Тэклиндовские классы единственности для уравнения теплопроводности на некомпактных римановых многообразиях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 2 (2015). С. 57-65.

ТЭКЛИНДОВСКИЕ КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА НЕКОМПАКТНЫХ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ

В.Ф. ВИЛЬДАНОВА, Ф.Х. МУКМИНОВ

Аннотация. Выделены классы единственности решения задачи Коши для уравнения теплопроводности на связном некомпактном полном римановом многообразии. Для многообразий с краем предполагается, что решение на крае удовлетворяет условиям Дирихле и Неймана.

Классы единственности определяются неотрицательной функцией, растущей не быстрее функции расстояния от фиксированной точки вдоль геодезических, и аналогичны тэклиндовским классам единственности для уравнения на действительной прямой.

Ключевые слова: классы единственности, уравнение теплопроводности, риманово многообразие.

Mathematics Subject Classification: 35K10, 35K20, 35R01, 58J32

1. Введение

Пусть М — геодезически полное некомпактное связное риманово многообразие размерности п. Пусть Д — оператор Лапласа (или, то же самое, Лапласа - Бельтрами) на М. Как известно, в локальных координатах х\,х2, ...,хп лапласиан Д имеет вид:

Д=тя £ £ (У"" £ )■

где д%3 — контравариантные компоненты метрического тензора (в отличие от ковариант-ных компонент д^), д = \\gij||. Рассмотрим в цилиндрической области Ит = (0,Т) х М уравнение теплопроводности:

щ - Ди = 0. (1)

Работа посвящена доказательству единственности решения задачи Коши и смешанных задач для уравнения (1) в неограниченной области Ит. Основополагающей является работа А.Н. Тихонова [1], в которой не только был указан класс единственности 1и(1,х)1 < В ехр(Ь|ж|2) для уравнения теплопроводности на действительной оси, но и впервые был построен пример неединственности решения задачи Коши. В работе [2] С. Тэклинд уточнил этот результат, показав, что единственность решения задачи Коши имеет место в классе функций 1и(Ь,х)1 < В ехр(|ж|Л,(|ж|)), где к(г) - неубывающая

V.F. VIL'DANOVA, F.KH. MUKMINOV, TACKLIND UNIQUENESS CLASSES ON NONCOMPACT RlEMANNIAN MANIFOLDS.

© ВильдАновА В.Ф., Мукминов Ф.Х., 2014.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант 13-01-00081-a).

Поступила 2014 г.

неотрицательная функция с расходящимся интегралом

те

Г ¿г

+то,

7 к(г) 1

(ниже такие функции к будем называть функциями Тэклинда). При этом для любой

00

функции со сходящимся интегралом / -¡^-т < то был построен пример ненулевого решения

1 1(г)

задачи Коши для одномерного уравнения теплопроводности, удовлетворяющего оценке 1и{Ъ,х)1 < В ехр(|ж|к1(|ж|)) и условию и(0,х) = 0.

Эти результаты обобщались для общего параболического уравнения в Кга в работах [3] - [16] и ряде других. Подробный обзор этих работ имеется, например, в [3]. В работах [4] и [5] отмечено, что в случае смешанных задач адекватной является запись класса единственности в терминах роста интегралов

т

J У и2(1,х)<1х<И < Вехр(гк(г)).

0 {|ж|<г}ПМ

Анизотропные классы единственности рассматривались в работах [6], [7]. В случае первой смешанной задачи были установлены геометрические классы единственности, являющиеся более широкими, чем теклиндовские, если область М С Кга достаточно быстро сужается на бесконечности (см. [3]). Зависимость классов единственности от младших коэффициентов уравнения изучалась в работе [8].

На боковой границе цилиндра Ит заданы краевые условия Дирихле и Неймана:

и(Ь, х)

= 0- —

Гх дИ

Г2 =° (3)

Здесь 7 С дМ - произвольное замкнутое подмножество, Г1 = (0, Т) х 7 и Г2 — дополнение к нему Г2 = Г\Г1. Начальная функция

и(0,х) = ф) е Ь2<1с(М), (4)

предполагается квадратично суммируемой по любому ограниченному подмножеству

д с м.

Пусть а(х),х е М — локально липшицева положительная функция с ограниченными поверхностями уровня, |Уа(ж)| < 1, а(х) ^ то при &в1;(:г, £0) ^ то.

Положим М(г) = [х е М | а(х) < г}, Вт/ = (0,Т) х (М(г)\М(р)), (индекс р = 0 будет опускаться).

Теорема 1. Пусть и(Ь,х) - решение в ИТ задачи (1), (3) с начальным условием

и(0,ж) = 0. (5)

Если существует такая функция Тэклинда к(г), что для всех г > 1

N1 Ът,г ^ ехр(гк(г)), (6)

то и(Ь, х) = 0 в ИТ.

2. Обобщенное решение задачи

е д/

Пусть И1^ = (а, Ь) х М, Ит = . Введем следующие обозначения в локальных картах:

0

п

(й,ь)д = £ 9гзигу3, (V/Г = £ 9гз

дх,•

1,] = 1 ] = 1 'д

Тогда легко видеть, что

<'Л 'гю)в = £ д-'^ = (V/, V/)д.

Меру на римановом многообразии будем обозначать через ¿и.

На множестве функций из из С 1(ИТ), имеющих компактный носитель, определим скалярное произведение

(и,т)но,1 = ! (ит + <'и, Vw)g) ¿исИ.

от

Через С0)(Ит\Г1) обозначим множество функций из С 1(От), равных нулю в окрестности Г1 и имеющих компактный носитель. Пополнение этого линейного пространства относительно введенного скалярного произведения обозначим Н0,1(От; Г1).

Обобщенным решением задачи (1), (3), (4) в Ит будем называть функцию и(Ь, х), такую, что произведение щ Е Й0,1(От; Г1) при любой липшицевой функции г/(х) с ограниченным носителем, и удовлетворяющую интегральному тождеству

J ( — иУ1 + (Vй, 'V'и)д ) = ! (р(х)ь(0,х)йр, (7)

от М

для любой функции ь(Ь,х) Е С1(От\Г^ такой, что ь(Т,х) = 0.

Покажем, что для обобщенного решения задачи (1), (3), (4) применима стандартная техника осреднений Стеклова (см., например, [18], гл. 3, §2)

н

инН,х) = — и(Ь + т,х)йт. к ] о

Отметим сначала ограниченность операторов сдвига Тху^) = + г) и осреднения Стек-лова в пространстве Й0,1(От; Г1) в предположении, что функция продолжена нулем для Ь ^ 0 и Ь > Т — к :

\\TzVW Н01(вт) ^ \М\н0,1 (Dт),

\Ы\н0,1(От) ^ \М\н0,1 (От). (8)

Установим нужное для дальнейшего интегральное соотношение. Заменив в (7) функцию V на ь-н, V Е С1(ИТ\Г1), нетрудно получить тождество

J (ЫгV + <('и)н, Vь)д) = 0, (9)

от

которое будет справедливо также и для функций у(Ь,х) Е V, где V состоит из элементов пространства Й0,1(От; Г1), равных нулю при Ь > Т — 5, 5 > 0, и имеющих ограниченный носитель. В частности, если г/(х) - липшицева функция с ограниченным носителем, то, подставляя V = г/(х)иН, где (ин)т- продолженная нулем при Ь > т функция ин, получим

"1 21

Обоснуем возможность предельного перехода в равенстве (10) при к ^ 0 к соотношению

^Ю2+ Он, '(щ1)) д

АидЬ = 0. (10)

у (и2(т,х) — ф2(х))г1& + 2j <'и, '(щ))д= 0. (11)

М

Ограниченность носителя функции г/ при таком предельном переходе позволяет считать, что функция щ является элементом пространства Н°'1(ПТ; Г1). Покажем, например, что

у ((Фи)и, Ф(уи))д(иМ ^ J (Фи, Фу)д(и<И при к ^ 0 и V Е V. С этой целью рассмотрим выражение

'12)

(Фи, Ф(УН)-Н - фУН)д(У(й

Ьт 0

и

(пкич Ф(Ун(г + г) - М*))(г)д(и(И

Ьт -и

С

/(х [ [ (х

— ((Фи, Ф(унц + г) - УиШ) д^сИ С — \\щ||Н0,1 \\ТХУН - УН\\Н0,1 = I,

-и от -и

где липшицева функция г/ с ограниченным носителем равна 1 в окрестности носителя функции V. Выберем произвольное £ > 0. Для функции у Е С^И^—), пользуясь равностепенной непрерывностью семейства функций у и и ФУи, выбором достаточно малого к, при | г1 С к добиваемся оценки

\\ТхУи - Уи\\н0,1(от) С £, (13)

которая влечет неравенство I С Се. Благодаря ограниченности операторов сдвига и осреднения Стеклова последняя оценка остается в силе и для функций у(Ь,х) Е V. Совершенно аналогично устанавливается малость величины

(Фи, Фу и - Фу)д(и(и

Ьт

С Се

при достаточно малых к.

Таким образом, предельный переход (12) обоснован. В частности, полагая в 12 Vи = гч(х)ии^,х), получаем, что

J ((Фи)и, Ф(щти))д(иа ^ у (Фи, Ф(щт))д(и(г, к ^ 0.

'14)

Пользуясь (14), осуществляем предельный переход от (10) к (11). Конечно, при этом используется принадлежность и^,х)г](х) Е С([0, Т]; Ь2(М)), которая устанавливается из (9) как обычно (см., например, [18] лемма 4.1, глава 3, §4).

3. Доказательство теоремы 1

Мы будем следовать технике работы [5]. Теорема будет выведена из следующего утверждения.

Предложение 1. Пусть р(х) = 0, х Е М(К), и и(Ь,х) - решение задачи (1), (3), (4). Тогда для всех Ь > 0, г Е (0, К] справедливо неравенство

Н'г(и) С ехр (1 - 2«1 Г\К - г)2) тах НТ'К(и)

т е[о,4]

где

к1 = 1/(16е2).

Н'г(и)= у и2(г,х)(и,

М (г)

0

0

Доказательство. Пусть г < К, £(т, г, р) - непрерывная неотрицательная функция, равная единице при т ^ г — р и нулю при т > г. В оставшемся интервале она удовлетворяет условию ^ = — 1/р. Подставим в тождество (9) 'ц(х) = £2(а(х),г, р). Тогда из (11), в силу условия г/= 0, для любого г > р > 0 нетрудно получить неравенства

М ДТ

Преобразуя последнее при е = 1/2, будем иметь

J £2и2(Т,х)(1и^ 4 У и21У^2(1р(И.

М дт

Используя вид функции £, нетрудно получить неравенство

У и2(1 ,х)(р ^ У и2(и<И.

М(г-р) 0 М(г)\М(г-р)

Запишем последнее, используя функцию Н

4

Н'г-р(и) ^ — у Нт'г(и)с(т. (16)

0

Отметим, что выбирая е = 1/4, можно получить также неравенство

1 С ,„ ,о , , _ 8

у и2(г,х)(и + - у \Чи12(у(И ^ —j у и2(исИ. (17)

М(г-р) ВТ'г-р 0 М(г)\М(г-р)

Неравенство (16) будем применять индуктивно для последовательности = К — кр,

г = 0,1,2,...к, где р = (К — г)/к. Число к выберем ниже. Учитывая, что

Нг'г (и) ^ А = тах Нт'я(и), будем иметь те[о, ь]

4 А

Н'г 1 (и) = Н'г0-р(и) < 4А.

2

Далее, индукцией по к, установим неравенство

А4к1к

Н"к(и)« Тчт (18)

Пользуясь неравенством Стирлинга, из (18) нетрудно получить

ллккхк 2.

Н^ (и) ^ А— ^ Ае-к 1п ^. (19)

л/2т1 к р2кк к

Число к будем выбирать так, чтобы 4е21 ^ р2к ^ 8е2Ь. Тогда из (19) следует, что Н'Тк (и) ^ Ае-к. Далее, (К — г)2 = р2к2 ^ 8е21 к. В качестве к выбираем наименьшее натуральное число, удовлетворяющее этому неравенству. Тогда к > ^^ , р2к2 > 8е2Ь( к — 1), и р2к > 4е2Ь при к > 2. Таким образом, неравенство (15) установлено для к > 2. При к = 1 оно тривиально.

□

Следствие. Пусть и(Ь,х) — обобщенное решение задачи (1), (3), (4) в , Т С 1. Тогда для всех Ь Е (0,Т], г Е [0, Д), справедливо неравенство

Н'г (и) С 12 ехр (-2«1 Г1 (Д - г)2) т(и) + иМ\М К). (20)

Доказательство. Пусть ,х) — решение задачи (1), (3), (4) с начальной функцией ^(х)хм(Е) Е Ь2(М), где Хм(К) — характеристическая функция множества М(Д). Для ( , х) из (11) при = 1 нетрудно установить неравенство

\\Ч / Ф^С М1 М(Я). (21)

0 М

Отсюда следует, что

и .„I,

1м (К)

> maxHrR(v), te (0,Т]. (22)

те[о, t]

Функция w(t,х) = u(t,х) — v(t,х) удовлетворяет условию предложения 1, следовательно, для t e (0,Т], re [0, R) имеем

Hf'r (u) ^ 2H'r (w) + 2H'r (v) ^

^ 4exp (1 — 2кгt-1 ( R — r)2U max HT'R(u) + max HT'R(v)\ + 2HtR(v). v ' [ге[о,i] ге[о,t] J

Используя (22), из последнего соотношения выводим неравенство (20). □

Доказательство теоремы 1. Зафиксируем произвольное t e (0,Т]. Возьмем произвольное R0 > 1 и оценим ||u(i)||^r) следующим образом. Рассмотрим последовательность Rk = 2kR0. Положим

Ak = к1 Ш' k = h2. .. (23)

В силу монотонности функции h(r), имеем

р rp+I

Kisr^ Rk+1 — Rk . Ki f dr

V^ Ai K1 V^ Rk+1 — Rk ^ K1 I d

£Atk = т^-h!—Г > T J hoo ^ при p^

Следовательно, при любом выборе числа К0 найдется такой номер , что

р+1

^ ^к > I. (24)

к=1

Пусть р = р(До) — наименьший из номеров р, удовлетворяющих неравенству (24), так что р

Дtк < ¿. Переопределим ДЬр+1 равенством

к=1

р Д

Мр+1 = <- £ Дк С |кД^. <25)

k=1

Определим убывающую последовательность времен ¿о = ^, ¿1 = ¿о - Д~к1, Ь2 = - ДЬ2,... , Ьр+1 = Ьр - ДЬр+1 = 0. Очевидно, ввиду (23), (25), справедливы неравенства

«1 Д2 2 Дк

At k

> 2Rkh(Rk), k = 1,p +1. (26)

Из (16) и (6) при к > 1 выводим соотношения

т

\\и(1)\\М (кк-1) ^Як! \\иШМ{кк( ^ вк ехр(Ккк(Кк)), I Е (0,Т], (27)

где

вк = 4^Кк — Кк-1)-2 = 16(Кк)-2 < ЩКг)-2 = в/12.

Рассматривая функцию и(1 ,х) как решение задачи для уравнения (1) с начальными данными при Ь = ¿1, с помощью неравенства (20) и определения последовательности Кк, выводим соотношение

(Я) △

Воспользуемся неравенствами (27), (26):

\\и(и)\\МШ < 12ехр(^—2тах] \\и(г)\\Мт + 14\\и& 1 )\\Мт.

^ вехр^кЮ) — К1 ^) + 14\\и(11)\\М(Н1) ^ (28)

ехр(—К111(К1)) + 14\\и(11 )\\М т.

Совершенно аналогично выводятся неравенства при к = 2, р

К2

\\и(11)\\Мш < вехр^кШ) — К1 ^^ + 14\\и&)\\МШ

вхр( — К2к(К2)) + 14\\и(12)\\М ш,

\ \ и(1к-1) \ \ М ^ ^ я ехр(—Кк П(Кк)) + 14\\и(1к )\\М (Як). (29)

Поскольку Ьр+1 = 0, то, применяя (27), (26), находим, что

\ \ и(*Р) \\М(Яр) < 5 ехр(—ВР+1к(ВР+1))).

Помножив (29), к = 1,р + 1, на 14к-1 и складывая, получим при К0 > 1

\ \ и(1) \ \ М (Я0) < в [ехр(—К1к(К1)) + ... + 14 ехР(—Кр+1к(Кр+1))} ^

^ Я [ехр(—К1к(К1))... + 14р ехр(—2рК1к(К1))} < С1К)-2.

Итак, установлено, что монотонно неубывающая неотрицательная функция \\и(Ь) \\М( д0) от аргумента К0, стремится к нулю при К0 ^ то. Следовательно, \\и(£)\\2М(Ко) = 0 при любом К0 > 0. Ввиду произвольности Ь Е (0,Т], решение и(Ь,х) = 0 в Ит.

4. КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ И ПРИМЕРЫ

В качестве простейшего примера рассмотрим многообразие М = Мп с метрикой 9гз = (р(|х|)) 1 где - символ Кронекера, р - положительная непрерывная функция. Уравнение теплопроводности (1) принимает вид

п

и = (1х1)^2(р-1 (1х1)и)х>.

г=1

Пусть а = а(|х|). Выберем функцию а так, чтобы |Уа|2 = 1,

п

^а|2 = £ ^аХгаХ] 'Р*Ъ = Р(а')2 = 1.

' =1 =1

S

Тогда a(s) = f f—. Поскольку a(|x|) < г ^ Ы < a-1(r) = s, то о УР(г)

DT'r = {(t,x) Е DT I |x| < s} = DT(s). Следовательно, условие (6) записывается в виде

У u2(t,х)р~ 2 (Ixl)dxdt ^ exp(2a(s)h(a(s))).

DT (s)

Пусть теперь М = R2 c метрикой g^ = (pi(xi))-1 ö^. Выберем функцию

/ г \ 2 /г \ 2

а{х) = V/(xi) + v(x2), где /(r) = (j и vir) = (j -Д-jj . Тогда

2

|Va|2 = Piaxi = 1. Уравнение теплопроводности (1) принимает вид

i=1 '

_ 2 I

u =\/ Pl(xl) P2(x2)V(^= UXi )Xi,

i=1 VPl(xi)p2 (x2)

а условие (6) записывается в виде

f u2{t ,x)

J y/pl{xl)p2 {x2)

DT,r

dxdt ^ exp{2{rh{r)).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тихонов А.Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности // Матем. сб. Т. 42(84), №2. 1935. С. 199-216.

2. S. Tacklind Sur les class quasianalytiques des solutions des equations aux derivees partielles du type parabolique // Nova Acta Reg. Soc. Schi. Uppsal. Ser. V 10, №3. 1936. P. 3-55.

3. Кожевникова Л.М. Классы единственности решений первой смешанной задачи для уравнения щ = Au с квазиэллиптическим оператором А в неограниченных областях // Матем. сб. Т. 198, №7. 2007. С. 59-102.

4. Олейник O.A., Радкевич Е.В. Метод введения параметра для исследования эволюционных уравнений // УМН Т. 33, №5. 1978. С. 7-76.

5. Гущин A.K. О равномерной стабилизации решений второй смешанной задачи для параболического уравнения // Матем. сб. Т. 119(161), №4. 1982. С. 451-508.

6. Сонин И.М. О классах единственности для вырождающихся параболических уравнений // Матем. сб. Т. 85(127), №4(8). 1971. С. 459-473.

7. Камынин Л.И. О единственности решения первой краевой задачи в неограниченной области для параболического уравнения второго порядка // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 24(9). 1984. С. 1331-1345.

8. Житомирский Я.И. Классы единственности решения задачи Коши для линейных уравнений с быстро растущими коэффициентами // Изв. AH СССР. Сер. матем. Т. 31, №5. 1967. С. 11591178.

9. Ладыженская O.A. О единственности решения задачи Коши для линейного параболического уравнения // Матем. сб. Т. 127(69), №2. 1950. С. 175-184.

10. Гилимшина В.Ф., Мукминов Ф.Х. Об убывании решения вырождающегося линейного параболического уравнения // Уфимск. матем. журн. Т. 3, №4. 2011. С. 43-56.

11. Oлейник O.A., Радкевич Е.В. Аналитичность и теоремы типа Лиувилля и Фрагме-на-Линделёфа для общих параболических систем дифференциальных уравнений // Функц. анализ и его прил. Т. 8, №4. 1974. С. 59-70.

12. Oлейник O.A. О единственности решения задачи Коши для общих параболических систем в классах быстрорастущих функций // УМН. Т. 29, №5. 1974. С. 229-230.

13. Олейник О.А., Иосифьян Г.А. Аналог принципа Сен-Венана и единственность решений краевых задач в неограниченных областях для параболических уравнений // УМН. Т. 31, №6. 1976. С. 142-166.

14. Камынин Л.И., Химченко Б.И. О проблеме Тихонова-Петровского для параболических уравнений второго порядка // Сиб. матем. журн. Т. 22, №5. 1981. С. 78-115.

15. Мукминов Ф.Х. О равномерной стабилизации решений первой смешанной задачи для параболического уравнения // Матем. сб. Т. 181, №11. 1990. С. 1486-1509.

16. Кожевникова Л.М. О классах единственности решения первой смешанной задачи для квазилинейной параболической системы второго порядка в неограниченной области // Известия РАН Т. 65, №3. 2001. С. 51-66.

17. Жиков В.В. О весовых соболевских пространствах // Матем. сб. Т. 189, №8. 1998. С. 27-58.

18. Ладыженская О.А.,Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука 1967. 736 с.

Венера Фидарисовна Вильданова,

Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы, ул. Октябрьской революции, 3a 450000, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Фарит Хамзаевич Мукминов, Институт математики c ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]