Широкий класс единственности решения для неравномерно эллиптического уравнения в неограниченной области Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 1. № 3 (2009). С. 11-27.

УДК 517.9

ШИРОКИЙ КЛАСС ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ДЛЯ НЕРАВНОМЕРНО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ

А.Р. ГЕРФАНОВ, Ф.Х. МУКМИНОВ

Аннотация. Для неравномерно эллиптического уравнения второго порядка в неограниченной области установлен широкий класс единственности решения задачи с чередованием первого и третьего типа краевого условия. Построен также пример решения эллиптического уравнения, показывающий, что найденный класс единственности не может быть существенно расширен.

Ключевые слова: эллиптическое уравнение, класс единственности, неограниченная область.

1. Введение

Пусть П — неограниченная область пространства R, п > 2, х = (х1,х2, ...,хп) £ R. Рассматривается линейное эллиптическое уравнение второго порядка:

П П

Lu =^2 (aij(х)их.)х. + ^2 [bi(x)uXi + (ъ(х)и)х.] - d(x)u = f (x). (1)

i,j=1 i= 1

Все коэффициенты уравнения измеримы и ограничены в П, d > 0. Матрица {а^(ж)} удовлетворяет условию эллиптичности: существуют положительные постоянная Г и функция s(x) такие, что для любого вектора у £ R и почти всех х £ П справедливы неравенства:

П

Ф)М2« £ аар(х)уаур ^ з(ж)Г|у|2. (2)

а,^=1

Непрерывная в П функция s(x) может обращаться в ноль на границе области.

Рассмотрим краевую задачу для уравнения (1) c сочетающимися краевыми условиями первого и третьего типа

и\хеГ1 = 0, I — + > °iniu

= 0. (3)

хеГ2

Здесь Г1 С дП — произвольное непустое замкнутое множество и Г2 = 5П\Г1;

ди п

n(n1, п2,... , пп) — внешняя нормаль к дП; uXinj.

i,j=1

В том случае, когда коэффициенты уравнения (1) — гладкие функции и дП класса С1, граничное условие на Г2 выполняется в обычном смысле поточечно, а на Г1 в смысле следа, то есть почти всюду.

A.R. Gerfanov, F.H. Mukminov, A WIDE class of uniqueness of the SOLUTION FOR NON-UNIFORMLY ELLIPTIC EQUATION IN unbounded Domain.

© Герфанов А.Р., Мукминов Ф.Х. 2009.

Работа поддержана РФФИ (грант 07-01-00037-а).

Поступила 27 мая 2009 г.

11

12

А.Р. ГЕРФАНОВ, Ф.Х. МУКМИНОВ

Работа посвящена доказательству единственности решения задачи (1), (3) в неограниченной области П.

Список работ и результатов, посвященных изучению поведения решений эллиптических уравнений и систем, огромен. Сюда относятся классическая теорема Лиувилля и её многочисленные обобщения, теоремы типа Фрагмена-Линделефа, а также обширный перечень результатов, полученных на основе сен-венановских оценок. Подробный, но всё же неполный обзор работ этого направления содержится в [3]. Не упомянута, например, работа Е.М. Ландиса [9], в которой на базе понятия емкости множества, введенного В.А. Кондратьевым в [10], доказаны обобщения теоремы Фрагмена-Линделефа. Отметим еще интересную работу В.А. Кондратьева и С.Д. Эйдельмана [11], в которой доказано L\-неравенство Гарнака для эллиптических систем уравнений и в качестве приложения получено обобщение теоремы Лиувилля и установлено экспоненциальное убывание (рост) положительного решения в неограниченном цилиндре. В работе О.А. Олейник и Е.В. Радкевича [19] для равномерно эллиптических систем доказаны обобщения теоремы Лиувилля и теоремы Фрагмена-Линделефа. В работе О.А. Олейник, Г.А. Иосифьяна [18] изучался вопрос о поведении на бесконечности решений эллиптических уравнений второго порядка, удовлетворяющих на той части границы области, которая принадлежит некоторой окрестности бесконечности, однородным условиям Дирихле, либо условиям Неймана, либо условиям периодичности. Получены априорные оценки, характеризующие поведение таких решений в областях с некомпактной границей при х ^ в зависимости от геометрических свойств области и поведения функции /, стоящей в правой части уравнения, при х ^ +то. В более поздних работах А.Ф. Тедеева, А.Е. Шишкова [20] и А.Е. Шишкова [21] установлены сен-венановские оценки для квазилинейных эллиптических уравнений второго и высокого порядков соответственно.

Отметим, что ранее вопрос о точности оценок сен-венановского типа практически не рассматривался. Исключение составляют работа [12], в которой точность утверждается для бигармонического уравнения в угле на плоскости, и работа [3], в которой доказана точность выделенных классов единственности решение задачи Дирихле для равномерно эллиптического уравнения второго порядка (точность в том смысле, что эти классы близки к максимально широким). В большинстве работ, посвященных установлению сен-венановских оценок для эллиптического уравнения, используется понятие емкости замкнутого множества Е С R из работы [10] и его обобщения:

X(Q,E) = if I \Vg\2dx g e C0°(Rn\E), J g2 dx = 1

Q

Легко видеть, что число \(Q,E) является первым собственным значением оператора -Д в области Q\E с граничным условием Дирихле на Е и условием Неймана на оставшейся части границы. В работе В.М. Миклюкова [17] число A(Q, dQ) названо основной частотой множества Q и получены некоторые оценки снизу для этого числа.

Обычно при доказательстве сен-венановских оценок для эллиптического уравнения в области П используется емкость для пары Q = S(t), Е = дП, где S(t) = [х e П \ Х\ = t} — какое-то сечение области П (не обязательно плоское.) В работе [3] показано, что в случае области с нерегулярным поведением границы оценки, базирующиеся на характеристике \(S(t),dQ), становятся заведомо неточными. Поэтому в работах [2], [3] предложена иная характеристика неограниченной области — A-последовательность. В настоящей работе это понятие адаптируется на случай неравномерно эллиптического уравнения в неограниченной области, имеющей несколько ветвей.

ШИРОКИЙ КЛАСС ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ДЛЯ

13

Будем предполагать, что неограниченная область П имеет р ветвей, уходящих на беско-

ОО

нечность, и представлена в виде объединения П = У Пм последовательности вложенных

N=0

nN с nN+1 ограниченных областей, удовлетворяющих следующим требованиям. Дополнения П^+1 = Пм+1 \ Пм распадаются на конечное число подобластей , i = 1 ,...,р :

v

П^+1 = У uf. Пересечение (дПи) Р| П распадается на конечное число гиперповерхностей S?, г = 1 ,...,р.

Определим и Af = A(wf), где

Определим векторы tN = (t± , ...,t£ ) и \N = (\± ,...,А^) формулами tf = dist(5'/v, S1^+1)

A(Q) = inf ^ J (s(x)\Vg\2 + dg2) dx g G C0°(Rn\T1), J s(x)g2 dx = 1f (4)

,Q Q

Будем предполагать, что существует число в > 0 такое, что при всех N > 0 выполняются неравенства

1 ^ в\Г(t*)2, г =1,...,р. (5)

Отметим, что в случае, когда функция d оценивается снизу функцией s, т.е. d > 8s, 6 > 0, х G П, условие (5) легко удовлетворить. В самом деле, поскольку X(Q) > 8, то достаточным для (5) является неравенство 1 ^ dS(t!^)2, i = 1,...,р, то есть сечения следует выбирать ’’достаточно удаленными” друг от друга.

СО

Описанное выше представление П = У Пм при выполнении неравенств (5) бу-

N=0

дем называть А-разбиением области, соответствующим задаче (1), (3) (в дальнейшем просто А-разбиением). Понятие А-разбиения можно считать обобщением понятия А-последовательности, введенного Л.М. Кожевниковой в [2] в случае Г2 = 0 и s = 1 для области, имеющей одну ветвь, уходящую на бесконечность "вдоль оси Ох1 на случай многих ветвей, достаточно произвольным образом уходящих на бесконечность. В работе [2] области

Пм = {х G П \ х1 < zn}, N = 0, то (6)

определяются последовательностью чисел {z^}О=0. Приведено простое условие, необходимое и достаточное для существования последовательности чисел такой, что для разбиения

СО

П = У Пм выполнено требование (5) ( в случае равномерно эллиптического уравнения

N=0

без младших членов, т.е. s = 1): для любого г1 > 0 найдется г2 > г1 такое, что

А(П(г2)\П(п)) > 0, (7)

где П(г) = {х G П \ х1 < г}. В §3 построены разбиения для вырождающегося уравнения.

Очевидно, что в рассматриваемых в работе вопросах единственности решения функцию f (х) можно считать нулём.

Будем предполагать, что коэффициенты оператора L удовлетворяют неравенствам

\b — c\2 < sd/2, \bi\ ^ AVsd, \ci\ ^ AVsd, x G П (8)

где b = (b1,b2,... , bn); c = (c1,c2,... , cn), A - постоянная. Потребуем, чтобы для вектора с = {сг} при всех N = 0,1,... и к таком, что 12Г2к29е2к = 1, были выполнены соотношения

дdist(x, Sf) ^ kr2s ^ ^ л . = — (9)

д с

< ,N ’ G г

14

А.Р. ГЕРФАНОВ, Ф.Х. МУКМИНОВ

Это нужно, чтобы младшие члены уравнения (1) не сильно влияли на класс единственности решения задачи, определяемый старшими производными. В следующей теореме рассматривается обобщенное решение задачи (1), (3), определенное в § 1.

ОО

)N

Теорема 1. Пусть Q = (J QN — некоторое Х-разбиение области Q. Пусть коэффи-

N=0

циенты уравнения (1) удовлетворяют соотношениям (8), (9). Если решение и(х) задачи (1), (3) удовлетворяет условию

lim exp(-2kN) / (s|Vw|2 + du2)dx = 0, (10)

N J

nN

то u(x) равно нулю тождественно.

Рассмотрим область вращения

Qf = {х е Rn, х = (х\,х')\ Ix'l < f (х\), х1 > 0} (11)

с положительной функцией f (xi). Следуя [2], определим П-последовательность {zn} индуктивным равенством, начиная с произвольного z0 > 0 :

zn = sup{t| inf f > t — zn-1}, N = 1, ж. (12)

[zN-i,t)

Ниже приводятся условия, при которых П-последовательность определяет А-разбиение. Будем предполагать существование постоянной w такой, что

sup{/(z)|z G [t — f (t),t + f (i)]} < wf (t), t > Zo. (13)

Тогда (см. § 3) при некотором с > 1 справедливы оценки

ZN ZN

f dt ЛТ [ dt

Irn <N < cJwyn> 0 (14)

^0 ^0

Пусть множество Г1 распределено достаточно регулярно. А именно, предполагается существование положительных чисел D,8 и ^1 таких, что при всех b > а > D, b — а > min{/(a), f (b)}/2 выполнены неравенства

mes РгГ1 П [а,Ь] > 8(Ъ — а), (15)

где "существенная" проекция РгГ1 определяется равенством

РгГ1 = {i|mes и-2Г1 П {Х1 = t} > 61fn-2(t)}. (16)

Тогда при з(ж) = 1 формула (6) определяет А-разбиение области Q (см. §3). Та же П-последовательность определяет А-разбиение и в случае неравномерно эллиптического уравнения, если при некотором С > 0 выполнено условие локальной равномерности

s(x) ^ Cs(y), х,у е Q},r, г > z0, (17)

где

Q/,r = {(х1,х')| max(z0,r — f(г)) < х1 < г + f (г), |ж;| < f(х1)/а}.

Если же уравнение является вырождающимся, т.е. условие (17) не выполнено, мы требуем, чтобы всюду было граничное условие Дирихле, т.е. Г1 = дQ и для простоты, ограничимся случаем п = 2. Функция з(ж) предполагается непрерывной в Q, а по переменной х2 — четной, непрерывно дифференцируемой и невозрастающей в интервалах (0, f (^)). Кроме того, предполагается существование числа и е (1, 2) такого, что

д

дх2

((/(ж0 — x2)v «(^1,^2)) > 0, х е Q00, х2 > 0. (18

ШИРОКИЙ КЛАСС ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ДЛЯ

15

Если f — непрерывная функция, то условию (18) удовлетворяет, например, функция вида S(X1,X2) = ft(xi)(f (Xi) + e(xi) — \Х2\)^, ^ е (0,1),

с непрерывными функциями ft(^i) > 0, е(х1) > 0 и таким v е (1, 2), что v + ^ < 2. В частности, при е(х1) = 0 получаем вырождающееся на границе области уравнение.

Отметим, что, с нашей точки зрения, значение показателя вырождения уравнения ^ > 1 на границе области не допустимо. В самом деле, в работе В.П. Михайлова [14], (см. также [15], [16] ) доказано, что необходимым и достаточным условием существования Ь2-предела на границе решения и(х) эллиптического уравнения является условие

/|v„(*)iM*)&<(19)

Q

где г(х) — расстояние от точки х до границы dQ. В том случае, когда и(х) является решением вырождающегося на границе области Q эллиптического уравнения с показателем вырождения ^ > 1, условие (19) может не выполняться. Это означает, что краевое условие Дирихле как бы теряется. В таком случае постановка краевой задачи (1), (3) теряет смысл. Более полно вопрос о принятии решением эллиптического уравнения краевого условия Дирихле был изучен в работах А.К. Гущина [5], [7], [8] на основе установленного свойства Cn-1(Q) непрерывности (и других, более глубоких свойств) решения эллиптического уравнения. Но и при этих более общих подходах к определению решения задачи Дирихле условие (19) остается необходимым.

В § 3 доказано, что при выполнении условий (13), (18) П-последовательность определяет А-разбиение.

Оценки (14) позволяют получить такое следствие из теоремы 1. Если решение исходной задачи (1) , (3) удовлетворяет условию

Г

lim exp(—2k /" ) [ s|Vw|2dx = 0,

J J (t) J

zo n(r)

то u(x) равно нулю тождественно.

В последнюю формулу зависимость от выбора А-разбиения области входит только через постоянную к, которая определяется параметром в. Легко видеть, что при больших в постоянная к ведет себя как С/л[в.

В области вращения Q для задачи Дирихле

div (s^)Vu) = 0 (1*)

и

an f

0 (3*)

построен следующий пример неединственности решения.

Теорема 2. Пусть существует возрастающая последовательность положительных чисел [znIaLo, удовлетворяющая условиям

1 ^ ZN+2 - ZN+1 ^ _ _ > 1, N = 0~^. (20)

& Zn+1—ZN

— (zn+1 — ZN) ^ inf[f (x)\x е [zN,zN+1]} ^ ^1(zN+1 — zN), U1 > 1, N = 0, to. (21) ^1

Пусть функция ) удовлетворяет условию

s(^1) ^ Cs(y1), X1,y1 е [г — f(r),r + f(r)],r>zo. (22)

16

А.Р. ГЕРФАНОВ, Ф.Х. МУКМИНОВ

Тогда в области вращения Q/ существует неотрицательное ненулевое решение задачи (1*), (3*), подчиняющееся оценке

и(х) ^ exp (к*N), х Е QZfN, N > 1, (23)

c положительной постоянной к*, зависящей только от п.

Таким образом, для неравномерно эллиптического уравнения второго порядка в дивергентной форме, в неограниченной области доказана точность класса единственности (10) в том смысле, что постоянная к в показателе экспоненты не может быть заменена на последовательность кn , возрастающую к бесконечности.

2. Доказательство теоремы 1 На множестве функций C0°(Rra) определим билинейную форму

/П

(duv + s ^2 u*iv^i)dx-Q i^=1

Через ||^|i,q будем обозначать полунорму, порождаемую этой билинейной формой. В слу-

О

чае, когда Q = Q, индекс Q опускаем. Пространство Н(Q; Гi) определим как пополнение

О

пространства C^(Rra \ Г1) по норме ||^|1. Пространство Hic (П;Г1) составим из функций

О

и таких, что при каждом N найдется функция v(x) Е Н(П;Г1) такая, что и = v почти всюду в QN.

Отметим, что из определения чисел Af следуют неравенства

A? J s(x)g2dx (s(^)|V£|2 + dg2)dx = , g E С^(Шп\Г1). (24)

Обобщенным решением задачи (1), (3) при f = 0 будем называть функцию

О

и(х) Е Н1с (П;Г1), удовлетворяющую интегральному тождеству:

/П П

[У1 aij(x)uXivx. + ^2 (ciuvXi — biUXiv) + duv]dx = 0 (25)

n ^=i 1=1

для любой функции v(x) E С^(МП\Г1).

Доказательство теоремы 1. Построим определенную в Q липшицеву функцию £(х), удовлетворяющую условиям £(х) = 1 при х Е Qv, £(х) = 0 при

х Е '1, ^(х) = exp(-K(i\ — v)) (1 — min(l, aist(^w,x)/tf)) при х Е ,

£(х) = exp (—k(q — v + min(1, aist(S^,x)/t\))) при x Е ,q = и, N — 1, i = 1,p. Нетрудно установить следующие соотношения

|V5K exp(—— *», * Е ,i = 1-p; (26)

kC tl

IVI ^ 4, X Еи«, q = u,N — 1,г = 1,p; (27)

max £(x) = e mln £(x), q = u,N — 1; max £(x) = exp(—k(N — u)). (28)

n^+! n^+ nN+1

nq nq nN

Подставим в (25) пробную функцию v = и^2. Законность такой подстановки нетрудно обосновать, приближая функцию v последовательностью функций vm Е С^(R™ \ Г1) и переходя к пределу при т ^ <х>.

ШИРОКИЙ КЛАСС ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ДЛЯ

17

Поскольку £ = 0 в Q\QN+1, имеем

п^+1

^ ^ С ®ij 'M'Xi UXj + d £ и

i,j=1

dx =

п«+1

—2iuaijuXi£Xj +Y {bi2uuXi — Ciu(i2uxi + 2u^Xi))

i,j=1

i=1

dx.

Заметив, что

N n

^ (b£2uuXi — Ciu(£2uXi + 2u^Xi)) = ^ (£2uuXi (bi — Ci) — 2u2€£x.сг) <

i,3=1

i,3=1

< С2 |m| |b — c| |Vm| — 2u2C^г,

нетрудно получить неравенство

’ dc

[£2s|Vw|2 + d £2w2] dx ^

nN+1

п«+1

(

s|Vw|2 |b — c|V

4

+

)

— 2И*Д

i9c

dx

Условия (8) позволяют записать неравенство

£2|b — c|2w2 ^2sdu2 d^2u2

2s

с помощью которого устанавливаем, что 1

2

[s£2|Vw|2 + d £2u2] dx ^

п^+1

При x G ul, q = u,N — 1 имеем:

nN+1

; tddist(x,Sl)/tl

dc

4r2sw2|V£|2 — 2m2

d c

dx.

dc * \t

Теперь воспользуемся соотношениями (9), (26), (27), j = 0, v — 1 V£ = 0:

( 2|Vm|2 + d £2u2] dx ^ I exp(—2k(N — v)) r2sw2

учитывая то, что при 8 + 4fc

(^ )2

п«+1

i=1

-dx+

N -1 p

+ £ £/

j=v i=1 .

2^V

12k2 WT2'

dx.

(29)

Из неравенства (24) и условия (5) следует оценка ' и2 г ?

s ——2 < J su2dx < в J (s |Vw| + du2^jdx. fa)

Применяя (28), заключаем, что

s

2

2

18

А.Р. ГЕРФАНОВ, Ф.Х. МУКМИНОВ

р г 2 N-1 р г 2 (8 + 4 k)exp(—2 к(N — ь/))Г2 N 2dx + 12к2Г2 £2 ——dx <

,•_1 J \Ь А ) „•_,•_1 J

< (8 + 4 k)exp(—2 к(N — и))Г2в J (s \ Vw|2 + du2) dx+

nN+1

nN

+ 12к2Г29 ехр(2к) f £2 (s \ Vw|2 + du2) dx.

Поскольку £ =1 в Qv, благодаря выбору к, из (29) устанавливаем соотношение

f(s|Vu|2 + du2)dx < Coe-2k(N-v) j (s|Vu|2 + du2)dx.

n nN+i

nN

Перейдем к пределу в правой части при N ^ то. Учитывая (10), получим:

/w V“'2 + d^)dx = 0 для любого v. Из этого следует, что и = 0 в Q. Теорема доказана.

3. Существование Л-разбиения

Пусть Qf — область вращения и [z^} — П-последовательность. Мы покажем, что формула (6) определяет разбиение области сначала для равномерно эллиптического уравнения с краевыми условиями разных типов, а затем для уравнения, вырождающегося на границе области, в случае краевого условия Дирихле.

Оценим колебание функции f на отрезке [zn , Zn+1]. Пусть tn — точка минимума функции f (t) на отрезке [zn ,zn+1]. Существование точки минимума следует из замкнутости надграфика функции f. Очевидно из определения (12) последовательности [zn}, что

f (tN) < zN+1 — zN, (30)

при этом неравенство возможно лишь при tn = zn+1. Покажем, что

zn+1 — zN < f (t) < w2f (tN), t е [zN,zN+1). (31)

Левое неравенство сразу следует из (12). Пусть t* е (zn,Zn+1) — точка из малой окрестности точки tn . Из (13) легко следует существование такого еn > 0, что выполнено неравенство

f (t) < wf (t*), t е [zN — eN, zN+1 + eN]. (32)

Очевидно также, что f(t*) < wf(tn). Неравенства (14) при с = ш2 являются простым следствием (30),(31).

Покажем еще, что для П-последовательности выполнено условие (20) с и = ш2. При помощи (30),(31),(32) установим неравенства

zn+1 — zN f (tN)

zn — zn-1 f (zn — £n ) &2

zn+1 — zN ^ f (zN + eN-1) ^ 2

zn — zn-1 f (tN-1)

доказывающие (20).

Установим ещё два вспомогательных неравенства.

ШИРОКИЙ КЛАСС ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ДЛЯ

19

Пусть Е С [а, Ь] — измеримое подмножество и v G С 1[а,Ь]. Тогда b ь

[ v2(t)dt < [ v2(t)dt + 4(6 — а)2 [ v'2(t)dt. (33)

J mes Е J J

а Е а

Действительно, из формулы Ньютона-Лейбница легко следует, что

ь

v2(t) — v2(s) < j 2^'^.

а

Проинтегрируем это сначала по s G Е, затем по t е [а,Ь]. Получим

b ь

mes Е v2(t)dt < (b — a) v2(s)ds + (b — a)mes Е 2|vv'|ds.

Е

Применив неравенство 2|vv'| < 2(1-а) + 2v' (b — а), выводим (33).

Следующее неравенство для шара Вр и его измеримого подмножества Е является многомерным аналогом (33) для функции v е С 1(Вр) :

[ v2(x)dx < meS ^>>'' [ v2(x)dx + С (п)р2 meS f ^vfdx. (34)

j mes E j mes 2E j

Bp E Bp

Для доказательства при произвольных х,у е Вр запишем соотношение

Ix-yl

Г ди(х + ги) у — X и(у) — и(х) = / ---dr, и = 1-г,

У J J дг ’ ^ — хУ 0

где (г, и) — сферические координаты с центром в точке х. Обозначив через х(г,ш) характеристическую функцию шара Вр, запишем неравенство

2р

|м(ж)| < |u(y)| + J x\Vu(x + ru^dr.

0

Проинтегрируем его по у е Е

2р

kMI-В <!ш\Лу + J+ гф!г

Е Е 0

и оценим сверху правую часть следующим образом:

2р 2р 2р

j dy J х\Vu(x + гш)^г < j Tn-1dr J du J x\Vu(x + гш)^г =

E 0 0 S1 0

= / n-1, [ |V^)K = (2p)n Г У(0№

J J rn-1 n J |ж — £|ra-1 .

0 Bp Bp

Получившееся неравенство

i / \I ^ (, , M, (2p)n f |Vu(fM |w(x)|mesE < ^(y)^ + 1

n J |ж — £|ra-1

E B0

20

А.Р. ГЕРФАНОВ, Ф.Х. МУКМИНОВ

проинтегрируем по х е В

р ■

mes Е J \и(х) \dx < mes Вр J \u(y) \dy + J \ Vu(^) \d£ J ^ ^ n-1.

B0 E Bp Bp

Очевидно, что

Поэтому

Г

(2Р)П J \x — £\П-1 < 2PmeS B2p.

BB

\u(x) \dx <

mes Bp mes E

( n \

I \и(У) \dy +(-^-P f \Vu(0 \

BP \E Bp /

Положив теперь и = v2 и применив неравенство \ Vw| = 2 \vVv\ < ev2 + £-1 \Vv\2, получим

(34).

Перейдем к оценке величины А1^ снизу. Покажем сначала, что для множеств Pr(N) = РгГ1 П [zn, zn+1] справедливы неравенства

mes Pr(N) > 5(zn+1 — zn)/2, N = 0, то. (35)

Пусть, для определенности, tN < (zn+1 + Zn)/2. Тогда zN+1 — tN > (zn+1 — Zn)/2 > f (tN)/2. Поэтому из (15) следует неравенство

mes [tN ,zN+1] П РГГ1 > 8(zN+1 — tN),

доказывающее (35). При tN > (zn+1 + zn)/2 (35) устанавливается аналогично.

Возьмем произвольное t е Pr(N). Запишем следующее неравенство в цилиндрических координатах для функции v е С'0°(Дга\Г1)

№ f(t) j rn-2v2(t,r,u)dr < X-1f 2(t) J rn-2v‘2(t,r,u)dr. (36)

о 0

Здесь ш — такая "угловая" координата, что (t, f (t),u) е Г1. Множество таких ш обозначим через Е®. Очевидно, что в качестве Л можно взять первое собственное значение оператора Лапласа в единичном шаре размерности п — 1 с условием Дирихле на границе. Через Et обозначим следующее множество

Et = [(t,r,u)\0 <r < f (t), и е E°}.

Положим также St = [(t,x') \ \x'\ < f(i)}. Интегрируя (36) по и е Е®, устанавливаем неравенство

J v2(t,x')dx' < X-1f2(t)J v]2(t,x')dx'. (37)

Et Et

Пользуясь (16), находим, что mS^ , где оп-2 — площадь единичной сферы. Нера-

венство (34) для St и Et запишется в виде

J v2(t,x')dx' < 2 " 2 J v2(t,x' )dx' + С (n)f2(t) ™-2 J \ Vv(t,x') \ 2dx'

St Et 1 St

Соединяя это с (37), устанавливаем, что

J v2(t,x')dx' < f2(t) \ Vv(t,x') \ 2dx'. (38)

St 1 St

ШИРОКИЙ КЛАСС ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ДЛЯ

21

Запишем теперь неравенство (33) в виде

■ZJV+1 ZN+1

[ v2(t,x')dt < v2(t,x')dt + 4(zN+1 — zN)2 [ v‘2‘(t,x')dt.

J mes rr(N) J J

zn Pr(N) zn

Интегрируя последнее по x' е В(N) = ^х'| < f (tn)}, учитывая (35) и применяя (38),(31), нетрудно установить, что

Af2f

Ь^1 / 1Т7„,|2л„ , . ^.\2 I

“1 "1

J v2(x)dx < (N) J ^v^dx + 4(zn+1 — zn)2 J v2dx. (39)

[zn ,zn+1]x B(N)

Применим неравенство (34) на этот раз для St и Et = {(t,x') е S^x' е B(N)} и учтем (31):

J v2(t,x')dx' < F j v2(t,x’)dx’ + С(n)F2w4f 2(tn) j \Vv(t,x’)|2dx,.

St Et St

Здесь в качестве F можно взять F = w2n-2. После интегрирования по t и применения неравенства (39) будем иметь

J V2dx < (c1(n)f2(tN)w4(щ + F2) + 4(zN+1 — zN)2^ J ^v^dx.

, , .N

^1 ^1

Ввиду неравенства (30) отсюда следует оценка

1 < 0(zn+1 — zn)2X^.

Поскольку очевидно, что z^+1 — Zn = dist(5N, SN+1), то последнее неравенство доказывает, что QN действительно является Л-разбиением при s = 1. Заметим, что из (31) следует включение [z^,zn+1] С [z^,zn + f(zn)], поэтому QN останется Л-разбиением и при s, удовлетворяющем условию (17).

Покажем теперь, что П-последовательность определяет А-разбиение в случае вырождающегося уравнения с краевым условием Дирихле. Установим некоторые оценки, аналогичные неравенству Харди-Литтльвуда [22].

Лемма 2. Пусть функция С(х) е С 1[0,fa,] невозрастающая и неотрицательная, и > 1. Тогда для любой функции д е С0(0, h] справедливо неравенство:

h 2 h

[ С(х)х-иg2(x)dx ^ Г —f &(^)х-и(xg')2dx. (40)

о о

Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница имеем

h h

|h

Л-2

h

= I C'x1-Vg2dx + 2 I Cx1-Vgg'(x)dx + (1 — v) I Cx-Vg2(x)dx 0 0 0

Учитывая, что С(h) > 0, С'(x) ^ 0, можем записать неравенство

h h

0 ^ 2 j Cxl-Vgg'(x)dx + (1 — и) I Cx-Ug2(x)dx.

22

А.Р. ГЕРФАНОВ, Ф.Х. МУКМИНОВ

Применяя неравенство 2аЪ ^ еа2 + Ь2/е, £ = (и — 1)/2, перепишем это в виде h h h (и — 1) у Сх-иg2(x)dx ^ ——J Сх-иg2(x)dx +---J Сх-и(xg')2dx,

ООО

откуда и следует (40).

Теорема 3. Пусть для неубывающей функции q(x) Е С 1[0,^] существует число v Е (1; 2) такое, что (xv-2q(x))' ^ 0. Тогда для g Е С™(0, h] справедливо неравенство:

h h

I g2(t)qdt ^ ah2 / (g'(x))2qdx, (41)

(у 1)2 ) '

где а = 12^+1о^

t

Доказательство. Возведя равенство /qg(t) = J(g(%) + /Qd'(x))dx в квадрат, нетрудно получить, что 0

t

qg2(t) ^ ( J у- д2 (x)dx + 2 J qg'2(x))dx | h. „о о

Проинтегрируем последнее неравенство по t Е [0, h]

h h h

J qg2(t)dt ^ h2 ( J g2(x)dx + 2 J qg,2(x))dx | . (42)

0 \0 0

Из условия теоремы имеем: xu-2q' + (и — 2)qxv-3 ^ 0 или q' ^ (-—. Отсюда следует,

X

q'2 (2 — v)2<? , (2 — v)2qxv-2

что — ^ -2—. Положим О (х) = -. Из условия теоремы находим, что

2q 2х 2

С(х) невозрастающая.

Оценим второй интеграл неравенства (42), применив (40)

h h 2 h h

g2(x)dx ^ [ С(x)x-vg2(x)dx ^ ^^ С(x)x-v(xg')2dx = -j-yyf [ q(x)g'2dx.

J 2q J 3 ^ — 1) J (u — 1)

0 0 о 0

Тогда неравенство (42) примет вид:

h h h

J qg2(t)dt ^ h2 ( ^--~^2T J q(%)g'2dx + 2 J qg'2(x))dx

0 \ о 0

Последнее совпадает с (41).

Пусть zn — построенная выше последовательность и выполнено условие (18). Тогда при каждом х1 > Zo для функций д(х2) Е С^[0, f (ж1)) справедливо неравенство (41) в виде

f(xi) f(xi)

/ s(x1,x2)g2(x2)dx2 ^ af2(x1) s(x1,x2)g'2(x2)dx2. (43)

ШИРОКИЙ КЛАСС ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ДЛЯ

23

Используя это, можем записать оценки для д(х) е C0°(Q)

zn+1 f(x1) ZN+1 f(x1)

J s(x)g2(x)dx = j dx1 J s(x)g2(x)dx2 ^ J af2(x1)dx1 J s(x)g^2(x)dx2 ^

UN ZN -f (X1) ZN -f(.X1)

^ aM2 J s(x)g2X2 (x)dx,

где M = max f (x). Отсюда следует соотношение . Выбирая 9 = au2 , с помо-

[zN ;zN+1] a

щью (30) и (31) получаем 9\± (z^+1 — zn)2 > 1, т.е. формула (6) определяет А-разбиение.

4. Доказательство теоремы 2

Доказательство теоремы 2 основано на неравенстве Гарнака (см., например, [4]) для равномерно эллиптического уравнения

П

J2(aij (x)uXi )х. = °.

i,j=1

В нашем случае равномерную эллиптичность уравнения (1*) в области Q2 г при любом г > z0 обеспечивает условие (22).

Сформулируем неравенство Гарнака в удобном для нас виде: для неотрицательного решения и(х) уравнения (1*) в замкнутом шаре В(2р, w) С Q2 г с центром в точке w е R справедливо неравенство

max и(х) ^ Н min и(х), (44)

В(р, w) В(р, w)

в котором постоянная Н > 1 зависит лишь от С, Г, п.

Лемма. Пусть

Г

Q = {(х1,х') е Rra+1 | 0 <Х1 < 1, | х' |< 6}, Q = Q и в(2р; (0, 0)) U В(2р; (1, 0)), р = —

2и

где 6 = ш-1. Тогда существует Н > 0 такое, что неотрицательное в Q решение и(х1,х') уравнения (1*) удовлетворяет неравенству

и(1, 0) ^ Ни(0, 0). (45)

Доказательство. Поскольку шар В(2р; (0, 0)) С Q, то, согласно неравенству (44), имеем

и(р, 0) ^ max и(х) ^ Н min и(х) ^ Ни(0,0). (46)

В(р;(0,0)) В(р;(0,0))

Далее построим последовательность касающихся шаров В (pi, Wj), первым и последним из которых являются, соответственно, шары В(р; (0, 0)) и В(р; (1, 0)). Затем запишем неравенства, аналогичные (46). При этом радиусы шаров надо выбирать достаточно малыми, чтобы B(2pi, Wj) С Q.

Доказательство теоремы 2. Обобщенным решением задачи (1*), (3*) назовем функ-

О

цию и(х) е Нic(Qf), удовлетворяющую интегральному тождеству

= 0 (47)

nf

для любой функции v(x) е C0°(Q).

24

А.Р. ГЕРФАНОВ, Ф.Х. МУКМИНОВ

При каждом натуральном К в области Qz^ рассмотрим задачу (1*), (3*) с граничным условием

и = АкС(| х' | ) = ф(х'). (48)

z=zK

Здесь ((t) Е С^° (—f (zk),f (zk)) — четная неотрицательная функция типа шапочки. Постоянная А к подбирается так, чтобы

u(z0, 0) = 1. (49)

О

Обобщенным решением задачи (1*), (3*), (48) в Q^K назовем функцию ик(х) ЕН(Qf), удовлетворяющую интегральному тождеству (47) для любой функции v Е C^(QfK) и граничному условию (48). Для любого натурального К > 1 обобщенное решение задачи (1*), (3*), (48) существует и единственно. Доказательство проводится обычными методами (см. например [13]).

О

Далее покажем, что существует функция и ЕН \c(Qf) такая, что (s(x1 )V(uk — и), Vv)nf ^ 0 при К ^ то; здесь v Е C^(Qf) — произвольная функция. Для каждого К > 1 найдем числа :

\\^lK VuK [In*1 = 1.

Выберем подпоследовательность UKi такую, что у}к.UKt ^ v1 в Н(Qf1). При этом предельная функция v1 может быть продолжена до некоторой функции из пространства

О

Н (Qf). Тогда, ввиду (24) y}KiUKt ^ v1 в L2,ioc(QZf1) и согласно теореме о среднем, устанавливаем поточечную сходимость этой последовательности, в частности в точке (zo, 0): ^к-uKi(zo, 0) ^ v1(Zo, 0) = у1. Ввиду (49) имеем: у}к, ^ ^1 при г ^ то, следовательно

О

UKi ^ v1 /р1 в Н(QZ1) и v1 ЕH(Qz). Подпоследовательность переобозначим через и^к. Затем числа ^2К выберем так, чтобы выполнялись равенства:

i2K Vu1K [[n-р = L

Из последовательности и1К выберем подпоследовательность и^к. (переобозначим ее через и2к), такую, что ^2Кu2K ^ v2 в Н(Qf2). Повторяя предыдущие рассуждения установим,

О

что u2K ^ v2/^2 в Н(Qf2), v2 ЕH(Qz). Ввиду единственности предела имеем: v1 /у} = v2/^2 в Qf1. Продолжая это построение, выберем диагональную подпоследовательность и^ такую, что и % ^ и при К ^ то в Н (QZN) при каждом фиксированном N, N > 1. Согласно (24) ^ и при К ^ то в L2,ioc(QfN), при каждом фиксированном N, N > 1, откуда, используя теорему о среднем, несложно установить поточечную сходимость (х) ^ и(х)

О

при К ^ то для х Е Qf. Предельная функция и(х) ЕНlc(Qf).

Покажем, что и(х) является обобщенным решением задачи (1*), (3*). По определению обобщенного решения задачи (1*), (3*), (48) при каждом N > 1 для любой функции v Е C^(QfN) справедливо интегральное тождество (47)

j s(x1)Vu%Vvdx = 0, К > N. nf

Перейдя в нем к пределу при К ^ то, получим (47) для предельной функции и(х) ЕНlc(Qf).

Из строгого принципа максимума следует, что ик(х) > 0 в QfK, поэтому и(х) > 0 в Qf. Для областей вращения Qf вида (11) докажем, что функция и к (х) в каждом сечении

ШИРОКИЙ КЛАСС ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ДЛЯ

25

lz(f) = Qf П1Ж1 = z} достигает своего максимума в центре сечения:

max ик(z,x') = ик(z, 0), d < z < zk. (50)

X'^lz ( f )

Отметим, что из единственности решения задачи Дирихле следует осесимметричность функции и к (х1 ,х' ). Действительно, в противном случае, повернув график функции и к на ненулевой угол вокруг оси Ох мы получили бы новое решение задачи Дирихле. Таким образом, в цилиндрических координатах функция ик(х1,г) удовлетворяет дифференциальному уравнению

( п — 1 ^

S(Xi ) ( UKX1X1 + UKrr + UKr 1 + &Х1 ^КХ1 0

в точках криволинейной трапеции ГfZdK. Поделим обе части последнего уравнения на s(^i) и обозначим = h(x\). Продифференцировав после этого по г получаем

п — 1 _ п — 1 r^-w

^Krx1x1 + UKrrr + UKrr + hUKrx1 2 . (51)

Ввиду четности по аргументу г функция икг(х1, г) на оси Ох равна нулю. По выбору функции ((t) имеем неравенство икг(zk,т) ^ 0. Предположим сначала, что f (х1) £ C2(d, ж), тогда на д П / определены значения производной икг. Поскольку функция и к положительна вну три области, то икг на границе |(xi,г) £ R2 | d < Х\ < Zk, т = f(xi)} неположительна. Если икг достигает максимума внутри ГfZdK, то этот максимум положителен и из уравнения (51) в точке максимума получаем икгх1х1 + икггг > 0, что невозможно. Следовательно, функция икг неположительна всюду. Тогда функция ик в каждом сечении *yz (f), d < z < Zk достигает своего максимума в центре сечения. В случае области П^к с негладкой функцией f (^i) следует приблизить ее изнутри последовательностью гладких областей, сходящейся к П^к, и перейти к поточечному пределу решений в этих областях, сохраняющему монотонность по г предельной функции.

Докажем неравенство (23). Ввиду неравенств (20), (21) имеем включения

(zj, 0) + (zj+1 — Zj)Q С Qf, j = 0, ж (52)

где левую часть следует понимать как гомотетию и параллельный перенос, примененные к Q. По лемме 5 для пар (zj, 0), (zj+1, 0), j = 0, ж, справедливы неравенства

ик (zj+1, 0) ^ Н ик (zj, 0). (53)

При j = 0 включение (52) может не выполняться, но тем не менее точка (z0, 0) является внутренней для области Qf, поэтому неравенство (53) будет также справедливым и при j = 0, возможно с другой постоянной Н. Применяя неравенство (53) N раз, выводим соотношения

ик (zn , 0) ^ HN ик (z0, 0), N > 1. (54)

Согласно строгому принципу максимума и (50), при любом N > 1 для любой точки х £ nZjN при всех К > N выводим неравенства

ик (х) ^ max ик (х) = max ик (х, у) = ик (zn , 0).

an™ izN (f)

Далее, применяя (54), (49), заключаем неравенства

ик (х) ^ HN, х £ Qf, К > N,

из которых предельным переходом при К ^ ж при фиксированном N получаем (23). Теорема 2 доказана.

26

А.Р. ГЕРФАНОВ, Ф.Х. МУКМИНОВ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Оценки скорости стабилизации при t ^ ж решения первой смешанной задачи для квазилинейной системы параболических уравнений второго порядка // Матем. сб. Т. 191, № 2. 2000. C. 91-131.

2. Кожевникова Л.М. Стабилизация решения первой смешанной задачи для эволюционного ква-зиэллиптического уравнения // Матем. сб. Т. 196, № 7. 2005. C. 67-100.

3. Кожевникова Л.М. Анизотропные классы единственности решения задачи Дирихле для ква-зиэллиптических уравнений // Изв. РАН. Сер. матем. Т. 70, № 6. 2006. C 93-128.

4. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1971. 512 с.

5. Гущин А.К. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка // Матем. сб. Т. 137, № 1. 1988. C. 19-64.

6. Гущин А.К. Некоторые свойства решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка // Матем. сб. Т. 189, № 7. 1998. C. 53-90.

7. Гущин А.К. О внутренней гладкости решений эллиптических уравнений второго порядка // Сиб. матем. журн. Т. 46, № 5. 2005. C. 1036-1052.

8. Гущин А.К. О гладкости решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с квадратично суммируемой граничной функцией // ДАН СССР. Т. 415, № 1. 2007. C. 1-4.

9. Ландис Е.М. О поведении решений эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях // Тр. ММО. Т. 31. 1974. C. 35-58.

10. Кондратьев В.А. О разрешимости первой краевой задачи для сильно эллиптических уравнений // ДАН СССР. Т. 136, № 4. 1961. C. 771-774.

11. Кондратьев В.А., Эйдельман С.Д.Положительные решения линейных уравнений с частными производными // Тр. ММО. Т. 31. 1974. C. 85-146.

12. Кондратьев С.Д., Копачек Н., Левеншвим Д.М., Олейник О.А. Неулучшаемые оценки в пространствах Гёльдера и точный принцип Сен-Венана для решения бигармонического уравнения // Тр. МИАН СССР. Т. 166. 1984. C. 91-106.

13. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука. 1983. 424 с.

14. Михайлов В.П. О граничных значениях решений эллиптических уравнений в областях с гладкой границей // Матем. сб. Т. 101(143), № 2(10). 1976. C. 163-188.

15. Михайлов В.П. О существовании граничного значения у бигармонических функций // Матем. сб. Т. 195, № 12. 2004. C. 81-94.

16. Михайлов В.П. О существовании граничного значения у полигармонической функции // Сиб. матем. журн. Т. 46, № 5. 2005. C. 1125-1137.

17. Миклюков В.М. Об асимпотических свойствах субрешений квазилинейных уравнений эллиптического типа и отображений с ограниченным искажением // Матем. сб. Т. 111, № 1. 1980. C. 42-66.

18. Олейник О.А., Иосифьян Г.А. О поведении на бесконечности решений эллиптических уравнений второго порядка в областях с некомпактной границей // Матем. сб. Т. 112, № 4. 1980. C. 588-610.

19. Олейник О.А., Радкевич Е.В. Аналитичность и теоремы типа Лиувилля и Фрагмена-Линделефа для общих эллиптических систем уравнений // Матем. сб. Т. 95, № 1. 1974. C. 130145.

20. Тедеев А.Ф., Шишков А.Е. Поведение решений квазилинейных эллиптических уравнений в неограниченных областях // ДАН УССР. Сер. А. Т. 9. 1984. C. 23-27.

21. Шишков А.Е. Поведение решений задачи Дирихле для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях // Сиб. матем. журн. Т. 28, № 6. 1987. C. 134-146.

22. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: Издательство иностранной литературы. 1948. 456 с.

ШИРОКИЙ КЛАСС ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ДЛЯ

27

Айдар Ренатович Герфанов,

Уфимский государственный авиационный технический университет, ул. К. Маркса, 12,

450025, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Фарит Хамзаевич Мукминов,

Уфимский государственный авиационный технический университет, ул. К. Маркса, 12,

450025, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]