CC BY
20
MS С 35J62
УБЫВАНИЕ РЕШЕНИЙ АНИЗОТРОПНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С МЛАДШИМИ ЧЛЕНАМИ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ A.A. Хаджи
Башкирский государственный университет, пр. Ленина, 37, Стерлитамак, 453103, Россия, e-mail: anna_5955@mail.ru
Аннотация. Рассматривается некоторый класс анизотропных эллиптических уравнений второі'о порядка с младшими членами в неограниченной области. Для решений соответствующей задачи Дирихле установлена ограниченность и получены оценки сверху, характеризующие убывание на бесконечности неограниченных областей.
Ключевые слова: задача Дирихле, анизотропное эллиптическое уравнение, неограниченная область, убывание решения, ограниченность решения.
Введение. Пусть П — произвольная неограниченная область пространства Мп =
{х = (х1; х2,хп)}, П С Мп, п > 2. Для анизотропного квазилинейного эллиптиче-
ского уравнения второго порядка рассматривается задача Дирихле
п
22(аа(х, У?/))*0 - а(х, и) = Ф(х), х е П; (1)
0. (2)
а= 1
U
дО.
Предполагается, что функции аа(х, £), а = 1 , п, измеримы по х £ О для £ £ Пусть Р = (р1,р2, ...,рп) и 1 < р1 < р2 < ... < рп. Положим, что существуют положительные числа а, а такие, что для любых £, ?/ € при почти всех хбО выполняются условия:
пп
^ (аа(х, £) - аа(х, ?])) (£а - г]а) > а ^ |£„ - '1]а\Ра ; (3)
а=1 а=1
\Ра~ 2
|а«(х,£) - а„(х,?7)| < а\£а - i]a\ (|£а| + \i]a\)Pa , а=1, /г; (4)
а„(х, 0) = 0, а = 1, п. (5)
Функция а(х, s) измерима но х 6 Q для s € R. Пусть к > 1 и существуют числа Ь, Ъ > 0 такие, что для всех s,t £ R при почти всех x £ П выполняются условия:
(а(х, s) — а(х, t))(s — t) > 6|s — t]k, (6)
|a(x, s) - a(x,t)| < b|s - t|(|s| + |t|)k-2, (7)
а(х, 0) = 0 . (8)
Очевидно, что функции aa(x, £) = |£0|ра-2£0, а = 1, /г, a(x, s) = |s|fc_2s, удовлетворяют условиям (3) - (8) и при этом уравнение (1) примет вид
П
Yl \Pa-2Uxa) Ха - \u\k-2U = Ф(х).
a=1
Изучением поведения па бесконечности решений линейных эллиптических уравнений занимались O.A. Олейник, Г.А. Иосифьян, Е.М. Ландис, Г.П. Панасенко, В.А. Кондратьев, И. Коначек, Д.М. Леквеишвили и другие (подробный обзор результатов приведен в 111). Л.М. Кожевниковой, Р.Х. Каримовым |2| для некоторого класса квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка установлены оценки сверху решения задачи Дирихле в неограниченных областях. В работе |3| дня решений анизотропных эллиптических уравнений без младших членов получены оценки сверху и доказана их точность в изотропном сну чае. И. М. Колодий |4| установи.:: ограниченность решений некоторого класса анизотропных эллиптических уравнений в ограниченных областях. При этом требование ограниченности области является существенным условием в его доказательстве. Основной результат этой статьи — оценка скорости убывания ограниченных обобщенных решений задачи (1), (2) в неограниченных областях П,
Теорема 1. Пусть u(x) — обобщенное решение задачи (1), (2) и выполнены условия (3 -8). а также
(9)
Ы>1' (10)
Тогда
k — nk + n > 0 . (11)
vraimax |u(x)| < C, (12)
где С — константа, зависящая от pQ, k, п и НФНь^^п), a, Ъ, b.
Далее, будем рассматривать неограниченные области расположенные вдоль выделенной оси Oxs, s G ‘2,п (область Q .нежит в полупространстве xs > 0 и сечение
Yr = {х G П | xs = r} не пусто при любом r > 0), Введем обозначения: Пъа = {x G
П a < xs < b}, значения a = 0, b = œ опускаются.
Определим геометрическую характеристику неограниченной области П :
v(r)=mf{ ||gœi ||ipi(7r) gfâ G C0OO(П), llg^Lp,(Yr) = l} , r> 0.
Предполагаются выполненными следующие условия:
V
Pl/Ps
(p)dp = œ , (13)
supp Ф(х) с Qr° , R0 > 0.
(14)
Теорема 2. Если выполнены условия (13), (14), то существуют положительные числа. к, M такие, что для ограниченного обобщенного решения u(x) задачи (1), (2) при r > 2R0 справедлива оценка
\Ка\\ьРа(пг) + IHk(nr) < Mexp ^-к j upi/ps (p)dpj , (15)
где M — копстапта, зависящая от ||Ф||, i?o, ps, n, a, a, b, b, к — константа, зависящая от
ps, а, а-
Рассмотрим область вращения
^(/)И = Iх е I xs > о, |x's| < f(xs)} , s E 2, n ,
x's = (xi, . . . ,xs-i,xs+i, ..., xn) с положительной функцией f (xs) < то. От функции f
требуется только, чтобы множество Q(f)[s] было областью. Для таких областей справедливо соотношение
с
КО = 77^ , Г > 0 f (r)
и поэтому условие (13) принимает вид
СЮ
[ dp
i
fpi/ps (p)
.
Следствием теоремы 2 дня областей вращения является следующая оценка
¿ II Uxa IUpa(fir) + INk(nr) < Mexp ^-K J fpjp.^dpj • (16)
В области П(fa)[s] с функцией fa(x) = xa, 0 < a < pi/ps, x > 0 для решения задачи (1), (2) оценка (16) принимает вид
\\и\\ьк(Пг) < Ma exp (-Kari-api/ps) .
1. Вспомогательные сведения. Положим: || ■ ||р — норма в пространстве Lp(Q).
О
Определим пространство W k 1 (П) как пополнение пространства С0°(П) по норме
n
11VI1 о == / 11 Vx 11 p + 11 v 11 k .
11 llWfcp1(n) \ Xa llpa ^ \ l|k
a=1
Определение. Обобщенным решением задачи (1), (2) с Ф(х) е £*./(*._!)(П), а = 1 ,п,
О
назовем функцию и(х) € Ш к р(О), удовлетворяющую интегральному тождеству
У аа(х, Чп)ьХа + (а(х, и) + Ф(х)) Д ^х = 0 (17)
О
ДЛЯ любой функции у(х) к р(О)
Теорема 3. Пусть выполнены условия (3 — 8). Тогда, существует единственное обобщенное решение и(х) задачи (1) (2) с функцией Ф(х) € Ьк/(к-1)(О) и справедлива оценка
Е и«- iiïa + imiî < Aiwik/!k:1!. а«)
a=1
где А — константа, зависящая от а, Ь, к.
□Доказательство существования проводится методом галеркинских приближений.
Лемма 1 (см. |5|- |7|). Пусть u GWkpp(П) и
П р
|u|9a|u.Ta|padx < оо, qa > 0, ра >1, а= 1,п.
а=1П
Если выполнено условие (10), то u(x) G Lq(Q) при
n n
Q = (x + q»/p^ 1/Pa - x)
1
a=1 a=1
и имеет место оценка
K/Q
\u\\q < B IV I \u\qa\uXa \Padx I , (19)
где В — константа, зависящая от да, ра, ни
а=1 \а=1 у
Лемма 2 (см. [8]). В области О, расположенной вдоль выделенной оси 0х3, для
О
функции и к р(О) при 0 < а < Ь справедливо неравенство
^ 1Н1рв,ПЬ < р _ ^ Има:в ||Ра • (20)
82 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ ЩЯ Серия: Математика. Физика. 2014. №5(176). Вып. 34
2. Ограниченность решения.
Доказательство теоремы 1 проводится итеративным методом, который был предложен Ю. Мозером |4| и широко использовался в работах И.М. Колодия |4|, С.Н. Кружкова |10|, 1111, Д. Серрина |5|,
Для фиксированных чисел q > 1 и I > 0 определим функции:
. luiq, если lui < l.
F (|u|) = {
qlq 1 |u| — (q — 1)lq , если l < |u|,
G(u) = F(|u|)F'(|u|)k-1signu , —œ < u < œ .
Положим v(x) = G(u), Почти всюду на множестве {x : |u| = l} имеем
vxa = G'{u)uXa, Q' = 1,'/?.,
рде
/ kq — k +1 k
-F'd'uir, если |u| < /,
G'(u) = { q
F'(|u|)k , если l < |u| .
Используя
kF'(|u|)k > G'(u) > F'(|u|)k, |G(u)| < F(|u|)F'(|u|)fc-1;
находим
n
L(u, v) = ^ a«(x, Vu)vxa + (a(x, u) + Ф(х))и =
n
y, aa(x, Vu)G'(u)uxa + (a(x, u) + Ф^)^^) >
a=1
a=1
n
aa(x Vu)uxa F'(|u|)k — (|a(x,u)| + |Ф(x)|)F (|u|)F'(|u|)k 1.
a=1
Пользуясь условиями (3), (5), (7), (8), выводим
L(u,v) > aJ2 К. Г F'(|u|)k — (S|«|k-1 + ^f|)F (|«.|)F'(|«|)‘-1. (21)
a=1
На множестве {х : |и| = 1} неравенство (21) имеет место почти всюду. Поэтому можно проинтегрировать его по х € О и, учтя определение обобщенного решения, получим
n
F'(|u|)fcJ] ^dx < Ci f F(|u|)F'(|u|)fc-1(|u|fc-1 + ^|)dx.
a=1
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ ЩШ Серия: Математика. Физика. 2014. №5(176). Вып. 34 83
Учитывая, что ^(|и|) < |и|9, ^(|и|) < д|и|9-1, выводим
[ ^(|и|)к ^ |ихаГ^х < С1дк-1 / |и|9+(9-1)(к-1)(|и|к-1 + |Ф|)^х. (22)
п а=1 п
Предположим, что правая часть (22) конечна. Устремим 1 к то в левой части (22) и применим лемму Фату:
V [ |г^(9-1}|г/,Га|р“(Ьс< — [ + |Ф|)с*х = — I. (23)
0=17 д ] д
а_1 п п
Применяя неравенство Гельдера и пользуясь оценкой (18), выводим:
I < [ I |и|(9к-к+1)к^х^ ■ (||и||£-1 + ||ФПк/(к-1)) <
< С |и|(9к-к+1)к^х^ ■ ||Ф||к/(к-1) .
Далее, для д > 1, применяя неравенство Гельдера и оценку (18), выводим
1/к
I < С2||Ф||к/(к-1) [ / 1и1^к3^к-^14к2-к^к-1}^х1 <
(д-1)/(дк-1)
< С2||Ф||к/(к-1) [ I ¿х ) ■ ||и|кк-1)/(9к-1) < (24)
(д-1)/(дк-1)
< сзВф«к//к?-1) [ I
к/(к-1)
п
Отметим, что при д =1
I < С2|и|к ■ |Ф|к/(к-1) < Сз|Ф|к/(к-1) • (25)
Таким образом, из (23), (25), (24) следует неравенство
п / \ («-1)/(«к-1)
У [ |и|к(9-1)|иха 1Ра^х < С4 II' |и|к2г^х) , (26)
“=1п \п /
причем в случае д = 1 второй множитель равен 1.
-1
Положим Р = п X] 1 /'Ра — 1 • Из леммы 1 для д„ = к(д — 1), а = 1, п, имеем
а=1
(п \ / п \ -1
н + к(д — 1) У 1/р« ) ■ | У 1/Ра — 1} = Р + к(д — 1)К .
а=1 / \а=1 /
Тогда, применяя (19), из (26) выводим
\ 1/К / \ («-1)/(«к-1)
|и|р+к(«-1)К ¿х) < С5 [У |и|?к2 ¿х) . (27)
Пусть Н = к2(д — 1) + к0, т = К/к, т = Р — К0 = к2 — к0, где 0 = (Р — к2)/(К — к). Тогда т + тН = Р + Кк(д — 1), т + Н = к2д. Условие (11) влечет 1 + н/к2 < 1 + 1/(к — 1),
из условий (9), (11) следует, что т > 1, 0 > 0.
Из (27) выводим
1/(тЛ) / \ к(д-1)/(Ь(дк-1))
|и|Т+т^х ) < [ / |и|т+^х
Положим Н = к0т^, V = 0,1, 2,.... Тогда
\ 1/(к0т^+1) / \ (д-1)/(0т*(дк-1))
Г|и|Т+к0т"+1 ¿х) < С51/(^) [ /* |и|т+к0т¿х
пп
Введя обозначение
(\ 1/(к0т^)
I |и|т+к0т¿х ) ,
полу чаем неравенство
©,+1 < Съ1/{т1/в)е^-1)/{ф-1\ и = ОТоо .
Для V = 0 имеем д = 1, следовательно,
©1 < С51/в,
далее, поскольку к(д — 1)/(дк — 1) < 1, то
©2 < бУ/(”"«(С51/^к(в"1)/(вк"1) < С51/(™в)+1/“
и т.д. В итоге, получим
°°
1/0 У2 1/тг
0^ + 1 < С г=0 = С.
При V ^ то из последнего неравенства получаем оценку (12),
3. Убывание решения.
Доказательство теоремы 2. Пусть 0(х), х > 0 — абсолютно непрерывная функция, равная единице при х > г, — нулю при х < Д0, линейная при х € [До, 2Д0] и удовлетворяющая уравнению
0'(х) = 6^1/р(х)0(х), х € (2Д0,г), (28)
(постоянную 6 определим позднее). Решая это уравнение, находим, в частности, что
0'(х) = ехр | -8 ! иР1/Ре(р)(1р\ , х Е (Д0, 2 Д0). (29)
V 2Яо /
Для любой функции у(х) € С0°(П) го определения функции v(р) следуют неравенства
V(р)1М1р1,Тр < 11^X1 Нр1,7р , р> 0 ; из которого выводим соотношение
г г
J еРв (р^Р1 (р)П^ПР1,Тр< У||р1;>ф. (зо)
2Яо 2До
Применяя (30) дня любой функции г’ Є С^°(П) при в Є 2, /г, выводим
Г
/ ^ (^ (р)п«пр:,Тр ¿р <
2До
< тах Кх)|р‘ р1 ^ (р)0Рз(р)Н^Нр!,Тр^Р < (31)
,х | V (х) | І V \р;и
п
2 До
< тах Кх)|р р1 / 6^ (р) ||^Х1 ||Р1)7р ¿р.
п
2 До
Отметим, что неравенства (31) справедливы дня любой ограниченной функции у (^)-
Пусть £(х) липшицева неотрицательная срезающая функция, Положив в (17) V = но. !V чим соотношение
^йа(х, V«)«)ха + (а(х, и) + Ф(х))(и£) ^ ¿х = 0 .
„ а=1
Возьмем £(х8) = 0Рз (х8). Далее, применяя (3)—(6), (8), (14), получаем
П р
Е/0Р
а=1 Ъ
пЛ I вр‘\их\ра(1х + ь I №>-\и\к(Ьс<
Х0
п п
< ар5 / |и||иХз|Рг1 10Рз 1(х5)0/(х5)^х = 7.
^ j вРз\иХз\Рзс1'х. +а У j 9Рв\иХо\Ра<&х. + 6 j вр1,\и\кёх. < п «=^,«=1 п п
< См |м|Рз(0'(х5))Р87х.
п
Пользуясь (28) и (29), нетрудно привести (34) к виду
I I вРз I Их, г <*Х + а У j 9Рз I г/,Та |р“ 7х + 6 j 9рз \ и | А'7х <
П «=«,«=1. п п
< С16Р^ У |м|РзVй (х5)0Рз(х5)7х+
п2Л0
+ ехР | J ь>Р1/Рв{р)Лр | J |м|РвС?Х = ,1\ + 72 .
\ 2До / п2й0
(32)
Используя неравенство Юнга выводим
7 < е(рв — 1)а J \иХа\Рв9Рв<&х. + ^_1 J \и\Рз(в'(х3))Рзс1'х.. (33)
пп
$ 1
Выберем е = — •----. Соединяя (32). (33). выводим неравенство
2а — 1
(34)
(35)
Применяя (31), получаем
71 < 626^ У |иЛ1 |Р17х. (36)
п2д0
Используя (20), (18), выводим
72 < Сз ехр | — 6р5 / ^1/Р (р)7р | . (37)
2 До
0
Г
_ n
a
a \1/Ps
Выбирая 6 = ( ) и соединяя (35)—(37), выводим
2C2 )
n
9 Yl +b|Mlfc,fir ^ ^бхр I-Съ J UPl/P‘(p)dp\ .
Неравенство (15) доказано.
Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю Кожевниковой Л.М. за помощь в подготовке статьи.
Литература
1. Кожевникова Л.М. Поведение на бесконечности решений псевдодифференциальных эллиптических уравнений в неограниченных областях /7 Матем. сб. 2008. 199(2).
С.61-94.
2. Каримов Р.Х., Кожевникова Л.М. Поведение на бесконечности решений квазилинейных
эллиптических уравнений второх'о порядка а неограниченных областях /7 Уфимск. матем. журн. 2010. 2(2). С.53-66.
3. Кожевникова Л.М., Хаджи А.А. Решения анизотропных эллиптических уравнений в
неох'раниченных областях /7 Вестник СамГТУ. 2013. 30(1). С.90-96.
4. Колодий И.М. Об ограниченности обобщенных решений эллиптических дифференциальных уравнений /7 Вестник МГУ. 1970. 5. С.45-52.
5. Дубинский Ю.А. Некоторые интегральные неравенства и разрешимость вырождающих-
ся квазилинейных эллиптических систем дифференциальных уравнений // Матем. сб. 1964. 3. С.458-480.
6. Nirenberg L. On elliptic partial differential equations // Ann. Scuola norm, super. Pisa.
1959. 13. C.115-162.
7. Лу Вень Туан. К теоремам вложения для пространств функций с частными прозводны-
ми, суммируемыми с различными степенями /7 Вестн. ЛГУ. 1961. 7. С.23-27.
8. Кожевникова Л.М., Леонтьев А.А. Оценки решения анизотропжн'о параболических) уравнения с двойной нелинейностью /7 Уфимск. матем. журн. 2011. 3(4). С.64-85.
9. Moser .J. A new proof of de Giorgi’s theorem concerning the regularity problem for elliptic
differential equations /7 Communs. Pure and Appl. Math. 1960. 3. C.457-468.
10. Кружков C.H. О некоторых свойствах решений эллиптических уравнений // ДАН
СССР. 1963. 3. С.470-473.
11. Кружков С.Н. Краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений второх'о
порядка /7 Матем. сб. 1968. 77. С.229-334.
12. Serrin .J. Local behavior of solutions of quasilinear equatons // Acta math. 1964. 3(4).
C.247-302.
SOLUTIONS DECREASE OF ANISOTROPIC ELLIPTIC EQUATIONS WITH THE YOUNGER TERMS IN UNBOUNDED DOMAINS
A.A. Khadzhi
Bashkir State University,
Lenin Av., 37, Sterlitamak, 453103, Russia, e-mail: anna_5955@mail.ru
Abstract. It is studied the class of anisotropic elliptic equations of second order with younger terms in unbounded domains. For solutions of the corresponding Dirichlet problem are set some restrictions and estimates from above that characterize its decrease at infinity in unbounded domains.
Key words: Dirichlet’s problem, anisotropic elliptic equation, unbounded domain, solutions decrease, rest rictions.
