и J ^ Х(в)Сз I J ц(х)<р2 (х)Сх, (29)

п\п[г] V К°+1 / п

где С, и — постоянные зависящие от 7 и 71, а С - еще и от функции Х.

Доказательство.

Пусть £(т, г) - непрерывная неотрицательная функция, равная нулю при т — Ко, линейная при Ко < т < Ко + 1 и равная единице при т > г. В оставшемся интервале она удовлетворяет

условию —— = уу А£, число V выберем ниже. д

Легко видеть, что £т = {;(К0 + 1, г) при т Е ( К0, К0 + 1), где

Г ^

£(Ко + 1, г)=ехр I— V / у Х(в)Св

Подставив в тождество (18) пробную функцию V = ц(х;г)ин, г](х;г) = £2(|х|, г), получим

пт

Р(агзихг)н(г)ин)1

' =1

( х ( = 0. (30)

После предельного перехода в равенстве (30) при Ъ ^ 0 имеем:

ц(и2(Т,х) — р2(х))г]Сх + 2 / РаЧ иХг ( и) Х: ( х ( = 0.

' =1

п пт

Отсюда нетрудно получить неравенство

Jцщ2(Т,х)Сх + 2 J Р ^ щ^иХ1иХ:СхМ — п пт г'^=1

— 2 у р7\\иЧиЧг]\Сха. (31)

пт

Преобразуя последнее, будем иметь

иЧ '2

¡(2ци2Сх +! 2Сх( — / РЪ 2 + ^х)

п пт пт

Взяв £ = , получаем неравенство

I £2ци2Сх + 7! РС2 \^и\2СхМ — п пт

т т

— М

2

7

у V2ри2(2ХСхМ у ри2(2(Ко + 1)СхМ

\о п[г]\п[Д°+1] о п[Ео+1]\п[К°] )

Используя вид функции £, преобразуем последние слагаемые

Аналогично,

(32)

г

У и2ри2^2\Сх = ! и2^(т)\(т)Ст У ри2СБ — п[г]\п[Д°+1] Д°+1

г

— У "2С2(т)сСт У р\Чи\2СБ = и2 У рС2\Уи|2сСх. (33)

Д°+1 Зт п[г]\п[Д°+1]

I ри2Сх —-^— I р\Чи\2Сх. (34)

■> М Л(г) ■>

п[Д°+1]\п[Д°] [Д°'Д°+1] п[К°+1]\п[Д°]

7

Возьмем V =-. Подставляя (33) и (34) в (32) и оценивая правую часть (34) с помощью (20),

2 71

устанавливаем неравенство (29), С = 27^/(7 М Х(т)).

[К°,К°+1]

Теорема 2. Пусть и(Ь,х) - решение задачи (1), (3), (4) с начальной функцией р, равной нулю при \х\ > Ко, и выполнено неравенство (21). Тогда найдется число и2 > 0, зависящее только от п,7\, Ко такое, что для всех £ > 0 справедливо неравенство

У ц(х)и2(Ь,х)Сх — Сехр(—1у2ЬХ(г(1))) ^ ц(х)р2(х)Сх, (35)

пп

где г = г(1) произвольная функция, удовлетворяющая неравенству 1Х(г) — 1-1(г — Ко)2. Постоянная С зависит от 7, 71 и п.

Доказательство теорем 1,2.

Пусть Т > 0 - произвольное число. Введем обозначение

£= sup / цu2(t ,x)dx.

ie[o,T] J

Справедливо неравенство

У^u2(t,x)dx ^ е+ J ^u2(t,x)dx. (36)

п П[г]

Так как функция и(Ь,х) для почти всех £ е (0,Т) является элементом пространства Н1(О), то из (5) получаем

У цu2(t,x)dx ^ е + Л 1(r) J pWU2dx. (37)

п

Для функции Е(I) = / /и2^,х)(х с помощью соотношения, вытекающего из (20) п

dJ цu2(t,x)dx ^ —j У p\4ul2dx,

п

выводим неравенство

Решая его, находим

d

j(E(t) — е)Л(г) < — -Е(t).

Е(Т) — е ^е -ТКГ)1 е(0) . (38)

Для доказательства теоремы 2 воспользуемся оценкой (22):

eexp {-CT-1(r — Ro)2^ j ц(:x)p2(x)dx.

Тогда

Е(Т) < Е(0) (еехр (—Ст-1(г — Во)2^ + е-ТХ(г). (39)

Последнее неравенство справедливо при всех г > Во. Естественно взять инфимум правой части по г. Но, поскольку точка инфимума не находится конструктивным способом, можно взять такое значение г(Т) > Во (по возможности меньшее), чтобы выполнялось неравенство

Т-1(г — Во)2 > ТХ(г).

Возможность выбора такого г(Т) следует из ограниченности функции Х(г). Подставляя г = г(Т) в (39), получаем оценку теоремы 2.

Для доказательства теоремы 1 воспользуемся оценкой (29):

£ < Сехр ( —2vJ ^Х^йв I У /ф2(х)йх.

\ До+1 / П

Выберем число г = г(Т) (по возможности большее) так, чтобы

I

ТЛ(г) > [ \!~k{s)ds.

В-о+1

Тогда из (38) вытекает неравенство (7) теоремы 1.

Покажем теперь, что функция Х(г) непрерывна в достаточно широкой ситуации. Назовем область О регулярной, если существует семейство диффеоморфизмов фГ1 ,г2 : О[г 1 ] ^ г2], 0 < г1 < г2 таких, что <рГ1,г2 (х) ^ id в С 1(О[гкак при г1 ^ г2, так и при г2 ^ г1.

Покажем, что для регулярной области функция А(г) будет непрерывной. Для любого е > 0, г > 0 существует функция gr £ с1 (Q) (зависящая от е) такая, что Fr (gr) < А(г) + е. Очевидно, что А(Г\) < Fri (дГ2). Поэтому

lim sup А(гi) < А(г2) + е.

ri—> r 2

Далее, Fr2 (gri (pri,r2 (x))) > А(г2). Следовательно,

А(г2) < lim inf Fr2 (gri (<Pri,r2 (x))) = i— 2

= lim inf Fri (gri (prir2 (x))) = lim inf Fri (gri (x)) < e + lim inf А(ri).

i— 2 i i i 2 i— 2 i i i— 2

Из полученных соотношений, ввиду произвольности > 0, следует непрерывность функции А( ) слева. Непрерывность справа доказывается аналогично.

4. ПРИМЕРЫ

Ограничимся построением примеров в случае п = 2, хотя аналогичные примеры несложно адаптировать к многомерной ситуации для области вращения

Qf = {(xi, x)\ xi > 0; \x'\ < f(xi)},

определяемой непрерывной положительной функцией f(xi), f(xi) > 1, xi > 0. Получим некоторые оценки функций А, А в случае плоской области Qf. Для простоты будем ссылаться на вариант теоремы 1, когда области Q[г], Sr заменены на Q(r) = {x £ Q \xi < г} и Sr = {(xi,xl) £ Q\ xi = r}.

Выведем аналог неравенства Стеклова-Фридрихса с весами. Пусть д(s) £ Ci[0, г] и д(0) = 0. Возведя в квадрат равенство

g(s)=д(s) - д(0) = j g'(t)dt,

нетрудно получить

г г

д2(в) — У р-1т I р(1)(д'(1))2а. оо

Домножим это на ц(,в) и проинтегрируем по в :

г г г г

J ц(з)д2(8)Св — J ц^Св J р-1(г)М J р(1)(д'(г))2М.

о о о о

Пусть теперь д(х1,х2) Е С0^). Тогда имеем

ЦХ1) /(Х1) /(Х1) /(Х1)

21

„Ш(x)dx2 * f „да* f p-'(x>dx2 f МП*. (40)

О

Введем обозначение Л(г) = sup М(x-\), где

0*xi*r

f(xi) f(xi)

МЫ = f „ш*2 j р-'т*2-

ОО

Тогда

fX) f(xi)

ß(x)g2(x)dx2 * Л(г) p(x)(g'X2(x))2dx2. (41)

1X2 v

О

Или, интегрируя по xi, получим

y(x)д (x)dx ^ Л(г) p(x)(gL(x))2dx. (42)

Х2

п[ ] п[ ]

В качестве / ( х) и Р( х) рассмотрим функции

п(т х ) = Г Р(х1)(/(х1) — Ы)а, |х2| е [/(х1) — 1, ¡(х1)]1, Р(х1,х2) = \ р(х{), |х2| < ¡(х1) — 1,

и(гл Го) = I М(х1)(/(х1) — , |х2|е [/ы — 1, ¡(х1)]1,

Л(х1,х2) = \Ях1), |х2| < /Ы — 1,

где |а| < 1, Р > —1. Функции ]1(х1),Р)(х1) определим ниже. Потребуем для простоты, чтобы

N — Р

¡(г) > --¡—г и ¡(г) >——, при г > Во.

1 — |а| 1+ р

Вычисляя М(xi) при ц = p, из (41) находим, что

Х(г) >

™ — Т+a) (т +

при г > Ro. Подставляя эту оценку в (29), получаем

г

-1 Т

> 2Ш . (43)

У цu2(t,x)dx ^ Cexp ( — 2u J ) Jц(x)p2(x)dx.

(

П\П(г) \ Ro+i / П

Легко видеть также, что

Л(г) = sup (f(xi) — -+Л (f(xi) + --^Л <

p(xi) \ -+PJ V - —aJ

maJsupA Щ f2 (xi). sup A^-ML гЧ

\0^Х1 ^r p(xi) o<xi <^R0 p(xi)1+p 1 — a)

Для простоты будем предполагать, что функция \) f2(xi) возрастает и

p(xi)

^ f(Ro) > sup ^ГТ« ^. Ввиду (42) имеем Л(г) > A-i(r), поэтому p(Ro) o^xi<R0p(xi)- + p - — a

Л(г)>-—--(44)

Л(Г) " 4Ц(г) P(r). (44)

Несколько загрубляя оценку Теоремы 1 (см. ее доказательство), можно функцию r(t) выбрать

г

tp(r) f ds

удовлетворяющей неравенству _ > . Тогда оценка (7) примет вид

цМ f2(r) J f(s)

Ro+i

p.(x)u2(t. x)dx ^ C exp

/ r(t) \

d

-"4 W),

V Ro+i /

J p.(x)p2(x)dx. (45)

п

г (*) л_

р1 Р Р /рЯ

-—— ^ -. Пусть для простоты — =-, а < 1 —р,

¡(в ) 1 — р / 1 — р

Ко+1

тогда неравенство для выбора г(1) обретает вид £ > г1 -Р~д, допустим выбор г(1) = 1(1 -Р~^ . В таком случае оценка (45) обретает вид

У /(х)и2(1 ,х)йх ^ С1 ехр С2Ь 1-р-^ J/(х)ф2(х)йх.

Отметим, что в многомерном случае функция f(s) = sp порождает параболоид вращения и все предыдущие выкладки сохраняются с соответствующими изменениями констант.

В случае f(s) = s имеем внутренность угла на плоскости (или конуса в многомерном случае).

r(t)

/dß _ __р т

——— ^ ln г. В качестве примера подберем функции р, ß так, чтобы — = -, q > 0.

f(s) ß ri

Ro+i

Тогда неравенство для выбора r(t) обретает вид t > rq. Выберем r(t) = Теперь оценка (45) примет вид

j»(XyAt ,X)dX exvi-C, Ш) j MSb)*,.

п п

5. Оценка снизу

Напомним неравенство Гарнака, установленное Ю. Мозером в [23] для равномерно параболического уравнения

п

Ut =^2,{(Hj{t ,x)uXi )Xj. (46)

i,j=i

Сформулируем его в удобном для нас виде: для неотрицательного в цилиндре Q = (0, 9С1р2] х В(2р, w) С Мп+1, С\ > 1, решения уравнения (46) справедливо неравенство

maxuir,x) ^ Н minu(T,x),

Q- Q+

где Q- = [р2, 2р2] х В(р, w), Q+ = [8С1р2, 9С1р2] х В(р, w), В(р, w) - шар радиуса р c центром в точке w е Q, а постоянная Н > 1 зависит только от п, С1 и констант параболичности уравнения.

Напомним понятие ^2-веса, введенное Макенхауптом. Это измеримая функция §(x) : Rn ^ R+, удовлетворяющая неравенству

У §(x)dx xj < Со\К\2

к к

для любого куба К С Rn. В работе [24] доказано, что если в Q выполнено равенство р = ß = где § — некоторый ^2-вес, то для любого неотрицательного решения в Q уравнения (1) выполнено неравенство Гарнака. При этом постоянная Н зависит только от Со,С1, п, 7 и 71. Покажем, что можно отказаться от требования р = ß, если ß = § и выполнены неравенства

С-1 < ¡xßw ^С1, x ев (2р, w). (47)

1 ß( x) (w) 1

рМ

После замены т = ——-1 получаем уравнение ß(w)

или при x Е В(2р, w) :

, , , . , . , . ß(x)р(w)

dt у(р^)а(1 ,x)Vu) = ß(x)ut =-—г—u

ß(w)

di v(§(x) a( r,x)Vu) = §(x)uT

ß(x)р(w)

Последнее уравнение в О имеет вид (1) с р = а = $ и а = р(х^а(—1а. Если переменные (т, х) Е О,

р.{х)р(—)

то (1, х) Е О = (0, 9С\р2а(—х В(2р, —). Очевидным образом изменяются О- ^ О- и О+ ^ О+.

р(—)

Для этих новых цилиндров остается справедливым неравенство Гарнака.

Таким образом, если в окрестности каждой точки — Е П выполнено неравенство (47) и функция а(х) в этой окрестности совпадает с некоторым весом $ (зависящим от выбора точки —), то неотрицательное решение уравнения (1) либо всюду положительно в П, либо тождественно равно нулю. Это доказывается стандартной техникой, если радиус окрестности непрерывно зависит от точки. Далее будет рассматриваться положительное решение уравнения (1).

Теорема 3. Пусть в > р/(в),р € (0,1) при в > г0, Qf - область вращения и вес р,(х) совпадает в Орf П |х1 > г0} с некоторым А2 — весом §. Пусть выполнены неравенства

¡(х[)

^ 2,

р(х' )ц(х'')

(48)

/К) ^ ' Мх')р(х") при всех х',х" € Орf таких, что х\, х'[ € ^ — р/(з),8 + р/(в)] и всех в > г0. Тогда для положительного решения уравнения (1) выполнено неравенство

(

шт и(1,х) >и(11, (г0,0)) ехр

х£В(г ',w)

С2

т \

V

( )

/

где В(2г', ш) - некоторый шар, вписанный в Орf П {г0 < х1 < г(Ь)}; > 0 - некоторое фиксированное число, г(Ь),Ь > Ь1, определяется как наименьшее г, удовлетворяющее неравенству

т

> гь(г), ь(г) = ы

4р(г, 0)

[го,г] р,(г, 0)рр(г)'-

-го

а постоянная С2 зависит только от р,С0,С1 п, 7ь

Доказательство. Пусть уо = го иг > го - произвольное число. Строим последовательность касающихся шаров с радиусами гг, г = 1, 2,.. и точками касания Ví = (уг-1 + 2гг, 0), такими, что удвоенный шар В(2гг, 'г), где 'г = (гг, 0), гг = уг-1 + тг, касается множества дОрf изнутри. Отметим, что гг+1 < 3гг, так как в противном случае В(2гг, ) С В(2гг+1, ), то есть шар В(2гг, ) не касается границы Орf.

Обозначим ^г = р,('г), рг = р('г), = г\ —; и+1 = и + (9С1 — 1)—г2.

р1 рг <

Если при некотором г выполнено неравенство Гг ^ Гг+1 8 — гг ^ 2гг+1 ^ р¡(в), поэтому из (48) получаем неравенство

Ц-г+1р-

то при

рг+1

гг+1, имеем

(49)

Если же гг > гг+1, то полагаем § = гг, гг+1 — в < 2гг < р/(8), и из (48) снова получаем (49). Кроме того, при = Хг из (48) вытекают также аналог неравенства (47)

р(х)р,(1^г)

С-1 <

р,(х)р(1иг)

< С1, х € В(2рг^г)

и неравенство

Рассмотрим цилиндры

Ях'1)

/ х)

^ 2, Ух',х" € ^ — 2п,в + 2Гг].

(50)

Яг =

и — ^г2, и + (9С1 — 1) ^ рг рг

х В(2Гг, 'г),

Я- =

tí, tг + г г

2

рг

х В(гг, 'г),

Я

+ =

=

и + (8С1 — 1)^г2, и + (9С1 — 1)^г2

рг

рг

х В (гг, 'г).

Покажем, что если < Т, то Яг С (0, Т] х Орf. Для этого достаточно установить, что > ^г2. Первый шаг индукции выполнен. Далее, ввиду (49),

и+1 = и + (9С1 — 1)^г2г > 9С1 ^г2 > ^^г2+ъ рг рг рг+1

что завершает индукцию.

Пусть к - первый номер, такой что Ук+1 > т или > Т. Тогда по неравенству Гарнака

и(Ъ 1, (уо, 0)) < Ни(г2, ^1) < ... < Нки(ьк+1, vfc).

Отсюда и( 1к+1, vfc) > Н кС$. Оценим сверху число к. Пусть зг - абсцисса одной из точек касания шара В(2гг, —) границы области Пpf. Ясно, что |хг — 811 — 2гг, р/(вг) — 2гг, поэтому, ввиду (50), )/2 < /(вг) при § Е [Уг-1, уг], и п > р /(^)/4. Тогда

к к к У г к = у^ Уг — Уг-1 < Уг — Уг-1 < ^ / < [ 2^

= = 2п < = р/(,вг) < ¿=1] р/(,в) < У р/(э) .

Пусть ^^г2 = тах —г2 > тах —^(р/(г))2. Последнее неравенство следует из (48). рт 3<к р] -1 ге[г0,г] 64С\р(х, 0)

Для номеров г = т + 1,т + 2,... заменим шары В(2п, —г) на шары В(2гт, —т). Цилиндры = т + 1,т + 2,... изменятся соответствующим образом. Поскольку каждый цилиндр увеличивает t г на величину (9 С г — 1) Отг2т, то до значения t может понадобиться не более

N =

рт

рт ^ 2tL(r)/p цилиндров. Таким образом, получаем оценку

(9 С1 - 1)

min u(t, x) > Н -(k+N ~>С3 > exp I - Ii + 2t L(r)/p I lnH ) , (51)

xeB(rm,wm) ^ yj pf(s) J

из которой следует утверждение теоремы.

Применим неравенство (51) к примеру из §4, имеем

L(r) = inf 4~P(Z) = 4р(г) < 16X(r)/p L(r) Д ß(z)pf2(z) ß(r)pf2(r) ^ 16A(r)/P.

Воспользовавшись еще неравенством (43), получим

I ß(x)u2(t,x)dx >жr2m min ¡(x)^ exp I — lnH I ipV\(s)ds ) +8t\(r)

J xeB(rm, vm) \ P2 \.J

П(г) \ Vo /

Теперь выбор г = r(t) как во введении (в предположении непрерывности функции Х(г)) :

r

t\(r) = f \J\(s)ds,

По+1

в определенном смысле, подтверждает точность оценки сверху (7), если множитель перед экспо-нентой в последнем неравенстве не слишком мал.

Автор выражает искреннюю благодарность Ф. Х. Мукминову за обсуждение результатов работы и полезные замечания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гущин А.К. Об оценках решений краевых задач для параболического уравнения второго порядка // Труды матем. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова. Т. 126. 1973. С. 5-45.

2. Гущин А.К. Стабилизация решений второй краевой задачи для параболического уравнения второго порядка // Матем. сб. Т. 101(143). № 4(12). 1976. С. 459-499.

3. Лежнев А.В. О поведении при больших значениях времени неотрицательных решений второй смешанной задачи для параболического уравнения // Матем. сб. Т. 129. № 2. 1986. С. 186200.

4. Ушаков В.И. Стабилизация решений третьей смешанной задачи для параболического уравнения в нецилиндрической области // Матем. сб. Т. 111(153). 1980. № 1. С. 95-115.

5. Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка // Матем. сб. Т. 111(153). № 4. 1980. С. 503-521.

6. Биккулов И.М., Мукминов Ф.Х. О стабилизации нормы решения одной смешанной задачи для параболических уравнений 4-го и 6-го порядков в неограниченной области // Матем. сб. Т. 195. № 3. 2004. С. 115-142.

7. Акулов В.Ф., Шишков А.Е. Об асимптотических свойствах решений смешанных задач для квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях // Матем. сб. Т. 182. № 8. 1991. С. 1200-1210.

8. Гущин А.К. О равномерной стабилизации решений второй смешанной задачи для параболического уравнения // Матем. сб. Т. 119(161). № 4(12). 1982. С. 451-508.

9. Гущин А.К. Некоторые свойства обобщенного решения второй краевой задачи для параболического уравнения // Матем. сб. Т. 97(139). №2(6). 1975. С. 242-261.

10. Денисов В.Н. О стабилизации решения задачи Коши для уравнения теплопроводности //Дифференц. уравнения. Т. 24. 1988. С. 288-299.

11. Жиков В.В. О стабилизации решений параболических уравнений // Матем. сб. Т. 104(146). 1977. С. 597-616.

12. Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Оценки скорости стабилизации при t ^ те решения первой смешанной задачи для квазилинейной системы параболических уравнений второго порядка // Матем. сб. Т. 191. № 2. 2000. С. 91-131.

13. Кожевникова Л.М. О классах единственности решения первой смешанной задачи для квазилинейной параболической системы второго порядка в неограниченной области // Известия РАН. Т. 65. № 3. 2001. С. 51-66.

14. Кожевникова Л.М. Стабилизация решения первой смешанной задачи для эволюционного квазиэллиптического уравнения // Матем. сб. Т. 196. № 7. 2005. С. 67-100.

15. Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для системы уравнений Навье-Стокса: Дис. докт. физ.-матем. наук. М.: МИРАН. 1994. 225 с.

16. Мукминов Ф.Х. Об убывании нормы решения смешанной задачи для параболического уравнения высокого порядка // Дифференц. уравнения. Т. 23. № 10. 1987. С. 1172-1180.

17. Тедеев А.Ф. Стабилизация решений первой смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения высокого порядка // Дифференц. уравения. T. 25. № 3. 1989. С. 491-498.

18. Тедеев А.Ф. Оценки скорости стабилизации при t ^ те решения второй смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. T. 27. № 10. 1991. С. 1795-1806.

19. Ушаков В.И. О поведении решений третьей смешанной задачи для параболических уравнений второго порядка при t ^ те // Дифференц. уравнения. Т. 15. 1979. С. 310-320.

20. Жиков В.В. О весовых соболевских пространствах // Матем. сб. Т. 189(8). 1998. С. 27-58

21. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

22. Крылов Н.В., Сафонов М.В. Некоторое свойство решений параболических уравнений с измеримыми коэффициентами // Изв. АН СССР. Сер. матем. Т. 44. № 1. 1980. С. 161 -175.

23. J.A. Moser Harnack inequality for parabolic differential equations // Comm. Pure Appl. Math. V. 17. № 1. 1964. P. 101-134.

24. F. Chiarenza, R. Serapioni A remark on a Harnack inequality for degenerate parabolic equations // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. № 73. 1985. P. 179-190.

Венера Фидарисовна Вильданова

Башкирский государственный педагогический университет им. М.Акмуллы, ул. Октябрьской революции, 3a 450000, г. Уфа, Россия E-mail: gilvenera@mail.ru