Поведение на бесконечности решений квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 2. № 2 (2010). С. 53-66.

УДК 517.956.223

ПОВЕДЕНИЕ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

Р.Х. КАРИМОВ, Л.М. КОЖЕВНИКОВА

Аннотация. Для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях О С Кга, п > 2, рассматривается задача Дирихле. Установлены оценки сверху, характеризующие зависимость скорости убывания решений на бесконечности от геометрии области О.

Ключевые слова: убывание, квазилинейное эллиптическое уравнение, задача Дирихле, неограниченная область.

1. Введение

Пусть П — неограниченная область пространства Кп = {х = [х\, х2,..., хп)}, п > 2. Для квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка рассматривается задача Дирихле

пп

^(аа(х, Уп))Ха - а(х,п) = ^(Фа(х))Жа - Ф(х), х € П; (1.1)

а=1 а=1

п = 0. (1.2)

да

Предположим, что функции, входящие в уравнение (1.1), удовлетворяют следующим требованиям. Функции аа(х, £), а = 1,п, измеримы по х € П и для всех £,п € Кп при п.в. х € П подчиняются условиям:

п

^ (аа(х,£) - аа(х,П))(Са - Па) > а|С - ПГ+\ т > 1; (1. 3)

а=1

|а(х,£) - а(х,п)| ^ Ж - п|(|С| + МГ-\ а = (а1,...,ап); (1. 4)

аа(х, 0) = 0, а = 1,п. (1.5)

Функция а(х, в) измерима по х € П и для всех в,£ € К при п.в. х € П подчиняется условиям:

(а(х, в) - а(х, £)) (в - Ь) > Ь|в - ^|9+1, q > 1; (1.6)

|а(х, в) - а(х,£)| ^ Ь|в - £|(|в| + |£|)9-1; (1. 7)

а(х, 0) = 0. (1. 8)

Здесь а, а, Ь, Ь — положительные числа.

L.M. Kozhevnikova, R.Kh. Karimov, Behavior on infinity of decision quasilinear elliptical equations in unbounded domain.

© Кожевникова Л.М., Каримов Р.Х. 2010.

Работа поддержана РФФИ (09-01-00440-a).

Поступила 31 марта 2010 г.

Очевидно, функции аа(£) = |£|т :^а, а = 1,п, а(в) = |з|9 ^ удовлетворяют условиям (1.3)—(1.8) и уравнение (1.1) принимает вид

£ ха - |“Г‘“ = £(Ф«(х)к. - Ф(х).

а=1 а=1

Работа посвящена исследованию скорости убывания на бесконечности решения задачи (1. 1), (1. 2) с финитной правой частью в зависимости от геометрии неограниченной области П.

Изучением поведения на бесконечности решений линейных эллиптических уравнений занимались О.А. Олейник, Г.А. Иосифьян [1], [3], Е.М. Ландис, Г.П. Панасенко [2], В.А. Кондратьев, И. Копачек, Д.М. Леквеишвили и другие (подробный обзор результатов приведен в [4]).

Для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях с некомпактными границами А.Е. Шишковым в работах [5], [6] установлены энергетические априорные оценки решений задачи Дирихле. На их основе доказываются альтернативные теоремы типа Фрагмена-Линделефа о поведении решений на бесконечности. В качестве геометрической характеристики неограниченной области П С используется функция нелинейной частоты сечений 7(г):

где V7 д — проекция Vд на плоскость, касательную к 7 (г) (например, 7(г) = {х € П | |х| = г}).

Л.М. Кожевниковой [7] для областей с некомпактными границами предложено новое понятие, называемое А-разбиением, которое позволяет получать точные оценки решений краевых задач для линейных эллиптических и параболических уравнений. Это понятие является обобщением понятия А-последовательности, введенного ранее в работах [4], [8] для областей, расположенных вдоль выделенной оси Ох1 (П С и сечение 7Г не пусто при любом г > 0), где показано, что использование новой геометрической характеристики дает возможность в ряде случаев устанавливать более сильные результаты, чем ранее известные. Следует отметить, что в работе [9] О.А. Олейник, Г.А. Иосифьяна авторы, по существу, использовали прототип такой последовательности для системы уравнений теории упругости, однако дальнейшего развития этот подход не получил.

В настоящей работе понятие А-разбиения обобщено на некоторый класс квазилинейных уравнений второго порядка и в терминах этой геометрической характеристики установлены оценки сверху решения задачи Дирихле (1. 1), (1. 2).

Предполагается, что неограниченная область П С представлена в виде объединения

СО

П = У П(м) последовательности вложенных П(м) С П(м+1) областей, удовлетворяющих

N=0

следующим требованиям. Дополнения П ^-1) = П(^ \ п^-1) распадаются на конечное

______ р(Ю _____

число связных компонент и( N), г = 1,р^) : П^-1) = и и( N), N = 1, то. Пересечения

г=1

(дП (N)^П = 5 (^, N = 0 , то, представляют собой конечное число липшицевых гиперповерхностей ) = ) Р| 5^) (5 ) могут быть несвязными), г = 1,р^), N =1, то.

^) *($) и А^) = (А<*\...,А™

^) = ^(Б^), -1)), где -1) = ди^) П 5(N-1) и

Определим векторы £(^ = (^^...^^) и А^) = (А^\...,А(^) формулами

А(^ =1пЫ I ^дГ+1 ^х

д(х) € со(П), у |д|т+1 ^х = 1 (19)

, ,(м)

г = 1,р^), N = 1, то.

Будем предполагать, что существует число в > 0 такое, что выполняются неравенства

1 ^ вА^(^Г+1, г = 1,р(^, N =1ТТО. (1.10)

СО

Описанное выше представление П = П(N) при выполнении неравенств (1. 10) бу-

N=0

дем называть А-разбиением области, соответствующим задаче (1. 1), (1. 2) (в дальнейшем просто А-разбиением).

Для неограниченных областей, расположенных вдоль выделенной оси Ох1, множества П^) = П^ = { х € П | 0 <х1 < 2^} можно определить с помощью неограниченной возрастающей последовательности положительных чисел {^ }О=0. При этом последовательность

СО

{^}О=0 называется А-последовательностью, а условие (1.10) для разбиения П = У П2^

N=0

принимает вид

1 ^ вА(^^ —1, 2^)Дт+1, ДN = 2^ — 2^ —1, N =1, ТО, (1. 11)

А(г1,г2) = 1п^ I ^д|т+1^х

д(х) € ОГ(П), / |д|га+1йх =Л . (1.12)

Здесь и ниже используется обозначение: П^ = {х € П | г1 < х1 < г2}, значения параметров г1 = 0 и г2 = то могут быть опущены.

Приведем простое условие, необходимое и достаточное для существования А-последова-тельности (см. следствие к утверждению 3):

для любого г1 > 0 найдется г2 > г1 такое, что А(г1, г2) > 0. (1. 13)

Чтобы ограничить влияние функций Ф(х) = (Ф1(х),. . . , Фп(х)), Ф(х) на поведение решения, будем считать, что они имеют компактный носитель:

виррФ С П(0), виррФ С П(0). (1. 14)

СО

Теорема 1. Пусть для области П существует А-разбиение П = у П^) и выполнено

N=0 _

условие (1. 14). Тогда найдутся положительные числа к(в, а, а, т), М(в, 'а,а,Ь,т, Ф, Ф) такие, что для решения и(х) задачи (1. 1), (1. 2) при N > 0 справедливы оценки

J |и(х)|9+1^х + J ^и(х)|т+1^х ^ Мехр(—к^. (1.15)

п\п(м) п\п(м)

Оценка (1.15) зависит от представления П = У П^). Задача оптимизации А-разбиения

N=0

достаточно сложная и здесь не решалась, однако для А-последовательностей этот вопрос рассмотрен. Для областей, расположенных вдоль оси Ох1, назовем А-последовательность {г^}О=0 с в > 0 оптимальной, если для любой А-последовательности {^}О=0 с в > 0 существует положительная постоянная С (в) такая, что при N > 1 справедлива импликация

(жь ^ ^ (Ь ^ CN). (1. 16)

Установлено, что оптимальной является А-последовательность с минимально возможными интервалами (^_1,^), при которых условия (1. 11) не нарушаются (см. утверждение 4).

Рассмотрим область вращения

^(/) = {(хі,х') Є | Х1 > 0, |х'| </(хі)} (1.17)

с положительной функцией /(хі). От функции / требуется только, чтобы множество П(/) было областью.

Для областей вращения вида (1.17), не содержащих полупространства х1 > г, Уг > 0, утверждение теоремы 1 переформулируем в терминах функции /(х), определяющей область П(/), без привлечения понятия А-разбиения. Для этого введем понятие П-последовательности.

Неограниченную возрастающую последовательность положительных чисел {^ }°=0 назовем П-последовательностью функции /, если справедливы равенства

г0 = 1, ^ = эир < г

т£ /(х) > г — 2^ > , ] = 1, то. (1. 18)

кз-ъг) )

Отметим, что П-последовательность функции / можно построить всегда, она является А-последовательностью для области П(/) (см. утверждение 5).

Следствием теоремы 1 для областей вращения вида (1.17) является следующее утверждение.

Теорема 2. Существуют положительные постоянные к, М такие, что для решения и(х) задачи (1. 1), (1. 2) в области вращения П(/) справедлива оценка

У |и(х)|9+1^х + J |Уи(х)|т+1^х ^ Мехр | —кJ | , г > 1. (1. 19)

П (/) П (/) V 1 /

Если существует постоянная ш > 1 такая, что

8ир{/(г) | г е [ж — /(ж), ж + /(х)]} ^ ш/(х), х > 1, (1. 20)

то П-последовательность {г^}^=о является оптимальной А-последовательностью для об-

ласти П(/) (см. утверждение 6). Кроме того, оценка (1. 19) будет того же порядка, что и оценка (1. 15).

В области П(/1) с функцией /1(х) = 1/е, 0 < х < е, /1(х) = 1пх/х, х > е, для решения задачи (1. 1), (1. 2) справедлива оценка

J |и(х)|9+Мх + J |Ум(х)|т+1^х ^ М1 ехр (—к1г2/ 1пг) , г > 1.

Пг (/1) пг(/1)

В области П(/2) с функцией /2(х) = е, 0 < х < е, /2(х) = х/ 1пх, х > е, для решения

задачи (1. 1), (1. 2) установлена оценка

J |и(х)|9+Мх + J |Уи(х)|т+Мх ^ М2 ехр (—к21п2 г) , г > 1.

Пг(/2) П (/2)

Для решения задачи Дирихле в случае линейного эллиптического уравнения второго порядка

п

^ (а«в (х)иХа )Хв = Ф(х) (1. 21)

а,в=1

в классе неограниченных областей, расположенных вдоль оси 0x1, в работе [4] в терминах А-последовательности (г^ }°=0 получены оценки

J |Уи(х)|2^х ^ Мехр(—кЖ), N > 0. (1-22)

Кроме того, для широкого класса областей вращения вида (1.17) установлена их точность. А именно, доказано, что если П-последовательность (г^}°=0 положительной функции f (ж), х > 0, подчиняется неравенствам

__1 ^ +2 — +1 ^ _ _

и ^ ^ и, и > 1, N = 0, то,

+1 —

то для неотрицательного решения задачи (1.21), (1.2) в области П^) существуют положительные числа К, ^ такие, что справедливы неравенства

J |Уи(х)|2^х > ^ехр(-КЖ), N > 1.

^2^ (/)

2. Вспомогательные сведения Через ||и||р,д будем обозначать норму в Ьр(^). В случае, когда р = 2, Q = П, индексы

о

р, Q опускаем. Пространство Щт+19+1(П) определим как пополнение пространства 60° (П) по норме ||Уг>||т+1 + |М|д+1.

Обобщенным решением задачи (1. 1), (1. 2) с Ф(х) € Ь(9+1)/9(П), Ф(х) € Ь(т+1)/т(П)

о

назовем функцию и(х) € Щт+1д+1 (П), удовлетворяющую интегральному тождеству

/ 5>(х, ^и)^ + а(х,и)^><^х = / <

О 1«=1 ) о 1«=1

_ + ф^ ^х (2. 1)

п ча=1 ' п

о

для любой функции -у(х) €Щт+1,д+1

(П).

о

Используя условия (1.4), (1.5), (1.7), (1.8) для функции и €Щт+1д+1(П), выводим неравенства

(\ т/(т+1)

У>|Уи|т+1^х) = а|Уи|т+1, (2.2)

(\ 9/(9+1)

У'|и|9+1^х) = Ь|и|^+1. (2.з)

Определение обобщенного решения корректно, поскольку входящие в (2.1) интегралы конечны. Действительно, используя неравенство Гельдера, применяя оценки (2.2), (2.3),

о

для функций и,^ €Щт+1,д+1(П) выводим

^ |«а(х, Уи)||^а|^х ^ I |а(х, Уи)||У^х ^

а=1

^ ||а(хУи)|(т+1)/т|У^|т+1 ^ а||УиИт+1 ||У^Нт+1, |а(х,и)|Н^х ^ ||а(х,и)|(,+1)/,|М|,+1 ^ &'|и|^+1|М|д+ь

Утверждение 1. Пусть выполнены условия (1.3) —(1.8), тогда существует обобщенное решение и(х) задачи (1.1), (1.2) с вектор-функцией Ф(х) € Ь(т+1)/т(П) и функцией ф(х) € ^(д+1)/д(П)-

Доказательство проводится методом галеркинских приближений аналогично доказательству соответствующего утверждения в случае ограниченной области П (см. [10, гл.4,

§9]).

Утверждение 2. Пусть выполнены условия (1.3) —(1.8), тогда обобщенное решение задачи (1.1), (1.2) единственно. Для решения и(х) с Ф(х) € Ь(т+1)/т(П), Ф(х) € Ь(д+1)/д(П) справедлива оценка

||?ис+!+|мЕ«с (т,а,ь) {|Ф|(т+!);гт+«ф«(:+;)/: }. (2.4)

Доказательство. Пусть и1, и2 — обобщенные решения задачи (1.1), (1.2). Запишем тождество (2.1) дважды для и1, и2 и вычтем из первого второе, получим равенство

п ча=1

{a«(x, Vu1) — a«(x, Vu2)} vXa + {a(x, u1) — a(x, u2)} v J dx = 0, в котором положим v = u1 — u2 = $u, в результате получим тождество

^ n

{a«(x, Vu1) — a«(x, Vu2)} (£u)Xa + {a(x, u1) — a(x, u2)} £u I dx = 0.

п ча=1

Применяя (1.3), (1.6), установим неравенство

aiivfecti + ьцнй1 < о,

из которого следует ^u = u1 — u2 в П.

В интегральном тождестве (2. 1) положим v = u, применяя (1.3), (1.5), (1.6), (1.8), установим неравенство

J {a|Vu|m+1 + b|u|q+1} dx ^ J {|Ф||Vu| + |Ф||u|} dx. пп Далее используя неравенство Гельдера, получим соотношение

allVullm+1 + bllullg+l ^ II Ф 1 (m+1)/m ||Vu || m+1 + ||Ф||(д+1)/д llullg+1. Воспользовавшись неравенством Юнга, выводим соотношение

aiiV«c+1+siMiq+1« iiV«im+1 + -+г ii«iq+1+

lit | 1 q | 1

i_____— || Ф || (m+1)/m |__q || ф || (9+1)/9

(m + 1)a1/m H i(m+1)/m (q + 1)b1/q H i(q+1)/q,

из которого следует оценка (2.4).

3. Оценки сверху В этом параграфе приводятся доказательства теорем 1, 2.

Доказательство теоремы 1. Выберем к так, чтобы (т + 1)01/(т+1)кека ^ а. Зафиксируем натуральное число N > 2. Построим определенную в П липшицеву функцию £(х),

удовлетворяющую условиям

0, х е П(0); ехр(—к(Ж — 1)) ш1п I 1,

Д1)

£(х) =

. . dist(£S(v 1), х)

ехр(—к(^ + 1 — V)) ехр Кшт 1, —

к

(V )

х е г = 1,р(^, V = 2, N; „ 1, х е П\П(М).

Нетрудно установить следующие соотношения

—( р( х е V/ > 1) — 2£ х е ^(1), 1 г

|^| < К), х е Ч^\ 1 г V = 2,N;

5С СО (х) ( Йг В э ^В' ( х) г = 1,р(^, V = 2^;

шах £(х) = ехр(—— 1)).

0(1)

“(0)

(3. 1)

(3. 2) (3. 3) (3. 4)

◦

В интегральном тождестве (2. 1) положим 'у(х) = и(х)£(х) еж т+1д+1(^), ввиду того, что Ф£ = 0, Ф£ = 0, получим равенство

а«(х, ^)мха + а(х, м)м > £^х = — I У

0 1«=1 ] 0 а=1

Далее, применяя условия (1.3)—(1.6), (1.8) выводим

а«(х, ^)м£ха^х.

£{а|^Г+1 + 6|м|9+1} ^х ^ а |u||Vu|m|V£|dx = I.

(3. 5)

Используя (3. 1), (3. 2), оценим правую часть последнего неравенства:

М-1

I = а / |Лх + |Лх ^

(1)

(0)

V=1

2("+1)

р(1) «

^ а^ / |м|^м|

,(1)

(ехр(—— 1))

N р(^

К

(1)

^х + а / М^м|т^х

v=2 г=1

.(V)

Установим соотношения [ |м|^и|

£

(V)

(3. 6)

Л ^ й1/(т+1М ^мГ+1&, г = 1,рм, V = 1, N. (3.7)

Для этого достаточно воспользоваться неравенством Юнга и определением А-разбиения (1. 9), (1. 10), тогда для г = 1,р(^, V =1, то имеем

|м || ^|тЛх ^ [ Ж£1/т|^|т+1 Лх ,

м

т+1

„(V)

(V)

т +1

„(V)

„(V)

^ [ тє1/т|УмГ+1 1х + [ -Л(%|т+1 1х ^

т +1 ] (т + 1)£

(V) (V)

ш; ш-

^—1— [ | те1/ш + - | |УмГ' ^х. т | 1

(V)

Выбрав £ = -т/(т+1), получаем (3. 7). Ввиду (3. 3), из (3. 7) выводим неравенства

[ £М1^«Г

і,м

-ііх < е“01/(т+1) / ^|Уи|т+1йх, і = 1,рМ, V =2, N.

(V) * (V)

Пользуясь (3. 6), (3. 7) и последним соотношением, нетрудно привести (3. 5) к виду У е {а|УмГ+1 + %|9+1} іх ^ о-1/(т+1) ехр(-к(Ж - 1)) ^ |УмГ+11х+

П 0(1)

“(0)

+ок-1/(т+1)вк /" £^иГ+11х.

0(^)

0(1)

Благодаря выбору числа к последнее неравенство можно переписать в виде

|^Г+1 + 6|и|9+Ч 1х ^ о-1/(т+1) ехр(-к(Ж - 1)) / |^Г+11х.

ат т + 11

“\“(У) 0(1)

Применив к оценке правой части соотношение (2. 4), устанавливаем неравенство (1. 15). При N = 0,1, оценка (1. 15) также справедлива ввиду ограниченности соответственно сверху левой и снизу правой частей.

Доказательство теоремы 2. Для П-последовательности }^=0, ввиду (1. 18), спра-

ведливы неравенства

[ дьх Д?- ---

^ ^ 1, 3 = 1, то,

7 /(х) . іп£ ./(х)

•г,— )

суммируя которые по 3 = 1, N +1 выводим

+1

г Лт

У , N +!, N > °. (3.8)

1

Пусть А-разбиение определяется П-последовательностью (^м}^=0. Соединяя (3. 8), (1. 15), получаем оценку

+1 \

—1К I 1Щ ) , N > °. (3. 9)

1

Выберем произвольное г > 1, зафиксируем N > 0 такое, что г е +1), из (3. 9)

выводим соотношение (1. 19).

4. Л-послЕдовлтЕльности

В этом параграфе для областей, расположенных вдоль оси 0x1, доказывается необходимое и достаточное условие существования Л-последовательности, приводится способ построения Л-последовательности, являющейся оптимальной.

Лемма 1. Пусть г,а, Ь, с такие действительные числа, что 0 < г ^ а < Ь ^ с, Д = (г, а) и (Ь, с), |Д| = а — г + с — Ь, тогда для любой функции д(х) € С'^(К) при к > 1 справедливо неравенство

( с — г \ 1/к

1Ыкд ^ (^та) ПдПк,(а,ь) + (с — (4.1)

Доказательство. Из формулы Ньютона-Лейбница следует неравенство

X

|д(х)| ^ |д(у)| + ^ а ^ у<х ^ с. (4. 2)

у

Используя неравенство Гельдера, оценим интеграл

1 ■ ^ (х — у)(к 1)/к||д/|к,(у,

х),

у

тогда неравенство (4. 2) можем записать в виде

|д(х)| ^ |д(у)| +(х — у)(к-1)/к||д/|к,(у,х) ^ (4 3)

^ |д(у)| + (с — а)(к-1)/к||д/Пк,(а>с), а^ у<х^ с. .

Применив интегральное неравенство Минковского по х € (Ь, с) и у € (а,Ь), будем иметь

(Ь — а)1/к ||д||к,(Ь,с) ^ (с — Ь)1/к { Н к,(а,6) + (с — а)(к 1)/к (Ь — а)1/к ||д/|к(а,с)} . (4. 4)

Аналогично устанавливается неравенство

(Ь — а^Ыки,.) « (а — г)1/к {|Ык,(«,Ч + (Ь — г)(‘-1)/‘(Ь — а)1/к||д'|к,(^,ь)} . (4. 5)

Объединив (4. 4) и (4. 5), можем записать

(Ь — а)1/к||дП*,А ^ |А|1/к {1Ык(«,ь) + (с — г)(к-1)/к(Ь — а)1/кНдЧк^с)}.

Учитывая то, что |Д| < с — г, из последнего выводим (4. 1).

Утверждение 3. Пусть 0 < г ^ а < Ь ^ с, к = т +1, т > 1, тогда

1/к

+ 1 1

Ь— а

Если дополнительно выполнено условие

2 ^ Л(а, Ь)(Ь — а)(с — г)т, (4.7)

то

1 ^ 2к(с — г)кЛ(г,с). (4.8)

Доказательство. Применим неравенство (4.1) к интервалам (а,Ь) С (г, с) и функции

д(х1, х') € (П), продолженной нулем вне П, по переменной х1 в следующем виде

( с_ г \ 1/к

!д(х' )|и,А ^ Нд(х/)|к,(“,Ь) + (с — г)|^хх х' € Кп-1.

Л 1/к(г, с) ^ (с—г + Л Л 1/к(а, Ь) + (с — г). (4.6)

Ь— а

х

Применяя интегральное неравенство Минковского по х/ € Мп-1, находим, что

( с — г \ 1/к

|Ыкп5иП£ ^ К _ ) 1Ык^ + (с — г)||^|кп|.

Используя неравенство Минковского для сумм, выводим

( с — ^ \1/к

|Ыкп| ^ К _ а + 1 ) 1Ык^ + (с — 2)||^|кп|.

Применив определение (1.12), получим неравенство (4.6).

Учитывая что с — 2 > Ь — а, из (4.6) имеем

1/к

Л-1/к(z, с) в

Л(а, b)(b — а)(с — z)k-1

(с — z).

Из последнего неравенства и условия (4.7) следует (4.8).

Следствие. Если область удовлетворяет условию (1. 13), то А-последовательность }^=0 существует при произвольном 20 > 0 с числом в > 2т+1.

Доказательство. Пусть 2^-1 — элемент А-последовательности с числом в > 2т+1, и по предположению (1.13) А(2^-1,2*) > 0. В качестве следующего элемента А-

последовательности можно взять произвольное 2^ > 2*, удовлетворяющее неравенству

2 ^ А(2^-1,2*)(2* — 2^-1)(2^ — 2^-1)т. Тогда соотношение (1.11) следует из утверждения

3 при а = 2 = 2^-1, Ь = 2*, С = 2^.

Построим специальную А-последовательность {2^}^=0 с числом в > 2т+1 и покажем, что она является оптимальной. Для этого сначала докажем справедливость неравенства

lim A(ri, r) ^ A(ri,r2). (4. 9)

Г^Г2

Для произвольного е > 0 выберем ненулевую функцию g(x) Е С^(П) такую, что

(A(n,r2)+e)ig(x)i:+i;nr2 > ivg(x)im+i>n ..

Пользуясь абсолютной непрерывностью интеграла Лебега, нетрудно установить существование такого числа 8 > 0, что

(A(ri,r2) + 2e)|g(x)|m+1,nri >

при всех r таких, что |r — r2| <8. Отсюда следует, что

A(ri,r) ^ A(ri,r2) + 2е, r : |r — r2| <8.

Таким образом, неравенство (4.9) установлено.

Пусть построен элемент 2V-i, положим

2V = inf{x > 2V-i | 1 ^ 9A(2V-i, x)(x — 2V-i)m+i}.

Непустота множества под знаком inf при 9 > 2m+i вытекает из следствия. Благодаря (4.9) имеем неравенство

1 ^ 9A(Zv_i,Zv)(Zv — 2v-i)m+i. (4. 10)

Кроме того, при любом с Е (zv-i,2V) выполнено противоположное неравенство

1 > 9A(Zv-i,с)(с — 2v-i)m+i. (4. 11)

Утверждение 4. Пусть {2j}°=0 — произвольная A-последовательность с 9 > 0,

{zv}^=0 — специальная A-последовательность с 9 > 2m+i. Тогда найдется число C(9) > 0

такое, что справедлива импликация (1.16).

Доказательство. Достаточно установить неравенство

2V — Zv-i ^ D(Zj — 2j-i) (4. 12)

для вложенных отрезков [г,-,2,] С [2^-1,2^). Действительно, на промежутке [2^-1,2^) расположится не более [Д] целых отрезков [г,-,2,] и, возможно, два нецелых отрезка на концах. Всего отрезок [20,2^] будет содержать не более (Д + 1)Ж отрезков ],

поэтому справедливо (1.16). Для доказательства неравенства (4.12) установим оценку

с — 2^-1 ^ Д(2, — 2,-1) (4. 13)

при некотором с — 2^.

Положим Д = (20) т, выберем число с1 из равенства

с1 — 2 ^-1 = Д (4. 14)

2, — 2,-1

обеспечивающего (4.13). Тогда, пользуясь определением А-последовательности (1. 11), выводим

(й — 2у-!)т =2> ____________2___________

0(2, — 2,_,)т - 0А(г,-1, 2,)(2, — 2,_1)™+1 ’

и условие (4.7) выполнено при 2 = 2^-1, а = 2,-1, Ь = 2,, с = тах(с1,2,). Применим утверждение 3, из (4.8) следует, что точка 2^ специальной А-последовательности должна удовлетворять неравенству 2^ ^ с. Поскольку 2, < 2^, то с = с1 и (4.13) справедливо. Утверждение доказано.

5. П-ПОСЛЕДОВАТЕЛЪНОСТИ

В этом параграфе доказывается, что П-последовательность является А-последовательностью, а при дополнительном требовании на функцию f — оптимальной А-последовательностью.

Лемма 2. Рассмотрим область П^+ = {(ж,у) € К2 | а < х < Ь, у > 0} и функцию д(х,у) € 6*0°(К2), равную нулю в окрестности луча {(ж,у) € К2 | х = а, у > Л}. При к — 1 справедливо обобщенное неравенство Фридрихса-Стеклова

Нд1кпа+ ^3 /(Ь — а)|Дхд|к,па+ + 2ЛНДуд11&,па+. (5.1)

Доказательство. Ввиду того, что д(а,у) = 0 при у > Л, неравенство (4.3) запишем в виде

|д(х,у)1 ^ (Ь — а)(к-1)/к||Дгд^кк^ а ^ х ^ Ь.

Из последнего неравенства выводим:

1Ы1 &,(а,6) х (Ь,°) ^

(Ь — а)|Джд| к,(а,6) х (Ь,°). (5. 2)

Далее, при каждом ж, ж € (а, Ь), из неравенства (4. 1) при 2 = 0, а = Л, Ь = с = 2Л получаем

||д(х)1к(ол) ^ 21/к||д(х)1к(^) + 2Л1|Дуд(х)|к(о,2^).

Пользуясь интегральным неравенством Минковского по х € (а, Ь), выводим

1Ы1 к,(а,6) х (0,Ь) ^ 21/к 1Ык(„.<,) х(^,2Л) + 2Л|Дуд|к,(а,6)х(0,2^). (5. 3)

Объединяя неравенства (5. 2) и (5. 3), пользуясь неравенством Минковского для сумм, установим неравенство (5. 1).

Утверждение 5. П-последовательность {2, }°=0 функции f (х) является А-последовательностью для области вращения ).

Доказательство. Для каждого в = 2,п рассмотрим область типа слоя

П[Л в] = {(х1, х/) € | х1 > 0, |хв| < f (х1)},

с положительной функцией f (х1).

Зафиксируем номер j Е N. Функцию g(xi, x') Е С^°(П[/, s]) продолжим на все нулем за пределы П[/, s]. Пусть точка zj Е [2j-i,2j] такая, что inf /(x) = /(zj), тогда из

kj-i^j ]

(1. 18) следует

/ (zj) ^ Aj. (5. 4)

Введем обозначения:

Па = {(xi,xs) Е R2 | а < xi < b},

П^± = {(xi,xs) Е R2 | а < xi < b, ±xs > 0}.

Воспользовавшись неравенством (5. 1) при k = m +1, m > 1, для полуполосы П получим

^ 2Aj llD*1 g(x//)|fcn2j + +2/(Zj )|Dxs g(x//)|fcn2j + ,

’ zj-1 ’ zj-1 ’ zj-1

x" = (x2,...,xs-i, xs+i, ...,xn) Е Rn-2. Применив (5. 4), выводим

Z;+ z;-i,

(x")||* + в 4kAk||Vg(x")||fc ^ + .

fc,nzj-i j k,nZj-i

Установив аналогичные неравенства для областей ПЙ, П;+, П; , сложив эти четыре

J Zj Zj

неравенства и проинтегрировав по x/;, получим соотношение

«««к;-,„„і в 4‘AkllVg|k,o:j_1 „„г

Из него следует оценка

1 в 4m+lAm+^(zj—1, Zj;fi[f, s]).

Поскольку Q(f) С Q[f, s],то Л(а, b; Q[f, s]) в Л(а,^П^)). Это следует из того, что для Q(f) сужается множество, по которому берется инфимум в (1. 12). Утверждение доказано.

Утверждение б. Если выполнено условие (1. 20}, то П-последовательность {zv}^=0 функции f (x) является оптимальной Л-последовательностью для Q(f). При этом для области Q(f) вида (1. 17} оценка (1.19) решения задачи (1. 1}, (1. 2} будет того же порядка, что и оценка (1. ІБ}.

Доказательство. При доказательстве утверждения П-последовательность {zv}^!=0 и связанные с ней атрибуты будем помечать чертой сверху. Сначала установим для П-последовательности импликацию (1. 16). Зафиксируем натуральное v. Обозначим через zv любую точку отрезка [zv— l,zv] такую, что inf f (x) = f(zv). Применяя условие (1.2О),

[Zv-i,Zv I

находим вблизи zv точку zV Є [zv—l,zv) такую, что

f (z£) в wf (zv). (Б. Б}

Из определения П-последовательности следуют неравенства

AV в inf f (x) в f (ZV), (Б. 6}

[Zv-i,Zv )

f (tv) в Av. (Б. 7}

Соединяя (Б. 6} и (Б. Б}, выводим

Av в wf (t). (Б. 8}

Пользуясь (5. 6), из неравенства (1. 20) при х = 2^ находим, что

вир^(2) | 2 € К — А,2^ + А^]} ^ ^(2^).

Ввиду включений [2^-1,2^] С [2* — А^,2* + А^], применяя (5. 5), устанавливаем справед-

v— 1 v

ливость неравенств

f (tV) в f (x) в wf (zV) в W2f (tV), x Є [zv—l,zv]. (Б. 9}

Далее, для любого отрезка [а,Ь] С [2V-i,2V] докажем неравенства

А А

8i ^ A(a, b; П(/)) ^ , (5. 10)

f т+1(^) f т+1(^)

с положительными числами ^1, ^2, не зависящими от V.

Положим Л = ^2Т(2^), тогда из (5. 9) следуют неравенства А(а,Ь;П^)) — А(а, Ь; Пт, в]) —

— А(а, Ь; П[Л, в]), в = 2, п. Совершая замену переменных х5 = Лу5, полагая

г>(хь ...,у8, ...,х„) = д(хь ...,х8, ...,х„), получим

/ |Dys v|m+idxi...dys...dx„

A(a, b; Q[h, s]) > inf a[ ’ ] i

(xi ys xn)GC“(-[i,s]) hm+i / |v|m+idxi...dys...dxra /m-i(2v)’

-*[M]

Чтобы доказать правое неравенство (5.10), положим h = /(2V), тогда справедливы неравенства

A(a,b;Q(/)) ^ A(a, b; Q(h)).

Далее, нетрудно показать, что

/ |Vg|m+idx / |V'g|m+idx'

A(a,b;^(h)) = inf — — = inf Rn 1

fl(x)ec“(Q(h)) J |g|m+idx j(x')ec0“(B(h,o')) J |g|m+idx'

-a(h) Rn-1

Совершая замену переменных x' = hy', полагая v(y') = g(x'), оценим величину

- |v'v|m+idy'

A(a,b;Q(h)) = -1— / inf Rn-1 82

Л-+1 и(у')еС^(В(1,0')) / |г>|т+1^у/ Лт+1’

Кп-1

где V/v = (ДУ2V, ...,ДУпV). Неравенства (5. 10) доказаны.

Пусть {2, }°=0 — произвольная А-последовательность с 0 > 0. Для вложенных отрезков [2,-1,2,] С [2^-1,2^] из определения А-последовательности (1. 11) и неравенств (5. 10),

(5. 8) вытекают оценки

Ат+1 > 1 > г+чм > _дт+1

’ — 0А(2,-1,2, )“ 0<Ь -0«2Шт+1'

из которых следуют неравенства А^ * ДА,. Таким образом, для рассматриваемой П-последовательности {2^}°=0 и произвольной А-последовательности {2, }°=0 справедливо неравенство (4. 12). Повторяя рассуждения утверждения 4, устанавливаем импликацию (1. 16).

Для доказательства второй части утверждения достаточно установить неравенства

Г Г

“■/ тт * * * “2/ ж■ (511)

11

при г € [2^,2^+1), N — 1. Левая часть неравенства (5.11) следует из (3.8). Применяя (5. 9), (5. 7), выводим

^ __________

[' ^х , А^ .1

, „ . >-------, v = 1, то. (5.12)

J /(x) W2/(Zv) W

Zv-1

Просуммировав по v = 1, N последние неравенства, устанавливаем правую часть (5. 11)

Авторы выражают искреннюю благодарность Ф.Х. Мукминову за обсуждение результатов работы и полезные замечания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Олейник О.А., Иосифьян Г.А. О поведении на бесконечности решений эллиптических уравнений второго порядка в областях с некомпактной границей // Матем. сб. 1980. T. 112, № 4. С. 588-610.

2. Ландис Е.М., Панасенко Г.П. Об одном варианте типа Фрагмена-Линделефа для эллиптических уравнений с коэффициентами, периодическими по всем переменным, кроме одной // Труды сем. им. И.Г. Петровского. 1979. Вып. 5. С. 105-136.

3. Кондратьев В.А., Копачек И., Леквеишвили Д.М., Олейник О.А. Неулучшаемые оценки в пространствах Гельдера и точный принцип Сен-Венана для решений бигармонического уравнения // Труды МИАН СССР. 1984. Т. 166. С. 91-106.

4. Кожевникова Л.М. Поведение на бесконечности решений псевдодифференциальных эллиптических уравнений в неограниченных областях // Матем. сб. 2008. Т. 199, №8. C. 61-94.

5. Тедеев А.Ф., Шишков А.Е. О качественных свойствах решений и субрешений квазилинейных эллиптических уравнений // Изв. вузов. 1984. Матем. №1. С. 62-68.

6. Шишков А.Е. Поведение решений задачи Дирихле для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченных областях // Сиб. матем. журн. 1987. Т. 28, №6. С. 134-146.

7. Кожевникова Л.М. О существовании и единственности решений задачи Дирихле для псев-додифференциальных эллиптических уравнений в областях с некомпактными границами // Уфимск. матем. журн. 2009. Т.1, №1. С. 38-68.

8. Кожевникова Л.М. Анизотропные классы единственности решения задачи Дирихле для ква-зиэллиптических уравнений // Изв. РАН. 2006. Т. 70, №6. С. 93-128.

9. Олейник О.А., Иосифьян Г.А. О единственности решения смешанной задачи для уравнений теории упругости в неограниченной области // УМН. 1976. Т. 31, №5. С. 247-248.

10. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

Лариса Михайловна Кожевникова,

Стерлитамакская государственная педагогическая академия, пр. Ленина, 37,

453103, г. Стерлитамак, Россия E-mail: [email protected]

Руслан Халикович Каримов,

Стерлитамакская государственная педагогическая академия, пр. Ленина, 37,

453103, г. Стерлитамак, Россия E-mail: [email protected]