Классы единственности решения задачи Риккье для эллиптических уравнений четвертого и шестого порядков Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 1 (2010). С. 35-51.

УДК 517.956

КЛАССЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РИККЬЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЕРТОГО И ШЕСТОГО ПОРЯДКОВ

И.М. БИККУЛОВ, Ф.Х. МУКМИНОВ

Аннотация. Рассматривается задача Риккье-1,3 с краевыми условиями Дирихле и третьего типа для эллиптических уравнений четвертого и шестого порядков в неограниченной области. Установлены широкие классы единственности решения этих задач, зависящие от геометрии области. Для задачи Риккье-1 с краевыми условиями Дирихле построены примеры неединственности, подтверждающие точность предложенных классов единственности.

Ключевые слова: классы единственности, задача Риккье, эллиптическое уравнение.

1. Введение

В неограниченной области П п-мерного пространства Мп, п > 2, х — (х1,... , хп) — точка Кп, рассматривается эллиптический оператор

Lu = L0u + bi(x)uXi — du,

г=1

П

¿0 и — ^^/(aij (х)их )xj . г,3=1

Все коэффициенты оператора дифференцируемы и ограничены в П, постоянная й > 0. Коэффициенты симметричны, — aji и удовлетворяют при почти всех х Е П условию равномерной эллиптичности

п

0 < ы2 < ^ ач(x)УгУj < Г|y|2, у Е Кп \ {0}. (2)

г^=1

На границе области дП класса С1 заданы краевые условия первого и третьего типа

0, (3)

здесь Г1 — 0 — произвольное замкнутое множество, Г2 — дП\Г1 , п(п1,п2,... ,пп) —

ди

Ш

і і du

u І хєг і = 0, [on + a(x)u

хЄГ 2

du n

внешняя нормаль к ÔQ; 7^ 'У ] aijuxinj; a(x) > 0 — измеримая ограниченная

ij=1

функция на дQ.

I.M. Bikküloy, F.Kh. Mükminoy, Classes of uniqueness for solutions of the Rickyies problem to fourth and sixth order elliptic equations.

© Мукминов Ф.Х., Биккулов И.М. 2010.

Работа поддержана РФФИ (грант 07-01-00037).

Поступила 16 февраля 2010 г.

Целью работы является установление принципа Сен-Венана и классов единственности для решений уравнений

Lm u = 0 (4)

при значениях m = 2, 3. Случай m = 1 рассматривался в работах О.А. Олейник, Г.А. Иоси-фьян [10], [11] и других авторов [19], [16].

Имеется много работ, посвященных доказательству теорем типа Фрагмена-Линделефа, принципа Сен-Венана или выделению классов единственности решений для эллиптических уравнений. Перечисленные утверждения, как известно, характеризуют близкие качественные свойства решений эллиптических уравнений.

Первоначально теорема Фрагмена-Линделефа [3] возникла как обобщение принципа максимума модуля для аналитических функций, а именно: если регулярная в области D аналитическая функция f (z) в каждой точке £ Е dD границы удовлетворяет условию lim sup |f(z)| ^ M, то |f(z)| ^ M всюду в области D. Здесь и далее B(r,£) — шар

r^° DnB(r,0

радиуса r с центром в точке £.

В последующем теоремами Фрагмена-Линделефа для эллиптических уравнений стали называть утверждения следующего вида. Пусть, например, П — угол раствора р на плоскости R2 = {y = (х, у) | x,y Е R} и M — произвольное неотрицательное число. Если гармоническая в П функция на границе не превосходит M, то она либо ив П не превосходит M, либо растет не медленнее, чем е|у|п/^, где е > 0. Отсюда сразу следует, что множество функций, удовлетворяющих условию lim |y| n/^u(y) = 0, является классом

|y|

единственности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в угле П.

Интересный вариант теоремы Фрагмена-Линделефа доказан в работе [4]: решение эллиптического уравнения второго порядка в бесконечном полуцилиндре либо экспоненцаль-но выходит на константу, либо растет линейным образом, либо растет экспоненциально при х ^ <х>.

Принцип Сен-Венана был впервые обоснован в работе [5] (см. также [6]) в следующей форме. Если деформировать один торец упругого цилиндрического стержня, то величина деформаций будет экспоненциально убывать при удалении от торца. После работ [5], [6] появилось много результатов, в которых принцип Сен-Венана распространялся на уравнения эллиптического и параболического типов. В частности, в работе [7] доказан точный принцип Сен-Венана для решений бигармонического уравнения

д Ф1 д Ф2

ДДи = Ф + —1 + —2 (5)

дх ду

в области П на плоскости R2 с граничными условиями

= 0, (6)

u

= 0. р

дП OV

дП

где v — направление внешней нормали к дП. Сформулируем его.

Пусть 5(и), п < и ^ 2п, — единственное решение уравнения sin2^5) = 52 sin2 и, удовлетворяющее условию 0 < и5(и) ^ п. Пусть y(р) = {x Е П | |x| = р} не является целой окружностью ни при каком р > 0 и 1(р) — длина наибольшей из дуг, составляющих y(p). Пусть 1(р) ^ ри, где и Е [1.24п, 2п] и Ф(х) = Ф^х) = Ф2(х) = 0 в П(Я) = {х Е П | g(x) < R} (здесь g(x) = |х|, но ниже рассматриваются и другие функции). Тогда решение задачи Дирихле для бигармонического уравнения при р < R/2 удовлетворяет оценке

2б(ш)

i

П(р) П(Д)

с постоянной С, зависящей только от и. Здесь £(и) = и% х + 2иХ1Х2 + и2Х2Х2. Утверждается, что оценка (7) неулучшаема в том смысле, что показатель степени 28(и) не может быть увеличен, например, для областей типа угла. Очевидно, что оценка (7) позволяет выделить следующий класс единственности решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения в неограниченной области. Если и(х) — решение задачи (5), (6) с Ф = Фі = Ф2 = 0 в П и существует последовательность Ям ^ то такая, что

J £(и)^х ^ є (Ям )Я^И,

где є(Ям) ^ 0 при Ям ^ то, то и = 0 в П.

В работах О.А. Олейник, Г.А. Иосифьян [8], [9] доказана следующая теорема Фрагмена-Линделефа для решения и(х,у) бигармонического уравнения с краевыми условиями (6) на границе области П, лежащей в полуплоскости = {у = (х,у) Є К2 | х > 0}. Пусть ^(т) — непрерывная функция такая, что

0 < ц(т) ^ р!(г) = іп£ < / £(д)^у

д(х,у) Є C0OO(П), / [дХ - 99хх + д2Му = Л , г> 0,

1т

1г — {У = (х,у) Е П | х — г} — конечное число ограниченных непересекающихся интервалов. Функция Ф(г, в) удовлетворяет при Ь < г ^ в уравнению Фгг — ^(г)Ф — 0 с начальными условиями Ф(в, в) — 1, Фг (в, в) — 0. Тогда, если для некоторой последовательности Ьм ^ то и некоторого числа й > 0 выполнены неравенства

J Е(и)йу ^ е(Ьм)Ф(й,Ьм),

ntN

где е(Ьм) ^ 0 при ^ то, то и = 0 в П. Здесь Пг — {у — (х, у) Е П | х < г}. Рассмотрены также области, имеющие несколько ветвей, уходящих в бесконечность по различным направлениям.

В.А. Кондратьев и О.А. Олейник в работе [12] доказали следующий принцип Сен-Венана для решений внешних краевых задач. Пусть О — внешность ограниченной области О в Мп,х и Тк,у — к-мерный тор. В области Ц — О х Тк,у, п > 2, ъ — (х, у) Е Ц рассматриваются решения уравнения

п+к

^ ] (аав(ъ')ига — 0

а,в=1

с постоянными эллиптичности 81,82 и краевыми условиями первого или второго типа на дЦ. В случае первого краевого условия предполагается, что для функции и(ъ) найдется р* > р0 такое, что при любом достаточно малом е

I(и, |х|, р* + е) — I(и, |х|, р*),

п+к

где I (и, V, р) — / 3(и,ь)йъ, 3(и,ь) — ^2 а»в иха игр, Ц(р) — {ъ — (х, у) Е Ц | |х| < р}.

Я(р) а,в=1

Тогда для решения справедлив принцип Сен-Венана: при любых р1 ,р2, таких, что р0 < р1 < р2 < р, выполняется неравенство

I(и,и,р1) < рКр-к1 (и,и,р2), к — 8^/282 1/2(п — 1)1/2.

Из него выводится соответствующая теорема о единственности решений.

В работе [13] доказано, в частности, что неравенство |и(у)| < С11п |у||1-£, |у| > С, выделяет класс единственности решений эллиптического уравнения Ьи — f(х),й — 0,

пригодный для любой неограниченной области на плоскости и краевых условий первого, второго и третьего типов.

В недавних работах [19], [15] устанавливаются классы единственности для квазиэллип-тических и псевдодифференциальных уравнений в неограниченных областях. В работе [20] доказана теорема Фрагмена-Линделефа для квазилинейного эллиптического уравнения высокого порядка. Отметим, что точность результатов в последних трех работах не обсуждалась.

Будем предполагать, что д0 Е C2 и коэффициенты оператора L удовлетворяют условию

П

div b = = 0 (8)

i=1

и неравенствам

|b|2 < d/2m, x Е 0, (9)

где b = (61,62,.. .,bn).

При Г2 = 0 ограничимся рассмотрением областей вращения 0f

Of = {x Е Rn, x = (x1,x')| |x'| < f (x1), x1 > 0}, (10)

определяемых функцией f Е C2[0, то). Положим g(x) = g(x1, |x'|), где g(t,y) — решение задачи Коши yf '(t)gt = f (t)gy, g(t, 0) = t. Легко показать (см. § 2), что функция g(x) дифференцируема и ее поверхности уровня ортогональны к дOf. При Г2 = 0 будем полагать g(x) = | x| .

Определим невозрастающую функцию A(r), r > 0 равенством A(r) = А(-то,г),

А(а, r) = inf \ J |Vv|2dx| v Е C°°(Rn \ (Г1 U 0°)), J v2dx = ll , (11)

^Q(a,r) Q(a,r) j

где 0(a,r) = {x Е 0 | а < g(x) < r}, 0(r) = 0(-то,г).

При d = 0 предполагается, что

lim r2A(r) = то. (12)

В параграфе 2 доказывается, что в случае областей вращения при определенных условиях на Г2 достаточным для этого является условие

lim r/f (r) = то. (13)

Будем требовать "регулярность" поведения функции f

max f < F min f, r > D, (14)

[0,r] [r/2,r]

и выполнение неравенств

|f'(r)|< F, r > D, (15)

|(f(r)/f'(r))'| < F, r Е {r > D|f'(r) = 0}. (16)

Здесь и далее одной и той же буквой F обозначаются, вообще говоря, различные постоянные, определяемые функцией f. Достаточным условием для справедливости (16) является неравенство | |

f (r)f "(r)

(f '(r))2

< F, r Е {r > D|f'(r) = 0}. (17)

На коэффициенты aij, i,j = 1,n будем накладывать требования aij Е C 1(0) и

n

^ | (aij)Xj |2 < M(d + A(r)), x Е 0Г/2, r > D. (18)

i,j=1

Теорема 1. Пусть коэффициенты оператора Ь удовлетворяют неравенствам (9), (8), (18). Если Г2 = 0, то будем требовать дополнительно Ь0 = А и рассматривать область вида (10) с функцией /, удовлетворяющей условиям (14), (15), (17). Тогда найдется положительное число ^ такое, что для всех г > О, V Є (7/8,1) равенство Ь2и = 0 в П(г) (в обобщенном смысле) влечет оценку

! [|Ьои|2 + |^и|2]^х < С(V)ехр(-^г(і + А(г))1/2)||и||^|(пгг). (19)

П(г/2)

В случае т = 3 дополнительно требуем выполнение неравенства

/2(г)/ "'(г)

< F, r > D, f є С3[0, œ). (20)

(/'(г))3

Коэффициенты Ьі(х) равны нулю на дП. Будем предполагать также, что

||У6|| < ¿/8. (21)

Теорема 2. Пусть коэффициенты оператора Ь удовлетворяют соотношениям Ь0 = А, (9), (8), (21). Пусть Г2 = 0, область П имеет вид (10) с функцией /, удовлетворяющей условиям (14), (15), (17), (20). Тогда найдется положительное число ^ такое, что для всех г > О, V Є (7/8,1) равенство Ь3и = 0 в П(г) (в обобщенном смысле) влечет оценку

Hlwf(Q(r/2)) < С(v)exp(-pr(d + A(r))1/2)!u|w|(nV

-).

Пусть Qf — область вращения, d = 0, и это наиболее интересный случай. Пусть множество Г1 распределено достаточно регулярно, а именно: предполагается существование положительных чисел D и $1 таких, что при всех b > a > D, b — a > min{/(a),/ (b)}/2 выполнены неравенства

mesга-1Г1 П {x|a < x1 < b} > $1 mesn-1dQ П {x|a < x1 < b}. (22)

При этих условиях в параграфе 2 получена оценка функции А(г)

£/-2(r) < A(r) < £-1/-2(r). (23)

Она позволяет класс единственности, определяемый теоремой 1, записать в виде

™ exp(—£r//(r))H\2wi{n,r ) =°. (24)

Для подтверждения точности класса единственности (24) в случае, когда Г2 = 0, воспользуемся теоремой из работы [19].

Теорема К. Пусть область Qf определена функцией /, удовлетворяющей условию (14). Тогда найдется неотрицательная гармоническая в области вращения Q f, равная нулю на границе и подчиняющаяся оценке

J |Vu|2dx ^ mexp(Kr/f(r)) (25)

fi(r)

с положительными числами K, m.

Поскольку из Lu = 0 очевидным образом следует, что L2u = 0, то построенный в теореме К пример неединственности подтверждает точность класса единственности (24).

2. Определения пространств и вспомогательные неравенства

о о

Гильбертово пространство Н 1(П;Г1) (иногда просто Н1) определим как замыкание множества функций С^°(Яп \ Г1) в пространстве Ж2 (П).

Пространство Н2(П; Г1) определим как замыкание множества функций из Ж22(П) с нулевым следом на Г1 таких, что след —----+ а(х)и = 0 при почти всех х Е Г2. Здесь ко-

дп

эффициенты и функция а(х) предполагаются класса С 1(дП), дП Е С2, хотя для рассматриваемых нами вопросов эти требования можно ослабить.

Пространство Нд(П) определим как замыкание множества функций из Ж23(П) с нулевым следом на дП таких, что след Ди = 0 на дП.

о

Пространства Ь2,1С(П), Н/С(П;Г1), Н^1с(П;Г1), Нд1с(П) составим из функций и, для ко-

о

торых при каждом г > 0 найдутся функции V из пространств Ь2(П), Н1(П, Г1), Н<2(П;Г1), Нд(П), соответственно, совпадающие с и на множестве {х Е П| |х| < г}.

Установим два вспомогательных неравенства.

Пусть Е С [а,Ь] — измеримое подмножество и V Е С1 [а, Ь]. Тогда

b

,2f+\J+ ^ 2(b a) f „.2/,\ j, , Aib „\2 f „j2.

v (t)dt < -----— / v (t)dt + 4(b — a) v' (t)dt. (26)

J mes E J J

a E a

Действительно, из формулы Ньютона-Лейбница легко следует, что

b

v2(t) — v2(s) < J 2|vv'|dr.

a

Проинтегрируем это сначала по s E E, затем по t E [a, b]. Получим

b b mes eJ v2(t)dt < (b — a) J v2(s)ds + (b — a)mes eJ 2|vv'|ds.

a E a

22

Применив неравенство 2|vv'| < 2{ь-а) + 2v' (b — a), выводим (26).

Следующее неравенство для шара Bp и его измеримого подмножества E является многомерным аналогом (26) для функции v E C 1(Bp).

[ v2(x)dx < mes Bp i v2(x)dx + C(n)p2mes Bp f |Vv|2dx. (27)

mes E mes 2E

Bp E Bp

Частный случай этого неравенства, когда v|e = °, установлен в [14]. Для доказательства при произвольных x,y E Bp запишем соотношение

|x-y|

, . , . f du(x + ru) , y — x

u(y) — u(x) = ----------dr, u =

дг ’ |у — х|’

о

где (г, и) — сферические координаты с центром в точке х. Обозначив через х(г,и) характеристическую функцию шара Вр, запишем неравенство

2р

|и(х)| < |и(у)| + х\^и(х + гш)$г.

b

Проинтегрируем его по у Е Е

2р

Мх)|те8Е < / Му)Иу + /+ ММг

Е Е О

и оценим сверху правую часть следующим образом

2р 2р 2р

J dy J Х\^и(х + ги)^г тn-1dт J dш J x|Vu(x + ги)^г

Е О О О

2р

= [ тn-1dт

_и-Ч^ I |Vufê)K = (2pf Г |Vu(e)|dÇ.

rn-1 n J |x — £|n-1 "

0 Bp Bp

Получившееся неравенство

, , M ^ / Л / M , (2p)n Г |Vu(£M

|u(x)|mes E < J |u(y)|dy + -^ J |v — ^-i

E Bp

проинтегрируем по x G Bp :

mes E f |u(x)|dx < mes Bp ! ^y^dy + (2n^y> |Vu(£My |x —^X|n-1 ■

bb

Очевидно, что

,(2p)n r dx

(~j \X-W-i <2pmes ^

|u(x)|dx <

mes Bp mes E

Поэтому

/ \

f\u(y)Vly + T+'pJ |Vu(0|d€

\E Bp J

Положив теперь u = v2 и применив неравенство |Vu| = 2|vVv| < ev2 + e-1|Vv|2, получим (27).

Определим последовательность {zn} индуктивным равенством, начиная с произвольного z0 > 0 :

zn = sup{t| min f > t — zn-1}, N = 1, to. (28)

[ZN-1,*]

Оценим колебание функции f на отрезке [zn , Zn+1]. Пусть tn — точка минимума функции f (t) на отрезке [zn, zn+i]. Очевидно из определения (28) последовательности {zn}, что

f (tN ) = zn+1 — zn . (29)

Из (28) и (14) легко следуют также соотношения

Zn+1 — zn < f (t) < wf (tN), t e [zn, Zn+1). (30)

Перейдем к оценке величины \N снизу

\N = inf \ j |Vv|2 dxv e COf (Rn\r 1), J v2 dx = 1} > 0.

Iq(zn ,ZN+l) ^(zn ,ZN+1)

Покажем сначала, что при 8 = е = 81/(2и)п 2) для множеств

Рг(Ы) = {Ь Е [гм, гм+1]|шезп-2Г1 П {х1 = ¿} > е/п-2(£)} справедливы неравенства

шее Рг(М) > 8(гм+1 — гм)/2, N = 0, то. (31)

Пусть, для определенности, < (гм+1+гм)/2. Тогда гм+1 — ¿м > (гм+1 — гм)/2 > /(¿м)/2. Поэтому для пары чисел ¿м, гм+1 справедливо неравенство (22). Если же (31) не выполнено, то

шееП-1Г1 П {х\Ьм <Х1 < гм+1} < аи-2(8( шах /)п-2(гм+1 — гм)/2+

[іМ ^N+1

+є( шах /)п-2(гм+1—¿м)) < 81^-2/(¿м)п-2(гм+1—¿м) < 81 шееп-1дПП{х^м < Х1 < гм+1},

[ім ^м+1]

что противоречит (22). Здесь ап-2 — площадь единичной сферы размерности п — 2. При ¿м > (гм+1 + гм)/2 справедливость соотношения (31) устанавливается аналогично.

Возьмем произвольное Ь Є Pг(N). Запишем следующее неравенство в цилиндрических координатах для функции V Є С0°(Дп\Г1)

/(і) /(і)

J гп-2и2(¿,г,и)<!г < А-1/2^) J гn-2v‘/(t,г,u)dг. (32)

о о

Здесь ш такая "угловая" координата, что (¿, /(¿),ш) Є Г1. Множество таких ш обозначим через Е° Очевидно, что в качестве А можно взять первое собственное значение оператора Лапласа в единичном шаре размерности п — 1 с условием Дирихле на границе. Через Еі обозначим следующее множество

Еі = {(t,г,ш)|0 <г < / (t), ш Є Е0}.

Положим также Бі = {(¿,х')| |х'| < /(¿)}. Интегрируя (32) по ш Є Е° устанавливаем неравенство / /

J v2(t,x')dx' < А-1/2(t)J vl(t,x')dx'. (33)

Еь Еь

Пользуясь принадлежностью t Є Рг^), находим, что тШЕ < . Неравенство (27) для

Бі и Еі запишется в виде

J v2(t,x')dx' < 2 ~n-/ J v2(t,x')dx' + С (п) /2 (¿) J |Vv(t,x/)|2dx/.

Я Еь Я

Соединяя это с (33), устанавливаем, что

J v2(t,x/)dx' < С(п)/2(¿) п-2 J |Vv(t, х') |2¿х'. (34)

Я Бь

Запишем теперь неравенство (26) в виде

¿N+1 /+1

J v2(t,x')dt < 2(гр;1(—)гм' I v2(t,x')dt + 4(гм+1 — гм)2 J vt2(t,x')dt.

Рг(м)

Интегрируя последнее по х' Є В(N) = {|х'| < /(¿м)}, учитывая (31) и применяя (30), (34), нетрудно установить, что

J v2(x)dx < С(п^ / (¿м) ^ |Vv|2dx + 4(гм+1 — гм)2 / vt2dx, (35)

[^м +1]хБ(м)

где = П(гм, гм+1). _

Применим неравенство (27) на этот раз для St и Е1 = {(^ х') Е Б^х' Е В(М)} и учтем (30):

J v2(t,x')dx' < v2(t,x')dx' + С(п)Г2т2/2^м)J |Vv(t,x')|^х'.

Яг Е Яг

После интегрирования по t и применения неравенства (35) будем иметь

J v2dx < (^С(/м) + (гм+1 — гм)2^ ^ J |Vv|2dx.

, N , N

^1 ^1

Ввиду неравенства (29) отсюда следует оценка

0 < (гм+1 — гм)2Ам

с некоторым числом 0 > 0.

Замечание. Ввиду (29), отсюда следует оценка

0 < (гм+1 — гм)2А(гм,г), г Е [гм+1,гм+2]. (36)

Установим еще оценку для функции А (г). Нетрудно проверить справедливость неравенства

А(г) > шт{А(г0), А0,..., Ам-1, А(гм, г)}.

Пользуясь (36), учитывая неравенства (29),(30), находим, что

А(г) > шт{А(го), 0/-2(^ Е [го, г]}.

Отсюда, пользуясь (14), выводим при достаточно малом с> 0 также оценку

А(г) > с( тп /)-2, г > В. (37)

\г/2,х]

Отсюда несложно вывести оценки (23).

Обобщенным решением уравнения

Ь2и = Ф, Ф Е (Н2)* (38)

назовем функцию и Е Н21с, удовлетворяющую тождеству

/П д

LuL*vdx = Ф^), где Ь* = Ь0 — Ь1 — d, Ь1 = Ьг~— (39)

'Н дх%

П г=1

при любой пробной функции v Е Н2 с ограниченным носителем. Нетрудно проверить, что гладкие решения тождества (39) удовлетворяют краевым условиям (3) и

Ьи\„ = 0,

1жЕГ1 7

дЬи + ( X/ Ьп + &(х)) Ьи

дп

4=1

= 0. (40)

ж€Г2

Таким образом, "настоящий"квадрат оператора Ь в (38) получается лишь при £ Ьп = 0.

г=1

При подстановке в (39) пробных функций вида v = £и необходимо обеспечить требование — = 0 на Г2. Поэтому, при непустом множестве Г2, будем требовать Ь0и = Ди и dn

выбирать £ с линиями уровня, ортогональными к дП. Мы полагаем £ = £(д(х)), где линии уровня функции д ортогональны к дП. Докажем это.

Легко видеть, что семейство линий у = с/(^ на плоскости (^ у) суть интегральные кривые дифференциального уравнения у' = у/'^)//^). Тогда линии уровня решения задачи

Коши у/'^)д* = /(^)ду, д^, 0) = t, ортогональны этому семейству. Функция д^,у) будет дифференцируема по крайней мере столько раз, сколько дифференцируема функция /'//. Легко видеть, что функция д из введения, определенная равенством д(х) = д(х1, |х'|), удовлетворяет соотношениям

Л-1 (^ д(х) = { к \ 2

х1 при /'(х1) = 0,

+ К(х1)\ при /'(х1) = 0,

где функция к определяется равенством к' = /, с точностью до постоянной, которая

выбирается произвольно в каждом интервале монотонности функции /; к-1 — обратная функция к к.

В дальнейшем понадобятся оценки производных функции д в тех точках области П, где /(х1) = 0. Из соображений непрерывности они будут справедливыми всюду в П. Дифференцируя равенство

|х'|2

к(д) = -¡г- + МхО,

2

находим, что

к'(д^д = (к'(х1), х')

Выведем отсюда оценку (при |х'| < / (х1))

^д|

А'(х1) х'/'(д)

V к'(д), /(д)

( / (х1) х/ V/'(х1),

< Р, д > Б,

(41)

(42)

в которой постоянная Г, вообще говоря, иная, чем в (15). Заметим, что если /'(х1) > 0, то д(х) > х1 и (х1,д(х)) — интервал возрастания /, так что /(х1) < /(д(х)). Аналогично, если /'(х1) < 0, то д(х) < х1 и (д(х),х1) — интервал убывания /, поэтому /(х1) < /(д(х)). Далее,

к' (х1) = к'(д) — к'' (0)(д — х1).

Приращение (д — х1) оценим так:

/2(х1)/2 > |х'|2/2 = к(д) — к(х1) = к'(0)(д — х1).

Таким образом, нужная оценка следует из (15),(16):

к'(х1)

к'(д)

< 1 +

к"(0)/ 2(х1)

2к'(д)к'(в)

< Р.

Отметим, что обратное отношение также ограничено:

к'(д)

к'(х1)

< 1 +

к''(в)/2(х1)

2к'(х1)к'(6|)

< Р.

Повторное дифференцирование равенства (41) приводит к соотношению к"(д^д ® Vg + к'(g)V2g = diag(к''(x1), 1,..., 1).

При помощи (15), (16) получаем оценку

Г

1^д|| <

/ (д)

д > °.

(43)

Аналогично, при / Е С3(0, то), ограничение (20) влечет оценку |к'''(г)| < 1ЩГ)\, г > В, из которой выводим, что

'^3д11 < Iк'(д) |2 < ТЩ)' д > В (44)

Для функций v Е С^°(Яп \ (Г1 и П£°)) из (11) следует неравенство

АМ / v2& < / ^И2*. («)

П(г) П(г)

Далее, если v Е Н‘2, то

/я п я п я

|Vv|2dx < ^2 ацdx = ^ ацvXiпvdS — vLоvdx =

П(г) П(г) г,ч = 1 дП(г) г,ч = 1 П(г)

= — / ^ — I гЬо1^!х < I (^ + Щ2) Лх.

Г 2 П(г) П(г)

Выбирая е = ^А(г) и пользуясь (45), устанавливаем, что

72А2(г) J v2dx < 72А(г) J |Vv|2dx < J (Ь0v)2dx. (46)

П(г) П(г) П(г)

Полезно также промежуточное неравенство

7 J |Vv|2dx < — J vL0vdx. (47)

П(г) П(г)

Перейдем к построению срезающей функции, используемой при доказательстве теорем

1, 2. Пусть п^) — гладкая монотонная функция, равная нулю при t < 0 и единице при t > 1, такая, что п' < 2, |п''| < 8, 1п'''I < 32. Пусть V Е (7/8,1) и в = 1 — V. Определим

функцию а^,г) при г > 0 равенством

. (t — г/2 \ ( vг — t

а^, г) = 8^ —------------- п

вг ) \ вг

Отметим, что при фиксированном г носитель функции а лежит в отрезке [г/2, vr]. Положим

£(^г) = ехр ^— ^ а(т, г)Лт^ п (

Легко видеть, что

28 I I ^ Л

вг, Ы < в2г2

Кроме того, £* = — а£ при t < vг, £ = 0 при t > г и

4 V ( 8г'

>,) еХЧ— 8-

Оценим теперь производные функции £(д(х); г) при г > В. Очевидно, что V£ = £^д =

—а£Vg при д(х) < vг. Поэтому из (42) и (48) следует неравенство

^£| < Г8£, при д(х) < vг. (50)

|а| < 8 К1 < -^, Ы < . (48)

Вг£| < — ехр — V , г = 0,1,2,3, t > VГ. (49)

При помощи (42), (49) находим также, что

C ör

|Vf | < er exP(-у)’ пРи 9(x) > vr. (51)

Далее, пользуясь (48), (43), (42), выводим оценку

l|V2£|| = ||6V2g + £ttVg 0 Vg|| = £|| - aV2g + (а2 - a)Vg 0 Vg|| <

< C ( £gFÖ + ö2 + -0 ) £, при g(x) < vr, m(r) = min f,

~ \m(r) ßr) ну > - w [r/2,r]

в которой еа = 0 при д = |х| и единице в ином случае. Мы будем выбирать 8 > —, поэтому

1

ßr'

с

l|V2ei < F(^- + ö2)£, g < vr. (52)

m(r)

При g(x) > vr, благодаря (14),(49) и (42), имеем оценку

IIV2f Л < F (f + т (r))-’) exp ( - . (53)

Аналогично, пользуясь (44), устанавливаем оценки

l|V3£|l < F(er£2(r) + (ßrf(r))-3)exp(-> g(x) > vr< <54)

IIV3CII < F ijTjöy + ö3)t g < vr. (55)

3. Доказательство теорем 1, 2

Введем обозначения w = £u, K*u = [L*, £]u = L*w - £L*u, Ku = [L, £]u, x — характеристическая функция множества Q(vr). Тогда

Lu ■ L*£2u = Lu ■ (£L*w + K*w) = £Lu ■ (L*w + £-1(x + 1 - x)K*w) =

= (Lw - Ku) ■ (L*w + £-1xK*w) + (1 - x)Lu ■ K*w =

= Lw ■ L*w + (Lw - Ku) ■ £-1xK*w - xKu ■ L*w -

-(1 - x)(Ku ■ L*w - Lu ■ K*w).

Пусть Ф(^) = 0 для функций v G H2, supp v С Q(r). Подставив в (39) пробную функцию v = £2(g(x),r)u, получим

J [(L0w)2 - 2dwL0w + (dw)2] dx =

fi(r)

(L1w)2 - (Lw - Ku) ■ £-1xK*w + xKu ■ L*w }>dx + I, (56)

fi(r)

I = J (Ku ■ L*w - Lu ■ K*w)dx.

VVr

Очевидны оценки

| - (Lw - Ku) ■ £-1xK*w + xKu ■ L*w| <

£|Lw|2 £|L*w|2 x/|Т^ |2 > 2iT^* |24

< ' | + ' | + —(|Ku|2 + £-2|K*w|2) <

2 £

< 3£(|Low|2 + |L1 w|2 + |dw|2) + x(|Ku|2 + £-2|K*w|2).

Воспользовавшись неравенствами (47) и (9), имеем

J |L1w|2dx < J [Ь^^и^^х < — - J wL0wdx.

П П П

Выбрав теперь е = 1/6, приведем соотношение (56) к виду

^ J[|L0и|2 — dwL0w + |dw|2]dx < J 6х(|Км|2 + £-2|К*w|2)dx + I. (57)

ПП

Заметим, что

п

Ки = Lw — ^и = uLо£ + uLl£ + 2 ^ агзUxi£х,

г,з=1

п

= ^ 1(Lо£ + L1£) + 2 ^ агз(wxi£ 1£х^ — £ 2£xi^w). (58)

г,з=1

Далее, Lо£ = ^ (агч£хнх, + £xi(агз)х,). Пользуясь (50), (52), (18) и неравенством

г,з=1

8/т < е^/т2 + 82/(е'у), находим, что

|Lо£| < (ф + 7А(г)) + ^ + М(-\£, д < ^.

V т2(г) е^с /

т2(г) е7с

|£“'¿151 < |Ь||£-1^| < С</38 < СЫ + /<-182); м < 1

Поэтому при помощи (23),(9) и (18) получаем оценку

МГ82

е^с

Аналогичной оценке подчиняется величина

( МО2 \

ЫКЫ < 28Г|Vw| + ( 2еШ + ^А(г)) +----------------------) М, д < vг. (59)

V е^с /

Х£ 1к*w = £ 1(L*£w — £^) = £ 1 (wLо£ + + 2 ^ агз£х^).

г,з=1

Мы будем выбирать 8 так, чтобы с-1МГ82 = 'уе2^ + ^А(г)). Благодаря (12), при достаточно больших г будет выполнено неравенство 8 > 1/(вг). Тогда из (59) выводим,что

|хКм|2 < е27(3 + 7А(г))|Vw|2 + 36е2(d2 + 72А(г)2^2.

Выбирая е = 1/36, при помощи (46) и (47) приводим (57) к виду

- У [^^р + |dw|2]dx < I.

П

Преобразуем интеграл I, пользуясь формулами

п

К*w = £Ки + 2и агз£хн£х^, L*w = ^*и + Ки — 2uL1£.

г,з=1

Имеем

п

KuL*w — LuK*w = — 2uLu аз£хн£х^ + Ки(Ки — 2L1(£u)).

г,з=1

Теперь, действуя, как при выводе (59), нетрудно получить оценки

|Ku| < ^C/(er)|Vw| + |u| (+ (d + YA(r)) + ^)) exp

|1| < C J exp ^ ^ (|uLu| + u2 + |Vu|2) dx.

Теорема 1 доказана.

Уравнение

L3u = Ф, Ф e (ЯД)*, L = A + h — d (60)

будем рассматривать только в областях вида (10), определяемых функцией f e C3[0, то).

Для функций v e Яд, с ограниченным носителем supp v С П(г) будет использоваться

неравенство

J |Av|2dx < c-1m2(r) J |VAv|2dx, (61)

п п

являющееся следствием (45) и (37).

В случае области с отрицательной средней кривизной границы справедливо также неравенство

/ ¿ v2xixjdx < f |Av|2dx. (62)

П «=1 п

Обобщенным решением уравнения (60) назовем функцию u e Яд,1с, удовлетворяющую тождеству

J {VLu ■ VL*v + [(Li - d)Lu] ■ L*v} dx = Ф(v) (63)

п

при любой функции v e Я3 с ограниченным носителем.

Предположим, что Ф(v) = 0 при всех v с носителем, лежащим в П(г). Подставим в (63) пробную функцию v = £2u. Для обоснования законности такой подстановки следует убедиться, что Lv имеет нулевой след на дП. Для этого достаточно, чтобы Av = £2Au + uA£2 + 2£VuV£ = 0 на дП. Последнее обеспечивается ортогональностью линий уровня функции g(x) к дП, поскольку дП лежит на поверхности уровня функции u. Введем обозначения w = £u, K*u = [L*,£]u = L*w — £L*u, Hu = [(L1 — d)L,£]u,

G*u = [VL*,£]u, Gu = [VL,£]u.

Тогда

VLu ■ VL*£2u = VLu ■ (£VL*w + G*w) = £VLu ■ (VL*w + £-1(x + 1 — x)G*w) =

= (VLw — Gu) ■ (VL*w + £-1xG*w) + (1 — x)VLu ■ G*w =

= VLw ■ VL*w + (VLw — Gu) ■ £-1xG*w — xGu ■ VL*w —

— (1 — x)(Gu ■ VL*w — VLu ■ G*w).

Аналогично,

((Li — d)Lu) ■ L*£2u = ((Li — d)Lu) ■ (£L*w + K*w) : = ((Li — d)Lw — Hu) ■ (L*w + £-1xK*w) +

+ (1 — x) ((L1 — d)Lu) ■ K*w = (L1 — d)Lw ■ L*w + + ((L1 — d)Lw — Hu) ■ £-1xK*w — xHu ■ L*w +

+ (1 — x) ^ ((L1 — d)Lu) ■ K*w — Hu ■ L*w^ .

\lr

В левой части тождества (63) оставим слагаемые УЬт•УЬ*т и йЬ'ш•Ь*и), а все остальные слагаемые перенесем вправо и оценим сверху. При оценке выражения Ь\Ьт • Ь*т будем использовать неравенство аЬ < а2/6 + 3Ь2/2 для слагаемых с множителем Ь\Ат = Ь • У Ат и неравенство аЬ < а2/2 + Ь2/2 для остальных слагаемых. Получим

J{|УАт|2 + ^Ут|2 — 2dУwУАw — |УЬ^|2 + п

+^(|Ат|2 + (^т)2 — 2dwАw — (Ь^)2)^х <

< J{2|УАт|2 + 3|УЬИ2 + 3|^Ут|2 + 2|Ь|2(|Ат|2 + |Ь^|2 + |^т|2)}^ж + п

Г 1 1

+ Х{|Си • УЬ*т| + |С-1С*т • УЬт| + -(С-1С*т)2 + ^(Си)2 +

п

^ 1

+ |Ни • Ь*т| + |С-1К*т • (Ь1 — d)Ьw| + -(С-1К*т)2 + —(Ям)2}¿х + 3, (64)

2 2d

3 = / {|Си • УЬ*т — С*т • УЬи| + |К*т • (Ь — ¿)Ьм — Ни • Ь*т| ^х.

где

п

Докажем, что Си при х Е П^/2 приводится к виду А(т), где

Г

п п

А(т) =^2 (x)wXiXj + ^(^М + Л 152)Б^(х)тХ1 + 5(М + 52)Б(х)т, л < 1, (65)

г ,.7=1 г=1

М = шах^, т-2(г)).

Далее, большой буквой Б с индексами или без, будем обозначать скалярные или вектор-функции, ограниченные в П постоянной, зависящей только от Я. Для доказательства соотношения (65) прямыми вычислениями найдем, что

[¿У,£]и = ¿иУ£, [УЬьС]и = Ь1 и • УС + У(иЬ^),

[УА, С]т = Аи •УС + У(иАС) + 2У(Уи • УС).

Покажем, как оцениваются отдельные слагаемые, входящие в Си. При помощи (50) получаем оценку

[¿иУ£| = [¿т£-1 УС| < |FdSw| < С8Мт.

Далее, используя (21), (50) и (52), оценим, например, слагаемое

У (иЬ1С) = УК-%С) = С-%С Ут + тУ(С-%С);

|УС-%С| < |С-2УС| • |Ь| • |УС| + НС-1|Ь|У2СН + С-1||УЬ|| • |УС| <

г

< С(^¿2 + ^(82 + ) + ¿Ь) < 3С8(М + ¿2).

т(г)

Оценивая аналогичным образом остальные слагаемые, устанавливаем (65). Точно также устанавливается соотношение С-1С*т = А*т, где А* имеет вид (65). Нетрудно установить, что \^С-1К*т = Акт, где Ак имеет вид (65) с Б^ = 0. Далее, d-1 Ни = —\^[Ь,С]и + d-2Ь• Си, поэтому, ввиду (21), d-1 Ни также имеет вид (65). Таким образом,

Х ((С-1С*т)2 + (Си)2 + ¿(С-1К*т)2 + ¿-1(Нп)2) <

< С(¿2||У2т||2 + (л2М2 + л-2¿4)|Ут|2 + 62(М2 + 54)т2).

Покажем, как оцениваются другие слагаемые правой части (64),

Далее,

p 3

|GuVL*w| < 2(|VAw|2 + |VLiw|2 + |dVw|2) + — (Gu)2.

pd 3

|Hu ■ L*w| = |d-1 Hu ■ d1 L*w| < —(|Aw|2 + Lw|2 + d2w2) + — (Hu)2.

2 Zed

Точно так же, имеем

|£-1K*w ■ (L1 — d)Lw| = |dі£-1K*w ■ d-2 (L1 — d)Lw|

<

w,* ,b -VLw ,i

d 2 С 1К*т ----—----d2 Ьт

V ^

— 3

< -(|УАт|2 + |УЬН2 + |dУw|2 + d(|Аw|2 + |Ь^|2 + d2w2)) + —(С-1К*т)2.

24 ' -d

Заметим еще, что

— 2^У{Ут • У Ат + dwАw}dx = 2d J{|Ат|2 + d|Уw|2}dx. пп Наконец, при помощи (62), (9), (21) устанавливаем, что

J |УЬlw|2dx < 2^{|Ь|2||У2т||2 + ||УЬ||2|Уw|2}dx <

пп

< — J {d|Аw|2 + d2|Уw|2}dx.

п

Выбирая - = -, приводим (64) к виду 6

I = j{|УАт|2 + d|Аw|2 + d2|Уw|2 + d3w2}dx < п

< СI{ё2||У2т||2 + (л^2 + л-2ё4)|Ут|2 + ё2^2 + ё4)w2}dx + С3. (66)

п

Выбираем л и ё так, чтобы Сё2 = —, С л2 = 7. Если М = d, то из (66) с учетом (62),

8 4

получаем I < 2С3. Если М = т-2(г), то, пользуясь неравенствами (46), получаем такое же соотношение.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Михайлов В.П. О первой краевой задаче для одного класса гипоэллиптических уравнений // Матем. сб. Т. 63(105). №2. 1964. С. 11-51.

2. Михайлов В.П. Первая краевая задача для некоторых полуограниченных гипоэллиптических уравнений // Матем. сб. Т. 64(106). № 1. 1964. С. 11-51.

3. E. Phragmen, E. Lindelof // Acta math. V. 31. 1908. P. 381-406.

4. Ландис Е.М., Панасенко Г.П. Об одном варианте теоремы Фрагмена-Линделефа для эллиптических уравнений с коэффициентами, периодическими по всем переменным, кроме одной // Труды семинара им. И.Г. Петровского. Вып. 5. 1979. С. 105-136.

5. R.A. Toupin Saint-Venant’s principle // Arch. Rat. Mech. Anal. V.18. 1965. P. 83-96.

6. J.K. Knowles On Saint-Venant’s principle in the two-dimensional linear theory of elasticity //Arch. Rat. Mech. Anal. V. 21. 1966. P.1-22.

7. Кондратьев В.А., Копачек И., Ленвеншвим Д.М., Олейник О.А. Неулучшаемые оценки в пространствах Гельдера и точный принцип Сен-Венана для решения бигармонического уравнения // Тр. Мат. института СССР. Т. 166. 1984. С. 91-106.

8. Олейник О.А., Иосифьян Г.А. О принципе Сен-Венана в плоской теории упругости // Докл. АН СССР. Т. 239. № 3. 1978. С. 530-533.

9. Олейник О.А., Иосифьян Г.А. Принцип Сен-Венана в плоской теории упругости и краевые задачи для бигармонического уравнения в неоганиченной области // Сиб. мат. жур. 19. № 5. 1978. C. 1154-1165.

10. Олейник О.А., Иосифьян Г.А. Энергетические оценки обобщенных решений краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка и их приложения // ДАН СССР. Т. 232. № 6. 1977. C. 1257-1260.

11. Олейник О.А., Иосифьян Г.А. Об устранимых особенностях на границе и единственности решений краевых задач для эллиптических и параболических уравнений второго порядка // Функциональный анализ и его приложения. Вып. 3. 1977. С. 54-67.

12. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Теорема единственности решений внешних краевых задач и аналог принципа Сен-Венана // УМН. Т. 39. № 4. 1984. С. 165-166.

13. Кондратьев В.А., Олейник О.А. О единственности решений краевых задач в неограниченных областях и об изолированных особых точках решений системы теории упругости и эллиптических уравнений второго порядка // УМН. Т. 42. № 4. 1987. С. 189-190.

14. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука. 1973. 576 с.

15. Кожевникова Л.М. О существовании и единственности решений задачи Дирихле для псев-додифференциальных эллиптических уравнений в областях с некомпактными границами // Уфимский матем. ж. Том 1. № 1. 2009. С. 38-68.

16. Герфанов А.Р., Мукминов Ф.Х. Широкий класс единственности решения для неравномерно эллиптического уравнения в неограниченной области // Уфимский матем. ж. Том 1. № 3. 2009. С. 11-27.

17. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука. 1983. 424 с.

18. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1971. 512 с.

19. Кожевникова Л.М. Анизотропные классы единственности решения задачи Дирихле для ква-зиэллиптических уравнений // Изв. РАН. Т. 70. № 6. 2006 С. 93-128.

20. Шишков А.Е. Принцип Фрагмена-Линделефа для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка // Успехи мат. наук Т. 43. № 4. 1988. С. 231-232.

21. Биккулов И.М., Мукминов Ф.Х. О стабилизации нормы решения одной смешанной задачи для параболических уравнений 4-го и 6-го порядков в неограниченной области // Матем. сб. Т. 195. № 3. 2004. С. 115-142.

Ильгиз Мидехатович Биккулов,

Стерлитамакская государственная педагогическая академия, пр. Ленина, 37,

453103, г. Стерлитамак, Россия E-mail: [email protected]

Фарит Хамзаевич Мукминов,

Уфимский государственный авиационный технический университет, ул.Карла Маркса, 12,

450000, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]